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【推荐】新课标2015-2016学年高二上学期第二次月考 数学(理)


2015-2016 学年上学期第二次月考

高二数学理试题【新课标】
考试时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点 (4,0),(0, 2) 的椭圆的标准方程是( )

A.

x2 y 2 ? ?1 4 2

B.

y 2 x2 ? ?1 4 2

C.

y 2 x2 ? ?1 16 4


D.

x2 y 2 ? ?1 16 4

2.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? ( A.

3 5

B.

5 3

C. 1

D. 2

3.在空间中,下列命题正确的个数是( ) ①平行于同一直线的两直线平行 ②垂直于同一直线的两直线平行 ③平行于同一平面的两直线平行 ④垂直于同一平面的两直线平行 A.1 B.2 C.3 D.4

5.设抛物线 y ? 8x 上一点 P 到 y 轴距离是 6,则点 P 到该抛物线焦点的距离是(
2



A.8 B.6 C.4 D. 2 6.正方体 AC1 中,点 P、Q 分别为棱 A1B1、DD1 的中点, 则 PQ 与 AC1 所成的角为( A.30o B.45o ) C.60o D.90o

7.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90° ,D、E、F 分别是棱 AB、 P BC、CP 的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦 值为( 1 A. 5 ) 2 B. 5 C.
2

F

5 5

2 5 D. 5

A D B E

C

8.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为( )

A. ?0,0?

B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C. 1, 2

?

?

D. ?2,2?

9.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ? 离心率 e 等于( A. 2 ? 1 10.P 为椭圆 ( ) A. ) B. 2 C. 2 ? 1

?
2

,则双曲线的

D. 2 ? 2

x2 y 2 ? 右焦点, 且 ?F ? ? 1 上的一点, F1 , F2 分别为左、 1PF 2 ? 60 , 则 PF 1 ? PF2 ? 9 4

8 3

B.

16 3

C.

4 3 3

D.

8 3 3


11.已知 (2,1) 是直线 l 被椭圆 A. x ? 2 y ? 4 ? 0 12.从双曲线

x2 y 2 ? ? 1 所截得的线段的中点,则直线 l 的方程是( 16 4
B. x ? 2 y ? 0 C. x ? 8 y ? 10 ? 0

D. x ? 8 y ? 6 ? 0

x2 y 2 2 2 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F 引圆 x ? y ? a 的切线, 2 a b 切点为 T ,延长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,

O 为坐标原点,则 MO ? MT 与 b ? a 的大小关系为(
A. MO ? MT ? b ? a C. MO ? MT ? b ? a B. MO ? MT ? b ? a D.不确定



第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

共 90 分)

13.已知过抛物线 y 2 ? 6 x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角是

.

14.已知椭圆 为 .

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 有公共的焦点,则双曲线的渐近线方程 和双曲线 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2

15.在四面体 ABCD 中, AB ? 1, AD ? 2 3, BC ? 3, CD ? 2, ?ABC ? ?DCB ? 则二面角 A ? BC ? D 的大小为 .

?
2

,

16.若抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点是 F ,准线是 l ,则经过两点 F 、 M (4, 4) 且与 l 相切 的圆共有 个.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分) 已知抛物线 x2 ? 4 y ,直线 y ? x ? 2 与抛物线交于 A, B 两点 (Ⅰ)求 OA? OB 的值; (Ⅱ)求 ?OAB 的面积.

??? ? ??? ?

19. (本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ? AD , AB ? 4, AD ? 2 2, CD ? 2 ,PA ? 平面 ABCD , PA ? 4 . (Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)点 Q 为线段 PB 的中点,求直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值.
Q A C B D P

20. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F a 2 b2

?

1? ? 3, 0 ,且椭圆 C 过点 P ? 3, ? . 2? ?

?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,与直线 x ? m ? m ? a ? 交于 M 点,若直线

PA, PM , PB 的斜率成等差数列,求 m 的值.

21. (本题满分 12 分) 如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形, ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面 ABCD ,

?DAB ?

?
3

, AD ? 2 , AM ? 1 , E 是 AB 的中点.

(Ⅰ)求证: DE ? NC ;

22. (本题满分 12 分) 已知 m ? 1 ,直线 l : x ? my ?

1 2 x2 m ? 0 ,椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 2 m

(Ⅰ)当直线 l 过 F2 时,求 m 的值;

G 、 H ,若原点在 (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,△ AF 1 F2 、△ BF 1F 2 的重心分别为
以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

参考答案
一、选择题:

DCBCA DCDCB 二、填空题: 13.45o 或 135o 三、解答题:

AB

14. y ? ?

