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一元二次方程根的判别式和韦达定理


教 师 备 课 教 案 课题: 一元二次方程根的判别式和韦达定理 日 期:

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年级: 初三

一、根的判别式
? ? 2 2 1 .概 念 : 对 于 一 个 一 元 二 次 方 程 a x + b x + c = 0 ( a ? 0 ) 来 说 , b ? 4 a c 称 为 根 的 判 别 式 , 记 为 ? 。 ? ? ? ? ? 0时 , 方 程 有 2 个 不 相 等 的 根 ? ? ? 根 的 判 别 式 ? 2 . 意 义 : ? ? 0时 , 方 程 有 2 个 相 等 的 根 ? ? ? ? ? ? 0时 , 方 程 没 有 实 数 根 ? ? 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? ? ? 3 .公 式 法 : 解 为 x ? ,即 为 x ? ? 2a 2a ?

【典型例题】
1.当 m 取什么值时,关于 x 的方程 x ? 2 ( 2 m ? 1) x ? ( 2 m ? 2 ) ? 0 。
2 2

(1)有两个相等实根; (2)有两个不相等的实根; (3)没有实根。

2.当 m 为什么值时,关于 x 的方程 ( m ? 4 ) x ? 2 ( m ? 1) x ? 1 ? 0 有实根。
2 2

3.已知关于 x 的方程 k x ? ( 2 k ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根 x 1 、 x 2 ,问是否存在实数 k ,使方程的两
2 2

实数根互为相反数?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由。

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【课堂练习】
一、填空题: 1、下列方程① x 2 ? 1 ? 0 ;② x 2 ? x ? 0 ;③ x 2 ? x ? 1 ? 0 ;④ x 2 ? x ? 0 中,无实根的方程是 2、已知关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 2 ? 0 有两个相等的实数根,那么 m 的值是 二、选择题: 1、下列方程中,无实数根的是( A、
x ?1 ? 1? x ? 0






2y ? 6 y ? 7

B、

C、

x ?1 ? 2 ? 0

D、 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 )

2、若关于 x 的一元二次方程 ( m ? 2 ) x ? ( 2 m ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实根,则 m 的取值范围是(
2 2

A、 m ?

3 4

B、 m ≤

3 4

C、 m ?

3 4

且 m ≠2

D、 m ≥

3 4

且 m ≠2

2 3、在方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ≠0)中,若 a 与 c 异号,则方程(

) D、无法确定

A、有两个不等实根

B、有两个相等实根
2

C、没有实根

一、试证:关于 x 的方程 mx

? ( m ? 2 ) x ? ? 1 必有实根。

2 二、已知关于 x 的方程 x ? mx ? 2 m ? n ? 0 的根的判别式为零,方程的一个根为 1,求 m 、 n 的值。

2 2 三、已知关于 x 的方程 x ? ( 2 m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有两个不等实根,试判断直线 y ? ( 2 m ? 3 ) x ? 4 m ? 7 能否

通过 A(-2,4) ,并说明理由。

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四、 已知关于 x 的方程 x ? 2 ( m ? 2 ) x ? m
2

2

? 0, 问: 是否存在实数 m , 使方程的两个实数根的平方和等于 56?

若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。

二、根与系数的关系(韦达定理) :
如果 ax
2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的两个根是 x 1 , x 2 , 则 x 1 ? x 2 ? ?

b a

, x1 ? x 2 ?

c a

以 x1 和 x2 为根的一元二次方程为:x2-( x1+x2)x+ x1x2=0

【典型例题】
1、求待定系数及另一根 例题: 1.已知 3- 2 是方程 x +mx+7=0 的一个根,则 m=________,另一根为_______. 2.已知关于 x 的一元二次方程 ax 程 。
? x 2 ? x1 ?x 2
2
2

? bx ? c ? 0 两根之积为 12,两根的平方和为 25,写出符合此条件的一个方

3.若关于 x 的一元二次方程 x 2 ? kx ? 4 k 2 ? 3 ? 0 的两个实数根分别是 x1 , x 2 ,且满足 x1
2 4.关于 x 的方程 2 x ? kx ? 4 ? 10 的一个根是-2,则方程的另一根是

.则 k 的值为 。



;k =

2.根与系数的关系与判别式的应用 例题 1.已知关于 x 的方程 x ? 2 ( m ? 2 ) x ? m ? 5 ? 0 有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大 16,
2 2

求 m 的值。

2.已知 x 1 、 x 2 是关于 x 的一元二次方程 4 x ? 4 ( m ? 1) x ? m
2

2

? 0 的两个非零实数根,问: x 1 与 x 2 能否同号?

若能同号请求出相应的 m 的取值范围;若不能同号,请说明理由。

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【课堂练习】
1.已知方程 x +(2k+1)x+k -2=0 的两实根的平方和等于 11,k 的取值是( A.-3 或 1 B.-3 C.1
2
2 2



D.3 )

2.若 ? , ? 是方程 x 2 ? 2 x ? 2 0 0 5 ? 0 的两个实数根,则 ? ? 3? ? ? 的值为( A.2005 B.2003
2

C.-2005

D.4010

3.若关于 x 的一元二次方程 2x -2x+3m-1=0 的两个实数根 x1,x2,且 x1·x2>x1+x2-4,则实数 m 的取值范 围是 A.m> ?
5 3

B. m≤

1 2

C.m< ?

5 3

D. ?

5 3

<m≤

1 2
? x 2 ? x1 ?x 2

4. 若关于 x 的一元二次方程 x 2 ? kx ? 4 k 2 ? 3 ? 0 的两个实数根分别是 x1 , x 2 ,且满足 x1 ( ) A .-1 或
3 4

.则 k 的值为

B.-1

C.

3 4

D.不存在 ) D. p < 0 且 q < 0 ,x1x2= ,x12+x22= ;

5.关于 x 的方程 x ? p x ? q ? 0 的两根同为负数,则(
2

A. p > 0 且 q > 0

B. p > 0 且 q < 0

C. p < 0 且 q > 0

6.已知一元二次方程 x2-2x-1=0 的两个根是 x1,x2,则 x1+x2= 7.若是 m,n 方程 x +2002x-1=0 的两个实数根,则 m n+mn -mn 的值为 8.反比例函数 y ? 的坐标是
k x
2 2 2

2 的图象经过点 P( a 、 b ) ,其中 a 、 b 是一元二次方程 x ? kx ? 4 ? 0

的两根,那么点 P


2

2 9.已知 x 1 、 x 2 是方程 x ? 3 x ? 1 ? 0 的两根,则 4 x 1 ? 12 x 2 ? 11 的值为



10、已知关于 x 的方程 x ? 2 ( m ? 1) x ? m ? 3 ? 0
2 2

(1)当 m 取何值时,方程有两个不相等的实数根?

(2)设 x 1 、 x 2 是方程的两根,且 ( x 1 ? x 2 ) ? ( x 1 ? x 2 ) ? 12 ? 0 ,求 m 的值。
2

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