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空间向量及其运算


任丘一中数学新授课导学案

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§3.1 空间向量及其运算
学习目标
1. 掌握空间向量的基本概念; 2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;理解共线向量定理和 共面向量定理及它们的推论; 3.掌握空间向量的数量积运算; 4.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 教学重点:空间向量的基本概念和运算;空间向量相关性质的应用。 教学难点:空间向量的基本概念和运算;空间向量相关性质的应用。

学习过程
使用说明: (1)预习教材,用红色笔画出疑惑之处,并尝试完成下列问题,总结规律方法; (2)用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容; (3)不做标记的为 C 级,标记★为 B 级,标记★★为 A 级。

预习案(20 分钟)
一.知识链接 1.平面向量中的基本概念有哪些? 2.平面向量的基本运算有哪些? 3.如何用向量来表示平行和垂直? 4.平面向量共线基本定理?

探究案(30 分钟)
二.新知探究 问题 1:空间向量的相关概念和运算: 在空间,我们把具有 度) ; 向量; 叫相等向量. 问题 2: 空间向量的加、 减法运算和数乘运算: 1.空间向量的加、减法运算: 空间任意两个向量都可以平移到同一平 面内,变为两个平面向量的加法和减法运算, 平面中学的三角形法则和平行四边形法则也
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的量叫做空间向量,

叫向量的模(或长 叫单位 ;

叫零向量,记做 ; ? 叫相反向量, a 的相反向量记做

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??? ? 适用。例如右图中, OB ?

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??? ? AB ?

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2. 实数与向量的积: ? 实数 ? 与向量 a 的积是一个 ? (1)| ? a |= . ? ? (2)当 ? >0 时,? a 与 a 方向 .

量,记作

,其长度和方向规定如下:

? ? ; ? <0 时,? a 与 a 当

? ; ? =0 时,? a = 当



试试:点 C 在线段 AB 上,且

???? AC 5 ? ,则 AC ? CB 2

??? ? AB ,

??? ? BC ?

??? ? AB .

3. 向量加法和数乘运算,有以下运算律成立。 加法交换律: 数乘分配律: ;加法结合律: . ;

? ? ? ? ? ? 思考:如果有 a ? b ? a ? c 是否能推出 b ? a ?
问题 3:空间向量共线: 1.定义: 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ,则

这些向量叫共线向量,也叫平行向量. ? ? ? ? ? ? 2. 定理:对空间任意两个向量 a, b ( b ? 0 ) a // b 的充要条件是存在唯一实数 ? ,使 , 得 .

推论:如图, l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线,对 空间的任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件 ? 是: ,其中向量 a 叫做直线 l ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? 的 .在 l 上取 AB = a 则上式可化为 OP ? OA ? t AB =

??? ? OA +

??? ? OB .

??? ? ??? ? ??? ? 思考:已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 OP ? xOA ? yOB ,且 x+y=1,则 A,B,P

三点共线吗?反之也成立吗?

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问题 4:空间向量共面 1.共面向量: 同一平面的向量.
? ? ? ? ?? 2. 定 理 : 对 空 间 两 个 不 共 线 向 量 a, b , 向 量 p 与 向 量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存



, 使得

.

推论:空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是: ⑴ 使 ⑵ 对空间任意一点 O,有 存在 . ,

??? 1 ??? 1 ??? 1 ???? ? ? ? 试试:若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 OP ? OA ? OB ? OC ,则 2 3 6

点 P 与 A,B,C 共面吗?
??? ? ??? ? ??? ? ???? 规纳总结:若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC ,

且点 P 与 A,B,C 共面,则 x ? y ? z ? 1.反之也成立. 三.新知应用 【知识点一】空间向量概念的应用 例 1.给出下列命题: ①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆; ②若空间向量 a、b 满足|a|=|b|,则 a=b; ????? ③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有 AC= A1C1 ; ④若空间向量 m、n、p 满足 m=n,n=p,则 m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中假命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

【知识点二】空间向量的运算 例 2. 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' (如图) ,化简 下列向量表达式,并标出化简结果的向量:
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???? ???? ? ⑴ AB ? BC ;

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???? ???? ???? ? ? ⑵ AB ? AD ? AA ';

???? ???? 1 ????? ? ⑶ AB ? AD ? CC ' ; 2 ? ? 1 ???? ???? ???? ⑷ ( AB ? AD ? AA ' ). 2

变式:在四面体 ABCD 中,M 为 BC 的中点,Q 为△BCD 的重心,设 AB=b AC=c AD=d,试 用 b,c,d 表示向量 BD , BM , DM 和 AQ .?

