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【全国百强校】四川省树德中学高2016届高考适应性测试数学(理)试题(6月1日)


树德中学高 2016 届高考适应性测试数学(理科)
命题:梁昌健
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A ? {1,2}, B ? {( x, y) | x ? A, y ? A, x ? y ? A} ,则 B 的子集共有 (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)8 个

2. ?ABC 中, tan A ? 1 是 A ? (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 后,则水面宽为 (A)2.2 米 4.

?
4

的 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,若水面下降 0.42 米 (B)4.4 米 (C)2.4 米 (D)4 米

执行如图所示的程序框图,则输出的 S=

(A)7 ①α∥β ? l⊥m (A)①②③

(B)11 ②α⊥β ? l∥m (B)②③④

(C)26 ③l∥m ? α⊥β

(D)30 ④l⊥m ? α∥β (D)②④

5.已知直线 l ⊥平面 α,直线 m ? 平面 β,给出下列命题: 其中正确命题的序号是 (C)①③
?x ? y ? 4 ? 0 1 ? 6. 点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0 内的任意一点,则使函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? 3 在区间 [ ,?? ) 上 2 ?y ? 0 ?

是增函数的概率为 1 (A) 3

2 1 1 (C ) (D) 3 2 4 2 2 x y 7. 设 F1 , F2 分别是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 M (a, b) , ?MF1 F2 ? 30? , a b

(B)

则双曲线的离心率为 (A)4 (B) 3 (C) 2 (D)2 8. 某班要从 A,B,C,D,E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务,则上届任职的 A,B,C 三 人都不连任原职务的方法种数为 (A)30 (B) 32 (C)36 (D) 48

9.已知 O 为△ABC 的外心,| AB |? 16, | AC |? 10 2 ,若 AO ? x AB ? y AC ,且 32x ? 25y ? 25 , 则∠B= (A)

? 3

(B)

? 12

(C)

? 6

(D)

? 4

10. 若函数 f ( x) ? e ax ?
1 (A) ( 0, ] e

ln x (a ? 0) 存在零点,则 a 的取值范围是 a 1 1 1 (B) (0, 2 ] (C) [ 2 , ] e e e

1 (D) [ ,?? ) e

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 复数 z ?
1 ? ai (a ? R ) 的虚部为______。 i

12 .若四面体的三视图如右图所示,则该四面体的外接球表面积为 _____。 13. 在平面直角坐标系 xoy 中, 以 x 的非负半轴为始边作两个锐角 ? , ? , 它们的终边分别与单位圆交于点 A,B,已知 A 的横坐标为 坐标为
2 ,则 2? ? ? ? ______。 10
1 4 ? 的 m n

5 ,B 的纵 5

14. 已知正项等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 am , an 使得 am an ? 2a1 , 则 最小值是 ______。

15. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种互相转化,相对 统一的和谐美。 定义: 能够将圆 O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆 O 的一个“太 极函数”。则下列有关说法中: ①对于圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数; ②函数 f ( x) ? sin x ? 1 是圆 O : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1的一个太极函数;
ex ?1 是圆 O 的一个太极函数; ex ?1 ④ 直 线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 所 对 应 的 函 数 一 定 是 圆

③存在圆 O,使得 f ( x) ?

O : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? R 2 ( R ? 0) 的太极函数;

⑤若函数 f ( x) ? kx3 ? kx(k ? R) 是圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 的太极函数,则 k ? (?2,2) 。 所有正确的是___________。

三、解答题(16-19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16.(本题满分 12 分) 我市某苹果手机专卖店针对苹果 6S 手机推出分期付款购买方式,该店对最近购买苹果 6S 手机的 100 人进行统计(注:每人仅购买一部手机),统计结果如下表所示: 付款方式 频数 分1期 35 分2期 25 分3期 分4期 10 分5期
b

a

已知分 3 期付款的频率为 决以下问题:

3 ,请以此 100 人作为样本,以此来估计消费人群总体,并解 20

(Ⅰ)从消费人群总体中随机抽选 3 人,求“这 3 人中(每人仅购买一部手机)恰好有 1 人分 4 期付款”的概率; (Ⅱ)若销售一部苹果 6S 手机,顾客分 1 期付款(即全款),其利润为 1000 元;分 2 期或 3 期 付款,其利润为 1500 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 2000 元。用 X 表示销售一部苹果 6S 手机的利润,求 X 的分布列及数学期望。

17. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn ) 在抛物线 y ? 数列 {bn } 满足 b2 ?
1 1 , b4 ? 。 4 16
3 2 1 x ? x 上,各项都为正数的等比 2 2

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 Cn ? aan ? ban ,求数列 {Cn } 的前 n 项和 Tn 。

18. (本题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 中内角 A,B,C 所对边的边长分别为 a, b, c ,满足 a 2 ? b 2 ? 6abcosC ,且

sin 2 C ? 2 3 sin A sin B 。
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin(?x ?
f ( A) 的取值范围。

?
6

) ? cos ?x(? ? 0) ,且 f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离为 ? ,求

19.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABD 是边长为 2 3 的正三角形, ?CBD ? ?CDB ? 30? , E 为棱 PA 的中点. (Ⅰ)求证: DE / / 平面 PBC ; ( Ⅱ ) 若 平 面 PAB ? 平 面 A B C D , PA ? PB ? 2 , 求 二 面 角 P ? BC ? E 的余弦值。
E D A C

P

B

20. (本题满分 13 分) 如图“月亮图”是由曲线 C1 与 C 2 构成,曲线 C1 是以原点 O 为中心, F1 (?c,0), F2 (c,0) 为焦

A( x0 , y0 )(x0 ? c ? 0) 点的椭圆的一部分, 曲线 C 2 是以 O 为顶点, F2 为焦点的抛物线的一部分,
是两条曲线的一个交点, | AF1 |? (Ⅰ)求曲线 C1 和 C 2 的方程; (Ⅱ)过 F2 作一条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲线 C1 , C 2 依次 交于 B,C,D,E 四点,若 G 为 CD 的中点、H 为 BE 的中点,问:

