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2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)文科数学(打印版含答案)


试卷类型:A

2015 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷<

br />一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N }, B ? {6,8,10,12,14} ,则集合 A (A) 5 (B)4 (C)3 (D)2

B 中的元素个数为

2、已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? (A) (?7, ?4) (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)

3、已知复数 z 满足 ( z ?1)i ? 1 ? i ,则 z ? (A) ?2 ? i (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i

4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1, 2,3, 4,5 中任 取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为 (A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 的准线与 E 的两个交点,则 AB ? (A) 3 (B) 6 (C) 9

1 2 ,E 的右焦点与抛物线 C : y ? 8 x 的焦点重合, A, B 是 C 2

(D) 12

6、 《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意 思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) , 米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各 图1 数学(文科)试题 A 及参考答案 第 1 页 共 14 页广州市第四中学数学科整理

为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有 (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛

7、已知 ?an ? 是公差为 1 的等差数列, S n 为 ?an ? 的前 n 项和,若 S8 ? 4 S 4 且则 a10 ? A.

17 2

B.

19 2

C.10

D.12

8、函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图 2 所示,则 f ( x) 的单调递减区间为

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
(A) (k? ?

y 1

开始 输入t

O

1 4

5 4

x

S=1,n=0,m= S=S-m

1 2

图2 9、执行右面的程序框图 3,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
m m= , n=n+1 2 是 S>t 否 输出n 结束
2r

图3
x ?1 ? ?2 ? 2, x ? 1 10、已知函数 f ? x ? ? ? ,且 f ? a ? ? ?3 ,则 f ? 6 ? a ? ? ? ?? log 2 ? x ? 1? , x ? 1

(A) ?

7 4

(B) ?

5 4

(C) ?

3 4

(D) ?

1 4

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体 三视图中的正视图和俯视图如图 4 所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r= (A)1(B)2(C)4(D)8
r

r 正视图

12. 设 函 数 y ? f ? x ? 的图像与 y ? 2

x?a

2r

的 图 像 关 于 直 线 y ? ?x 对 称 , 且
俯视图

f ? ?2 ? ? f ? ? 4? ? 1,则 a ? ( )
(A)-1 (B)1 (C)2 (D)4

图4

数学(文科)试题 A 及参考答案

第 2 页 共 14 页广州市第四中学数学科整理

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22) 题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答. 二、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? 2an , S n 为 ?an ? 的前 n 项和,若 S n ? 126 ,则 n ? 14.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 的图像在点 1, f ?1? 处的切线过点 ? 2, 7 ? ,则 a ?
3

. .

?

?

?x ? y ? 2 ? 0 ? 15.若 x, y 满足的约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
16.已知 F 是双曲线 C: x 2 ? 最小时,该三角形的面积为



y2 ? 1 的右焦点,P 是曲线 C 的右支上的一点, A 0, 6 6 ,当△APF 的周长 8


?

?

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分12分) 已知 a , b , c 分别为△ ABC 内角 A , B , C 的对边, sin 2 B ? 2sin Asin C . (Ⅰ)若 a ? b ,求 cos B ; (Ⅱ)设 B ? 90? 且 a ?

2 ,求△ ABC 的面积.

18、 (本小题满分12分) 如图 5 ,四边形 ABCD 为菱形, G为 AC 与 BD 的交点,

E

BE ? 平面ABCD 。
(Ⅰ)证明: 平面AEC ? 平面BED ; (Ⅱ) 若 ?ABC ? 120?,AE ? EC , 三棱锥 E-ACD 的体积为
A G B D C

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

图5

19、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售量 y (单 位: t )和年利润 z (单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi (i=1,2, · · · ,8)数据 作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。 数学(文科)试题 A 及参考答案 第 3 页 共 14 页广州市第四中学数学科整理

620

年销 售 量 吨

600 580 560 540 520 500 480 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 年宣传费/千元 54 56

x
46.6

y
563

w
6.8

? (x ? x)
i ?1 i

8

2

? (w i ? w)2
i ?1

8

(w ? w)( y ? y ) ? (x ? x)( y ? y) ?
8 i ?1 i i i ?1 i i

8

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi ?

xi , w ?

