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嘉兴市2014—2015学年第一学期期末检测 高三理科数学 试题及答案


嘉兴市 2014—2015 学年第一学期期末检测 高三理科数学 试题卷 第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合 M ? { x | x ? ?2 或 x ? 4} ,? R N ? { x | 2 ? x ? 6} ,则 M ? N ? A. ( ??,?2] ? [6,??) C. ( ??,2) ? [4,??) B. ( ??,?2] ? (6,??) D. ( ??,2] ? [4,??) (2015.1)

2.设 a ? R ,则“ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0 平行”的 A. 充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 已知等比数列 ?a n ?的公比为正数,且 a1 ? a7 ? 2a3 2 ,若 a2 ? 2 ,则 a1 ? A.1 B.4 C.
2

D. 2 2

4.平面向量 a , b 满足 a ? 2 , a ? b ? 4 ,且向量 a 与向量 a ? b 的夹角为 A.2 B. 2 3 C. 2 5

?
3

,则 b 为

D. 2 5 ? 2 3

5.某组合体的三视图如图所示,其中俯视图的扇形中心角为 60 ? ,则该几何体的体积为 A. 3 ?

?
3 2? 3

B. 3 ?

2? 3

1

1

1

C. 3 3 ?

D. 3 3 ? 2?
3

6.已知锐角 ? 满足 cos 2? ? cos( 则 sin 2? 等于 A.

?
4

? ?) ,
正视图 2
2 2 俯视图

侧视图

1 2

B. ?

1 2

(第 5 题)

高三理科数学

试题卷

第 1 页(共 6 页)

C.

2 2

D. ?

2 2

7

? ?y ? 2 7. 已知实数 x , y 满足 ? , 若可行域内存在点使得 x ? 2 y ? a ? 0 成立, 则 a 的最大 ? ?y ? x ?1
值为 A. ? 1 B. 1 C. 4 D. 5

x?0 ?log3 x , ? 8.已知函数 f ( x ) ? ?log ( ? x ), x ? 0 ,若 f ( m ) ? f ( ? m ) ,则实数 m 的取值范围是 1 ? ? 3

A. ( ?1,0) ? (0,1) C. ( ?1, 0) ? (1, ? ? ) 9.如图所示,已知双曲线

B. ( ??, ? 1) ? (1, ? ? ) D. ( ??, ? 1) ? (0, 1)
x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a 2 b2

y

B

的左焦点为 F ,过 F 作斜率为 1 的直线交双曲线 的渐近线于 A , B 两点,且 OB ? 2 OA ,则该 双曲线的离心率为 A.
10 3

A

F

O

x

B. 10 C. 2 D. 2 2 (第 9 题)

?? ? ? 10. 正四面体 ABCD 的棱长为 2 ,棱 AD 与平面 ? 所成的角 ? ? ? , ? ,且顶点 A 在平面 ?3 2?

? 内, B , C , D 均在平面 ? 外,则棱 BC 的中点 E 到平面 ? 的距离的取值范围是
? 3 ? A. ? , 1? ? 2 ? ? ? ? 3? 2 3 ? 2? C. ? , ? 2 2 ? ? ? ? ? 3? 2 ? B. ? , 1? 2 ? ? ? ? ? 3? 2 ? D. ? , 3? 2 ? ? ? ?
?
高三理科数学 试题卷 第 2 页(共 6 页)

D

B
E?
C

A

(第 10 题)

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 a 7 ? ?2, S 9 ? 18 ,则 S 11 ? ▲ .

12.抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 P ( ?3, m ) 到焦点的距离为 5 ,则抛物线的标准 方程为 ▲ .

13.过点 (1, ? 1) 且与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直的直线为 l ,则 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 截得的长度 为 ▲ .
2 x ?1 2x ? 1

14. 函数 f ( x ) ?

? x ? R ? ,则此函数的值域为





? 1? 15. 若函数 f ( x) ? sin2 ?? x (? ? 0) 的图象在区间 ?0, ? 上至少有两个最高点和两个最低 ? 2?

点,则 ? 的取值范围是 16.已知 a ? 0 , b ? 0 ,且



. ▲
P

1 1 ? ? 1 ,则 a ? 2b 的最小值为 2a ? b b ? 1
A


D

17.在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中,点 P 为直线 AD 上的动点,则 PB ? PC ? BC 的 最小值是 ▲ .
B
2

C

(第 17 题) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 4 sin B ? cos C 的取值范围.

sin A ? sin B b ? c . ? sin C a?b

高三理科数学

试题卷

第 3 页(共 6 页)

19. (本题满分 14 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? PD , AD ? CD , PA ? PD , AD // BC ,
AB ? AD ? 2 BC ? 2 , E 是棱 PD 的中点,设二面角 P ? AD ? B 的值为 ? .

