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四川省眉山中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷


2015-2016 学年四川省眉山中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入括号内. ) 1.下列集合中,只有一个子集的集合是( ) 2 3 A.{x|x ≤0} B.{x|x ≤0} C.{x||x|<0} D.{x|(﹣x)3≤0} 2.下列

各组中的函数相等的是( A.f(x)= ,g(x)=( ) )2 B.f(x)=|x|,g(x)=

C.f(x)=

,g(x)=x+1

D.f(x)=

,g(x)=

3.下列函数是偶函数的是( A.y=x B.y=x2,x∈[0,1]

) C.y=x D.y=2x2﹣3

4.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( A.y=|x| B.y=3﹣x C.y= D.y=﹣x2+4

)

5.函数 y=ax2+bx+3 在(﹣∞,﹣1]上是增函数,在[﹣1,+∞)上是减函数,则( A.b>0 且 a<0 B.b=2a<0 C.b=2a>0 D.a,b 的符号不确定 6.函数 y=2﹣|x|的大致图象是( )

)

A.

B.

C.

D.

7.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D. (0,1)

的定义域是(

)

8.已知有三个数 a=(

)﹣2,b=40.3,c=80.25,则它们之间的大小关系是(

)

A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a

9.计算

,结果是(

)

A.1

B.

C.

D.

10.设函数

若 f(x)是奇函数,则 g(2)的值是(

)

A.

B.﹣4 C.

D.4

11.函数 y=( ) A.[ )

的值域为(

) D. (0,2]

B. (﹣∞,2] C. (0, ]

12.设函数 y=f(x)在(﹣∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数:fK(x) = 单调递减的是( A. (﹣∞,0) ) B. (﹣a,+∞) C. (﹣∞,﹣1) D. (1,+∞) 取函数 f(x)=a﹣|x|(a>1) .当 K= 时,函数 fK(x)在下列区间上

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.若指数函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图象过点 ,则 f(﹣2)=__________.

14.若函数 f(x)=(1﹣2a)x 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是__________.

15.函数

的增区间是__________.

16.下列几个命题 ①奇函数的图象一定通过原点 ②函数 y= 是偶函数,但不是奇函数

③函数 f(x)=ax﹣1+3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是(1,4) ④若 f(x+1)为偶函数,则有 f(x+1)=f(﹣x﹣1)

⑤若函数 f(x)=

在 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为[4,8)

其中正确的命题序号为__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.已知集合 A={x|x2+3x﹣4≥0} B={x| (1)求集合 A、B; (2)求 A∪B, (CRB)∩A. 18.已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=﹣x2+2x. (1)求 f(x)的解析式; (2)在如图的直角坐标系中画出函数求 f(x)的图象,并求不等式 f(x)<0 的解集. <1}

19.某公司生产一种商品的固定成本为 200 元,每生产一件商品需增加投入 10 元,已知总收 益满足函数:g(x)= 其中 x 是商品的月产量.

(1)将利润表示为月产量的函数 f(x) (总收益=总成本+利润) ; (2)当月产量为何值时公司所获利润最大?最大利润为多少元? 20.若 f(x)是定义在(0,+∞) ,对一切 x,y>0,满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,且当 x>1 时,f(x)>0 (1)证明:f(x)在(0,+∞)是增函数; (2)若 f(2)=1,解不等式 f(x+3)﹣f( )<2.

21.设函数 f(x)=

(1)若 f(a)=3,求实数 a 的值; (2)若 f(x)>1,求实数 x 的取值范围.

22.已知定义在 R 上的函数 f(x)=

是奇函数

(1)求 a,b 的值; (2)判断 f(x)的单调性,并用单调性定义证明; (3)若对任意的 t∈(﹣∞,1],不等式 f(1+2t)+f(k?4t)<0 恒成立,求实数 k 的取值范 围.

2015-2016 学年四川省眉山中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入括号内. ) 1.下列集合中,只有一个子集的集合是( ) 2 3 A.{x|x ≤0} B.{x|x ≤0} C.{x||x|<0} D.{x|(﹣x)3≤0} 【考点】子集与真子集. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】根据集合元素的个数与子集的个数关系,可以推出集合为空集,从而推出正确选项; 【解答】解:对于 A={0}的子集有两个,A 不正确; 对于 B,{x|x3≤0}={x|x≤0},有无数个元素,子集也有无数个,所以不正确, 对于 C,不等式无解,是空集,只有一个子集,所以正确. 对于 D,{x|﹣x3≤0}={x|x≥0},与 A 类似,不正确. 故选 C. 【点评】此题主要考查子集的性质,以及空集的定义,是一道基础题. 2.下列各组中的函数相等的是( A.f(x)= ,g(x)=( ) )2 B.f(x)=|x|,g(x)=

C.f(x)=

,g(x)=x+1

D.f(x)=

,g(x)=

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】判断两个函数的定义域以及对应法则是否相同,推出结果即可. 【解答】解:f(x)= f(x)=|x|,g(x)= ,g(x)=( )2 两个函数的定义域不相同,所以不是相同函数.