1 8 ? wi 8 i ?1

(Ⅰ)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方 程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利润 z 与 x 、 y 的关系为 z ? 0.2 y ? x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (ⅰ)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和截距的最小二

乘估计分别为: ? ?

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u
i ?1

n

.

i

? u)

2

20、 (本小题满分 12 分) 已知过点 A ? 0,1? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于 M,N 两点.
2 2

(I)求 k 的取值范围; (II)若 OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN .

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21. (本小题满分12分) 设函数 f ? x ? ? e
2x

? a ln x .

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ' ? x ? 零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第 一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22) (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于 E C (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 OA ?
E D A O B

3CE ,求∠ACB 的大小.

图6 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : 半轴为极轴建立极坐标系。 (Ⅰ)求 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点, x 轴的正
2 2

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求 ?C2 MN 的面积

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f ( x) ? 1 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学参考答案 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、答案:D. 解析: A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N } 表示除 3 余 2 的自然数,所以 A 2、答案:A. 解析:因为 A(0,1), B(3, 2) ,所以 AB ? (3,1) ,又 AC ? (?4, ?3) ,所以 BC ? AC ? AB ? ( ?7, ? 4) ,故选 A. 3、答案:C. 解析: ( z ? 1)i ? 1 ? i ? z ? 1 ? 4、答案:C. 解析:从 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,有 , , , , , , ( 1, 2,3) ( 1, 2, 4) ( 1, 2,5) ( 1,3, 4) ( 1,3,5) ( 1, 4,5) , , , 共 10 组,其中只有 为勾股数, P ? (2,3, 4) (2,3,5) (2, 4,5) (3, 4,5) (3, 4,5) 5、答案:B. 解析:抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 ,准线 x ? ?2 即椭圆 E 的右焦点为 ,所以 c ? 2 ,又离心 (2, 0) (2, 0)
2

B = ?8,14? ,故选 D.

1? i ? 2 ? i .故选 C. i

1 .故选 C 10

率为

1 x2 y 2 ,所以 a ? 4 , b ? 2 3, 故椭圆 E 的方程为 ? ? 1 ,当 x ? ?2 时, y ? ?3 ,所以 AB ? 6 , 2 16 12

故选 B. 6、答案:B.

1 16 1 1 1 16 320 2 ? 3 ? ( )2 ? 5 ? ,米堆的体积 V ? ? ? R h ? , 2 3 4 3 12 3 9 V 320 ? ? 22 ,故选 B. 从而估算出堆放斛的米约有 1.62 9 ?1.62
解析: 设地面半径为 R,则有 ? R ? 8 ? R ? 7、答案:B. 解析:由

a1 ? a8 1 19 ?a ?a ? ? 8 ? 4 ? 1 4 ? 4 ? , d ? 1 得 a1 ? , a10 ? a1 ? 9d ? ,故选 B 2 2 2 ? 2 ?
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8、答案:D. 解析: 利用图像, 由三角函数, 对称性与周期性 的单调递减区间为 [2k ? 9、答案:C. 解析:开始 S ? 1 ,n=0,m=

T 5 1 1 T 1 1 T 3 则 f ( x) ? ? ?T ? 2, ? ? ? , ? ? , 2 4 4 4 4 4 4 4 4

1 3 , 2k ? ](k ? Z) ,故选 D. 4 4 1 , 2

1 1 m 1 1 1 S ? S ? m ? 1 ? = ,n=n+1=1,m= ? , ? , 2 2 2 4 2 100 1 1 1 m 1 1 1 S ? S ? m ? - = ,n=n+1=2,m= ? , ? , 2 4 4 2 8 4 100 1 1 1 m 1 1 1 S ? S ? m ? ? = ,n=n+1=3,m= ? , ? , 4 8 8 2 16 8 100 1 1 1 m 1 1 1 S ? S ? m ? ? = ,n=n+1=4,m= ? , ? , 8 16 16 2 32 16 100 1 1 1 m 1 1 1 S ? S ? m ? ? = ,n=n+1=5,m= ? , ? , 16 32 32 2 64 32 100 1 1 1 m 1 1 1 S ? S ?m ? ? = ,n=n+1=6,m= ? , > , 32 64 64 2 128 64 100 1 1 1 m 1 1 1 S ? S ?m ? ? = ,n=n+1=7,m= ? , ? , 64 128 128 2 256 128 100
故选 C. 10、答案:A. 解析:因为 2
x ?1

? log 2 ? a ? 1? ? ?3, 解得 a ? 7(a ? 1) , ? 2 ? ?2 ,所以当 f ? a ? ? ?3 时 ,
?1?1

所以 f ? 6 ? a ? ? f ? ?1? ? 2 11、答案:B. 解析: S ? 2? r 2 ?

