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2013年全国高考广东省理科数学模拟试卷


2013 年全国高考广东省理科数学模拟试卷
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 设全集 U ? R , A ? {x | 2x ( x?2) ? 1} , B ? {x | y ? ln(1 ? x)} ,则图中阴 影部分表示的集合为 A . {x | x ? 1} B . {x | 0 ? x ? 1} C . {x |1 ? x ? 2} D . {x | x ? 1} 2.在复平面内,复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的 中点,则点 C 对应的复数是 (A)4+8i (B)8+2i (C)2+4i (D)4+i 3.设数列 {an } 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, {bn } 是以 1 为首 项,2 为公比的等比数列,则 ab ? ab2 ? ? ? ab10 ? ( A.1033 B.1034 C.2057 D.2058
4 4 俯视图
开始

3

4 正视图 侧视图



4.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是() A.80B.64C. 96 ? 4 3 D.102 5.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,如果 c ? 3a , B ? 30? , 那么角 C 等于( ) A. 60? B. 90 ? C. 120 ? D. 150 ? 6.对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算原理如右图程序框图所示, 则 (3 ? 2) ? 4 的值是( ) A.0 B.
输出

输入 a, b 是

a ? b?



b ?1 a

输出

a ?1 b

1 2
2

C.

3 2

D.9
结束

7.在抛物线 y=x +ax-5(a ≠ 0)上取横坐标为 x1=4,x2=2 的两点,经过两点 2 2 引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x +5y =36 相切,则 (A) (-2,-9) (B)(0,-5) (C) (2,-9) (D)(1,6) 8.一电子玩具可以向左、右、上、下四个方向运动,第次只能运动一个长度单位, 向左、右、上、下四个方向运动一次分别闪红、黄、蓝、紫色灯一次,电子玩具从原 点(0,0)到(8,6)按最短路径运动,上述彩灯闪烁的结果有( ) A.3003 种 B.14 种 C.2162160 种 D.28 种 二、填空题 9.如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? 2 ),且 P( ?3 ? ? ? ?1 )=0.4,则 P( ? ? 1 )= . 10.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量 有 为 6 吨的乙型卡车, 某天需送往 A 地至少 72 吨的货物, 派用的每辆车需载满且只能送一次, 派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡需配 1 名工人;没送一次可得利润 350 元,该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数,可得最大 利润是

11.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点恰好是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,则 m ? m
2

.

12.不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是

13.若(x-2) =a3x +a x +a3x +a2x +a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=______.(用数字作答) 14. 。如图, PA 是圆 O 的切线, A 为切点, PBC 是圆 O 的割线. 若

5

5

5 4

3

2

PB PA 3 ? ______. ,则 ? BC BC 2

15.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ____________

? xy??11??2cos?? 2sin
? ?

,则 C 上各点到 l 的距离的最小值为

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

7? ? 3? ? ? ? ? cos ? x ? ? , x ? R (Ⅰ)求 f ( x) 4 ? 4 ? ? 4 4 ? 的最小正周期和最小值; (Ⅱ) 已知 cos ? ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? ? ? .0 ? ? ? ? ? , 求证: 5 5 2 2 ? f ( ? )? ? 2 ? 0
16.(本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? sin ? x ?

17. 本小题满分 13 分) ( 某产品按行业生产标准分成 8 个等级, 等级系数 X 依次为 1,2, ??, 8,其中 X≥5 为标准 A,X≥为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零 售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两 厂的产品都符合相应的执行标准 (I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示: 5 6 7 8 x
1

P a b 0.4 0.1 且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系 数组成一个样本,数据如下:3 、5、3、3、8、5、5、6、3、4、6 、3、4、7、5、3、4、8、 5、3、8、3、 4、3、4、4、7、5、6、7 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率 视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (III)在(I)(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买 、 性?说明理由. 注: (1)产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学 期望 ; (2) “性价比”大的产品更 产品的零售价

具可购买性.

18.(本小题满分 14 分) OA=OB=OC=1.