(Ⅰ)当 ? ? (Ⅱ)当 ? ?

?
2

时,求证: AP ? CE ; 时,求二面角 P ? AB ? D 的余弦值.

P E A B
C

?
6

D

(第 19 题)

20. (本题满分 15 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a) ? x ? a (Ⅰ)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 ?? 2, 2? 上的最小值.

高三理科数学

试题卷

第 4 页(共 6 页)

21. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C :
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M ( 4, 2) , 且离心率为

2 , 点 R( x 0 , y 0 ) 是 2

椭圆上的任意一点,从原点 O 引圆 R : ( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? 8 的两条切线分别交椭圆 C 于点 P , Q . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证: OP ? OQ 的值为定值.
2 2

y

Q

R
?

P
O

x

(第 21 题)

参考答案
一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.B; 6.A; 2.A; 7.D; 3.C; 8.C; 4.B; 9. B; 5.D; 10.C.

10. 解析:设 ?ADE ? ?
?? ? d min ? 3 sin? ? ? ? ? ?3 ? ? 2? ? d max ? 3 sin? ??? ? ? 3 ? 3? 2 2 3? 2 2

D

B
E?
C
?

A

(第 10 题)

高三理科数学

试题卷

第 5 页(共 6 页)

二.填空题(本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,请将答案写在答题卷上) 11.0 15. ? ? 3 16. 解析:? a ? 2b ? 而 12. y 2 ? ?8 x 16. 13.
4 15 5

14. ?0, 2?

1 ? 3 2

17. 2 3 .

1 ?2a ? b ? 3b ? 3? ? 3 2 2 1 1 1 ? ?2a ? b ? 3b ? 3?? ? ? ? 2 2 a ? b b ?1? ?

1? 3b ? 3 2a ? b ? 1 ? = ?4 ? ? ? 4? 2 3 2? 2a ? b b ? 1 ? 2
a ? 2b 的最小值为

?

?

1 3 1 4? 2 3 ? ? ? 3 2 2 2

?

?

3 1 3 3b ? 3 2a ? b ,a ? ? ,即 b ? 时取最小值。 ? 3 2 3 2a ? b b?1 17.解析:取 BC 中点 Q ,连接 PQ

当且仅当

2 1 2 2 2 PC ? PB ? PC ? PB ? ? BC PC ? PB ? BC = ? ? ? 4? ?

?

? ?

?

= PQ ?

2

2 2 2 3 3 3 BC PQ ? BC ? 2 3 ,此时 PQ ? BC 且 PQ ? BC ? 2 2 4 4

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 4 sin B ? cos C 的取值范围. 解: (Ⅰ)?

sin A ? sin B b ? c . ? sin C a?b

sin A ? sin B b ? c a?b b?c ,? ? ? sinC a?b c a?b

…2 分 …4 分 …7 分 …9分

即 b2 ? c 2 ? a 2 ? ?bc
? cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 1 2? ? ? ,? A ? 2bc 2 3

1 3 ? sin B ) (Ⅱ)因为 4 sin B ? cos C ? 4 sin B ? cos( ? B) ? 4 sin B( cos B ? 2 2 3

? sin2B ? 3 cos 2B ? 3 ? 2 sin(2B ?
高三理科数学 试题卷

?
3

)? 3

…11 分

第 6 页(共 6 页)

?0 ? B ?

?
3

,

??

?
3

? 2B ?

?
3

?

?
3

…12 分 …14 分

? 3 ? 2 sin(2B ?
19. (本题满分 14 分)

?
2

) ? 3 , ? 0 ? 4 sin B ? cos C ? 2 3

如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? PD , AD ? CD , PA ? PD , AD // BC ,
AB ? AD ? 2 BC ? 2 , E 是棱 PD 的中点,设二面角 P ? AD ? B 的值为 ? .

(Ⅰ)当 ? ? (Ⅱ)当 ? ?

?
2

时,求证: AP ? CE ; 时,求二面角 P ? AB ? D 的余弦值.

?
6

证明: (Ⅰ)? PA ? PD ,O 为 AD 中点,连结 PO, ∴ PO ? AD . 又 二 面 角 P ? AD ? B 的 值 为

?
2



P E A B D
C
(第 19 题)

∴ PO ? 面 ABCD,∴ PO ? CD , ? CD ? AD . ∴ CD ? 平面 PAD . 又 AP ? 平面 PAD ,∴ CD ? AP . 又 PA ? PD,∴ AP ? 平面 PCD . ∴ AP ? CE . (Ⅱ)解:由题意知: ?POB ? …7 分 …2 分 …4 分

O

?
6



如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 A(0,?1,0) B( 3 ,0,0) , D(0,1,0)
P( 3 1 ,0 , ) . 2 2