7 ? 2 ? ? ,故选 A. 4

1 2 1 ? r ? ? r ? 2r ? 2r ? 2r ? ? r 2 2 2

? 5? r 2 ? 4r 2 ? 16 ? 20?
解得 r ? 2 ,故选 B. 12.答案:C.
x?a 解析:依题意,因为函数 y ? f ? x ? 的图像与 y ? 2 的图像关于直线 y ? ? x 对称,

所以 f ? x ? ? a ? log 2 ? ? x ? ,且 f ? ?2 ? ? f ? ?4 ? ? 1 , 即 a ? log 2 2 ? a ? log 2 4 ? 1 ,解得 a ? 2,故选 C.

第 II 卷
数学(文科)试题 A 及参考答案 第 7 页 共 14 页广州市第四中学数学科整理

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答 .第(22) 12 题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:6.
n

10

1 ? 2n 解析:因为 an ?1 ? 2an ,由等比数列定义可知, q ? 2, 又a1 ? 2,? an ? 2 ,Sn ? 2 ? ? 126 , 8 1? 2
解得 n ? 6 . 14.答案:1. 解析:由切点 ?1, a ? 2 ? , f ' ? x ? ? 3ax ? 1, k ? f ' ?1? ? 3a ? 1 ,
2

6

切线方程: y ? ? a ? 2 ? ? ? 3a ? 1?? x ? 1? 又过点 ? 2, 7 ? ,代入解得 a ? 1 . 15.答案:4. 解析:可行域如图 1,当目标函数 z ? 3x ? y 经过点 A(1,1)时,z 取
2

y B
2x-y+2=0

4

得最大值且为 z=3+1=4. 16.答案: 12 6 . 解析: C△APF ? AF ? AP ? PF , AF ? 3 ? 6 6
2

A x-2y+1=0 C
10

15

?

?

2

? 15, 又因为

5

O

y+3x=0

x+y-2=0

x

5

左焦点F ' ? ?3, 0 ?,由双曲线定义可知,AP ? PF =AP+ ? 2a ? PF '? ,

2

图1

?当AP ? PF ' 取得最小值,即A,P,F ' 三点共线时,
1 P为AF ' 与双曲线的交点,Rt△F ' AO中,cos?AF ' O= , 5

4

在△PF ' F中,令PF '=x, PF ? x ? 2 ,
cos ?PF ' F ? x 2 ? 62 ? ? x ? 2 ? 1 ? , 所以PF ' ? x ? 5, AP ? 10 , 2?6? x 5
2

6

8

S△APF : S△AF 'F ? AP : AF ' ? 2 : 3, S△AF ' F ?
故S△APF =12 6 .

1 F ' F ? A0 ? 18 6 , 2

10

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分12分) 解析: (Ⅰ)在△ABC 中, sin 2 B ? 2sin Asin C ,则 b2 ? 2ac 。 又因为 a ? b ,所以 a ? b ? 2c 。 数学(文科)试题 A 及参考答案 第 8 页 共 14 页广州市第四中学数学科整理

所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? 2ac 4

(2)在△ABC 中, B ? 90? ,则 b2 ? a2 ? c2 ,又 b2 ? 2ac , 易得 ? a ? c ? ? 0,即a ? c ,所以 S△ABC ?
2