,两个函数的定义域相同,对应法则相同,是相同函数.

f(x)=

,g(x)=x+1 两个函数的定义域不相同,所以不是相同函数.

f(x)=

,g(x)=

两个函数的定义域不相同,所以不是相同函数.

故选:B. 【点评】本题考查函数的定义域以及函数对应法则的应用,是基础题. 3.下列函数是偶函数的是( A.y=x B.y=x2,x∈[0,1] 【考点】函数奇偶性的判断. ) C.y=x D.y=2x2﹣3

【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据偶函数的定义可得,只有当函数的定义域关于原点对称,且以﹣x 代替 x 后,所 得到的函数值不变,函数是偶函数,检验各个选项中的函数是否满足这两个条件. 【解答】 解:根据偶函数的定义可得,只有当函数的定义域关于原点对称, 且以﹣x 代替 x 后, 所得到的函数值不变, 这个函数才是偶函数. 经检验只有 D 中的函数满足条件. 故选:D. 【点评】本题主要考查偶函数的定义以及判断方法,属于基础题. 4.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( A.y=|x| B.y=3﹣x C.y= D.y=﹣x2+4 )

【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】阅读型. 【分析】本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题.在解答时, 可以结合选项逐一进行排查,排查时充分考虑所给函数的特性:一次函数性、幂函数性、二 次函数性还有反比例函数性.问题即可获得解答. 【解答】解:由题意可知: 对 A:y=|x|= ,易知在区间(0,1)上为增函数,故正确;

对 B:y=3﹣x,是一次函数,易知在区间(0,1)上为减函数,故不正确; 对 C:y= ,为反比例函数,易知在(﹣∞,0)和(0,+∞)为单调减函数,所以函数在(0, 1)上为减函数,故不正确; 对 D:y=﹣x2+4,为二次函数,开口向下,对称轴为 x=0,所以在区间(0,1)上为减函数, 故不正确; 故选 A. 【点评】此题是个基础题.本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性 的问题.在解答的过程当中充分体现了对不同基本初等函数性质的理解、认识和应用能力.值 得同学们体会反思. 5.函数 y=ax2+bx+3 在(﹣∞,﹣1]上是增函数,在[﹣1,+∞)上是减函数,则( A.b>0 且 a<0 B.b=2a<0 C.b=2a>0 D.a,b 的符号不确定 【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】 利用对称轴的公式求出对称轴, 根据二次函数的单调区间得到 得到选项. 【解答】解:∵函数 y=ax2+bx+3 的对称轴为 ∵函数 y=ax2+bx+3 在(﹣∞,﹣1]上是增函数,在[﹣1,+∞)上是减函数 , )

∴ ∴b=2a<0 故选 B 【点评】解决与二次函数有关的单调性问题,一般要考虑二次函数的开口方向、对称轴. 6.函数 y=2﹣|x|的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】指数函数的图像变换. 【专题】数形结合. 【分析】对函数进行转化为分段函数,当 x≥0 时,函数表达式为 y=( )x,而当 x>0 时,函 数表达式为 y=2x,然后再用基本函数 y=ax 的图象进行研究. 【解答】解:函数 y=2﹣|x=

∵2>1,

且图象关于 y 轴对称

∴函数图象在 y 轴右侧为减函数,y≤1 左侧为增函数,y≤1 故选 C 【点评】本题主要考查由指数函数进行的绝对值变换,一般地,通过去绝对值转化为分段函 数,每段用基本函数研究,对称区间上的图象,则由奇偶性或对称性研究.

7.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D. (0,1)

的定义域是(

)

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据 f(2x)中的 2x 和 f(x)中的 x 的取值范围一样得到:0≤2x≤2,又分式中分母 不能是 0,即:x﹣1≠0,解出 x 的取值范围,得到答案. 【解答】解:因为 f(x)的定义域为[0,2],所以对 g(x) ,0≤2x≤2 且 x≠1,故 x∈[0,1) , 故选 B. 【点评】本题考查求复合函数的定义域问题. )﹣2,b=40.3,c=80.25,则它们之间的大小关系是(

8.已知有三个数 a=(

)

A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.

