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文科圆锥曲线测试题(带详细答案)


高二数学测试题 2013.3.1 一.选择题 1. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是 A. y ? ?8x
2

11.若曲线 ( B)
2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是___ (??, ?4) ? (1, ??) _________. 4 ? k 1? k


5 ___; 4
p 5 ,0)代入可求得焦参数 p ? , 2 2

B. y ? 8x
2

C. y ? ?4x
2

D. y ? 4 x

12. 在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1) 。若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, 则该抛物线的准线方程是___ x ? ?

2.设双曲线 A.4

x y ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为 (C) 2 a 9
B.3
2 2

2

2

C.2

D.1 (D)4 2

【解析】依题意我们容易求得直线的方程为 4x+2y-5=0,把焦点坐标( 从而得到准线方程 x ? ?

3.双曲线 2x

? y ? 8 的实轴长是 (C)
(B) 2

(A)2

2

(C) 4

4.设双曲线以椭圆 为 ( C ) A.±2

x2 y 2 =1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率 ? 25 9
4 3

5 。 4 13.已知抛物线 y 2 ? 8x , F 为其焦点, P 为抛物线上的任意点,则线段 PF 中点的轨迹方程是
试 题 分 析 : 设 中 点 为 ? x, y ? ? F ? 2, 0 ? P? 2x? 2, 2 代 入 y 2 ? 8x 得 4 y ? 8 ? 2 x ? 2? 化 简 得 y ? ?
2

y2 ? 4x ? 4 . y2 ? 4x ? 4

B.±

C.±

1 2

D.±

3 4

5.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△FlPF2 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率是 ( D )
A. 2 2 B. 2 ?1 2 C.2 ? 2 D. 2 ? 1

14.设 F1 , F2 是椭圆 积为 1 .

???? ???? x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,且 F1 P ? PF2 ? 0 ,则△ F1 PF2 的面 4
2

6. 已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, 轴长的 2 倍,C 的离心率为( B) (A) 2 (B) 3
x2 a
2

AB

为 C 的实

15.如果 P , P2 , ... , P 是抛物线 y ? 4 x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 1 8

, x2 , ... , x8 , F 是抛物

线的焦点,若 x1 ? x2 ? ... ? x8 ? 10 ,则 P F ? P F ? ... ? P F ? _______18________. 1 2 8 (C) 2 (D) 3

7. 已知 F1,F2 为双曲线

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)的两个焦点,过 F2 作垂直 x 轴的直线,它与双曲线的一个交 )

点为 P,且∠ PF F2 =30°,则双 曲线的渐近线方程为 (D 1

x2 y 2 16.设 F1 , F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右焦点, P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为 (6,4) ,则 8 4 . PM ? PF1 的最大值为 8 2
【解析】本试题主要考查了椭圆的性质的运用,结合三点共线求解最值。 由

2 A. y ? ? x 2

B. y ? ?

3x

3 C. y ? ? x D. y ? ? 2 x 3
x2 m
2

8.从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程 域 B={(x,y)‖x|<11,且|y|<9}内的椭圆个数为 A.43 B.72 C.86 D.90 9. 已知 F 是抛物线 y y 轴的距离为( C A. ) C.
2

?

y2 n
2

4 2 , 由 椭 圆 的 定 义 可 得 , |PM|+|PF1|=2a+|PM|-|PF2|= 4 2 +|PM|-|PF2|≤ 4 2 +|MF2|= 8 2 ,当且仅当 P,F2,M 三点共线时取等号,
17.已知以 F 为焦点的抛物线 y ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点到准线的距离为
2





F2



2



0

) ,

|MF2|=

=1 中的 m 和 n,则能组成落在矩形区

??? ?

??? ?

( B )

____

8 _______. 3

? x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AF + BF ? 3 ,则线段 AB 的中点到
5 4
(D)

3 4

B.1

7 4
PF1 : F1F2 : PF2
2 3 或 2 D. 3
=4:3:2,则曲线

10.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足 r 的离心率等于(A) A.
1 3 或 2 2

2 B. 3 或 2

1 或 C. 2 2

二.填空题

【解析】设 BF=m,由抛物线的定义知 AA ? 3m, BB1 ? m ? ?ABC 中,AC=2m,AB=4m, k AB ? 3 , 直线 AB 1
2 方 程 为 y ? 3( x ? 1) , 与 抛 物 线 方 程 联 立 消 y 得 3x ? 10x ? 3 ? 0 , 所 以 AB 中 点 到 准 线 距 离 为

x1 ? x 2 5 8 ?1 ? ?1 ? 2 3 3
三.解答题 18.已知双曲线与椭圆

必过一定点,并求出该定点. 【解析】 (1) 根据线段垂直平分线的定义所以点 P 到 F 的距离等于到直线 l 的距离. 所以,点 P 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求该双曲线方程,并求出其离心 27 36
2 2

