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人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结


数学选修 2-1 圆锥曲线知识归纳
一、复习总结: 名 称 椭
y
y







线

图 象

O

x
O

x

平面内到两定点 F1 , F2

的距离的和为 常数(大于 F1F2 )的动点的轨迹叫椭 圆 即 MF1 ? MF2 ? 2a
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平面内到两定点 F1 , F2 的距离的 差的绝对值为常数(小于

F1F2
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的动点的轨迹叫双曲线 即

定 义

当 2 a ﹥2 c 时,轨迹是椭圆 当 2 a =2 c 时 , 轨 迹 是 一 条 线 段

MF1 ? MF2 ? 2a
当 2 a ﹤2 c 时,轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时,轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹不存在 焦 点 在 x 轴 上 时 :

F1 F2
当 2 a ﹤2 c 时,轨迹不存在

x2 y2 焦点在 x 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b
标 准 方 程 焦点在 y 轴上时:

x2 y2 ? ?1 a2 b2
焦 点 在 y 轴 上 时 :

y2 x2 ? ?1 a2 b2

注:是根据分母的大小来判断焦点 在哪一坐标轴上 常 数

y2 x2 ? ?1 a2 b2

a , b, c 的
关 系

a2 ? c2 ? b2

c2 ? a2 ? b2 ,
焦点在 x 轴上时:

渐 近 线

x y ? ?0 a b 焦点在 y 轴上时: y x ? ?0 a b

1

抛物线:
y
y

y
l

y O F

图 形
l

x

O

F

x

F

O

x

F O l

x

l

方 程 焦 点 准 线

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
(? p ,0) 2 p x? 2

x 2 ? 2 py( p ? 0)

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
( 0, ? p ) 2 p y? 2

p ( ,0) 2 p x?? 2

p (0, ) 2 p y?? 2

二、知识点: 椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标 准方程,并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质
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1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点 的轨迹
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2.椭圆的标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1 (a ? b ? 0) , a2 b2 a2 b2 x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2

3.椭圆的性质:由椭圆方程

(1)范围: ? a ? x ? a , ? b ? y ? b ,椭圆落在 x ? ? a, y ? ?b 组成的矩形中. (2)对称性:图象关于 y 轴对称.图象关于 x 轴对称.图象关于原点对称 原点叫椭圆的对称
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中心,简称中心. x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对 称的截距. (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 椭圆共有四个顶点: A (?a,0), A2 (a,0) , B (0,?b), B2 (0, b) 加两焦 F1 (?c,0), F2 (c,0) 共
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有六个特殊点 A1 A2 叫椭圆的长轴,B1 B2 叫椭圆的短轴. 长分别为 2 a ,2b . a , b 分别为椭圆
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的长半轴长和短半轴长 ,椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.
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2

(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 e ?
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b c ? e ? 1 ? ( )2 0 ? e ? 1 a a
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椭圆形状与 e 的关系: e ? 0, c ? 0 ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆 为椭圆在 e ? 0 时的特例 e ? 1, c ? a, 椭圆变扁,直至成为极限位置线段 F1 F2 ,此时也
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可认为圆为椭圆在 e ? 1 时的特例. (识记方法)

以下 4-7 点要求不高,或者不要求. 4. 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数

e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
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5.椭圆的准线方程 对于

x2 y2 a2 a2 ? ? 1 l : x ? ? l : x ? ,左准线 ;右准线 1 2 c c a2 b2

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y2 x2 a2 a2 对于 2 ? 2 ? 1 ,下准线 l1 : y ? ? ;上准线 l 2 : y ? c c a b
6.椭圆的焦半径公式:椭圆

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x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式: a 2 b2

PF1 ? e( x ?
其中 e 是离心率

a2 a2 ) ? a ? ex , PF2 ? e( ? x) ? a ? ex c c

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其中 F1 , F2 分别是椭圆左右焦点. 焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式:

? PF1 ? a ? ey0 ? ? PF2 ? a ? ey0
其中 e 是离心率 其中 F1 , F2 分别是椭圆的下上焦点.
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焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关 左加右减,上减下加 7 椭圆的参数方程 ?
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可以记为:

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? x ? a cos? (?为参数) ? y ? b sin ?