3 x 4

15.60o

16.2

17.解: (Ⅰ)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

? x2 ? 4 y ? x1 ? x2 ? 4 , ……2 分 ? x 2 ? 4 x ? 8 ? 0 , ? ? 0 显然成立? ? ? x ? x ? ? 8 y ? x ? 2 ? 1 2 ?
( x1 ? x2 )2 ? y1 ? y2 ? ?4 16
……4 分

??? ? ??? ? ?OA? OB ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? ?8 ? 4 ? ?4
(Ⅱ)原点 O 到直线 y ? x ? 2 的距离 d ?

……5 分

2 ? 2, 2

……7 分

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 ?
? S?OAB ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 ? x2 ? 4 6 ,

……9 分 ……10 分

1 1 d AB ? ? 2 ? 4 6 ? 4 3 2 2

18.解: (法一) (Ⅰ)连结 CB1 交 BC1 于点 O ,? 侧棱 A1 A ? 底面 ABC ? 侧面 BB1C1C 是矩形,
B1 A1

? O 为 B1C 的中点,且 D 是棱 AC 的中点,? AB1 // OD ,
∵ OD ? 平面 BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D

……4 分

C1 O

? AB1 // 平面 BC1 D

……6 分
C

B D

A

(Ⅱ)? AB1 // OD ,? ?DOB 为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角或其补角.

……8 分

? ?ABC ?

?
2

, AB ? BC ? BB1 ? 2 ? BD ?

1 2, OD ? AB1 ? 2, OB ? 2 2

? ?OBD 为等边三角形,??DOB ? 60? ,? 异面直线 AB1 与 BC1 所成的角为 60? .……12 分
(法二) (Ⅰ)以 B 为原点, BC, BA, BB1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,

???? ? ??? ? A(0, 2,0), B1 (0,0, 2), B(0,0,0), D(1,1,0), C1 (2,0, 2) ,? BC1 ? (2,0,2), BD(1,1,0)
设 n ? ( x, y, z) 为平面 BC1 D 的一个法向量,

?

z

B1

? ???? ? ? ? ?n?BC1 ? 0 ?2 x ? 2 z ? 0 ?? 令 x ? 1, 则 n ? (1, ?1, ?1) ? ? ? ??? ? ?n?BD ? 0 ? x ? y ? 0

A1

……3 分

C1

B C x D

A

y

???? ???? ? ???? ? AB1 ? (0, ?2,2), AB1 ? n ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? AB1 ? n ,
又? AB1 ? 平面 BC1 D ? AB1 // 平面 BC1 D (Ⅱ)? AB1 ? (0, ?2, 2), BC1 ? (2,0, 2) , ……6 分 ……8 分

????

???? ?

???? ???? ? ???? ???? ? AB1 ?BC1 4 1 ? cos ? AB1 , BC1 ?? ???? ???? ? ? ? AB1 ? BC1 2 2 ? 2 2 2

? 异面直线 AB1 与 BC1 所成的角为 60? .

……12 分

19. (法一) (Ⅰ)证明:以 A 为原点,建立空间直角坐标系,如图,

z P

B?4,00?, D 0,2 2,0 , P?0,0,4?, A?0,0,0?, C 2,2 2,0 , Q?2,0,2?
则 BD ? ? 4,2

?

?

? ? 2,0?, AP ? ?0,0,4?, AC ? ?2,2 2,0?, QC ? ?0,2

?

2,?2 …3 分
B x

?

Q A C D y

? BD ? AP ? 0, BD ? AC ? ?4 ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0
? BD ? AP, BD ? AC, 又 AP ? AC ? A ,? BD ? 平面 PAC
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面 PAC 的一个法向量为 BD ? ? 4,2 2 ,0 , 设直线 QC 与平面 PAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ? ……6 分

?

?

……8 分

QC ? BD QC ? BD

?

8 12 24

?

2, 3

所以直线 QC 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

2 . 3

……12 分

(法二) (Ⅰ)证明:设 AC∩BD=O,∵CD∥AB,∴OB:OD=OA:OC=AB:CD=2 Rt△ DAB 中,DA= 2 2 ,AB=4,∴DB= 2 6 ,∴DO=

1 2 6 DB= 3 3
……3 分

同理,OA=

2 4 3 CA= ,∴DO2+OA2=AD2,即∠AOD=90o,∴BD⊥AC 3 3

又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD ……5 分 由 AC∩PA=A,∴BD⊥平面 PAC ……6 分 (Ⅱ)解:连 PO,取 PO 中点 H,连 QH,则 QH∥BO,由(Ⅰ)知,QH⊥平面 PAC P ∴∠QCH 是直线 QC 与平面 PAC 所成的角. ……8 分 由(Ⅰ)知,QH=

1 2 6 BO= , 2 3

1 1 4 3 PA=2,又 EC= OA+OC= 2 2 3 28 Rt△ HEC 中,HC2=HE2+EC2= 3
取 OA 中点 E,则 HE=

Q A

H

E B

O

D C

∴Rt△ QHC 中,QC= 2 3 ,∴sin∠QCH=

QH 2 ? QC 3

∴直线 QC 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

2 . 3 ? ?

