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恒定电流,物理竞赛课件


§1 稳恒电流
? 相关的基本概念 ? 简单电路及电表 ? 复杂电路与网络 ? 物质的导电性

§1.1 相关的基本概念
一、稳恒电流及条件
电流: 电荷的定向移动形成电流 产生条件:(1)存在自由电荷或离子 (2)存在电场 描述电流的物理量: 电流强度和电流密度。 1、电流强度 (标量) + + +

S<

br />+ + +

I

I ? ?q / ?t ? dq / dt
?q ? en vS?t

v 为电子的漂移速度大小。
-3

I ? en vS

1mA ? 10 A 单位: 1A;

2、电流密度: (矢量)
电流密度:通过与电流方向垂直的单位面积的电流。

? 方向规定: j

该点正电荷运动方向,即电场方向

?I dI j? ? ? env ?S dS ? ? ? dI ? j ? dS ? jdS cos?

?

? dS

I ? ??

S

? ? j ? dS

? j

I

例 (1)若每个铜原子贡献一个自由电子 ,问 铜导线中自由电子 数密 度为多少? (2)家用线路电流最大值 15A, 铜 导 线半径 0.81mm此时电子漂移速率多少? (3)铜导线中电流密度均匀,电流密度值多少?


(2)

N ? 28 3 A (1) n ? ? 8.48?10 个 / m M I ?4 -1 -1 vd ? ? 5.36 ?10 m ? s ? 2m ? h nSe

I 15 ?2 6 ?2 (3) j ? ? A ? m ? 7 . 28 ? 10 A ? m 2 S π ? (8.10 ?10?4)

3、稳恒电流与交变电流
对于一个由封闭面S 所包围的一般系统,单位时间内 流出的电量等于系统内总电量在同一单位时间内的减 小量,即电流连续性方程为:

? ? dQi dQ ?s j ? dS ? ? dt ? ? dt ? ? 恒定电流 ? j ? dS ? 0 ? I ? I1 ? I 2 ? 0
s

? dS ?

S

j

稳恒电流:电流大小、方向不随时 交变电流:电流大小、方向随时间 间发生变化,电荷分布也不随时间 而变化。 变化,稳恒电流中的电场是一个静 I ? I 0 sin(?t ? ? ) 电场。

I
S

I1

I2

二、电源及电动势
1、电源

非静电力: 能不断分离正负电荷, 使正电荷逆静电场力方向运动. 电源:提供非静电力的装置.

I

R ? +E ? Ek

正电荷所受的非静电力.
l

? 非静电电场强度 E : 为单位 k
l

+ ++ -

? ? ? ? ? W ? ? q( Ek ? E ) ? dl ? ? qEk ? dl

2、电动势 电动势的定义:单位正电荷绕闭合回路运动一周, ? ? 非静电力所做的功. W ?l qEk ? dl E? ? 电动势 q q ? ? ? ? ? ? E ? ? Ek ? dl ? ? Ek ? dl ? ?外 Ek ? dl ? 0 外 内 ? ? ? ? Ek ? dl 电源电动势 E ? ?l Ek ? dl ? ? 内

*

+

E_

Ri

*

正极

电源

电源的电动势 E 负极 和内阻 Ri

三、欧姆定律 及 焦耳定律
1、欧姆定律
在稳恒条件下,通过一段导体的电流强度I 与导体两端的电压U成正比,即

I

R

U

U ? IR
在保持同一温度下的一段导体, 其电阻 R由导体性质决定,与通 过它的电流大小无关。也只有在 此时,才称上式为欧姆定律。 符合欧姆定律时,其伏安特性 曲线呈线性,如金属导线、电 解液等的伏安特性曲线。

I

V

线性电阻元件

不符合欧姆定律时,伏安特性曲线是一条曲线,对应的元 件称为非线性元件,如钨丝灯、晶体管、电子管均为非线 性元件。

I

I/mA

二极管具有单向导电性!

V
开通电压,硅管 约0.6~0.8V,锗 管约0.2 ~0.4V。

0
钨丝灯伏安特性曲线

U/V

2、电阻和电阻率 电阻定律

l 1 l R?? ? S ? S
电阻率 电导率

??