5 7 , | AF2 |? 。 2 2
y B C x F1 O F2 D E A

| BE | ? | GF2 | 是否为定值?若是求出该定值;若不是说明理由. | CD | ? | HF2 |

21. (本题满分 14 分)

b ? a( x ? 0, a, b ? R) 。 x (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间与极值;
已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅱ)若 ?a ? [o, ? ] ,使得 f ( x) ? 1 ? sin a 对任意 x ? 0 恒成立,求 b 的取值范围; (Ⅱ)当 b ? 0 时,若函数 f ( x) 有且仅有一个零点,设 F (b) ?
2

a ?1 ? m(m ? R) ,且函数 F ( x) b

有两个零点 x1 , x 2 ,求实数 m 的取值范围,并证明: x1 x2 ? e 。

树德中学高 2016 届高考适应性测试
数学(理科)参考答案 一、选择题 1-10. AABBC ADBDA 前 5 题需要大家细心,开考发卷前 5 分钟不必急着去思考这些题,这 5 分钟需要通看试卷 21 个题目,把“陷阱”条件找一找,大致熟悉题目难度,可能用到的知识与方法等。对集合 表达的含义与运算、充分必要性的判断、框图、复数的运算及相关内容等简单知识更要细心。 7. 点 M (a, b) 在如图矩形的顶点(双曲线实轴 A1 A2 与虚轴 B1 B2 ) ,
OM ? c , A2 M ?

3 c ? b ,可求离心率。 2
F1 A1

B2

M(a,b)

1 2 8. 分类:若 ABC 全选,则有 2 种;若 ABC 选两个,则有 3C2 C3 =18

A2

F2

种;若 ABC 选一个,则有 4C C =12 种(分类与枚举是计数原理中重 要的方法,分类要求标准清晰,不重不漏) 9. 对 AO ? x AB ? y AC 两边与 AO 作数量积,
AO ? x AB ? AO ? y AC ? AO ,运用数量积知识(投影)可得
2

2 2

1 3

B1

A

E O B

D

C

1 1 | AO | ? x | AB | 2 ? y | AC | 2 ? 128 x ? 100 y ? 100 , | AO |? 10 ,由正弦定 2 2
2

理可得角 B 的值。 (对条件给出向量的关系,把向量关系转化为数量关系,两边可作数量积, 也可以选择平方转化,根据题意合理尝试。对投影,外心、内心、垂心、重心等概念性质要熟 练掌握)
10. 此题的来源: 例: 若函数 f ( x) ? a 与 g ( x) ? loga (a ? 1) 图像仅有一个交点, 且在公
x
5

x

4

共点处有公共的切线,则 a =___。切点坐标为____。 例解: 两函数互为反函数, 则该切线即为 y ? x , 设切点 A, 可求出 A(e,e), 此时 a

3

A(e,e)
2

?e
1 e

1 e

。若 a

?e

1 e

时,则 f ( x) ? a 与 g ( x) ? loga 无公共点;若
x x

x

1

1? a ? e

时 则 f ( x) ? a 与 g ( x) ? loga 有 两 个公 共点 。当 然 ,对
4 2 1

x

2

4

6

0 ? a ? 1 时,两函数的交点还可能有 3 个(此知识点不作要求)。对 f ( x) ? e ax ?
2

ln x (a ? 0) ,换元令 a

1

t ? e a ,即得 t x ? logt x ,由上知 e a ? t ? e e ,得 a ?
题,运用极限思想,当 a ? 0 时,存在交点,当 a ?

1 ,此题本打算为填空题,后来降低难度作为选择 e

1 时,零点为 e,可得答案 A。在第 9 或 10 题时,特 e

殊值、排除法、极限、选项相悖、甚至几何图中用直尺量等都是作选择题很好的方法,切不可过多浪费时 间,如果读 3 遍题目仍不知所云,猜吧,孩子!这是忠告!

二、填空题 11. ? 1 ;12. 9? ;13.
3 7 ? ;14. ;15. ②④⑤ 3 4
A

12 题: 在三视图与直观图转化过程中, 以一个长方体为载体是很好的方 式,使得作图更直观。 如例题: 一个棱锥的三视图如右图所示,则该棱锥的体积为____ 3 13 .此题是考查三角函数定义,三角函数线相关知识, cos? ?
5 , 5
B C D

sin ? ?
2? ? ?

? 2 , ? , ? ? (0, ) ,求 2? ? ? 。是给值求角问题,首先需要对 2 10
的 范 围 估 算 , cos? ?

5 2 ? 5 2

? ? , ? ?( , ) , 4 2

sin ? ?

? 7? 2 1 ? ? , ? ? (0, ) , 2? ? ? ? ( , ) ,二三象限正弦值异号, 2 6 10 2 6
4 3 4 7 2 2 3 2 ,cos 2? ? ? ,sin(2? ? ? ) ? ? , ? ? (? ) ? 5 5 5 10 10 5 2

故选择求 2? ? ? 的正弦值,sin 2? ?
2? ? ? ? 3 ?。 4

1 1 4 1 n 4m 9 1 4 ? 最值,很熟悉的问题。 (m ? n)( ? ) ? (5 ? ? )? , m n 4 m n 4 m n 4 1 4 1 4 注 意 取 等 条 件 , n ? 2m, m ? n ? 4 无 正 整 数 解 , 故 不 能 取 等 。 ? ? ? ,函数 m n m 4?m 1 4 7 f ( m) ? ? , m ? 1,2,3 ,通过比较 f (1), f (2), f (3) 的值可得最小值 。 3 m 4?m

14. 此题易得 m ? n ? 4 ,求

3.5

3

15. 对①显然错误,如图

2.5

2

对②,点 (0,1) 均为两曲线的对称中心,且
f ( x) ? sin x ? 1 能把圆一分为二,正确。对

1.5

1

0.5

ex ?1 2 ? 1? x , x e ?1 e ?1 当 x ? 0( x ? 0) 时, f ( x) ? ?? ,当 x ? ?? 时,

③,函数为奇函数 f ( x) ?

