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苏教版高中数学必修1课件:2.3.1 对 数


第 2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.3 对 数 函 数 2.3.1 对 数

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1. 理解对数的概念及其运算性质,能熟练地进行指数式 与对数式的互化,能灵活准确地运用对数的运算性质进行对 数式的化简与计算.

2.了

解对数常见的恒等式和换底公式及其应用.,
3.了解对数的发明历史以及对数在简化运算中的作用.

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4. 对数运算是指数运算的逆运算,结合对数运算,培养
逆向思维能力.

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1. 如果 ax=N(a>0, a≠1), 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数. 记 作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数.对数式的书写 格式:
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例如:将指数式化为对数式:

1 log42= _______________ 2 ;
为 lgN;

①42=16, ________; ②102=100, _____________; ③

log416=2

log10100=2

4

1 2 =2,

log100.01=-2 ④10-2=0.01,___________________.
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(1)以 10 为底的对数叫做常用对数,并把常用对数 log10N 简记

(2)以无理数 e=2.718 28??为底的对数,叫自然对数,并把自 然对数 logeN 简记为 ln N. 例如:lg 5 ,lg 3.5 是常用对数;ln 10,ln 3 是自然对数.

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2.指数与对数的关系:设 a>0,且 a≠1,则 ax=N?logaN=x. 对数式与指数式的互化如下表:

logaN=x?ax=N
对数式?指数式 对数底数←a→幂底数 对数←x→指数 真数←N→幂数
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3.对数的性质. (1)在指数式中 N>0,故零和负数没有对数,即式子 logaN 中 N 必须大于 0; (2)设 a>0,a≠1,则有 a0=1,∴loga1=0,即 1 的对数为 0; (3)设 a>0,a≠ 1,则有 a =a,∴logaa=1,即底数的对数为 1. 4.对数恒等式. (1)如果把 ab=N 中的 b 写成 logaN,则有:
1

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a

loga N

= N;

(2)如果把 x=logaN 中的 N 写成 ax,则有:logaax=x.

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5.设 a>0,a≠1,M>0,N>0,则有: (1)loga(MN)=logaM+logaN,简记为:积的对数=对数的和. M (2)loga N =logaM-logaN,简记为:商的对数=对数的差. (3)logaMn=nlogaM(n∈R).

lg 3+lg 5 ;②lg 5+lg 2=__________ 1 例如:①lg(3×5)=____________ ; 2 ③ln e2=_______.

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6.几点注意: (1)对数的真数是多项式时,需将真数部分加括号,如 lg(x+ y)与 lg x+y 的含义不同. (2)(lg M)n 与 lg Mn 的含义不同. (3)log2[(-3)×(-5)]=log2(-3)+log2(- 5)是不成立的. (4)log10(-10)2=2log10(-10)是不成立的. (5)当心记忆错误:loga(MN)≠logaM· logaN; loga(M± N)≠logaM± logaN.
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logcb 7.对数的换底公式 logab= (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1; logca b>0).换底公式的意义是把一个对数式的底数改变,可将不同底问题 化为同底,便于使用运算法则.

loga5 loga3 ,其中 a>0,且 a≠1. 例如:log35=__________
换底公式.

栏 目 链 8.关于对数换底公式的证明方法有很多,可借助指数式证明对数 接

例如:设 a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;b>0. logcb 求证:logab= . logca

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证明:设 logab=x,则 b=ax, 于是 logcb=logcax,即 xlogca=logcb, logcb logcb ∴x= ,∴logab= . logca logca
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9.设 a>0,b>0,且均不为 1,由换底公式可加以求证: (1)logab· logba=1; n (2)logamb =mlogab.
n

例如:①log23· log32=______________; ②log89=______________ .

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lg b lg a 证明:(1)logab· logba= · =1. lg a lg b
n lg b nlg b n n (2) log am b = =mlogab. m= lg a mlg a
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①1

2 ② log23 3

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一、对数的概念

指数式 ab=N 与对数式 logaN=b 中,a、b、N 三者间的关系实 质如下(a>0 且 a≠1):
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项目 指数式 对数式

式子 ab=N logaN=b

a 底 数 底 数 方 根 数

b 指数 对数 根指 数

N 幂 真数 被开方 数





根式

a= N

b

a的b次 幂等于 N 以 a 为底 N 的对数 等于 b N的b次 方根等 于a

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利用对数式与指数式之间的关系,可以把指数与对数进行互 化,从而使问题顺利地得到解决,求某些对数值就可以把它转化为 指数问题.
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二、对数的运算性质
(1)对于同底的对数的化简常用方法是:①“收”,将同底的两 对数的和(差)收成积(商)的对数;②“拆”,将积(商)的对数拆成对 数的和(差). (2)对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5+lg 2=1” 来解题. (3)对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值. (4)在计算真数是“ 后开方”或“取倒数”. ± ”的式子时, 常用方法是“先平方
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(5)另外注意性质 loga1=0,logaa=1,alogaN=N 及 log aN= loganNn(n≠0,a>0,a≠1,N>0)的应用. 注意容易出错的几种现象: (1)对性质成立的条件把握不住. 如 log2[(-4)×(-3)]是存在的,但 log2(-4)与 log2(-3)均不 存在, 故 log2[(-4)×(-3)]不能写成 log2[(-4)×(-3)]=log2(-4) +log2(-3).
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(2)对数的运算性质特征要记牢,不要犯以下错误: loga(M± N)=logaM± logaN; loga(MN)=logaM· logaN;
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M loga =logaM÷logaN; N
loga(Mn)=(logaM)n.