1

?

电阻率(电导率)不但与材料的种类有关,而且还 和温度有关 . 一般金属在温度不太低时: 电阻率

?t ? ?0[1 ? ?t ? ?t ? ?] ? ?0[1? ?t ]
2

?0 为 t ?0oC 时的电阻率, ? 为电阻温度系数。

I

r1

I

r2

例1 一内、外半径分别为 R1和 R2 的金属圆筒, ? 长度 , 其电阻率 ,若筒内外电势差为 ,且筒 U l 内缘电势高,圆柱体中径向的电流强度为多少 ?

dr dr 解法一 dR ? ? ?? S 2π rl

U

R??

R2

R1

R2 ? ln 2π rl 2π l R1

?dr

?

r
R2

R1

l

U R2 I ? ? 2π lU ? ln R1 R

3、欧姆定律 的微分形式
一段电路的欧姆定律

I ?U / R
R ? ?l / S U ? El El ES I? ? ? ?ES ( ?l / S ) ?

S

I
l U

I ? jS
? ? E j

? 1 ? 欧姆定律的 ? j ? E ? ?E 微分形式 ?

? 表明任一点的电流密度 j 与电场 ? 强度 E 方向相同,大小成正比。

4、焦耳定律 和 电功率
若电流流经的一段电路中只含有电阻元件, 那么电场力做的功全部转化为热,发出的热 量Q满足

I

R

U

Q ? UIt ? I Rt ? (U / R)t
2 2

焦耳定律

此时电阻发热消耗的电功率为:

P ? Q / t ? UI ? I 2 R ? U 2 / R
单位体积的热功率称为热功率密度,即

p ? P /V ? I 2R /V
又由于 I ? jS ,

R ? l /(?S ), V ? Sl
2

焦耳定律的微分形式: p ? j / ?

5、全电路欧姆定律 和 含源电路路端电压
一个电源和一个负载电阻R构成最简单的闭合回路,则闭合 回路欧姆定律为:

I ? ? /(r ? R)

I

电源总功率: P total ? ?I
2 电源的输出功率: Poutput ? ?I ? I r

?,r

R

电阻R上的消耗功率: P consumed ? I R
2

输出功率达到最大的匹配条件: r ? R 注意:最大功率的获得,对于较高内阻、小功率的电路(如电 子电路)才有意义,而对于低内阻大功率的电路是没有意义的, 甚至会导致电流过大而造成危险事故。

一段含源电路中有电流通过,在充电和放电两种情况下,其 路段电压为:
A A

I I

?,r ?,r

R R

B B

放电:U AB ? ? ? I (r ? R) 充电:U AB ? ? ? I (r ? R)

电路中任意两点间电势降落等于连接这两点的任一支路上各电 路元件电势降落的代数和。 说明:对于电阻,沿电流方向看去电势降落为正、逆电流方向 看去为负;对于电源,从正极到负极看去电势降落为正、从负 极到正极看去为负。 ? ,r
A

I1

1

1

U AC ? ?

I4 R1
D

B I 2

R2

R3 ? 2 , r2 I 3

C

§1.2 简单电路及电表
一、串联电路
R1
I

R2
U2

Rn
Un

U1

多个电阻串联起来,形成一条通路,通过各电阻的电流强度I 相同,则串联电路两端的总电压为

U ? U1 ? U 2 ? ?? U n ? I ( R1 ? R2 ? ?? Rn )

串联电路的等效电阻为 R ? R1 ? R2 ? ?? Rn 各电阻消耗的功率满足
IUn P Pn IU1 IU2 P2 1 I ? ? ??? ? ? ??? R1 R2 Rn R1 R2 Rn
2

二、并联电路
当电流通过并联电路时,各电阻两端有相同 的电压,并且通过并联电路的总电流为:

I1

R1
R2

I2

I ? I1 ? I 2 ? ? ? I n ? U / R1 ? U / R2 ? ? ? U / Rn
In
Rn

并联电路的等效电阻满足
1/ R ? 1/ R1 ? 1/ R2 ? ?? 1/ Rn

U

各电阻消耗的功率满足
U 2 ? IU1R1 ? IU2 R2 ? ? ? IUn Rn ? P 1R 1 ?P 2 R2 ? ? ? P n Rn

三、伏特表与安培表
伏特表和安培表均由电流计( 表头)改装而成,通 常采用的有磁电式电流计。 反应电流计主要特性的参量:满偏电流Ig 和 内阻Rg。一般而言,满偏电流较小。
? Fab