5
4 3 2 1 1 2 3 4

0.5

4
1

3

1.5

f ( x) ? 1( f ( x) ? 1)) , 函数递减; 当 x ? 0( x ? 0) 时, f ( x) ? ?? ,

当 x ? ?? 时, f ( x) ? ?1( f ( x) ? ?1)) ,函数递减;函数 f ( x) 关 于(0,0)中心对称,有三条渐近线 y ? ?1, x ? 0 ,可知,函数 的对称中心为间断点,故不存在圆使得满足题干条件。④直线
(m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 恒过定点 (2,1) ,满足题意。
8 6 4

f(x) =

ex + 1 e
x

2

2

1
1

2

2

4

6

1

2

3

4

5

2

1.5

⑤函数 f ( x) ? kx ? kx(k ? R) 为奇函数,与圆的交点恒坐标为 ? 1,1 ,
3
3 ? ? y ? kx ? kx ? k 2 x 6 ? 2k 2 x 4 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 1 ? 0 ,令 t ? x 2 , ? 2 2 ? ?x ? y ? 1

1

0.5

2

1

1

2

3

0.5 2

得 k 2t 3 ? 2k 2t 2 ? (1 ? k 2 )t ? 1 ? 0 ? (t ? 1)(k 2t 2 ? k 2t ? 1) ? 0 , 得t ? 1即
x ? ?1 ; 对 k 2t 2 ? k 2t ? 1 ? 0 , 当 k ? 0 时显然无解,? ? 0 即 0 ? k 2 ? 4

1 1.5

1 1.5

时也无解,即 k ? (?2,2) 时两曲线仅有两个交点,函数能把圆一分为 二,且周长和面积均等分。若 k ? ?2 时,函数图像与圆有 4 个交点,
2 1

0.5 2

1

2

3

0.5

若 k 2 ? 4 时,函数图像与圆有 6 个交点,均不能把圆一分为二。 三、解答题 16 解:(Ⅰ)由题意得 事件 ,所以 ,又

1

1.5

2

,所以

.设

为“购买一部手机的 3 名顾客中,恰好有 1 名顾客分 4 期付款”,由题意得:随机抽取 9 2 43 1 1 一位购买者,分 期付款的概率为 ,所以 P ( A) ? C 3 ? ( ) ? . ??????5 分 10 10 1000 (Ⅱ)记分期付款的期数为 ,依题意得 , 因为 可能取得值为 , 元, 元, , , , 所以 的分布列为 元, , , ,

并且易知

所以

的数学期望 3 1 17 解:(I) S n ? n 2 ? n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 2 2 3 1 3 5 当n ? 2时,Sn ?1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? n 2 ? n ? 1 2 2 2 2

??????12 分

? an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ?1
是首项为 2,公差为 3 的等差数列 {an} ? 数列 又各项都为正数的等比数列 {bn } 满足 b2 ?

? an ? 3n ? 1

??????3 分

1 1 , b4 ? ,解得 4 16

1 1 1 b1 ? , q ? , ? bn ? ( ) n 2 2 2

?????6 分 ????12 分

1 2 1 n(9n ? 1) 2 ? (Ⅱ) C n ? a an ? ban ? 9n ? 4 ? ( ) 3n ?1 , Tn ? ? ? n ? 2 7 8 2 7

18 解:(Ⅰ)因为 a 2 ? b 2 ? 6ab cosC ,由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cosC 所以 cosC ?
c2 2 2 ,又因为 sin C ? 2 3 sin Asin B ,则由正弦定理得: c ? 2 3ab , 4ab

所以 cosC ?

c2 2 3ab 3 ? ,所以 C ? ? ? 6 4ab 4ab 2

.............6 分

? ? (Ⅱ) f ( x) ? sin(?x ? ) ? cos ?x ? 3 sin(?x ? ) 6 3 ? 2? ? ? , ? ? 2 ,则 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ) 由已知 .............9 分 ? 3 5? ? ? ? ? ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? ,所以 ? A ? . C ? ,B ? 2 2 6 3 2 6 ? 4? 3 所以 ? ? 2 A ? ? ,所以 ? ? f ( A) ? 0 ......12 分 3 3 2 19 解: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 F ,连接 EF 、 DF ,∴ EF / / PB ,
∵ ?CBD ? ?FDB ? 30? ∴ DF / / BC ∵ EF 、 DF ? 平面 DEF , PB 、 BC ? 平面 PBC ∴平面 DEF / / 平面 PBC ,∵ DE ? 平面 DEF ∴ DE / / 平面 PBC . ......5 分 (Ⅱ)解:? PA ? PB ? 2 ? PF ? AB ? 平 面 PAB ? 平面 A B C D ,交线 为 AB ? PF ? 平面 ABCD ,且 PF ? 1 连接 DF , 分别 取
FB, FD, FP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 如图所示.则点 A(? 3,0,0) ,B( 3,0,0) ,

? 3 1 , 0, ) C ( 3, 2,0) , D(0,3, 0) , P(0, 0,1) , E ( 2 2

P

?? 设平面 BCP 的法向量为 m ? ( x, y, 3) ?? ??? ? ?? ??? ? ??? ? ??? ? 则 BC ? (0, 2,0), BP ? (? 3,0,1) ?m ? BC ? 0, m ? BP ? 0 ?? y ? 0, x ? 1 即 m ? (1,0, 3) ? 设平面 BCE 的法向量为 n ? (a, b, 3)
? 1 ??? ? ?3 3 1 1 BE ? ( , 0, ) ? a ? , b ? 0 ? n ? ( , 0, 3) 3 3 2 2
A