【分析】先判断出 a∈(0,1) ,b,c∈(1,+∞) ,再用指数的运算性质,将指数式化为同底式, 进而可以比较大小. 【解答】解:a=( )﹣2= ∈(0,1) ,

b=40.3=20.6>1,c=80.25=20.75>1, 且 20.75>20.6, 故 a<b<c, 故选:B 【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性,指数式比较大小,难度中档.

9.计算

,结果是(

)

A.1

B.

C.

D.

【考点】有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题. 【分析】通过变分数指数幂为根式,分母有理化及结合非 0 实数的 0 次幂为 1 化简求得结果. 【解答】解:

= = .

故选 B. 【点评】本题考查有理指数幂的化简求值,是基础题.

10.设函数

若 f(x)是奇函数,则 g(2)的值是(

)

A.

B.﹣4 C.

D.4

【考点】奇函数;函数的值. 【专题】计算题. 【分析】由 f(x)是奇函数得 f(x)=﹣f(﹣x) ,再由 x<0 时,f(x)=2x,求出 g(x)的 解析式,再求出 g(2)的值. 【解答】解:∵f(x)为奇函数,x<0 时,f(x)=2x, ∴x>0 时,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2﹣x= 即 , . ,

故选 A. 【点评】本题考查了利用奇函数的关系式求函数的解析式,再求出函数的值,注意利用负号 对自变量进行范围的转化.

11.函数 y=( ) A.[ )

的值域为(

) D. (0,2]

B. (﹣∞,2] C. (0, ]

【考点】函数的值域. 【专题】计算题. 【分析】由二次函数可得 x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1≥﹣1,由复合函数的单调性,结合指数函数的 单调性和值域可得答案. 【解答】解:令函数 t(x)=x2﹣2x,由二次函数的知识可知: 当 x=1 时,函数 t(x)取到最小值﹣1,故 t(x)≥﹣1, 因为函数 y= 为减函数,故 ≤ =2

又由指数函数的值域可知, 故原函数的值域为: (0,2] 故选 D 【点评】本题为函数值域的求解,熟练掌握二次函数和指数函数以及复合函数的单调性是解 决问题的关键,属基础题. 12.设函数 y=f(x)在(﹣∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数:fK(x) = 取函数 f(x)=a﹣|x|(a>1) .当 K= 时,函数 fK(x)在下列区间上

) 单调递减的是( A. (﹣∞,0) B. (﹣a,+∞) C. (﹣∞,﹣1) D. (1,+∞) 【考点】函数的单调性及单调区间. 【专题】计算题;压轴题;新定义. 【分析】先求出新函数的分界值,在利用定义求出新函数的解析式,最后利用指数函数的单 调性求出结论即可. 【解答】解:因为 ?x=﹣1,x=1,

所以:fK(x)=

=



因为 a>1, 所以当 x≤﹣1 时,函数递增, 当﹣1<x<1 时,为常数函数, 当 x≥1 时,为减函数. 故选 D. 【点评】本题是在新定义下对函数单调性以及单调区间的综合考查.在作带有新定义的题目 时,一定要先理解定义,再用定义作题.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.若指数函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图象过点 ,则 f(﹣2)=4.

【考点】指数函数的图像与性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】设出指数函数,将已知点代入求出待定参数,求出指数函数的解析式即可. 【解答】解:设指数函数为 y=ax(a>0 且 a≠1) 将 代入得 =a1 ,

解得 a= ,所以 则 f(﹣2)=

故答案为 4. 【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式.若知函数模型求解析式时,常用此法. 14.若函数 f(x)=(1﹣2a)x 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是(0, ) . 【考点】函数单调性的性质. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】若函数 f(x)=(1﹣2a)x 在 R 上是减函数,则 0<1﹣2a<1,解得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)=(1﹣2a)x 在 R 上是减函数, ∴0<1﹣2a<1, 解得:a∈(0, ) , 故答案为: (0, ) 【点评】 本题考查的知识点是指数函数的单调性, 将已知转化为底数 0<1﹣2a<1 是解答的关 键.

15.函数

的增区间是[﹣1,1].

【考点】复合函数的单调性;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由于函数 在其定义域上为增函数, 因此要求函数 再与函数函数 【解答】解:函数 的增区间即求函数 t=﹣x2+2x+3 的增区间, 的定义域求交集即可. 是由函数 复合而成的, 是由函数 复合而成的,而函数



在其定义域上为增函数, 的增区间即求函数 t=﹣x2+2x+3 的增区间,

∴要求函数

由于函数 t=﹣x2+2x+3 的增区间为(﹣∞,1], 又由函数 故函数 的定义域为[﹣1,3], 的增区间是[﹣1,1].