? o Fda

? Fcd
I

? B

? o' Fbc

Ig

G

Rg

四、欧姆表

五、平衡电桥

六、电位差计

§1.3 复杂电路和网络
直流电路中除了电源外,只有电阻元件。复杂电 路是多个电源和多个电阻,甚至电容器的复杂连接。
支路:由若干个电源和(或)电阻串 联而成的通路,且电流处处相等。

节点:三条或更多条支路的连接点。
回路:几条支路构成的闭合通路。

由图论可知,对于一个有n个节点 p 条支路的电路中, 共有(p?n+1)个独立回路。

一、基尔霍夫定律
处理电路的典型问题,在给定电源电动势、内阻和 电阻的条件下,计算出每一条支路的电流;或者已知某 些支路中的电流,要计算某些电阻或电动势。 复杂电路计算的基本公式是基尔霍夫方程组,原则 上可用来处理任何复杂电路。

1、基尔霍夫第一方程组 (节点方程)
若规定流出节点的电流强度为正,流入节 点的电流强度为负,则节点各个支路电流 的代数和为零,即
I1

I3

? ?Ii ? 0

(电荷守恒)

I2

2、基尔霍夫第二方程组 (回路电压方程)
若规定电势从高到低的电势降落为正,电 势从低到高的电势降落为负,则沿回路环 绕一周,电势降落的代数和为零,即
A

I 1 ?1 , r1
B I 2

I4 R1
D

R2

(? ?? i ) ? (? ? I i Ri ) ? 0 (恒定电场)

R3 ? 2 , r2 I 3

C

规定绕行方向后,电势降落正负的确定: 电阻的电势降落:沿电流方向看去,电势降落为正,逆电流方 向看去为负。(电流方向未知时,可预设电流方向)
电源的电势降落:从正极到负极看去电势降落为正,从负极到 正极电势降落为负。

如图中ABCDA回路,其回路电压方程为:

? ?1 ? I1r1 ? I 2 R2 ? ? 2 ? I 3 (r2 ? R2 ) ? I 4 R1 ? 0

【练习】
如图所示的电路中,已知电源电动势ε1=3.0V, ε2=1.0V,内 阻r1=0.50Ω, r2=1.0Ω,电阻R1=10.0Ω, R2=5.0Ω, R3=4.5Ω, R4=19.0Ω。求电路中三条支路上的电流强度。 ?1, r1

分析与解答:
如图标定环绕方向和各支路电流方向。 根据基尔霍夫第一方程组可得:

R3
I1 I2

1
R4

I 3 R1

R2

2
? 2 , r2

I1 ? I 2 ? I 3

根据回路1、2的绕行方向,可写出基尔霍夫第二方程组:

?1 ? I1 (r1 ? R2 ? R3 ) ? I3 R1 ? 0 ? ? 2 ? I 2 (r2 ? R4 ) ? I3 R1 ? 0
解得各支路电流为: I1 ? ?160mA , I 2 ? 20mA , I 3 ? ?140mA

【练习】
在非平衡电桥电路中,已知电源电动势ε=1V,内阻不计, 电阻R1=1Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, R4=4Ω , R5=5Ω 。求电路中通 I2 C I 3 过R1,R2,R3的电流强度。

分析与解答:
如图标定环绕方向和各支路电流方向. 根据基尔霍夫第一方程组可得:

R2

I1

R3

A

B

I

R4

R1
I4
D

I5

R5

I 2 ? I 3 ? I1 , I 5 ? I 4 ? I1 , I ? I 4 ? I 2 ? I3 ? I5
I 2 R2 ? I1R1 ? I 4 R4 ? 0,
? ? ? I 4 R4 ? I 5 R5 ? 0

?