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3

以下为椭圆重要结论: (要求记忆 1、2、3 条,了解 4、5) 1.准线到中心的距离为

a2 a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? c c c c

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: 2

b2 . a

2. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 两焦半径与焦距构成三角形的面积: a 2 b2
S?F1PF2 ? c | yP |? b 2 tan ?F1 PF . 2

3 椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线必经过椭圆的 另一个焦点. 例:今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的两个焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,当静放在点 A 的小球(小球的半径不计),从点 A 沿直线 l 击出,经椭圆壁反弹后再回到 A,若 l 与椭圆长轴的夹角为锐角,则小球经过的路程是( D ) A.4b 4.椭圆的的内外部: (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ? 1. 的内部 a 2 b2 a 2 b2 2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ? 1. 的外部 a 2 b2 a 2 b2

B.2(a-c)

C.2(a+c)

D.4a

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 5.椭圆的切线方程:

xx y y x2 y 2 (1) 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b
(2)过椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

(3)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 a 2 b2

A2 a 2 ? B 2b2 ? c 2 .

8.双曲线的定义:平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(小于 F1F2 )的动点
4

的轨迹叫双曲线 叫做焦距
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即 MF1 ? MF 2 ? 2a 这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点间的距离
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在同样的差下,两定点间距离较长,则所画出的双曲线的开口较开阔( ? 两条平行线)
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两定点间距离较短(大于定差) ,则所画出的双曲线的开口较狭窄( ? 两条射线) 双曲
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线的形状与两定点间距离、定差有关 9.双曲线的标准方程及特点:

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(1)双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种: 焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ); a2 b2 y2 x2 ? ? 1(a ? 0 ,b ? 0 ) a2 b2
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焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程为:
2 2 2

(2) a , b, c 有关系式 c ? a ? b 成立,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0 其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a ? b, a ? b, a ? b
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10.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 x 、 y 项 的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据
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2

2

项的正负来判断焦点所在的位置,即 x 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上; y 项的系数 是正的,那么焦点在 y 轴上 11.双曲线的几何性质: (1)范围、对称性 由标准方程
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2

2

x2 y2 ? ? 1 ,从横的方向来看,直线 x=-a,x=a 之间没有图象,从纵的方向来 a2 b2

看,随着 x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那 样是封闭曲线 双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心.
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(2)顶点 顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? ,特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b? 实轴: A1 A2 长为 2a , a 叫做半实轴长 虚轴: B1 B2 长为 2b , b 叫做虚半轴长
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双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异

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5

(3)渐近线 过双曲线 (4)离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 双曲线形状与 e 的关系: k ?

b x y x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线 y ? ? x ( ? ? 0 ) 2 a a b a b

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2c c ? ,叫做双曲线的离心率 范围: e ? 1 2a a
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b c2 ? a2 c2 ? ? ? 1 ? e 2 ? 1 ,e 越大,即渐近线的斜 a a a2
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率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知,双曲线的离心率越 大,它的开口就越阔 12.等轴双曲线 定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,这样的双曲线叫做等轴双曲线
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轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直; (3)离心率 e ? 13.共渐近线的双曲线系 如果双曲线与

2

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x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ?? 有公共渐近线,可设为 a2 b2 a2 b2

以下 14-17 点要求不高,或者不要求. 14.双曲线的第二定义: 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e ?

c (c ? a ? 0) 的点的轨迹是双曲线 a
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其中,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线 15.双曲线的准线方程: 对于

常数 e 是双曲线的离心率.

x2 y2 a2 ? ? 1 l : x ? ? F ( ? c , 0 ) 来说,相对于左焦点 对应着左准线 ,相对于右焦点 1 1 c a2 b2 a2 ; c

F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : x ?

y2 x2 a2 对于 2 ? 2 ? 1 来说,相对于上焦点 F1 (0,?c) 对应着上准线 l1 : y ? ? ;相对于下焦点 c a b

6

a2 F2 (0, c) 对应着下准线 l 2 : y ? c
16.双曲线的焦半径(了解) 定义:双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点 F1 , F2 的连线段,叫做双曲线的焦半径 焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式:? ?
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? MF1 ? a ? ex0 ? MF2 ? a ? ex0

( F1 , F2 分别是左、右焦点)

?? 焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式:
17.双曲线的焦点弦:

? MF1 ? a ? ey0 ? MF2 ? a ? ey0

( F1 , F2 分别是下、 上焦点)

定义:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式: 当双曲线焦点在 x 轴上时,

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过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) 当双曲线焦点在 y 轴上时, 过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 ) 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 )
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18.双曲线的重要结论:(识记(1)-(4)点,了解(5)点)

b2 (1)双曲线焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? . c
(2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为: 2

b2 . a
?F1 PF 2 .