故答案为:[﹣1,1]. 【点评】本题主要考查简单复合函数的单调性的关系.属基础题. 16.下列几个命题 ①奇函数的图象一定通过原点 ②函数 y= 是偶函数,但不是奇函数

③函数 f(x)=ax﹣1+3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是(1,4) ④若 f(x+1)为偶函数,则有 f(x+1)=f(﹣x﹣1)

= ⑤若函数 f (x)

在 R 上的增函数, 则实数 a 的取值范围为[4, 8)

其中正确的命题序号为③⑤. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】函数思想;定义法;平面向量及应用. 【分析】①若在原点无意义,则奇函数图象就不过原点; ②可整理为 y=0; ③横过的含义为无论参数 a 取何值,函数都过某一点; ④利用偶函数的定义自变量 x 取相反数,函数值不变; ⑤分段函数要使在整个区间单调,则必须每个区间都有相同的单调性,且在临界处满足单调 性. 【解答】解:①奇函数的图象关于原点对称,若在原点有意义,则一定通过原点,故错误; ②函数 y= 的定义域为{﹣1,1},整理后 y=0,即是偶函数,又是奇函数,

故错误; ③a0=1,当 x=1 时,f(1)=4,函数 f(x)=ax﹣1+3 的图象一定过定点 P(1,4) ,故正确; ④若 f(x+1)为偶函数,由偶函数定义可知 f(﹣x+1)=f(x+1) ,故错误;

⑤若函数 f(x)=

在 R 上的增函数,

∴a>1,且 4﹣ >0,f(1)≤a, ∴实数 a 的取值范围为[4,8)故正确; 故正确额序号为③⑤.

【点评】考查了函数的奇偶性,分段函数的单调性问题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.已知集合 A={x|x2+3x﹣4≥0} B={x| <1}

(1)求集合 A、B; (2)求 A∪B, (CRB)∩A. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;不等式的解法及应用;集合. 【分析】 (1)解二次不等式和分式不等式,可得集合 A、B; (2)再由集合交集,交集,补充的定义,可得 A∪B, (CRB)∩A. 2 【解答】解: (1)解 x +3x﹣4=0 得:x=﹣4,或 x=1, 故集合 A={x|x2+3x﹣4≥0}=(﹣∞,﹣4]∪[1,+∞) , 可化为: 故集合 B={x| ,

<1}=(﹣1,2) ,

(2)A∪B=(﹣∞,﹣4]∪[1,+∞)∪(﹣1,2)=(﹣∞,﹣4]∪(﹣1,+∞) , CRB=(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) , C B A= 4 ∴( R )∩ (﹣∞,﹣ ]∪[2,+∞) 【点评】本题考查的知识点是不等式的解法,集合的交集,并集,补集运算,难度中档. 18.已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=﹣x2+2x. (1)求 f(x)的解析式; (2)在如图的直角坐标系中画出函数求 f(x)的图象,并求不等式 f(x)<0 的解集.

【考点】函数的图象;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】应用题;函数思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据函数奇偶性的性质,利用对称性进行求解即可. (2)画图,并由图象得到结论. 【解答】解: (1)设 x<0,则﹣x>0, ∴f(﹣x)=﹣(﹣x)2﹣2x=﹣x2﹣2x, ∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,f(0)=0, 2 ∴f(x)=x +2x,

∴f(x)=



(2)其图象如图所示, 由图象可知,f(x)<0 的解集为(﹣2,0)∪(2,+∞) .

【点评】本题考查函数解析式的求解,利用了奇函数的性质 f(x)=﹣f(﹣x) ,以及函数图象 的画法和不等式的解法,属于基础题. 19.某公司生产一种商品的固定成本为 200 元,每生产一件商品需增加投入 10 元,已知总收 益满足函数:g(x)= 其中 x 是商品的月产量.

(1)将利润表示为月产量的函数 f(x) (总收益=总成本+利润) ; (2)当月产量为何值时公司所获利润最大?最大利润为多少元? 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利润=收益﹣成本,由已知分两段当 0≤x≤40 时,和当 x>40 时,求出利润函数 的解析式; (2)分段求最大值,两者大者为所求利润最大值. 【解答】解: (1)由于月产量为 x 件,则总成本为 200+10x, 从而利润 f(x)= ,

即有 f(x)=



(2)当 0≤x≤40 时,f(x)=﹣ (x﹣30)2+250, 所以当 x=30 时,有最大值 250; 当 x>40 时,f(x)=600﹣10x 是减函数, 所以 f(x)=600﹣10×40=200<250.