根据三个独立回路的绕行方向,写出基尔霍夫第二方程组:

I3 R3 ? I5 R5 ? I1R1 ? 0,

结合以上六个方程,解得各支路电流为:
62 2 41 39 21 23 I? A, I1 ? A, I 2 ? A, I 3 ? A, I 4 ? A, I 5 ? A 199 199 199 199 199 199

利用以上结论,可以把电路中A和B之间的桥式电路的等 效电阻 RAB 计算出来,由于

? ? I 4 R4 ? I5 R5 ? 1 ? IRAB
可得A和B之间的桥式电路的等效电阻
RAB 199 ? ? 3.2? 62

二、等效电源原理
原则上可用基尔霍夫定律计算任何复杂电路中每一支路 中的电流,但有时计算较为冗繁。

而实际的电路计算中常常不需要计算每一支路的电流, 只需计算某一支路的电流,或者部分电路的等效电阻。解 决这样的问题时,可运用一些由基尔霍夫定律导出的定理。

1、电压源与电流源
一个实际电源 (ε, r) 可看成是电动势为 ε、 内阻r =0的理想电源和内阻 r 的串联。 ? 只有电动势而无内阻的理想电源就是理 r 想电压源,又称为恒压源,其提供的电动势 ε与外阻无关。非理想情况下, 内阻r≠0的实 际电源称为电压源。
I
R

设想有一种理想电源,不管外电路电阻如何 变化,总是提供一个不变的电流I0,这种理 I 想电源称为恒流源。当一个电源串联一个很 0 大的电阻时,就可以近似为一个恒流源。

I

r0

R

而非理想情况下的实际电源,可以称为电流源,相当于恒流 源I0与一定内阻r0的并联。

对同一个电源和同一个外电路电阻R,可用两种等效电源。 如图所示,计算其外电路电流:

r r0 I? ? , I ? I0 R?r r R?r R ? r0
由于等效特性,I必然相同,可得:

?

?

?
r

I
R

I

I0

r0

R

I0 ?

?
r

, r0 ? r

即电流源的I0等于电压源的短路电流、电流 源的内阻等于电压源的内阻时,两电源等效。

2、等效电源定理
等效电压源定理(戴维宁定理):两端有源网络可以等效于 一个电压源,其电动势等于网络的开路端电压,其内阻等 于从网络两端看除源(将电动势短路,内阻仍保留在网络中) 网络的电阻。
A

A
R

?
r

I

R B

B

所谓“网络”,泛指电路或其中一部分;所谓“有源”,指网络 中有电源;所谓“两端”,指网络与其余部分电路的联系只有两 个接口。

等效电流源定理(诺尔顿定理):两端有源网络可等效于一个 电流源,电流源的电流I0等于网络两端短路时流经两端点的 电流,内阻等于从网络看除源网络的电阻。

A

A
I
R

I0

r0
B

R

B

【练习】
利用电压源与电流源之间的等效条件,结合恒流源定理计 算【练习1-1】中通过R1的电流。 已知ε1=3.0V, ε2=1.0V, r1=0.50Ω, r2=1.0Ω, R1=10.0Ω, R2=5.0Ω, R3=4.5Ω, R4=19.0Ω。

分析与解答:
将R1,R2归并到电源ε1的内 阻中,将R4归并到电源 ε2 的内阻中,两个电源的电 动势和内阻分别为
R1

?1 , r1?
R3

?1 , r1

1
I1 I2

I 3 R1

R2

? 2 , r2?

R4

2
? 2 , r2

图(a)

?1 ? 3.0V , r1? ? r1 ? R2 ? R3 ? 10?
? 2 ? 1.0V , r2? ? r2 ? R4 ? 20?