1 ac=1 2

18、 (本小题满分12分) 解析: (Ⅰ) 因为BE ? 平面ABCD,AC ? 平面ABCD, 所以EB ? AC ,

在菱形ABCD中,BD ? AC, 又因为EB ? BD ? B, 所以AC ? 平面EBD,AC ? 平面AEC,

所以平面AEC ? 平面EBD.
(Ⅱ) 因为BE ? 平面ABCD,

所以在Rt△AEB和Rt△CEB中, AB ? CB,易得Rt△AEB ? Rt△CEB,EA=EC. 令菱形ABCD的边长为a,BE ? h,

EA=EC= a2 ? h2 , AC ? a2 ? a 2 ? 2 ? a ? a ? cos120? ? 3a,
因为AE ? EC ,? AC 2 ? EA2 ? EC 2,

解得 EB=

a 1 , 又VE ? ACD ? ? EB ? S△ACD, 3 2

?

6 1 a ?1 ? = ? a ? a ? sin120? ? , 3 3 2?2 ?

?a ? 2 ,

在Rt△DEB中,ED= BD2 ? EB2 ? 6, 在Rt△AEB中,EA= AB2 ? EB2 ? 6,
1 同理可得,EC ? 6, 且S△EAB ? ? AB ? EB= 2,同理可得S△EBC ? 2 2

在△EAD中,EA=ED= 6, AD ? 2,
数学(文科)试题 A 及参考答案 第 9 页 共 14 页广州市第四中学数学科整理

取AD中点O, 连接EO,EO ? EA2 ? A02 ? 5,
1 1 S△EAD ? ? AD ? EO ? ? 2 ? 5 ? 5,同理,S△ECD ? 5, 2 2

故S侧 =S△EAB ? S△EBC ? S△EAD ? S△ECD =2 2 ? 2 5
19、 (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)散点图判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型;

(Ⅱ)由 ? ?

? (u i ? u )(vi ? v)
i ?1

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

得d ?

? (w ? w)(y ? y)
i ?1 i i

8

2

? (w ? w)
i ?1 i

8

?

2

108.8 ? 68 , 1.6

c ? y ? d w ? 563 ? 68 ? 6.8 ? 100.6 ,
∴y 关于 x 的回归方程 y ? 100.6 ? 68 x ; (Ⅲ)已知这种产品的年利润 z 与 x 、 y 的关系为 z ? 0.2 y ? x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (ⅰ)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? (Ⅲ)(ⅰ) 当年宣传费 x=49 时, y ? 100.6 ? 68 49=100.6+68 ?7=576.6 (t) ,

z ? 0.2 y ? x=0.2 ? 576.6 ? 49=66.32 (千元),
即当年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值分别是 576.6t,66.32 千元; (ⅱ)由(Ⅱ)知 y ? 100.6 ? 68 x , ∴ z ? 0.2 y ? x ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ? x ? 13.6 x ? 20.12 令t ? 当t ? ?

x ,则 z ? ?t 2 ? 13.6t ? 20.12 ,

b 2 ? 6.8 时,即 x ? 6.8 ? 46.24 (千元) , z 取得最大值, 2a 即年宣传费 x ? 46.24 时,年利润的预报值最大.
20、 (本小题满分 12 分) 解析:(I)由题意可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,联立 ? 消去 y ,化简得 k ? 1 x ? 4 ? k ? 1? x ? 7 ? 0 ,
2 2

? ? y ? kx ? 1 , 2 2 ? ?? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1

?

?

消去y得: ? k 2 ? 1? x2 ? 4 ? k ? 1? x ? 7 ? 0, 依题意得
数学(文科)试题 A 及参考答案 第 10 页 共 14 页广州市第四中学数学科整理

∵直线 l 与圆C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于M,N两点,
2 2

3k ? 8k ? 3 ? 0, 解得k ? ? ∴ △>0, 化简得:
2

? 4? 7 4? 7 ? ? 3 , 3 ? ?; ? ?