E D C F B

z P

E D A F B x

y C

?? ? ?? ? 5 7 m?n 5 7 ? ? ? cos? m, n? ? ?? ,因此所求二面角的余弦值为 .????????12 分 14 | m | ? | n | 14

x2 y2 20 解. (Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,则 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 6 ,得 a ? 3 a b 7 5 2 2 | AF1 |? ( x0 ? c) 2 ? y0 ? , | AF2 |? ( x0 ? c) 2 ? y 0 ? , 2 2 3 5 3 3 作差得 x0 c ? ,又 | AF2 |? x0 ? c ? ,得 x 0 ? , c ? 1或 x 0 ? 1, c ? (舍去) 2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线 C 2 方程为 y 2 ? 4 x 。 9 8 (Ⅱ)设 B( x1 , y1 ) , E( x2 , y2 ) , C( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) ,把直线
故椭圆 C1 方程为
x2 y 2 ? ? 1得(8 ? 9k 2 ) y 2 ? 16ky ? 64k 2 ? 0, 则 9 8 16k 64k 2 y1 ? y2 ? ? , y y ? ? .同理将y ? k ( x ? 1)代入y 2 ? 4 x得: 1 2 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2 4 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0,? y3 ? y4 ? , y3 ? y4 ? ?4; k 1 BE ? GF2 y1 ? y2 2 y3 ? y4 ? ? ? CD ? HF2 y3 ? y4 1 y ? y 1 2 2 y ? k ( x ? 1)代入

?????4 分

?

2 2 (y3 ? y4) ( y1 ? y2) ? 2 2 (y1 ? y2) (y3 ? y4)

2 2 (y3 ? y4) (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 = ? 2 2 (y1 ? y2) (y3 ? y4) ? 4 y3 y4

?

(16k ) 2 4 ? 64k 2 4 ? ( )2 (8 ? 9k 2 ) 2 8 ? 9k 2 k ? ? 3为定值. 4 2 (16k ) 2 ( ) ? 16 k (8 ? 9k 2 ) 2

?????13 分

1 b x?b ? 2 ? 2 x x x 当 b ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,函数 f ( x) 的单调增区间为 (0,??) ,无极值;
21 解:(Ⅰ) f ?( x) ? 当 b ? 0 时, x ? (0, b) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (b,??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调减区间为

(0, b) ,增区间为 (b,??) ,有极小值 f (b) ? ln b ? 1 ? a 。 ...............4 分
( Ⅱ ) f ( x) ? 1 ? sin a 对 任 意 x ? 0 恒 成 立 , 则 必 有 b ? 0 , 即 f ( x) m i n? 1 ? s i na , 即

ln b ? 1 ? a ? 1 ? s i na , ?a ? [o, ? ] 使 得 ln b ? a ? s i n a 成 立 , 令 函 数 g ( x) ? x ? sin x ,

g ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,得 g ( x) ? x ? sin x 为增函数,? ln b ? g (a) min ? 0 ,? b ? 1 。
.......................8 分 (Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知, b ? 0 时,当 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? ,当 x ? 0( x ? 0) 时,

f ( x) ? ?? ,
函数 f ( x) 有且仅有一个零点,即 f ( x) min ? f (b) ? ln b ? 1 ? a ? 0 , ln b ? a ? 1 。

a ?1 ln b ?m ? ? m(b ? 0) , b b 1 ? ln x ln x ? m, ( x ? 0) , F ?( x) ? 记 F ( x) ? ,故函数 F ( x) 在 (0, e) 上递增,在 (e,??) 上递减, x2 x 1 F ( e) ? ? m e F (b) ?
x ? 0( x ? 0) 时, F ( x) ? ?? ; x ? ?? 时, F ( x) ? ?m , F ( x) 有两个零点 x1 , x2 ,

?1 ? ?m?0 1 故 ?e ,0 ? m ? 。 e ? ?? m ? 0
?ln x ? mx1 不妨设 x1 ? x2 ,由题意 ? 1 , ?ln x2 ? mx2
x2 x x1 则 ln x1 x2 ? m( x1 ? x2 ), ln 2 ? m( x2 ? x1 ) ? m ? , x1 x2 ? x1 ln

...........................10 分

欲证 x1 ? x2 ? e2 ,只需证明: ln( x1 ? x2 ) ? 2 ,只需证明: m( x1 ? x2 ) ? 2 ,即证:
1? x2 x1 x2 t ?1 x ? 2 ,设 t ? 2 ? 1 ,则只需证明: ln t ? 2 ? , t ?1 x1 x1
t ?1 ?0 t ?1

( x1 ? x2 ) x2 ln ? 2 , x2 ? x1 x1

即证

x2 ?1 x1

ln

也就是证明: ln t ? 2 ? 记 u (t ) ? ln t ? 2 ?

t ?1 1 4 (t ? 1)2 , (t ? 1) ,? u?(t ) ? ? ? ? 0, t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2
2

? u(t ) 在 (1, ??) 单调递增,

? u (t ) ? u (1) ? 0 ,所以原不等式成立,故 x1 x2 ? e 得证.

......................14 分
1 ?m , x

方法二: F ( x) ? 0 ? ln x ? mx ? 0 ,设 h( x) ? ln x ? mx ,则 h?( x) ?

若 m ? 0 ,则 h?( x) ? 0 恒成立,所以函数 h( x) 在 (0, ??) 单调递增,与题意不符,舍.

