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【课堂新坐标】2015届高考数学(理)一轮总复习课后限时自测:第7章-第4节 直线、平面平行的判定及其性质]


课后限时自测
A组 一、选择题 1.(2014· 广州模拟)在空间中,下列命题正确的是( A.平行直线在同一平面内的射影平行或重合 B.垂直于同一平面的两条直线平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.平行于同一直线的两个平面平行 【解析】 A 中的射影也有可能是两个点, 错误. C 中两个平面也可能相交, 错误.D 中的两个平面也有可能相交,错误.所以只有 B 正确

. 【答案】 B ) 基础训练

2.下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为 其所在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形是( )

图 7-4-9 A.①② 【解析】 【答案】 B.①④ C.②③ D.③④

由线面平行的判定定理知图①②可得出 AB∥平面 MNP. A

3.如图 7-4-10,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( )

图 7-4-10 A.不存在 C.有 2 条 B.有 1 条 D.有无数条

【解析】 由题设知平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1,由平面的基本 性质中的公理知必有过该点的公共直线 l, 在平面 ADD1A1 内与 l 平行的线有无数 条,且它们都不在平面 D1EF 内,由线面平行的判定定理知它们都与平面 D1EF 平行. 【答案】 D

4.(2014· 开封模拟)如图 7-4-11 所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分 别为边 AB,AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则( )

图 7-4-11 A.BD∥平面 EFGH,且四边形 EFGH 是矩形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是菱形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是平行四边形 【解析】 1 由 AE∶EB=AF∶FD=1∶4 知 EF 綊5BD,

∴EF∥平面 BCD.又 H,G 分别为 BC,CD 的中点, 1 ∴HG 綊2BD,∴EF∥HG 且 EF≠HG. ∴四边形 EFGH 是梯形. 【答案】 B

5.(2014· 潍坊模拟)已知直线 a 和平面 α,β,α∩β=l,a?α,a?β,且 a 在 α, β 内的射影分别为直线 b 和 c,则 b 和 c 的位置关系是( A.相交或平行 C.平行或异面 【解析】 B.相交或异面 D.相交、平行或异面 )

由题意,若 a∥l,则利用线面平行的判定,可知 a∥α,a∥β,

从而 a 在 α,β 内的射影直线 b 和 c 平行;若 a∩l=A,则 a 在 α,β 内的射影直 线 b 和 c 相交于点 A;若 a∩α=B,a∩β=B,且直线 a 和 l 垂直,则 a 在 α,β 内的射影直线 b 和 c 相交;否则直线 b 和 c 异面.综上所述,b 和 c 的位置关系 是相交、平行或异面,选 D. 【答案】 二、填空题 6.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,下列结论中正确是________(只填序号). ①AD1∥BC1;②平面 AB1D1∥平面 BDC1; ③AD1∥DC1;④AD1∥平面 BDC1. 【解析】 由四边形 ABC1D1 是平行四边形可知 AD1∥BC1,故①正确;根 D

据线面平行与面面平行的判定定理可知,②④正确;AD1 与 DC1 是异面直线,故 ③错. 【答案】 ①②④

7.如图 7-4-12,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 C1C,C1D1,D1D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内 部运动, 则 M 只需满足条件________时,就有 MN∥平面 B1BDD1(填上正确的一 个条件即可,不必考虑全部可能情况).

图 7-4-12 【解析】 【答案】 当点 M 在线段 FH 上时,MN∥平面 B1BDD1. 点 M 与点 H 重合(或点 M 在线段 FH 上)

8.(2014· 徐州模拟)如图 7-4-13 所示,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN

是正方形,则在下列结论中,错误的为________.