2 (3)两焦半径与焦距构成三角形的面积 S ?F1PF2 ? b cot

(4)焦点到渐近线的距离总是 b . (5)双曲线的切线方程:

7

xx y y x2 y 2 (1)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b
(2) 过 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 外 一 点 P( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ?1. a2 b
(3)双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? c 2 . 2 a b

19 抛物线定义:
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平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛
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物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线 20.抛物线的准线方程:

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p p ,0) ,准线 l : x ? ? 2 2 p p 2 (2) x ? 2 py( p ? 0) , 焦点: (0, ) ,准线 l : y ? ? 2 2 p p 2 (3) y ? ?2 px( p ? 0) , 焦点: ( ? ,0) ,准线 l : x ? 2 2 p p 2 (4) x ? ?2 py( p ? 0) , 焦点: ( 0, ? ) ,准线 l : y ? 2 2
(1) y ? 2 px( p ? 0) , 焦点: (
2
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相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与 焦点在对称轴上关于原点对称
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它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

1 ,即 4

2p p ? 4 2

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不同点:(1)图形关于 X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为 ? 2 px 、左端 为y ; 图形关于 Y 轴对称时, X 为二次项, Y 为一次项, 方程右端为 ? 2 py , 左端为 x
2
2
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(2)

开口方向在 X 轴(或 Y 轴)正向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号; 开口在 X 轴(或 Y 轴)负向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)负半轴时,方程右端取负号 21.抛物线的几何性质 (1)范围 因为 p>0,由方程 y ? 2 px? p ? 0?可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x,y)满足不等
2
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8

式 x≥0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上 方和右下方无限延伸. (2)对称性 以-y 代 y,方程 y 2 ? 2 px? p ? 0?不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物线 的对称轴叫做抛物线的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程 y 2 ? 2 px? p ? 0?中, 当 y=0 时, x=0, 因此抛物线 y ? 2 px? p ? 0?的顶点就是坐标原点.
2

(4)离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比, 叫做抛物线的离心率, 用 e 表示. 由 抛物线的定义可知,e=1. 22 抛物线的焦半径公式: (画图即可)
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抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , PF ? x0 ?
2

p p ? ? x0 2 2 p p ? ? x0 2 2

抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) , PF ? x0 ?
2

抛物线 x ? 2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ?
2

p p ? ? y0 2 2 p p ? ? y0 2 2

抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ?
2

23.直线与抛物线: (1)位置关系: 相交(两个公共点或一个公共点) ;相离(无公共点) ;相切(一个公共点)
2 2 将 l : y ? kx ? b 代入 C : Ax ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,消去 y,得到
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关于 x 的二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

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(*)
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若 ? ? 0 ,相交; ? ? 0 ,相切; ? ? 0 ,相离 综上,得:

9

联立 ?

? y ? kx ? b 2 ,得关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 2 y ? 2 px ?
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当 a ? 0 (二次项系数为零) ,唯一一个公共点(交点) 当 a ? 0 ,则 若 ? ? 0 ,两个公共点(交点)
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? ? 0 ,一个公共点(切点) ? ? 0 ,无公共点 (相离)
(2)相交弦长: 弦长公式: d ? (3)焦点弦公式:

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? 1? k 2 , a

抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 ) (识记)
2
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抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 )
2

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抛物线 x ? 2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 )
2

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抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 )
2

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(4)通径: 定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦
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通径: d ? 2 p

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通径是所有焦点弦(经过焦点的弦简称焦点弦)中最短的弦. (5)若已知过焦点的直线倾斜角 ? (识记这条结论)

则?

2p p ? ? 2p ? y ? k(x ? ) ? y1 ? y 2 ? 2 2 ? y ? y ? p ? 0 ? ? k 2 k 2 2 ? ? y ? 2 px y y ? ? p ? ? 1 2
4 p2 2p ? 4 p2 ? 2 sin ? k
1 2p ? sin ? sin 2 ?

? y1 ? y 2 ?

结论1. AB ? y1 ? y2

结论2.S?AOB ?

p2 2 sin ?

(6)常用结论:
10

p ? 2p k 2 p2 ? y ? k(x ? ) 2 2 2 2 2 ? y ? y ? p ? 0 k x ? ( k p ? 2 p ) x ? ?0 和 ? 2 k 4 2 ? ? y ? 2 px
? 结论3. y1 y2 ? ? p2 和 x1 x 2 ?
p 4
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(7)若 OA、OB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经 过定点 (2 p, 0) (8)过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,则

1 1 2 ? ? . PF FQ p

? x ? 2 pt 2 24.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的参数方程: ? (t 为参数) ? y ? 2 pt
2

25.提示.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法:

设 中点与两点间关系:

为曲线上不同的两点,

是的中点,则可得到弦

推导:

11


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