1 1 1 ? h( x) 在 (0, ) 单调递增, , 在 ( , ?? ) 单调递减, 所以若函数 F ( x) m m m 1 1 有两个零点,则只需 h ( ) ? 0 ,解得 0 ? m ? . m e 1 不妨设 x1 ? x2 ,则 0 ? x1 ? ? x2 , m 1 1 1 1 1 设 G ( x) ? h( ? x) ? h( ? x), (0 ? x ? ) ,则 G?( x) ? h?( ? x) ? h?( ? x), m m m m m

() 0 ? ? x? 若 m ? 0, 则 h?x

1 1 1 2 m3 x 2 ?0, 所以函数 G ( x) 在 (0, ) 单调递增,G ( x) ? G (0) ? h( ) ? h( ) ? 0 2 2 m m m 1? m x 1 1 1 2 1 2 ? 0 ? x ? 时, h( ? x) ? h( ? x) ,? h( ? x1 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) ,又因为 ? x1 , x2 ? ( , +?) , m m m m m m 1 2 2 且 函 数 h( x) 在 ( , ?? ) 单 调 递 减 , ? ? x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? ? mx1 ? mx2 ? 2 , 即 m m m

化简可得 G?( x) ?

ln x1 ? ln x2 ? 2 ,
所以 x1 x2 ? e2 成立。

树德中学高 2016 届高考适应性测试数学(文科)
命题:梁昌健
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A ? {1,2}, B ? {( x, y) | x ? A, y ? A, x ? y ? A} ,则 B 的子集共有 (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)8 个

2. ?ABC 中, tan A ? 1 是 A ? (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

?
4

的 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? ? 3.已知平面向量 a ? (1,3) , b ? ( x, ?3) ,且 a // b ,则 a ? 2b ?
(A) 10 后,则水面宽为 (A)2.2 米 5. (B) 5 (C)5

(D) 10

4.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,若水面下降 0.42 米 (B)4.4 米 (C)2.4 米 (D)4 米

执行如图所示的程序框图,则输出的 S=

(A)7

(B)11

(C)26

(D)30

?ln x, (0 ? x ? 1) 1 6. 已知 f ( x) ? ? ,则 f (2 ? ) ? e ? f ( x ? 1) ? 1, (1 ? x ? 3)
(A)0 (B)1
1 (C) ln(1 ? ) ? 1 e 1 (D) ln( 2 ? ) e

7.已知直线 l ⊥平面 α,直线 m ? 平面 β,给出下列命题: ①α∥β ? l⊥m (A)①②③ ②α⊥β ? l∥m (B)②③④ ③l∥m ? α⊥β ④l⊥m ? α∥β (D)②④ 其中正确命题的序号是 (C)①③
?x ? y ? 4 ? 0 1 ? 8. 点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0 内的任意一点,则使函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? 3 在区间 [ ,?? ) 上 2 ?y ? 0 ?

是增函数的概率为 1 (A) 4

(B)

1 2

(C)

1 3

(D)

2 3

9. 在平面直角坐标系 xoy 中,以 x 的非负半轴为始边作两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单 位圆交于点 A,B,已知 A 的横坐标为 (A) ? 10. 若函数 f ( x) ? e ax ?
1 (A) ( 0, ] e

5 2 ,B 的纵坐标为 ,则 2? ? ? ? 5 10 2 5 3 (B) ? (C) ? (D) ? 3 6 4

ln x (a ? 0) 存在零点,则 a 的取值范围是 a 1 1 1 (B) (0, 2 ] (C) [ 2 , ] e e e

1 (D) [ ,?? ) e

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 复数 z ?
1 ? ai (a ? R ) 的虚部为______。 i

12.若四面体的三视图如右图所示,则该四面体的外接球表面积为 _____。 13. 设 F1 , F2 分别是双曲线 C :
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点, 点 a2 b2 M (a, b) , ?MF1 F2 ? 30? ,则双曲线的离心率为______。
1 4 ? 的 m n

14. 已知正项等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 am , an 使得 am an ? 2a1 , 则 最小值是 ______。 15. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了 一种互相转化,相对统一的和谐美。定义:能够将圆 O 的周长和面积同时 等分成两个部分的函数称为圆 O 的一个“太极函数”。则下列有关说法中: ①对于圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为 偶函数; ②函数 f ( x) ? sin x ? 1 是圆 O : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1的一个太极函数;
ex ?1 ③存在圆 O,使得 f ( x) ? x 是圆 O 的一个太极函数; e ?1

④直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 所对应的函数一定是圆 O : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? R 2 ( R ? 0) 的 太极函数; ⑤若函数 f ( x) ? kx3 ? kx(k ? R) 是圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 的太极函数,则 k ? (?2,2) 。 所有正确的是__________。

三、解答题(16-19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16. (本题满分 12 分) 已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动. 为了解本次考试学生的某学科成绩 情况, 从中抽取部分学生的分数 (满分为 100 分, 得分取正整数, 抽取学生的分数均在 ?50,100? 之内) 作为样本 (样本容量为 n) 进行统计. 按照 ?50,60? ,?60,70? ,?70,80? ,?80,90? ,?90,100? 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在 ?50,60? ,

?90,100? 的数据).
频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“省 级学科基础知识竞赛”,求所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 ?90,100? 内的概率。 17. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn ) 在抛物线 y ? 列 {bn } 满足 b2 ?
1 1 , b4 ? 。 4 16
3 2 1 x ? x 上,各项都为正数的等比数 2 2

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 Cn ? aan ? ban ,求数列 {Cn } 的前 n 项和 Tn 。 18.(本题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 中内角 A,B,C 所对边的边长分别为 a, b, c ,满足 a 2 ? b 2 ? 6abcosC ,且

sin 2 C ? 2 3 sin A sin B 。
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin(?x ?
f ( A) 的取值范围。

?
6

) ? cos ?x(? ? 0) ,且 f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离为 ? ,求