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题型一

指数式与对数式的互化

例 1 式.

将下列指数式化为对数式或将对数式化为指数

(1)53=125;(2)log216=4;(3)log 3x=6;
?1?-3 (4)?4? =64. ? ?

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分析:根据对数的定义: aN=b?logab=N(a>0 且 a≠1). 解析:(1)log5125=3;(2)24=16;(3)( 3)6=x; (4)log 1 64=-3. 4 点评: 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据, 而指 数形式与对数形式的互化又是解决问题的重要手段.
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变式 训练

1.(1)已知 log2(log3x)=1,求 x; (2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m
+n

的值;
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1 1 a b (3)设 2 =5 =m,且a+b=2,求 m.

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变式 训练

解析:(1)log3x=2,∴x=32=9. (2)∵am=2,an=3,∴a2m=4, ∴a2m+n=a2m· an=4×3=12. 1 1 (3)a=log2m,b= log5m,∴a+b= logm2+logm5= logm10=2,∴m2=10 又∵m>0,∴m= 10.
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题型二

对数的运算性质

例2

计算:
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(1)3log510+log50.025; (2)2log5125+3log264; (3)5
lg 30

?1?lg 0.5 ? ? · . ?3?
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分析:正确运用对数的运算性质来解决. 解析:(1)3log510+log50.025=log51 000+log50.025= log525=2. (2)2log5125+3log264=2log553+3log226=6+18=24.
lg 0.5 ? ? 1 ? ? (3)设 5lg 30· =x, 3 ? ?

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? lg30 ? 1 ?lg0.5 ? 则 lg x=lg ?5 ? ? ? ? ?3? ? ? ? ?

?1? lg 30 =lg 5 +lg?3? ? ?

lg 0.5

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1 =lg 30· lg 5+lg 0.5· lg 3 =(1+lg 3)· lg 5+(lg 5-1)· (-lg 3) =lg 5+lg 3=lg 15. ∴x=15. 故5
lg 30
lg 0.5

?1? ? ? · ?3?

=15.

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点评:对数的运算法则要灵活运用、熟练掌握,要注 意不要将积、商、幂的对数与对数的积、商、幂混淆.
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变式 训练

2.化简:(1)log

3
3

3;
1 1 3= 3

? (2)log2? ? 3+2 2+ 3-2 2 ?.

解析: (1) log 3 2 = ; 3

3

3= log 3 3

log 3 3=2 log 3 3
3

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3 (2)原式=log2( 2+1+ 2-1)=log22 2= . 2

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变式 训练

3.求值:lg32+lg35+3lg 2· lg 5.
解析:原式=(lg 2+lg 5)[(lg 2)2+(lg 5)2-lg 2· lg 5]+3lg 2· lg 5 =(lg 2) +(lg 5) +2lg 2· lg 5 =(lg 2+lg 5)2 =1.
2 2

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变式 训练
1 27 log 7 2 10 log 4.求值:log3 log5[ 4 2 -(3 3) - 7 ]. 3 3×2 1 3 2? log 10 ? ? 2 4 2 3 ?2 2 ? 3 ? 3 解析:原式=log3 log5 ? 2 ? ? 3
2

4

2 3

=log3

3

?1 4 log5(

2

log210

-3-2)

1 =- log5(10-3-2) 4 1 =- log55 4 1 =- . 4

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题型三

换底公式的应用

例3

(1)已知 log73=a,log74=b,求 log4948.

(2)设 a、b、c 是直角三角形的三边长,其中 c 为斜边, 且 a≠1,则 log(c+b)a+log(c-b)a 与 log(c+b)a· log(c-b)a 的关系如 何?
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分析:利用换底公式换成需要的底. log748 log7?3×16? 解析:log4948= = log749 2 log73+2log74 a+2b = = . 2 2 (2)∵a +b =c ,∴a =c -b =(c-b)(c+b). ∴log(c+ b)a+log(c- b)a = 1 1 + loga?c+b? loga?c-b?
2 2 2 2 2 2

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loga?c+b?+loga?c-b? = loga?c+b?· loga?c-b?

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loga[?c+b??c-b?] = loga?c+b?· loga?c-b? 2 = loga?c+b?· loga?c-b? =2· log(c+ b)a· log(c- b)a. 点评:如果对数的底数不同时,需要用换底公式化为同一底数 1 n n 的对数, 然后再进行计算, 另外公式 logab= 及 logamb =m· logab logba 应熟练掌握.
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例4

计算:

(1)log927; (2)log89×log2732.
分析:先换底,再用对数的运算性质进行化简. lg 27 3lg 3 3 解析:(1)log927= = = . lg 9 2lg 3 2 lg 9 lg 32 2lg 3 5lg 2 10 (2)log89×log2732= × = × = . lg 8 lg 27 3lg 2 3lg 3 9
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变式 训练

1 1 5.计算:log225· log3 · log5 . 16 9
解析:原式=log252· log32- 4· log53- 2 2lg 5 -4lg 2 -2lg 3 = × × =16. lg 2 lg 3 lg 5
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