……12 分

20.解: (Ⅰ)由已知 c ? 3 ,? a2 ? b2 ? 3, 因为椭圆过 P ? 3,

3 1 1? ? ,所以 a 2 ? 4b 2 ? 1 2?
……4 分

x2 ? y2 ? 1 解得 a ? 1, b ? 1 ,椭圆方程是 4
(Ⅱ)由已知直线 l 的斜率存在,设其为 k ,

设直线 l 方程为 y ? k x ? 3 , A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 易得 M m, k m ? 3

?

?

? ?

??

? 8 3k 2 ?y ? k x ? 3 x ? x ? ? ? ? 1 2 1 ? 4k 2 ……6 分 由? 2 ? ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 x ? ? y2 ? 1 ? x x ? 12k ? 4 1 2 ?4 ? 1 ? 4k 2 ?
1 1 1 1 k m? 3 ? y2 ? 2 ?k? 2 2 , k ? 2 , k ? ? PM PB m? 3 m? 3 x2 ? 3 x1 ? 3

?

?

k PA

y1 ?

?

?

……8 分

而 kPA ? kPB

1 1 1 1 y2 ? ( y1 ? )( x2 ? 3) ? ( x1 ? 3)( y1 ? ) 2 + 2 ? 2 2 ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) x1 ? 3 x2 ? 3 y1 ?
y1 x2 ? y2 x1 ? 1 ? x1 ? x2 ? ? 3( y1 ? y2 ) ? 3 2 ? 2k ? 3 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3

?

……10 分

因为 k PA 、 k PM 、 k PB 成等差数列,故 kPA ? kPB ? 2kPM

2k ? 3 ? 2 k ?

1 4 3 ,解得 m ? 3 m? 3

……12 分

21. (Ⅰ)证明:菱形 ABCD 中,AD=2,AE=1,∠DAB=60o,∴DE= 3 . ∴AD2=AE2+DE2,即∠AED=90o,∵AB∥DC,∴DE⊥DC …① ……1 分 ∵平面 ADNM⊥平面 ABCD,交线 AD,ND⊥AD,ND ? 平面 ADNM,∴ND⊥平面 ABCD, ∵DE ? 平面 ABCD,∴ND⊥DE …② ……2 分 由①②及 ND∩DC=D,∴DE⊥平面 NDC ∴DE⊥NC ……4 分 (Ⅱ)解:设存在 P 符合题意. z 由(Ⅰ)知,DE、DC、DN 两两垂直,以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D-xyz(如图) ,N
M D

C B

y

A

E

x

则 D (0,0,0) ,A ( 3, ?1,0) ,E ( 3,0,0) ,C (0, 2,0) ,P ( 3, ?1, h) (0 ? h ? 1) . ∴ EP ? (0, ?1, h), EC ? (? 3, 2,0) ,设平面 PEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ?

??? ?

??? ? ? ? n ? EP ? ? y ? hz ? 0 则? ,令 x ? 2 ,则平面 PEC 的一个法向量为 n ? (2h, 3h, 3) ……7 分 ??? ? n ? EC ? ? 3 x ? 2 y ? 0 ? ?
取平面 ECD 的法向量 m ? (0, 0,1) , ∴ cos ……9 分

?
6

? cos ? m , n ? ?

3 4h ? 3h ? 3
2 2

?

3 7h ? 3
2

?

7 3 ,解得 h ? ? [0,1] , 7 2
……12 分

即存在点 P,使二面角 P-EC-D 的大小为

? 7 ,此时 AP= . 6 7

m2 ? m2 ? 22.解: (Ⅰ)由已知 c ? m2 ?1 , l 交 x 轴于 ? ? m 2 ? 1 ,得 m ? 2 , 0 ? 为 F2 (c,0) , 2 ? 2 ?
(Ⅱ)设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , F2 (c,0) , F2 (c,0) 3分

? x1 y1 ? ? x2 y2 ? 因为 ?AF , ?, H ? , ?, 1 F2 , ?BF 1 F2 的重心分别为 G , H ,所以 G ? 3 3? ? 3 3? ? ???? ???? 因为原点在以线段 GH 为直径的圆内,所以 OG? OH ? 0, ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

……5 分


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