如图, 在四面体 ABOC 中,OC⊥OA, OC⊥OB,∠A OB=120°,且

(Ⅰ) 设 P 为 AC 的中点.证明:在 AB 上存在一点 Q,使 PQ⊥OA,并计算= (Ⅱ) 求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值.
[来源:学科网 ZXXK]

AB 的值; AQ

C

P O B

A

x2 ? y 2 ? 1 (常数 m ? 1 ) ,点 P 是 C 上的动点, M 是右顶点,定点 A m2 的坐标为 (2, 0) 。⑴ 若 M 与 A 重合,求 C 的焦点坐标;⑵ 若 m ? 3 ,求 | PA | 的最大值与 最小值;⑶ 若 | PA | 的最小值为 | MA | ,求 m 的取值范围。
19. )已知椭圆 C :

20. (本小题满分 14 分)设 C1 , C2 ,?, Cn ,?是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴

3 x 相切,对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn?1 相互外切, 3 以 rn 表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列. (1)证明:{rn } 为等比数列; (2)设 r1 ? 1 ,求 n 数列 { } 的前 n 项和. rn
的正半轴上,且都与直线 y ?

21.(本小题满分 14 分)已知 a, 为常数,且 a≠0, b 函数 f ( x) ? ?ax ? b ? ax ln x, f (e) ? 2 (e=2.71828…是自然对数的底数).(I) 求实数 b 的值; (II)求函数 f(x)的单调区间; (III)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M) ,使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t ...

?1 ? 与曲线 y=f(x)(x ? ? , e ?) 都有公共点?若存在, 求出最小的实数 m 和最大的 ?e ?
实数 M;若不存在,说明理由. w w w . k s 5 u . c o m 来 源 : 一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 高 考 资 源 网

高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . c o m )

一项是符合题目要求的) 1. 设全集 U ? R , A ? {x | 2x ( x?2) ? 1} , B ? {x | y ? ln(1 ? x)} , 则图中阴影部分表示的集合为

A . {x | x ? 1} B . {x | 0 ? x ? 1}

C . {x |1 ? x ? 2} D . {x | x ? 1}

2.在复平面内,复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对 应的复数是 (A)4+8i (B)8+2i (C)2+4i (D)4+i

3.设数列 {an } 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数 列,则 ab ? ab2 ? ? ? ab10 ? ( ) A.1033 B.1034 3 4.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( A.80 B.64 C. 96 ? 4 3 D.102 ) . 4 正视图 5 . 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 为 角 A, B, C 的 对 边 , 如 果
开始

侧视图

c ? 3a , B ? 30? ,那么角 C 等于(
A. 60? B. 90 ? C. 120 ?

) D. 150 ?

4
输入 a, b 4 俯视图 a ? b?





6.对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算原理如右图程序框 图所示,则 (3 ? 2) ? 4 的值是( C )

输出

b ?1 a

输出

a ?1 b

A.0

B.

1 2
2

C.

3 2

D.9

结束

7.在抛物线 y=x +ax-5(a ≠ 0)上取横坐标为 x1=4,x2=2 的两点,经过两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x +5y =36 相切,则 (A) (-2,-9) (B)(0,-5) (C) (2,-9) (D)(1,6)
2 2

11、 【命题意图】本小题考查函数的导数、切线、抛物线与圆的相关知识,考查代数基本运 算能力,以及综合运用知识解决问题的能力。属于较难题。 【解析】由已知,抛物线经过(-4,11-4a)和(2,2a-1)两点,过这两点的割线斜率为 k=

2a - 1- (11- 4a) =a-2 2 - (- 4)

于是,平行于该割线的直线方程为 y=(a-2)x+b

该直线与圆相切,所以

b2 36 = 2 1 + (a - 2) 5

该直线又与抛物线相切,于是(a-2)x+b=x2+ax-5 有等根 即 x2+2x-5-b=0 的△=0 ? b=-6 代入

b2 36 ,注意到 a≠0,得 a=4 = 2 1 + (a - 2) 5

所以抛物线方程为 y=x2+4x-5=(x+2)2-9 顶点坐标为(-2,-9) 【答案】A 8.一电子玩具可以向左、右、上、下四个方向运动,第次只能运动一个长度单位,向左、 右、上、下四个方向运动一次分别闪红、黄、蓝、紫色灯一次,电子玩具从原点(0,0) 到(8,6)按最短路径运动,上述彩灯闪烁的结果有( ) A.3003 种 B.14 种 C.2162160 种 D.28 种 二、填空题 9.如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? 2 ),且 P( ?3 ? ? ? ?1 )=0.4,则 P( ? ? 1 )= 【答案】0.1 【解析】解析:如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? 2 ),且 P( ?3 ? ? ? ?1 )=0.4, .

? P( ?3 ? ? ? ?1 )= ?(

?1 ? (?1)

?