p ? 1, p ? 2 , 2
代入到抛物线方程整理得 则 …………8 分

所以所求的轨迹方程为 y 2 ? 4 x
2

率、渐近线方程,准线方程。

(2) 设 A?x A , y A ?, B?x B , y B ? , 直 线 AB 的 方 程 为 x ? ty ? m ,

---------3 分

y x y x ? ? 1 的焦点为 (0, ?3), c ? 3 ,设双曲线方程为 2 ? ?1 36 27 a 9 ? a2 16 15 ? 1 ,得 a 2 ? 4, 或36 ,而 a 2 ? 9 , 过点 ( 15, 4) ,则 2 ? 2 a 9?a y 2 x2 ? a 2 ? 4 ,双曲线方程为 ? ? 1 。 4 5 3 2 5 4 其离心率为 ,渐近线方程为 ? ? y x, 准线方程为y ? ? . 2 5 3
解:椭圆 19. 求一条渐近线是 3x ? 4 y

2

2

??? ??? ? ? ?OA ? OB ? xA xB +yA yB =(1+t 2 )y A yB +tm(y A +yB )+m2 = ? 4,
即 m2 - 4m ? -4 ,解得 m=2,
2
2

y - 4ty - 4m ? 0 ,根据韦达定理 y A ? yB ? 4t ,即 y A yB ? ?4m , xA xB ? (tyA ? m)(tyB ? m) ? t 2 yA yB ? tm( yA ? yB ) ? m2

显然,不论 t 为何值,直线 AB 恒过定点 (2 , 0) .

x y ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆 C 长轴的左、右端点,点 F 16 20 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且位于 x 轴上方, PA ? PF ? 0
22.点 A、B 分别是以双曲线 (1)求椭圆 C 的的方程; (2)求点 P 的坐标; (3)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,点 M 到直线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到 M 的距离 d 的最小 值。 【解析】 (1)已知双曲线实半轴 a1=4,虚半轴 b1=2 5 ,半焦距 c1= 16 ? 20 ? 6 , ∴椭圆的长半轴 a2=c1=6,椭圆的半焦距 c2=a1=4,椭圆的短半轴 b2 = 62 ? 42 ?

? 0 ,一个焦点是(4,0)的双曲线的标准方程。

x2 y2 解: ? ?1 256 144 25 25
20. 已知直线 l 经过抛物线 x ? 4 y 的焦点,且与抛物线交于 A, B 两点,点 O 为坐标原点.
2

20 ,

Y B A F X O (Ⅰ)证明: ?AOB 为钝角.(Ⅱ)若 ?AOB 的面积为 4 ,求直线 l 的方程;。 解:(I)依题意设直线 l 的方程为: y ? kx ? 1 ( k 必存在)

x2 y2 ? ?1 …………4 分 36 20 (2)由已知 A(?6,0) , F (4,0) ,设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则
∴所求的椭圆方程为

? y ? kx ? 1 ? x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , ? ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 ? 设 直 线 l 与 抛 物 线 的 交 点 坐 标 为 ? 2 x ? 4y ? x2 x 2 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 x2 ? ?4, y1 y2 ? 1 2 ? 1, ? x1x2 ? y1 y2 ? ?3 ? 0 ,依向量的数量积定义, 4 4 cos ?AOB ? 0 即证 ?AOB 为钝角 1 2 2 (Ⅱ) 由(I)可知: AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 4(k ? 1) , d ? , k 2 ?1 1 ? S?AOB ? AB d ? 2 k 2 ? 1 ? 4 ,? k ? ? 3 , ? 直线方程为 y ? 3x ? 1, y ? ? 3x ? 1 2 21.已知点 F (1, 0) ,直线 l : x ? ?1 交 x 轴于点 H ,点 M 是 l 上的动点,过点 M 垂直于 l 的直线与线
段 MF 的垂直平分线交于点 P . (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若 A、B 为轨迹 C 上的两个动点,且 OA ? OB ? ?4, 证明直线 AB

AP ? ( x ? 6, y), FP ? ( x ? 4, y), 由已知得 ? x2 y 2 ? ?1 ? …………6 分 36 20 ? 2 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y ? 0 ? 3 2 则 2 x ? 9 x ? 18 ? 0 ,解之得 x ? 或x ? ?6 , 2 3 5 ?3 5 ? 3 ,所以点 P 的坐标为 ? , 由于 y>0,所以只能取 x ? ,于是 y ? 3 ? ……8 分 2 2 ?2 2 ?
( 3 ) 直 线 AP : x ? 3 y ? 6 ? 0 , 设 点 M 是 (m,0) , 则 点 M 到 直 线 AP 的 距 离 是

m?6 2

,于是

m?6 2
2

? m ? 6 ,又∵点 M 在椭圆的长轴上,即 ? 6 ? m ? 6 ? m ? 2

∴当 m ? 2 时,椭圆上的

点到 M (2,0) 的距离

??? ??? ? ?

5x2 4 9 d ? ( x ? 2) ? y ? x ? 4 x ? 4 ? 20 ? ? ( x ? ) 2 ? 15 9 9 2 9 又 ?6 ? x ? 6 ∴当 x ? 时,d 取最小值 15 2
2 2 2


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