19.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧棱 OB ? 底面 ABCD , 且侧棱 OB 的长是 2 ,点 E, F , G 分别是 AB, OD, BC 的中点。 (Ⅰ)证明: OD ? 平面 EFG ; (Ⅱ)求三棱锥 O ? EFG 的体积。
F D E B C G O

A

20. (本题满分 13 分) 如图“月亮图”是由曲线 C1 与 C 2 构成, 曲线 C1 是以原点 O 为中心,F1 (?1,0), F2 (1,0) 为焦点
3 的椭圆的一部分,曲线 C 2 是以 O 为顶点, F2 为焦点的抛物线的一部分, A( , 6 ) 是两条曲线 2

的一个交点。 (Ⅰ)求曲线 C1 和 C 2 的方程; (Ⅱ)过 F2 作一条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲线 C1 , C 2 依次 交于 B,C,D,E 四点,若 G 为 CD 的中点、H 为 BE 的中点,问:
y B C x F1 O F2 D E A

| BE | ? | GF2 | 是否为定值?若是求出该定值;若不是说明理由. | CD | ? | HF2 |

21. (本题满分 14 分)

b ? a ( a, b ? R ) 。 x (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间与极值;
已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅱ)若 b ? 0 且 f ( x) ? 0 恒成立,求 e (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,且 e
a ?1
a ?1

? b ? 1 的最大值;
a ?1 ? m(m ? R) ,且函 b
2

? b ? 1 取得最大值时,设 F (b) ?

数 F ( x) 有两个零点 x1 , x 2 ,求实数 m 的取值范围,并证明: x1 x2 ? e 。

树德中学高 2016 届高考适应性测试
数学(文科)参考答案 一、选择题 1-10 AADBB BCCDA 前 5 题需要大家细心,开考发卷前 5 分钟不必急着去思考这些题,这 5 分钟需要通看试 卷 21 个题目,把“陷阱”条件找一找,大致熟悉题目难度,可能用到的知识与方法等。对集 合表达的含义与运算、充分必要性的判断、框图、复数的运算及相关内容等简单知识更要细 心。 9.此题是考查三角函数定义,三角函数线相关知识, cos? ?

? 2 5 , sin ? ? , ? , ? ? (0, ) , 2 10 5
? ? 5 2 ,? ? ( , ) , ? 4 2 5 2

求 2? ? ? 。是给值求角问题,首先需要对 2? ? ? 的范围估算, cos? ?
sin ? ?

? 7? 2 1 ? ? , ? ? (0, ) , 2? ? ? ? ( , ) ,二三象限正弦值异号,故选择求 2? ? ? 的正弦 2 6 10 2 6
4 3 3 4 7 2 2 3 2 , cos 2? ? ? , sin(2? ? ? ) ? ? , 2? ? ? ? ? 。 ? ? (? ) ? 5 5 4 5 10 10 5 2
5

值, sin 2? ?

10. 此题的来源: 例: 若函数 f ( x) ? a x 与 g ( x) ? loga (a ? 1) 图像仅有一个交点, 且在公 共点处有公共的切线,则 a =___。切点坐标为____。 例解: 两函数互为反函数, 则该切线即为 y ? x , 设切点 A, 可求出 A(e,e), 此时 a
x

4

3

A(e,e)
2

?e
1

1 e

。若 a

?e

1 e

时,则 f ( x) ? a 与 g ( x) ? loga 无公共点;若
x
4 2

x

1

1 ? a ? e e 时 则 f ( x) ? a x 与 g ( x) ? loga x 有 两 个公 共点 。当 然 ,对 0 ? a ? 1 时,两函数的交点还可能有 3 个(此知识点不作要求)。对
f ( x) ? e ax ?

2

4

6

1

ln x 1 (a ? 0) ,换元令 t ? e a ,即得 t x ? logt x ,由上知 e a ? t ? e e ,得 a ? ,此题本打算 a e
1 时,零点为 e,可 e

12

为填空题,后来降低难度作为选择题,运用极限思想,当 a ? 0 时,存在交点,当 a ?

得答案 A。在第 9 或 10 题时,特殊值、排除法、极限、选项相悖、甚至几何图中用直尺量等都是作选择题 很好的方法,切不可过多浪费时间,如果读 3 遍题目仍不知所云,猜吧,孩子!这是忠告! 二、填空题

11. ? 1

;12. 9? ;13. 2;14.

7 ;15. ②④⑤ 3

A

B2

M(a,b)

12 题: 在三视图与直观图转化过程中,以一个长方体为载 体是很好的方式,使得作图更直观。 13. 点 M (a, b) 在如图矩形的顶点 (双曲线实轴 A1 A2 与虚轴
B C
F1 A1 A2 F2

D
B1

3 c ? b ,可求离心率。 2 1 1 4 1 n 4m 9 1 4 )? , 14. 此题易得 m ? n ? 4 ,求 ? 最值,很熟悉的问题。 (m ? n)( ? ) ? (5 ? ? m n 4 m n 4 m n 4 1 4 1 4 注 意 取 等 条 件 , n ? 2m, m ? n ? 4 无 正 整 数 解 , 故 不 能 取 等 。 ? ? ? ,函数 m n m 4?m 1 4 7 f ( m) ? ? , m ? 1,2,3 ,通过比较 f (1), f (2), f (3) 的值可得最小值 。 3 m 4?m

, OM ? c , A2 M ? B1 B2 )

3.5

3

15. 对①显然错误,如图

2.5

2

对②,点 (0,1) 均为两曲线的对称中心,且
f ( x) ? sin x ? 1 能把圆一分为二,正确。对③,

1.5

1

0.5

ex ?1 2 ? 1? x 函数为奇函数 f ( x) ? x ,当 e ?1 e ?1 x ? 0( x ? 0) 时, f ( x) ? ?? , 当 x ? ?? 时, f ( x) ? 1( f ( x) ? 1)) ,
4 3