把图(a)中的电压源改为等效的电流源,如 图(b)所示。两电流源的电流分别为:

I 01
I

r01
R1

I 01 ? ?1 / r1? ? 0.3A, r01 ? 10? I 02 ? ? 2 / r2? ? 0.05A, r01 ? 20?
因两个电流源并联,可以处理为一个电流 源,对应的哦电流和内阻为

I 02

r02

图(b)

r01r02 I 0 ? I 01 ? I 02 ? 0.35A, r0 ? ? 6.7? r01 ? r02
流过R1的电流为

r0 I ? I0 ? 0.14A r0 ? R1

三、复杂网络的等效电阻

1、对称性与等电势简化
一个无源电阻网络,经过某种“操作” (如镜面反射、旋 转),所得新网络与原网络相同,则称原网络在此操作下 具有对称性。

电阻分布具有对称性的电阻网络,一旦接入电源,往往可 以在网络中找到由于对称性所提供的等势点。
等电势点之间的连接线路可以拆除;有时一个等电势点根 据需要可以分成若干个点(慎用);而若干个等电势点根据 需要可合并为一点。从而使问题得到简化。

【练习】
三只相同的金属圆圈,两两正交地连成如图所示的形状。 若每一只金属圈原长的电阻为R,试求图中A、B两点间的 等效电阻RAB。

分析与解答:
r
r/2

r
r/2 r/2
r/2
B

A B

A

r

r

R AB

5 5 ? r? r 12 48

【练习】
已知12根长度相同、阻值均为R的电阻组成立方体。 试求等效电阻:RAC,RAB,RAG 。
E F

分析与解答:
(1) RAC的求解
A E F B

A

B

H

G

D

A E F

B

C

2R

H
D

A

3R
2R

G C
D

C

H

G

C

R AC

3 ? R 4

(2) RAB的求解
A R

R/2

D( E)
R/2
H

R/2
R

B R/2 D( F ) R/2 G

R
A

R/2

R/2
2R

R/2

C

RAB ?

7 R 12

(3) RAG的求解
R R R

A

G

R AG ?

5 R 6

【练习】
在如图所示的有阻金属丝网格中,每一段金属丝的电阻值 为r。试求等效电阻:RAB,RMN,RAM和 RAN 。

分析与解答:
C
N
E M A
13 RAB ? R 7 5 RMN ? R 7

C
E

B

N

B
M A F

D

RAM和 RAN 的计算是否 有对称可用?

2、电流叠加原理
电流叠加原理表述为:若电路中有多个电源,则通过电路 中任一支路的电流,等于各个电动势单独存在时在该支路 产生电流的代数和。

U AB ? ? Ii Ri ? IRAB

对一些并不具备直观的对称性的电路,可根据电流叠加性, 重新设置电流分布,将原来不对称问题转化为具有对称性 的问题加以解决。 原则上,不论多么复杂的两端电阻网络,其等效电阻总可 以在求得电流分布(可令流入电流强度为I)后得以解决。 这是一种常规的方法,但不一定是最简单的方法。

【练习1-6】
如图所示,ε2=2ε1=6.0V, r1=8Ω, r2=2Ω, R=8Ω,试分别求断 开和合上电建K时,伏特表的读数。

分析与解答:
根据电流叠加定理,画出相应 的等效电路,如图(a)和图(b)。 图(a) 中流经R的电流为 ?1 r2 1
I1 ? r1 ? Rr2 /( R ? r2 ) R ? r2 ? 16 A

A

K
R

?1 , r1

? 2 , r2 V
B

r1
?1

图(b) 中流经R的电流为 ?2 r1 1
I2 ? r2 ? Rr 1 /( R ? r 1) R ? r 1 ? 2

r2

R

r1

r2

R

A

?2

图(a)

图(b)

则原电路中伏特表的读数: U AB ? ( I1 ? I 2 ) R ? 4.5V

【练习】
一段电阻率为常量、粗细均匀的无限长金属导线,导线上 有A、B两点,A、B间的一段金属导线的电阻为r。试求当 A、B作为端点时,此无限长金属导线的等效电阻RAB。
A B

分析与解答:

【练习】
如图所示, 由有阻金属丝构成二维的正方形、正三角形、 正六边形的无限网格, 以及三维空间中正方体结构的无限 网格。已知每一段电阻阻值为r, 求相邻两个格点A,B之 间的等效电阻RAB。

A

B

C

A

B

A

C
B

A

B

Application of the lattice Green’s function for calculating the resistance of infinite networks of resistors. Author: Jozsef Cserti. arXiv:cond-mat/9909120v4