图 7-4-13 (1)AC⊥BD; (2)AC∥截面 PQMN; (3)AC=BD; (4)异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° . 【解析】 ∵PQMN 是正方形,∴MN∥PQ,则 MN∥平面 ABC,由线面平 行的性质知 MN∥AC,则 AC∥平面 PQMN, 同理可得 MQ∥BD,又 MN⊥QM,则 AC⊥BD,故(1)(2)正确. 又∵BD∥MQ,∴异面直线 PM 与 BD 所成的角即为∠PMQ=45° ,故(4)正 确. 【答案】 三、解答题 9.如图 7-4-14,已知平行四边形 ABCD 中,BC=6,正方形 ADEF 所在 平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (3)

图 7-4-14 (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD=2,DB=4 2,求四棱锥 F-ABCD 的体积. 【解】 (1)证明 法一 ∵EF∥AD,AD∥BC,

∴EF∥BC. 又 EF=AD=BC,∴四边形 EFBC 是平行四边形, ∴H 为 FC 的中点. 又∵G 是 FD 的中点,∴HG∥CD.

∵HG?平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE.

法二

连接 EA,∵四边形 ADEF 是正方形,∴G 是 AE 的中点.

∴在△EAB 中,GH∥AB. 又∵AB∥CD,∴GH∥CD. ∵HG?平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE.

(2)∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD, 且 FA⊥AD,∴FA⊥平面 ABCD. ∵AD=BC=6,∴FA=AD=6. 又∵CD=2,DB=4 2,CD2+DB2=BC2,∴BD⊥CD. ∵S?ABCD=CD· BD=8 2, 1 1 ∴VF-ABCD=3S?ABCD· FA=3×8 2×6=16 2. 10. (2013· 课标全国卷Ⅱ)如图 7-4-15,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D,E 分 别是 AB,BB1 的中点.

图 7-4-15 (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求三棱锥 C—A1DE 的体积. 【解】 (1)证明 连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.

又 D 是 AB 中点,连接 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD,所以 BC1∥平面 A1CD.

(2)因为 ABC—A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB=2 2得 ∠ACB=90° ,CD= 2,A1D= 6,DE= 3,A1E=3, 故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D. 1 1 所以 V 三棱锥 C—A1DE=3×2× 6× 3× 2=1. B组 能力提升

1.如图 7-4-16 所示,若 Ω 是长方体 ABCD—A1B1C1D1 被平面 EFGH 截 去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为 线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中不正确的 是( .... )

图 7-4-16 A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.Ω 是棱台 【解析】 ∵EH∥A1D1,∴EH∥B1C1,

∴EH∥平面 BB1C1C.由线面平行性质,EH∥FG.

同理 EF∥GH.且 B1C1⊥平面 EB1F. 由直棱柱定义知几何体 B1EF—C1HG 为直三棱柱, ∴四边形 EFGH 为矩形,Ω 为五棱柱.故选 D. 【答案】 D

2.如图 7-4-17 所示,棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,设 D 是 A1C1 上的点且 A1B∥平面 B1CD,则 A1D∶DC1 的值为________.

图 7-4-17 【解析】 设 BC1∩B1C=O,连接 OD,

∵A1B∥平面 B1CD 且平面 A1BC1∩平面 B1CD=OD, ∴A1B∥OD,∵四边形 BCC1B1 是菱形, ∴O 为 BC1 的中点, ∴D 为 A1C1 的中点,则 A1D∶DC1=1. 【答案】 1

3 如图 7-4-18 所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 是棱 DD1 的中点. 在 棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

图 7-4-18 【解】 当点 F 是棱 C1D1 的中点时,B1F∥平面 A1BE.

证明如下:

如图所示,取 CD 的中点 G,连接 B1F,EG,BG,CD1,FG. 因 A1D1∥B1C1∥BC,且 A1D1=BC,所以四边形 A1BCD1 是平行四边形,

因此 D1C∥A1B. 又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点, 所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B. 这说明 A1,B,G,E 四点共面,所以 BG?平面 A1BE. 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点, 所以 FG∥C1C∥B1B,且 FG=C1C=B1B, 因此四边形 B1BGF 是平行四边形, 所以 B1F∥BG, 而 B1F?平面 A1BE,BG?平面 A1BE, 故 B1F∥平面 A1BE.


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