【知识点三】证明共线、共面问题 例 3. 下列等式中,使 M,A,B,C 四点共面的个数是( )
???? ??? ??? ???? ? ? ? ? ① OM ? OA ? OB ? OC; ???? ???? ???? ? ? ③ MA ? MB ? MC ? 0;

???? 1 ??? 1 ??? 1 ???? ? ? ? ? ② OM ? OA ? OB ? OC; 5 3 2 ???? ??? ??? ???? ? ? ? ? ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

例 4.已知四边形 ABCD 是空间四边形,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 CB、CD 上的点,且 CF =

2 2 CB , CG = CD .求证:四边形 EFGH 是梯形. 3 3

例 5. 如图, 已知平行四边形 ABCD,过平面 AC 外一点 O 作射线 OA,OB,OC,OD,在四条射线 上分别取点 E,,F,G,H,并且使 求证:E,F,G,H 四点共面.
OE OF OG OH ? ? ? ? k, OA OB OC OD

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随堂评价(15 分钟)
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为(
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).

※ 当堂检测(时量:15 分钟 满分:30 分)计分:
1.空间的任意三个向量 a,b,3a-2b,它们一定是( A.共线向量 C.不共面向量 2. )

B.共面向量 D.既不共线也不共面向量

已知 P,A,B,C 四点共面且对于空间任一点 O 都有 OP =2 OA +

4 OB +λ OC , 3

则λ =_____.? 3. 化简: AB ? CD ) ? ( AC ? BD ) ( 2.若 a,b 是平面 α 内的两个向量,则( )

A.α 内任意一向量 p=λ a+μ b(λ ,μ ∈R) B.若存在 λ ,μ ∈R 使 λ a+μ b=0,则 λ =μ =0 C.若 a,b 不共线,则空间任一向量 p=λ a+μ b(λ ,μ ∈R) D.若 a,b 不共线,则 α 内任一向量 p=λ a+μ b(λ ,μ ∈R) 3.有 4 个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a、b 共面; ②若 p 与 a、b 共面,则 p=xa+yb; ③若? MP = x MA +y MB ,则 P、M、A、B 共面;?
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④若 P、M、A、B 共面,则 MP = 其中真命题的个数是( A.1 B.2 )

x MA +y MB

C.3

D.4

4. 设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足? AB ·? AC =0, AC · AD = 0, ? AB ·? AD = 0,则△BCD 是 A.钝角三角形 C.直角三角形 ( )

B.锐角三角形 D.不确定 )

5. 如图所示, 已知 PA⊥平面 ABC, ABC=120°, =AB=BC=6, PC 等于( ∠ PA 则

A.6

2

B.6

C.12

D.144

6.若四边形 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶 点 D 的坐标为( ) B.(2,3,1)
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?7 ? A.? ,4,-1? 2 ? ?

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C.(-3,1,5)

D.(5,13,-3)

7. 在△ABC 中,已知 AB =(2,4,0) BC =( ? 1,3,0) , ,则∠ABC=____.

8.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,二面角 C—AB—D 的余弦值为

3 , 3

M、N 分别是 AC、BC 的中点,则 EM、AN 所成角的余弦值等于________.

10.命题①若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线;②向量 a,b,c 共面,则它 们所在直线也共面;③若 a 与 b 共线,则存在惟一的实数 λ ,使 b=λ a;④若 A,B,C → 1→ 1→ 1→ 三点不共线,O 是平面 ABC 外一点,OM= OA+ OB+ OC,则点 M 一定在平面 ABC 上,且 3 3 3 在△ABC 内部.上述命题中真命题是________.

11.已知|a|=3 2,|b|=4,m=a+b,n=a+λ b, a,b〉=135°,m⊥n,则 λ 〈 =________.

12. 在四面体 O-ABC 中, OA =a, OB =b,? OC =c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的 中点,则? OE = _____(用 a, b, c 表示).?

13.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,且 PA =AD=2,E、F 分别为棱 AD、PC 的中点.求异面直线 EF 和 PB 所成的角的大小.

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14.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以 AB 、 AC 为边的平行四边形的面积;? (2)若|a|=

3 且 a 分别与 AB 、 AC 垂直,求向量 a 的坐标.?

例 3、已知四边形 ABCD 是空间四边形,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 CB、
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CD 上的点,且 CF =

2 2 CB , CG = CD .求证:四边形 EFGH 是梯形. 3 3

例 4、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点. 证明:向量 A1 B , B1C , EF 是共面向量.

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