5
2 1 1 2 3 4

4 0.5

1

3
1.5

函数递减;当 x ? 0( x ? 0) 时, f ( x) ? ?? ,当 x ? ?? 时,
f ( x) ? ?1( f ( x) ? ?1)) ,函数递减;函数 f ( x) 关于(0,0)中心

f(x) =

ex + 1 ex 1

2
2

1

对称,有三条渐近线 y ? ?1, x ? 0 ,可知,函数的对称中心为间断
8 6

4

2

2

4

6

1

点,故不存在圆使得满足题干条件。④直线
(m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 恒过定点 (2,1) ,满足题意。
2
2

3

⑤函数 f ( x) ? kx3 ? kx(k ? R) 为奇函数,与圆的交点恒坐标为 ? 1,1 ,
4

1.5

1

3 ? ? y ? kx ? kx ? k 2 x 6 ? 2k 2 x 4 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 1 ? 0 , 令 t ? x 2 , 得 ? 2 2 ? ?x ? y ? 1
2

5

0.5

1

1

2

3

k t ? 2k t ? (1 ? k )t ? 1 ? 0 ? (t ? 1)(k t ? k t ? 1) ? 0 , 得 t ? 1 即
2 3 2 2 2 2 2 2

0.5

2

1

x ? ?1 ;对 k 2 t 2 ? k 2 t ? 1 ? 0 ,当 k ? 0 时显然无解, ? ? 0 即 0 ? k 2 ? 4

1.5

1.5

时也无解, 即 k ? (?2,2) 时两曲线仅有两个交点, 函数能把圆一分为二, 且周长和面积均等分。 若 k ? ?2 时, 函数图像与圆有 4 个交点, 若k ? 4
2
2 1

1

2

0.5

1

2

3

时,函数图像与圆有 6 个交点,均不能把圆一分为二。 三、解答题 16 解:(Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?
y? 8 ? 50 , 0.016 ? 10

0.5

1

1.5

2

2 ? 0.004 , 50 ? 10 x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 .

?????????6 分

(Ⅱ)由题意可知,分数在 [80,90] 内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,分数在
[90,100] 内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1 , b2 ,抽取 2 名学生的所有情况有 21 种,分别为:

? a1, a2 ? , ? a1, a3 ? , ? a1, a4 ? , ? a1, a5 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a2 , a3 ? , ? a2 , a4 ? , ?a2 , a5 ? , ?a2 , b1 ? , ?a2 , b2 ? , ? a3 , a4 ? , ? a3 , a5 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a4 , a5 ? , ? a4 , b1 ? , ? a4 , b2 ? , ? a5 , b1 ? , ? a5 , b2 ? , ?b1, b2 ? .
其中 2 名同学的分数恰有一人在 [90,100] 内的情况有 10 种, ∴ 所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 [90,100] 内的概率 P ? 17.解:(I) S n ?
3 2 1 n ? n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 2 2 3 1 3 5 当n ? 2时,Sn ?1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? n 2 ? n ? 1 2 2 2 2

10 . 21

????????12 分

? an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ?1
{an} 是首项为 2,公差为 3 的等差数列 ? an ? 3n ? 1 ? 数列
1 1 1 又 {bn } 各项都为正数,解得 b1 ? , q ? , ? bn ? ( ) n 2 2 2 1 2 1 n(9n ? 1) 2 ? (Ⅱ) C n ? a an ? ban ? 9n ? 4 ? ( ) 3n ?1 , Tn ? ? ? n ? 2 7 8 2 7

?????6 分 ????12 分

18 解:(Ⅰ)因为 a 2 ? b 2 ? 6ab cosC ,由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cosC 所以 cosC ?
c2 4ab
2 2 又因为 sin C ? 2 3 sin Asin B ,则由正弦定理得: c ? 2 3ab ,

所以 cosC ?

c2 2 3ab 3 ? ? ? ,所以 C ? 6 4ab 4ab 2

.............6 分

? ? (Ⅱ) f ( x) ? sin(?x ? ) ? cos ?x ? 3 sin(?x ? ) 6 3 ? 2? ? ? , ? ? 2 ,则 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ) 由已知 ............9 分 ? 3 5? ? ? ? ? ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? ,所以 ? A ? . C ? ,B ? 2 2 6 3 2 6 ? 4? 3 所以 ? ? 2 A ? ? ,所以 ? ? f ( A) ? 0 ......12 分 3 3 2
19.(Ⅰ)证明:? 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, E 是 AB 的中点,? DE ? 5 又? 侧棱 OB ? 底面 ABCD , AB ? 面 ABCD ? OB ? AB 又? OB ? 2, EB ? 1 ? OE ? 5 ? DE ? OE ? 5, . ? ?ODE 是等腰三角形, ? F 是 OD 的中点, ? EF ? OD 同理 DG ? DG ? 5, ? ?ODG 是等腰三角形, ? F 是 OD 的中点, ? FG ? OD ? EF ? FG ? F EF , FG ? 面 EFG

OD ? 平面 EFG ????????????????????(6 分) (Ⅱ)侧棱 OB ? 底面 ABCD , BD ? 面 ABCD ? OB ? BD

? OB ? 2, DB ? 2 2 ? OD ? 2 3 由(Ⅱ)知: OD ? 平面 EFG , OF 是三棱锥 O 到平面 EFG 的距离
? F 分别是 OD 的中点, OF ? 3 , DE ? OE ? 5, EF ? OD ,? EF ? 2

? FG ? 2 DG ? DG ? 5, FH ? OD ? 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, E , G 是 AB, BC 的中点 ? EG ? 2 ? 三角形 EFG 是等边三角形? S? EFG ?
3 2

1 1 VG ? EOF ? V0? EFG ? Sh ? 3 2

????????????????(12 分)

20. (Ⅰ)由题意得抛物线 C2 : y 2 ? 4 x ,设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