【练习】
如图所示, 在”田”字形的复杂电路中, 每小段电阻丝阻 值均为r, 求A,B之间的等效电阻RAB。

分析与解答:
O
A B

【练习】
如图所示, 电阻网络包含两个立方体, 每小段电阻丝阻值 均为r, 求A,B之间的等效电阻RAB。

分析与解答:

C

B

A

D

【练习2-9】
如图所示, 有阻金属丝构成三棱柱, 每小段电阻丝阻值均 为r, 求A,B之间的等效电阻RAB。

分析与解答:
D

B

3、Y-Δ电路的等效代换
在处理复杂电路时,常常会遇到电阻连接成Y型或Δ型, 无法用简单的串并联计算。 若把Y型连接等效代换成Δ型连接,或把Δ型连接等效代换 成Y型连接,就可以把复杂电路简化为串并联电路加以处 理。
1

I1

2

1

R1

R2

I2

I12

R12

2

R3

R31

I 23
I 31
3

R23

I3
3

所谓Y-Δ等效代换,是指在做两种电阻连接的代换时,应 保持电路中其余部分在三个端点的电势U1, U2, U3以及流经 三个端点的电流I1, I2, I3完全相同。

在Y型网络中:I1R1 ? I 2 R2 ? U12 ;
I 3 R3 ? I1R1 ? U31; I1 ? I 2 ? I 3 ? 0

1

I1

2

R1

R2

I2

R3
I3
3

消去I2, I3,可得

1 I1 ? ( R3U12 ? R2U 31 ) R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1
1

I12
R31 I 31

R12

2

在Δ型网络中 I12 R12 ? U12 ; I 31 R31 ? U 31 ;
U12 U 31 I1 ? I12 ? I 31 ? ? R12 R31

I 23
R23

3

可得Y-Δ等效代换的电阻等效关系为:
R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R12 ? ; R3 R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R31 ? R2 R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R23 ? R1

联立以上方程可得Δ-Y反代换的电阻等效关系为:
R12 R31 R1 ? ; R12 ? R23 ? R31 R31 R23 R3 ? ; R12 ? R23 ? R31 R23 R12 R2 ? ; R12 ? R23 ? R31

【练习】
如图所示电路中,已知ε1=5V, 内阻不计。电阻 R1=1Ω,

R2=2Ω, R3=3Ω。试利用Y-Δ变换,求出等效电阻RAB, 并给出通过电源的电流强度I。 R R
2

分析与解答:
把桥式电路中1,2,3个节点构成的Δ型 电路变换为Y型电路,如图所示。 利用Y-Δ变换公式,可得r1, r2, r3的 数值: R2 R3 r1 ? ? 1?; R1 ? R2 ? R3
R3 R1 1 r2 ? ? ?; R1 ? R2 ? R3 2

2

3

A
I

1

R1

B

R3

3

R2

?
A
I

1

r1

r3

R3
B

r2

R2

?

R2 R1 1 r3 ? ? ? R1 ? R2 ? R3 3
因此,A, B两点之间的等效电阻为
RAB

A
I

1

r1

r3

R3
B

r2

R2

?

(r2 ? R2 )(r3 ? R3 ) 10 17 ? r1 ? ? 1? ? ? r2 ? R2 ? r3 ? R3 7 7

通过电源的电流强度为 35 I ? ? / R AB ? A 7

【练习】
双T型桥式桥式电路中各个电阻的阻值如图所示, 求等效 1? 1? 电阻R13 。

分析与解答:
2 . 5?
1 2

1

2?

2?

2
2?

1?

2?

8?
4? 4? 2?

3
5? 2 . 5?
2
4?

5? 3

8?
1
4?

5?
2?