) ? ?(

?3 ? (?1)

?

2 2 ) ? 0.5 ? ?(? ) ? ?( ) ? 0.5 ,

?

?

2 1 ? (?1) 2 ) ? 1 ? ?( ) ? 0.1 。 ∴ ?( ) ? 0.9 , ∴P( ? ? 1 )= 1 ? ?( ? ? ?

10.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量 有 为 6 吨的乙型卡车, 某天需送往 A 地至少 72 吨的货物, 派用的每辆车需载满且只能送一次, 派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡需配 1 名工人;没送一次可得利润 350 元,该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数,可得最大 利润是 【解析】设派用甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,则

ì 10 x + 6 y 72 ? ? ? ? x + y 12 ? ? ? 2 x + y 19 í ? ? 0 #x 8 ? ? ? ? 0 #y 7 ? ?
利润函数 z=450x+350y 画出可行域如图,当目标函数经过 A(7,5)时,利润 z 最大 为 4900 元 【答案】C

y

A x

0

11.已知双曲线 答案:3。

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点恰好是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,则 m ? m

.

12.不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 解 : 因 为 ?4 ?x

? ? 3 x

1 对 x ? ? 4

2 3 x ? 1?a ? 对a任 意 x 恒 成 立 , 所 以 ? 3?

a2 ? 3a ? 4即a2 ? 3a ? 0,解得a ? 4或a ? ?1

13.若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)31

14. 。如图, PA 是圆 O 的切线, A 为切点, PBC 是圆 O 的割线.若

PB PA 3 ? ______. ,则 ? BC BC 2
答案:

1 。 2

15.11.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : 为____________

? xy??11??2cos?? 2sin
d?

,则 C 上各点到 l 的距离的最小值

1 ?1 ? 4 12 ? 12

【 解 析 】 圆 方 程 为 ( x- 1) ? ?( y ?1) ? 4 , ∴
2 2

?2 2
,∴距离最小值为

2 2 ? 2。
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

7? ? 16.(本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 4 ?

3? ? ? ? ? cos ? x ? 4 ? ?

? ?, x ? R ?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值;

4 4 ? 2 (Ⅱ)已知 cos ? ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? ? ? .0 ? ? ? ? ? ,求证: ? f ( ? ) ? ? 2 ? 0 5 5 2

7? 7? 3? 3? ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin 4 4 4 4 解析: ? 2 sin x ? 2 cos x f ( x) ? sin x cos ? 2sin( x ? ) 4

?

?T ? 2? , f ( x)max ? 2
4 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?? (1) 5 4 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ?? (2) (2) 5 cos ? cos ? ? 0 ?0 ? ? ? ? ?

?
2

? cos ? ? 0 ? ? ?

?
2

? f (? ) ? 2 ? ( f (? ))2 ? 2 ? 0
17. 本小题满分 12 分) ( 某产品按行业生产标准分成 8 个等级, 等级系数 X 依次为 1,2, ??, 8,其中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零 售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两 厂的产品都符合相应的执行标准 (I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

x1
P

5 0.4

6 a

7 b

8 0.1

且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级 系数组成一个样本,数据如下:3 、5、3、3、8、5、5、6、3、4、6 、3、4、7、 5、3、4、8、5、3、8、3、 4、3、4、4、7、5、6、7 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期 望. (III)在(I)(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可 、 购买性?说明理由. 注: (1)产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学 期望 ; 产品的零售价

(2) “性价比”大的产品更具可购买性. 解: (I)因为 EX1 ? 6, 所以5 ? 0.4 ? 6a ? 7b ? 8 ? 0.1 ? 6,即6a ? 7b ? 3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4 ? a ? b ? 0.1 ? 1,即a ? b ? 0.5.

由?

?6a ? 7b ? 3.2, ?a ? 0.3, 解得 ? ?a ? b ? 0.5. ?b ? 0.2.
3 4 5 6 7 8

(II)由已知得,样本的频率分布表如下:

X2

f

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布 列如下:

X2
P 所以

3

4

5

6

7

8

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

EX 2 ? 3P( X 2 ? 3) ? 4P( X 2 ? 4) ? 5P( X 2 ? 5) ? 6P( X 2 ? 6) ? 7 P( X 2 ? 7) ? 8P( X 2 ? 8)
? 3 ? 0.3 ? 4 ? 0.2 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.1 ? 7 ? 0.1 ? 8 ? 0.1 ? 4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:

6 ? 1. 6 4.8 ? 1.2. 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 4
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为 据此,乙厂的产品更具可购买性。 :高考资源网(www.ks5u.com) 18.(本小题满分 14 分) OA=OB=OC=1. 如图, 在四面体 ABOC 中,OC⊥OA, OC⊥OB,∠A OB=120°,且

(Ⅰ) 设 P 为 AC 的中点.证明:在 AB 上存在一点 Q,使 PQ⊥OA,并计算=

AB 的值; AQ

C

P O B

(Ⅱ) 求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值.
[来源:学科网 ZXXK]

A

19. )已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 (常数 m ? 1 ) ,点 P 是 C 上的动点, M 是右顶点,定点 A 2 m

的坐标为 (2, 0) 。⑴ 若 M 与 A 重合,求 C 的焦点坐标;⑵ 若 m ? 3 ,求 | PA | 的最大值与 最小值;⑶ 若 | PA | 的最小值为 | MA | ,求 m 的取值范围。

x2 ? y 2 ? 1, c ? 4 ? 1 ? 3 解:⑴ m ? 2 ,椭圆方程为 4
∴ 左、右焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0) 。



m ? 3 ,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1,设 P( x, y) ,则 9 x2 8 9 1 ? ( x ? )2 ? (?3 ? x ? 3) 9 9 4 2

| PA |2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? ( x ? 2)2 ? 1 ?
9 2 时 | PA |min ? ; 4 2



x?

x ? ?3 时 | PA |max ? 5 。

⑶ 设动点 P( x, y) ,则

| PA |2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 1 ?

x 2 m2 ? 1 2m 2 4m 2 ? ( x ? 2 )2 ? 2 ? 5(?m ? x ? m) m m2 m ?1 m ?1 m2 ? 1 ? 0 ,∴ m2 2m 2 ? m且m ?1 m2 ? 1

∵ 当 x ? m 时, | PA | 取最小值,且 解得 1 ? m ? 1 ? 2 。

20. (本小题满分 14 分)设 C1 , C2 ,?, Cn ,?是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴 的正半轴上,且都与直线 y ?

3 x 相切,对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn?1 相互外切, 3

以 rn 表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列. (1)证明:{rn } 为等比数列; (2)设 r1 ? 1 ,求 数列 { } 的前 n 项和.

n rn

20. (Ⅰ) 解: 将直线 y= 分

3 x 的倾斜角记为 ? , 则有 tan ? = 3

3 1 , ? = sin . …………. 1 2 3

设 Cn 的 圆 心 为 ( ? n , 0 ) 则 由 题 意 知 , 2 ?n ; 同 理 ………….3 分

?n = sin ? = ?n

1 2

, 得 ?n

=

?n?1 ? 2? n?1











?n?1 ? ?n ? ? n ? ? n?1 ? 2? n?1
将 ?n = 2 ?n 代 入 , 解 得

………………5 分 rn+1=3rn . 故 { rn } 为 公 比 q=3 的 等 比 数

列.

………………7 分

(Ⅱ)由于 r1=1,q=3,故 rn=3n-1,从而

n

r

3 =n·

1? n

,………………9 分

n

记 Sn=

1 2 n 3 3 ? ?? ,则有 Sn=1+ 2·-1+3·-2+………+n· 31? n . ?1 ? 2 ?n



Sn 31? n 3? n =1·-1+2·-2+………+(n-1) · +n· . ② 3 3 3 2Sn 1? n 3? n ①-②,得 =1+3-1 +3-2+………+ 3 -n· 3
=

………………11 分 … ……………………12 分

2 3 1 ? 3? n 3? n 3? n - n· = –(n+ )· 2 3 2 3

………………………………13 分

Sn=

9 1 3 31? n – (n+ )· . 4 2 2

………………………………14 分 w.w.w.zxxk.c.o.m

21.(本小题满分 14 分)已知 a, 为常数,且 a≠0, b 函数 f ( x) ? ?ax ? b ? ax ln x, f (e) ? 2 (e=2.71828…是自然对数的底数).(I) 求实数 b 的值; (II)求函数 f(x)的单调区间; (III)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M) ,使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t ... 与曲线 y=f(x)(x ? ? , e ?) 都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M;若不 ?e ? w 存在,说明理由. w w . k s 5 u . c o m 来 源 : 高 考 资 高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . c o m )

?1 ?


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