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矩阵的概念课件 1


矩阵与变换

问题情景:
情景1、设O(0, 0),P(1, 3),则向量

y
P(1,3)

??? ? 将 OP的 坐 标 排 成 一 列 , 并 记 为 :

???? OP ?

(1, 3),

3 O 1
op ? (1,3 )

1 3

x

?1 ? 简记为 ? ? ?3?

情景2、某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手初赛、复赛成绩如表: 初赛 甲 乙 80 60 复赛 90 85

80 90 60 85

? 80 90 ? 简记为 ? ? 60 85 ? ?

?2 x ? 3 y ? mz ? 1 情 景 4、 解 方 程 组 ? 中 x,y,z的 系 数 3x ? 2 y ? 4 z ? 2 ? 按原来的次序排列能得表:

2 3

3 ?2

m

4
m? ? 4?

3 ?2 简记为 ? ?3 ? 2

m? ? 4?

?1 ? ? 80 90 ? 形如 ? ?, ? ?, ? 3 ? ? 60 85 ?

3 ?2 ? ?3 ? 2

的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵. 通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示,或者用(aij)表示,其中i,j 分别表示元素aij所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行, 同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列. 组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素.

说明:
?1 ? 1、 ? , ? ?3?
2 ? 1矩 阵

? 80 90 ? ? ?, ? 60 85 ?
2 ? 2矩 阵

3 ?2 ? ?3 ? 2
2 ? 3矩 阵

m? ? 4?

2、 所 有 元 素 均 为 0的 矩 阵 叫 做 0矩 阵 .
3、 对 于 两 个 矩 阵 A、 B的 行 数 与 列 数 分 别 相 等 , 且 对 应 位 置 上 的 元 素 也 分 别 相 等 时 , A和 B 才 相 等 , 记 作 A ? B .

4、a11 a12 ? 称 为 行 矩 阵 ( 仅 有 一 行 ) , ?
? a11 ? 5、 ? ? 称 为 列 矩 阵 ( 仅 有 一 列 ) ,用 ? , ? ? 表 示 列 矩 阵 . ? a 21 ?

? 向 量 a ? ( x , y )和 平 面 上 的 点 P ( x , y )都 可 以

看成行矩阵 ?x

?x ? y ? ,也 可 以 看 成 列 矩 阵 ? ? . ? y?

?x

?x ? y ? 称 为 行 向 量 , ? 称 为 列 向 量. ? ? y?

??? ? 6、 P ( x , y ) ?? ? ? 平 面 向 量 OP ? ?x ? ( 0 ? ? 既 表 示 点 ( x , y ), 也 表 示 以 O 0,) y? ?
一一对应

?x ? 为 起 点 , 以 P( x , y )为 终 点 的 向 量 ? ? . ? y?
小王是个气象爱好者,他根据多年收集的资料,发现了当地天气有如下的规律: 晴天的次日是晴天的概率为 3 ;晴天的次日是阴天的概率为 1 ; 晴天的次日是雨天的概率为1
8
4



8
1 2
1

,

1 4
1 2

,

1 4

阴天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是 雨天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是




阴 雨

4

,

,

1 4







?3 晴 ? 4 ? ?1 阴 ? 2 ? 1 ? 雨 ?4 ?

1 8 1 4 1 2

1? 8? ? 1? 4? ? 1 ? 4? ?

某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手初赛、复赛成绩如表: 初赛 复赛




80
60

90
85

80 90 60 85

? 80 90 ? 简记为 ? ? 60 85 ? ?

规定比赛的最后成绩由初赛和复赛综合裁定,其中初赛占40%,复赛占60%.则甲和乙的综合成绩 分别是多少?

甲 : ? 0.4 ? 90 ? 0.6 ? 86; 80
? 0.4 ? 则 A ? C ? ? 80 90 ? ? ? ? 0.6 ?

? 0.4 ? 记 : A ? ? 80 90 ? , C ? ? ?, 0.6 ? ?

= ? 80 ? 0.4+90 ? 0.6 ? ? ? 86 ? .

请 你 类 比 甲 的 计 算 方 法 , 计 算 乙 的 成 绩.

乙 :60 ? 0.4 ? 85 ? 0.6 ? 75.
则甲、乙两人的成绩可计算如下:

? 80 90 ? ? 0.4 ? 记D ? ? ? ,C ? ? ?, 60 85 ? 0.6 ? ? ?

? 80 90 ? ? 0.4 ? ? 80 ? 0.4 ? 90 ? 0.6 ?  D ?C ? ? ?? ?= ? ? 60 85 ? ? 0.6 ? ? 60 ? 0.4 ? 85 ? 0.6 ? ? ? 86 ? ? ? ?. ? 75 ?

? b11 ? ?b ? 规 定 : 行 矩 阵 ? a 11 a 12 ? 与 列 矩 阵 ? ? 的 乘 法 法 则 为 : ? a 11 a 12 ? ? 11 ? ? ? a 11 ? b11 ? a 12 ? b21 ? ? ? ? ? ? ? b21 ? ? b21 ? ?

? a 11 二阶矩阵 ? ? a 21

a 12 ? ?与列向量 a 22 ?

? x0 ? ? y0

? ?的乘法法则 ?

? a 11 ? ? a 21

a 12 ? ? x 0 ? ? a 11 ? x 0 ? a 12 ? y 0 ? ? ?? ? ? ? a 22 ? ? y 0 ? ? a 21 ? x 0 ? a 22 ? y 0 ?

计算 ?3

?3? 2 ?? ? ?2?

根据刚才的计算方法,

?3 得:

?3? 2 ?? ? ? ?3 ? 3 ?2?