118 R13 ? ? 93

3

4、估算法
【练习】
如图所示, 无限梯形网络中, 每小段电阻丝阻值均为r, 求等效电阻RAB, RAC, RAD 。
B D F

A

C

E

分析与解答:

四、电容网络
与无源电阻网络相似,主要讨论两端无源电容网络等效 电容的问题。 求解等效电容的方法与求解等效电阻的方法类似,可利

用电容器的串并联公式, 对简单网络采用简单串并联 的方法; 也可利用电容网络的对称性, 采用对称性和 等电势方法; 也可利用Y-Δ等效变换对电路进行简化。
应该指出,由于电阻串并联公式和电容并串联公式相

似,可把电容网络中每个电容用其倒数表示,再按求 解等效电阻的各种方法,求得原电容网络的”等效倒 数电容”,即可得到电容网络的等效电容。

1、电容串并联
C1
C2

C1

C2

C12 ? C1 ? C2

1 1 1 ? ? C12 C1 C2

【练习】
如图所示, 已知C1=1uF, C2=2uF, C3=3uF, C4=4uF, 求A, B两端点间的等效电容CAB。
C2

C1

C3
C4

A B

C1

C2

C3

C4

B

A

“倒数电容”代替 法 已知n个电容器的电容分别为C1,C2,…,Cn,则这n个电容
器的串联和并联公式分别为:
1 1 1 1 ? ? ? ... ? ; C C1 C2 Cn

C ? C1 ? C2 ? ...? Cn

对于电容C的引入新的参量C*, 令

C* ? 1/ C

称为“倒数电容”

则这个倒数电容的串联和并联公式分别为:
* * C* ? C1* ? C2 ? ...? Cn ;

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ; * * * * C C1 C2 Cn

这与电阻的串联和并联公式在形式上完全相同。

【练习】
如图所示, 在电容网络中各电容器的电容均为C, 求A,B 两端点间的等效电容CAB。

分析与解答:
B A

【练习】
如图所示, 无限梯形电容网络中, 每个电容器的电容均为 C, 求等效电容CAD 。 B D F

A

C

E

分析与解答:

2、电容器的Y-Δ等效变换
有时可以采用电容器的Y-Δ等效变换。变换关系式可以利 用“倒数电容”代换法得到。仿照电阻的 Y-Δ等效变换可 以给出“倒数电容”的等效代换:

C C ?C C ?C C C ? ; * C3 * * * * * * C C ? C C ? C * 1 2 2 3 3 C1 C31 ? ; * C2
* 12 * 1 * 2 * 2 * 3 * 3 * 1

* * * * * * C C ? C C ? C * 1 2 2 3 3 C1 C23 ? ; * C1

Δ-Y反代换的“倒数电容”等效关系为:
* * * * * * C C C C C C * * C1* ? * 12 * 31 * ; C2 ? * 23 * 12 * ; C3 ? * 31 * 23 * ; C12 ? C23 ? C31 C12 ? C23 ? C31 C12 ? C23 ? C31

【练习2-13】
如图所示, 在电容桥式网络中各电容器的电容分别为: C1=1uF, C2=2uF, C3=3uF。求A,B两端点的等效电容CAB。

分析与解答:
A

C1

C2

C3
C2

B
C1

【练习2-14】
如图所示, 在电容桥式网络中各电容器的电容分别为: C1=1uF, C2=2uF, C3=3uF。求A,B两端点的等效电容CAB。

分析与解答:
1
2 2

4 2 2 4

12

A

3

B

3 、有源电阻和电容网络
电容器是一个储能元件,具有隔直通交的作用。
有源电阻、电容网络问题本质上是稳恒电流问题,网络中 凡有电容器的地方电流断路。

因此,这类问题中除了在网络中要分析稳恒电流外,还考 考虑各个电容器上储存有电量。

【练习】
如图所示, 在有源网络中,每个电阻阻值R=1Ω,其电容 器的电容分别为:C1=C2=C3=C4=1uF,各个电源电动势分 别为: ε1=4V, ε2=8V, ε3=12V, ε4=16V。 求: (1)每个电容器的电压和电量; (2)若HB短路,则电容 器C2上的电量如何变化?
C
?1

分析与解答:
B

R
C3

G
F
C1

?2

R
?3
C2

R
A

D
C4

H
E

?4

R

【练习】
如图所示, 电源不计内阻,电动势为ε,电阻为R1, R2,电 容C1, C2, C3均已知。求:当K闭合时,C3所带的电量(设 电容器原不带电)。 ?

分析与解答:

A

R1

B

R2

D

C3
K E

C1

C2

§1.4 物质的导电性
一、金属的导电性

二、液体的导电性

三、气体的导电性

四、半导体的导电

五、超导现象简介

六、电位差计


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