P

z

…9 分

A B
x

O C

D

y

3 1 ,0, ) 、 AB ? ( 3 ,1,0) . ∴ BP ? ( ? 2 2

(第 19 题)

设平面 PAB的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
? 3x ? y ? 0 ? ?n ? AB ? 则? ,取 x ? 1 ,得 n ? (1,? 3 , 3 ) .…11 分 ?? 3 1 ? x? z?0 ? n ? BP ?? 2 ? 2

而平面 ABCD 的法向量为 n ? (0,0,1) .
高三理科数学 试题卷

…12 分
第 7 页(共 6 页)

设二面角 P ? AB ? D 的平面角为 ? . 则 cos? ?
m?n | m |?| n| ? 3 7 ? 21 7

…14 分

20. (本题满分 15 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a) ? x ? a (Ⅰ)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 ?? 2, 2? 上的最小值.
?a ? 0 解: (Ⅰ) 若 f (0) ? 1 ,则 ? a a ? 1 ? ? 2 ? a ? ?1 ?a ? 1
2 2 ? ?3 x ? 2ax ? a , x ? a (Ⅱ) f ( x ) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) ? x ? a ? ? 2 2 ? x?a ? x ? 2ax ? a ,

…5 分

…7 分

当 a ? 0 时, ① ? a ? ?2 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 ?? 2,2? 上单调递增,所以

f ( x)m i n? f (?2) ? 4 ? 4a ? a 2 ;

…9 分

② ? a ? ?2 ? 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 ?? 2,? a ? 上单调递减,在 ?? a ,2? 上单调递增,所以

f ( x)m i n? f (?a) ? ?2a 2 ;
当 a ? 0 时, ①

…11 分

a ? ?2 ? a ? ?6 时, f ( x ) 在 ?? 2,2? 上单调递增,所以 3
…13 分

f ( x)min ? f (?2) ? 12 ? 4a ? a 2 ;


a? a ? ?a ? ? ?2 ? ?6 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 ? ? 2, ? 上单调递减,在 ? ,2? 上单调递增,所以 3 3 ? ? ?3 ?

a 2a 2 f ( x )min ? f ( ) ? 3 3

高三理科数学

试题卷

第 8 页(共 6 页)

综上所述: f ( x )min

?a 2 ? 4a ? 12 , a ? ?6 ? 2 ? 2a ,?6?a?0 ? ?? 3 ? ? 2a 2 , 0?a?2 ? 2 ? ? ? a ? 4a ? 4 , a ? 2

…15 分

21. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C :
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M ( 4, 2) , 且离心率为

2 , 点 R( x 0 , y 0 ) 是 2

椭圆上的任意一点,从原点 O 引圆 R : ( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? 8 的两条切线分别交椭圆 C 于点 P , Q . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证: OP 2 ? OQ 2 的值为定值. 解: (Ⅰ)椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 24 12

…5 分

(Ⅱ)设直线 OP : y ? k1 x , OQ : y ? k2 x , P ? x1 , y1 ? , Q? x2 , y2 ? 设过原点圆 R : ( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? 8 的切线方程为 y ? kx 则有

kx0 ? y0 1? k
2

? 2 2 ,整理得 x0 2 ? 8 k 2 ? 2 x0 y0k ? y0 2 ? 8 ? 0
y0 ? 8 x0 ? 8
2 2

?

?

? k1 ? k2 ?

2 x0 y0 x0 ? 8
2

2

, k1k2 ?

…8 分
y

又因为

x0 y 1 ? 0 ? 1 ,所以可求得 k1k2 ? ? 24 12 2

2

…11 分
Q

? y ? k1 x 2 24 24k1 ? 2 2 联立 ? x 2 y 2 得 x1 ? ,则 y ? 1 2 2 1 ? 2k1 1 ? 2k1 ? ?1 ? ? 24 12
2 同理可得 x 2 ?

R
?

P
O

24 1 ? 2k 2
2

, y2 2 ?

24k2

2 2

1 ? 2k 2

…13 分

x

高三理科数学

试题卷

第 9 页(共 6 页)

(第 21 题)

所以 OP 2 ? OQ 2 ?

24 1 ? k1 1 ? 2k1
2

?

2

2

? ? 24?1 ? k ?
1?
2 2 2 2k2 2 2

?

24 1 ? k1 1 ? 2k2 ? 24 1 ? k2 1 ? 2k1
2 2 1 2

?

2

??

? ? ?? ?1 ? 2k ??1 ? 2k ?
2 2

?

?

24 3 ( k1 ? k2 ? 1) 2( k1 ? k2 ? 1)
2

??

2

?? ? 36
…15 分

所以 OP 2 ? OQ 2 的值为定值 36

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试题卷

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