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椭圆及其标准方程--苏桂敏


临清三中

苏桂敏

用一个平面去截一个圆锥面,当平面经过圆锥 面的顶点时,可得到两条相交直线; 当平面与圆锥面 的轴垂直时,截线(平面与圆锥面的交线)是一个 圆. 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时,观察截 线的变化情况,并思考: ● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线?这些曲线具 有哪些几何特征?

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椭圆

双曲线

抛物线

学习目标
? 1.知识目标 ①熟记椭圆的定义,知道什么是焦点和焦距,并能 根据椭圆的定义推导椭圆的标准方程。 ②明确a、b、c之间的关系,并能指出焦点坐标。 ? 2.能力目标 培养观察能力、归纳能力、探索发现能力 ? 3.情感目标 通过主动探索,合作交流,感受探索的乐趣和成功 的体验,体会数学的理性和严谨.

4、重点难点

? 重点:感受椭圆形成的基本过程,知道椭圆的标 准方程及其推导方法. ? 难点:椭圆的标准方程的推导。

?自然界处处存在着椭圆,我们能

不能类比圆的画法与定义,画出 椭圆并归纳出椭圆的定义呢?

请大家拿出画板,结合课本P32 的探究,小组合作完成

探究 :
活动1:动手试一试

?如何定义椭圆?

椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之
和为固定值(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆.

(小组合作探究) 1. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?

2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

探究结果:
|PF1|+ |PF2|>|F1F2| |PF1|+ |PF2|=|F1F2| 椭圆 线段 |PF1|+ |PF2|<|F1F2| 不存在

归纳:椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离 叫做椭圆的焦距.

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y

y P
P

F2
x
O

F1

O

F2

x F1

方案一

方案二

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)

y

设P (x, y)是椭圆上任意一点,
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0),

P ( x , y)
x F1 0 F2

则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
由椭圆的定义得,限制条件: | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 由于 得方程
| PF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | PF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?)

?椭圆的标准方程的特点:
Y
M M F1 (-c,0)
2 2

Y F2(0 , c)

O

F2 (c,0)

X
2

O
F1(0,-c)

X

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 (4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个 轴上。

?再认识!
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1

O

F2

x

O

F1

x

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

口答:
x2 y 2 1. 2 ? 2 ? 1 , 则a= 5 ,b= 3 ; 5 3 x2 y 2 2. 2 ? 2 ? 1 , 则a= 6 ,b= 4 4 6
x2 y2 3. ? ? 1 9 6 x2 y2 4. ? ?1 7 4

; ;

则a= 3 ,b= 6

则a=

7 ,b= 2 .

例1.指出下列椭圆方程的a、b、c、并求出 椭圆的焦点坐标,
x2 (1) ? y 2 ? 1 4 x2 y2 ( 2) ? ?1 4 5 x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

(3)4 x 2 ? 3 y 2 ? 12

解:椭圆方程具有形式 因此 c ?
a 2 ? b2 ? 4 ? 1 ? 3

其中

a ? 2, b ? 1

两焦点坐标为

(? 3,0), ( 3,0)

练习1.判断下列椭圆的焦点在何轴上,指出a,b,c;并求出焦点坐标

x2 y2 (1) ? ?1 25 49

x2 y2 ( 2) ? ?1 25 16

小结:
一个定义: 能准确说出椭圆的定义 二个方程:

x2 y2 y 2 x2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 2 a b a b

三个参数: a, b,c

达标测评
x2 y 2 1.已知椭圆方程为 + = 1,则这个椭圆的焦距为( ) 23 32 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5 2.F1、F2是定点,且 F1 F2 = 6,动点M 满足 MF1 + MF2 = 6, 则点M 的轨迹是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 x2 y 2 3.已知椭圆 + = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16 为3,则P到另一焦点的距离为( ) (A)2 (B)3 (C)5 (D)7

4、根据下列椭圆的方程,写出a,b,c的值, 并求出焦点坐标。
x2 y2 ? ?1 (1) 16 9 y2 x2 ? ?1 (2) 25 16

作业: P36 练习题 第1题


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