2 2 则 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? ( ? 1) ? 6 ? ( ? 1) ? 6 ? 6 ,得 a ? 3 , c ? 1, b ? 2 2

3 2

3 2

x2 y2 ? ? 1。 故椭圆 C1 方程为 ??????(4 分) 9 8 (Ⅱ)设 B( x1 , y1 ) , E( x2 , y2 ) , C( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) ,把直线
x2 y 2 ? ? 1得(8 ? 9k 2 ) y 2 ? 16ky ? 64k 2 ? 0, 则 9 8 16k 64k 2 y1 ? y2 ? ? , y y ? ? .同理将y ? k ( x ? 1)代入y 2 ? 4 x得: 1 2 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2 4 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0,? y3 ? y4 ? , y3 ? y4 ? ?4; k 1 y3 ? y4 BE ? GF2 y ?y ? ? 1 2 ?2 CD ? HF2 y3 ? y4 1 y ? y 1 2 2 y ? k ( x ? 1)代入

? =

2 2 (y3 ? y4) ( y1 ? y2) ? 2 2 (y1 ? y2) (y3 ? y4) 2 2 (y3 ? y4) (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 ? 2 2 (y1 ? y2) (y3 ? y4) ? 4 y3 y4

?

(16k ) 2 4 ? 64k 2 4 ? ( )2 (8 ? 9k 2 ) 2 8 ? 9k 2 k ? ? 3为定值. 4 2 (16k ) 2 ( ) ? 16 k (8 ? 9k 2 ) 2

??????(13 分)

21.解:(Ⅰ) f ?( x) ?

1 b x?b ? 2 ? 2 x x x

当 b ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,函数 f ( x) 的单调增区间为 (0,??) ,无极值; 当 b ? 0 时, x ? (0, b) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (b,??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调减区间为

(0, b) ,增区间为 (b,??) ,有极小值 f (b) ? ln b ? 1 ? a 。
即当 ln b ? a ? 1 时, e
a ?1

..........4 分

(Ⅱ)当 b ? 0 时,由(Ⅰ)得 f ( x) min ? ln b ? 1 ? a ? 0 ,ln b ? a ? 1, b ? e a?1 ,? e a ?1 ? b ? 1 ? 1 ,

? b ? 1 最大为 1。

..........8 分

(Ⅲ)方法一:由(Ⅱ)知 ln b ? a ? 1 。

a ?1 ln b ?m ? ? m(b ? 0) , b b 1 ? ln x ln x ? m, ( x ? 0) , F ?( x) ? 记 F ( x) ? ,故函数 F ( x) 在 (0, e) 上递增,在 (e,??) 上递减, x2 x 1 F ( e) ? ? m e F (b) ?
x ? 0( x ? 0) 时, F ( x) ? ?? ; x ? ?? 时, F ( x) ? ?m , F ( x) 有两个零点 x1 , x2 ,

?1 ? ?m?0 1 故 ?e ,0 ? m ? 。 e ? ?? m ? 0
?ln x ? mx1 不妨设 x1 ? x2 ,由题意 ? 1 , ln x ? mx ? 2 2
x2 x x1 则 ln x1 x2 ? m( x1 ? x2 ), ln 2 ? m( x2 ? x1 ) ? m ? , x1 x2 ? x1 ln

..............10 分

欲证 x1 ? x2 ? e2 ,只需证明: ln( x1 ? x2 ) ? 2 ,只需证明: m( x1 ? x2 ) ? 2 ,即证:
1? x2 x1 x2 t ?1 x ? 2 ,设 t ? 2 ? 1 ,则只需证明: ln t ? 2 ? , t ?1 x1 x1
t ?1 ?0 t ?1

( x1 ? x2 ) x2 ln ? 2 , x2 ? x1 x1

即证

x2 ?1 x1

ln

也就是证明: ln t ? 2 ? 记 u (t ) ? ln t ? 2 ?

t ?1 1 4 (t ? 1)2 , (t ? 1) ,? u?(t ) ? ? ? ? 0, t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2
2

? u(t ) 在 (1, ??) 单调递增,

? u (t ) ? u (1) ? 0 ,所以原不等式成立,故 x1 x2 ? e 得证.

...................14 分
1 ?m , x

方法二: F ( x) ? 0 ? ln x ? mx ? 0 ,设 h( x) ? ln x ? mx ,则 h?( x) ?

若 m ? 0 ,则 h?( x) ? 0 恒成立,所以函数 h( x) 在 (0, ??) 单调递增,与题意不符,舍.

1 1 1 ? h( x) 在 (0, ) 单调递增, , 在 ( , ?? ) 单调递减, 所以若函数 F ( x) m m m 1 1 有两个零点,则只需 h ( ) ? 0 ,解得 0 ? m ? . m e 1 不妨设 x1 ? x2 ,则 0 ? x1 ? ? x2 , m 1 1 1 1 1 设 G ( x) ? h( ? x) ? h( ? x), (0 ? x ? ) ,则 G?( x) ? h?( ? x) ? h?( ? x), m m m m m

() 0 ? ? x? 若 m ? 0, 则 h?x

1 1 1 2 m3 x 2 ?0, 所以函数 G ( x) 在 (0, ) 单调递增,G ( x) ? G (0) ? h( ) ? h( ) ? 0 2 2 m m m 1? m x 1 1 1 2 1 2 ? 0 ? x ? 时, h( ? x) ? h( ? x) ,? h( ? x1 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) ,又因为 ? x1 , x2 ? ( , +?) , m m m m m m 1 2 2 且 函 数 h( x) 在 ( , ?? ) 单 调 递 减 , ? ? x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? ? mx1 ? mx2 ? 2 , 即 m m m

化简可得 G?( x) ?

ln x1 ? ln x2 ? 2 ,所以 x1 x2 ? e2 成立。


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