2 ? 2 ? ? ?9

4?

?5 计算 ? ?7

6? ?3? ?? ? 8? ?2?

根据刚才的计算方法,

?5 得: ? ?7

6 ? ? 3 ? ? 5 ? 3 ? 6 ? 2 ? ? 27 ? ?? ? ? ? ??? ? 8 ? ? 2 ? ? 7 ? 3 ? 8 ? 2 ? ? 37 ?

?2 计算 ? ?0
?2 解: ? ?0

0? ? x ? ?? ? 1? ? y ?
0? ? x ? ?2 x ? ?? ? ? ? ? 1? ? y? ? y ?
?x? ? ? 表示的点是( x, y) ? y?

?2 x ? ? ? 表 示 的 点 是 (2 x , y ) ?y ?

点(x,y)与点(2x,y)之间有何关系? 变换的定义:对于平面上的任意一点(x,y),若按照对应法则T,总能对应惟一的一个平面 点(x′,y′),则称T为一个变换.

T : ( x , y ) ? ( x ?, y ? ) ?x? ? x?? 或T : ? ? ? ? ? ? y? ? y??

? x? ? x ? ? ? ax ? by ? T :? ? ? ? ? ? ? ? y? y ? ? ? cx ? dy ? ? ?

变换的本质是什 么?

?x? ? x?? ?a b ? ? x ? 可 改 写 为 :T : ? ? ? ? ? ? ? ?? ? y? y?? ?c d ? ? y ? ? ?

2 ? 0? ? ? 就确定了一个变换: 0 ? 1?

T :x , y ) ? ( x ?, y ?) ? (2 x , y ) (

或 ?x ? ? x? ? ? 2 x ? T: ? ? ? ? ? ? ? . ? ? y? ? y ?? ? y ?
一 般 地 , 对 于 平 面 向 量 的 变 换 T, 如 果 变 换 规则为 ?x? ? x ? ? ? ax ? by ? T: ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? cx ? dy ? ? y? ?y ? ?x ? ? x? ? ? a b ? ? x ? T: ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? y? ? y ?? ? c d ? ? y ?

坐标变换的形式

那么,根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为

矩阵乘法的形式

的 矩 阵 形 式 , 反 之 亦 然 ( a , b , c , d ? R ). 两 种 形 式 形 异 而 质 同

由 矩 阵 M 确 定 的 变 换 T , 通 常 记 为 TM . 根据变换的定义,它是平面内的点集到其自身 的一个映射.
?x ? 当? ? ? ? 表示某个平面图形F上的任意点时, ? y? 这 些 点 就 组 成 了 图 形 F , 它 在 TM 的 作 用 下 , 将 得 到 一 个 新 的 图 形 F ? — — 原 象 集 F的 象 集 .

? x?? ? 2 x ? 3 y ? ? ?? ? ? ?? ? y ? ?? x ? 2 y ? ?x? ? x?? ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? y? ? y ? ?? 1

? 2? x ? 3? y ? ? 2 ? ??? ? ( ? 1) ? x ? 2 ? y ? ? ? 1 3? ? x ? ?? ? 2? ? y ?

3? ? x ? ?? ? 2? ? y ?

?3 求在矩阵 ? ?1

2 ? ? 对应的变换作用下得到点(2, -4)的平面上的点P的坐标. ?3?
2 ? ? x? ?? ? ?3? ? y ?

【解析】设P点的坐标为(x , y), 则 ? 2 ? ? ?3 ? ? ?
? ?4? ?1

2 ? x ? ? ? ? 11 即 ?3 x ? 2 y ? 2 , 解得 ? . ? ? y ? 14 ? x ? 3 y ? ?4 ? ? 11 2 14 所以P点的坐标为 ( ? . , ) 11 11

,

解答这种类型的题,首先分清哪一个是变换前的点,哪一个是变换后的 点,然后把点的坐标写成列向量的形式;其次根据二阶矩阵与平面列向 量的乘法规则进行解题.

已知在二阶矩阵M对应变换的作用下,四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′, 其中 A(1 , 1),B(-1 , 1) ,C(-1 , -1) ,A′(3 , -3) ,B′(1 , 1) ,D′(-1 , -1). (1)求出矩阵M; (2)确定点D及点C'的坐标.
【解析】(1)设M= ? a b ? , ? ? ?c d ? 则有? a b ? ? 1 ? ? 3 ? , .
? ?c ?? ? ? ? ? d ? ?1 ? ?3? ?

?a ? ?c

b ? ? ? 1 ? ?1 ? ?? ? ? ? ? d ? ? 1 ? ?1 ?

所以M= ?
(2)由知
?1 ? ? ?2

?1

2? ?. ?2 ?1? ?

?a ? b ? 3 ? , 故 ?c ? d ? ?3 ? ??a ? b ? 1 ??c ? d ? 1 ?

?a ? ? ,得得 b ? ?c ?d ?

?1 ? 2 ? ?2 ? ?1

2 ? ? ?1? ? ?3 ? ?? ? ? ? ? ?1? ? ?1? ? 3 ?

C′(-3 , 3).

? 1 ?? 3 ? ? 2 ? 3 ?

?

2? 3 ? ? ?1? ? 1 ? ?? ? ? ? ? 1 ? ? ?1? ? ?1? 3 ? ?

D(1 , -1).

本题主要考查矩阵变换的应用,求解的关键是准确把握变换前后点的坐标间的关系, 运用待定系数法列出方程组,即可获解.

回顾反思:
1.矩阵的概念,零矩阵,行矩阵,列矩阵;

2.矩阵的表示;
3.相等的矩阵;

4.用矩阵表示实际生活中的问题 ,数学问题.


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