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高中函数笔记


高中函数(导数) 、不等式的知识结合之学习笔记
总结:杜老师
集合知识: (1)集合的表示(2)空集、子集和真子集(3)交集和并集、全集和补集 不等式知识: (1)不等关系和不等式(2)基本不等式(3)一元二次或高次不等式解法(4) 不等式与简单线性规划(体现代数与几何之间的转化) 函数基本知识: (1)映射与函数的概念(2)函数的表示及三要素{定义域、对应法

则、值 域} (3)抽象函数与法则符号的理解(4)函数的性质{单调性、奇偶性、周期性、对称性} (5)基本初等函数:初中{一次函数(正比例函数) 、二次函数、反比例函数} ,高中{三 角函数(反三角函数) 、指数和对数函数、幂函数(二次函数) 、反函数} (6)函数与方程、 函数图像:体现数型结合思想(8)从实际问题抽象出函数模型进而解决问题:学会数学建 模的实际应用 导数基本知识: (1)导数本质上是一个新的函数,符合函数的基本要求(2)深刻认识导数 作为解决函数问题的一个工具性作用(2)基本求导公式(3)求函数极值和最值的解题过程 (4)深刻理解导函数(图像)和原函数的联系与区别 两个基本问题的解决: (1)解不等式问题:在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符 号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式 子,叫做不等式. (2)不等式恒成立问题:解不等式的逆问题,即知道不等式解集反过去求满足该解集的不 等式参数的问题。我们处理的数学思想:转化思想;我们转化的目标:转化为最值问题,进 而 (在解集或定义域内) 求最值问题; 我们解决的手段或方法: 利用函数观点解决最值问题, 利用不等式知识求解最值问题。我们的收获:解决数学实际(综合)问题往往是将其转化为 与之关联的数学知识或模型进行研究, 体现了利用旧知识解决新问题的思维方式。 数学学习 过程揭示了利用已有知识经验探索未知领域的自然规律。 【典例 1】 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在点 x ? 2 处取得极值 c ? 16 。
3

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [?3,3] 上的最小值。

【举一反三 1】 设 f ( x) ? 2 x3 ? ax2 ? bx ? 1 的导数为 f′ (x), 若 f′ (x)满足 f ' ( x) ? f ' (?1 ? x) , 且原函数 f ( x ) 的图像在点 (1, f ( x)) 处的切线与直线 y ? m (m 为常数)平行。 (1) 求实数 a,b 的值; (2) 求函数 f ( x ) 的极值.

【典例 2】已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ?
2

an 与 x 轴正半轴相交于点 A , 2

设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)当 0 ? a ? 1 时,比较

1 1 1 ? ? ??? ? 与 f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n)

6?

f (1) ? f (n ? 1) 的大小,并说明理由。 f (0) ? f (1)

【举一反三 2】设函数 f ( x) ? x ? In( x ? 1 ? x 2 ) (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? ax ,试求实数 a 的取值范围;
3

(3)令 an ?

1 1 1 6n 1 1 ( ) ? In[( )2 n ? 1 ? ( ) 4 n ](n ? N * ) , 试证明:a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? . 3 9 2 2 2

【典例 3】设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

‘ x ?1 【举一反三 3】已知函数 f(x)满足满足 f(x)= f (1)e ? f (0) x ?

1 2 x 2

(1)求 f(x)的解析式及单调区间; (2)若 f(x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求(a+1)b 的最大值 2

【典例 4】已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围;
2

(Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

【举一反三 4】设函数 f ( x) ? ex ?1 ? x ? ax2 。 (1)若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围


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