所以当 x=30 时,有最大值 250, 即当月产量为 30 件时,公司所获利润最大,最大利润是 250 元. 【点评】本题考查函数模型的应用:生活中利润最大化问题.函数模型为分段函数,求分段 函数的最值,应先求出函数在各部分的最值,然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最 大值,取各部分的最小者为整个函数的最小值. 20.若 f(x)是定义在(0,+∞) ,对一切 x,y>0,满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,且当 x>1 时,f(x)>0 (1)证明:f(x)在(0,+∞)是增函数; (2)若 f(2)=1,解不等式 f(x+3)﹣f( )<2. 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】综合题;转化思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用函数单调性的定义即可证明 f(x)在定义域上是增函数; (2)将不等式 f(x+3)﹣f( )<2.行等价转化,利用函数的单调性进行求解. 【解答】 (1)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2, 则 >1,则 f( )>0,

又 f(x?y)=f(x)+f(y) , ∴f(x1)+f( )=f(x2) ,

则 f(x2)﹣f(x1)=f(

)>0,

∴f(x2)>f(x1) , ∴f(x)在定义域内是增函数. (2)解:∵f(2)=1, ∴f(2×2)=f(2)+f(2)=1+1=2,即 f(4)=2, 则不等式 f(x+3)﹣f( )<2 等价为 f(x+3)﹣f( )<f(4) , 即 f(x+3)<f( )+f(4)=f( ) ,

则不等式等价为

,即



即﹣3<x<

, ) .

即不等式的解集为(﹣3,

【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及不等式的求解,根据抽象函数的关系,利用赋 值法是解决抽象函数的基本方法,

21.设函数 f(x)=

(1)若 f(a)=3,求实数 a 的值; (2)若 f(x)>1,求实数 x 的取值范围. 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;分类讨论;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)分段讨论,代入求值即可, (2)分段讨论,分别求出其不等式的解集. 【解答】解: (1)∵f(a)=3 ﹣a 当 2 ﹣1=3 时,解的 a=﹣2,符合题意, 当 a=3 时,解的 a=6,符合题意 综上:a=﹣2 或 a=6, (2)当 2﹣x﹣1>1 时,即 2﹣x>2 解得 x<﹣1, 当 x>1 时,解的 x>2, 综上所述不等式的解集为(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) . 【点评】本题考查了分段函数的应用,以及指数函数的图象和性质,关键是分段讨论,属于 基础题.

22.已知定义在 R 上的函数 f(x)=

是奇函数

(1)求 a,b 的值; (2)判断 f(x)的单调性,并用单调性定义证明; (3)若对任意的 t∈(﹣∞,1],不等式 f(1+2t)+f(k?4t)<0 恒成立,求实数 k 的取值范 围. 【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;函数恒成立问题. 【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用奇函数的定义将问题转化为恒成立问题,利用对应系数相等获得解答, (2)先在定义域上取值,再作差、变形,变形彻底后根据式子的特点,讨论判断符号、下结 论; (3)对任意的 t∈(﹣∞,1],不等式 f(1+2t)+f(k?4t)>0 恒成立,得﹣k?4t<(1+2t) , ﹣k<{ + }min,t∈(﹣∞,1],即可获得解答. 是奇函数,

【解答】解: (1)∵定义在 R 上的函数 f(x)=

∴f(﹣x)=

=﹣



∴b=1,a=1; (2)f(x)= =﹣1+ 在 R 上是单调增函数.

设 0<x1<x2,则有 f(x1)﹣f(x2)=﹣1+ ∵0<x1<x2, ∴f(x1)﹣f(x)<0,即 f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)= ∵函数是奇函数, ∴f(x)= 在 R 上是单调增函数.

+1﹣

=

在区间(0,+∞)上是单调递增函数,

(3)函数 y=f(x)为奇函数且在 R 上为增函数 由对任意的 t∈(﹣∞,1],不等式 f(1+2t)+f(k?4t)>0 恒成立, 得﹣k?4t<(1+2t) , ∴﹣k< ∴﹣k<{ ∴﹣k< , ∴k>﹣ . 【点评】本题考查的是函数的奇偶性和单调性问题.在解答的过程当中充分体现了恒成立思 想.函数单调性的证明方法:定义法,关键是变形一定彻底,直到能明显的判断出符号为止. + + 对一切 t∈(﹣∞,1]恒成立 }min,t∈(﹣∞,1],


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