(II)设 M ? x1 , y1 ? ,N ? x2 , y2 ? , 由(I)可得 x1 ? x2 ? ∵ OM ? ON ? 12 , ∴ x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 12

4 ? k ? 1? 7 , , x1 ? x2 ? 2 2 k ?1 k ?1

? 12 ? x1 ? x2 ? ? kx1 ? 1? ? ? kx2 ? 1? ? ? k 2 ? 1? x1 ? x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 8 ? 4 ?

k (k ? 1) ? 1 ? k ? 1, k 2 ?1 7 ∴ x1 ? x2 ? 4, x1 ? x2 ? 2 ?
∴ MN
2

k (k ? 1) k 2 ?1

7 ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )[( x1 +x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 2(42 ? 4 ? ) ? 4 , 2

∴ MN ? 2 21. (本小题满分12分) 解析:(I)∵ f ? x ? ? e
2x

? a ln x

' 2x ∴ f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ? x ? =2e ?

a , x

a ? 0 ,此时 f ' ? x ? 没有零点; x a a a a t ' 2x 2x 2x 当 a ? 0 时, f ? x ? =2e ? =0 ? 2e ? ? e ? ,令 t ? 2 x ,则 e ? ,在第一象限有一个交 t x x 2x a ' 2x 点,即 f ? x ? =2e ? 只有一个零点; x
当 a ? 0 时, f
'

? x ? =2e2 x ?

综上,当 a ? 0 时, f ' ? x ? 没有零点;当 a ? 0 时, f ' ? x ? 只有一个零点.
' (II)当 a ? 0 时,由(I)知, f ' ? x ? 在第一象限有唯一零点,设为 x0 ,则有 f ? x0 ? =2e 2 x0

?

a ? 0, x0

当 0 ? x ? x0 时, f ' ? x ? ? 0 ;当 x ? x0 时, f ' ? x ? ? 0 , 数学(文科)试题 A 及参考答案 第 11 页 共 14 页广州市第四中学数学科整理

+? ? 上单调递增, ∴ f ? x ? 在 ? 0, x 0 ? 上单调递减;在 ? x 0 ,
∴ f ? x ?min ? f ( x0 ) ? e 又 2e
2 x0
2 x0

? a ln x0 ,

?

a ? 0, x0

∴e

2 x0

=

a a ? x0 ? 2 x0 , 2 x0 2e
2 x0

∴ f ? x ?min ? f ( x0 ) ? e

? a ln x0 =

a a a ? a ln x0 = ? a ln( 2 x0 ) 2 x0 2 x0 2e

=

a a ? a ln a ? a ln 2e2 x0 ? ? a ln a ? ( a ln 2 ? 2 x0 ) 2 x0 2 x0

?

a a ? 2ax0 ? a ln a ? a ln 2 ? 2 ? 2ax0 ? a ln a ? a ln 2 2 x0 2 x0
a 1 2 ,当且仅当 ? 2ax0 ? x0 ? 时取等号, 2 x0 2 a

? 2a ? a ln a ? a ln 2 ? 2a ? a ln
故当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第 一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22) (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解析:(Ⅰ) 连接 OD,OE ,如图 2, ∵D 为 AC 的中点, O 为 AB 的中点, ∴OD//BC, ∴∠DOA=∠CBA, ∠BOE=∠DOE,又∠BOE=∠CBA, ∴∠DOA=∠DOE, 又 AO=EO,DO=DO, ∴ ?AOD ? ?EOD(SAS ) , ∴∠DAO=∠DEO, ∵AC 是⊙O 的切线, ∴∠DAO=∠DEO=90°, 又 OE 为⊙O 的半径, ∴DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)连接 AE,如图 3, ∵AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线, ∴CA⊥AB,AE⊥BC, 数学(文科)试题 A 及参考答案

C E D A O B

图2

第 12 页 共 14 页广州市第四中学数学科整理

由射影定理得 AB2 ? BE ? BC ∵ OA ?

3CE ,

C E D A O B

∴ (2 3CE )2 ? ( BC ? CE ) BC ,

12CE 2 ? BC 2 ? CE ? BC ? BC 2 ? CE ? BC ?12CE 2 ? 0 ,
∴ ( BC ? 4CE) ? ( BC ? 3CE) ? 0 , ∴ BC ? 4CE, BC ? ?3CE (舍), ∴ sin ?ACB ?

图3

AB 2 3CE 3 , ? ? CB 4CE 2

又 ?ACB ? ,∴ ?ACB = (0, )

?

?
3

2

.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解析:(Ⅰ) 直线 C1 :
2

x = ? 2 的极坐标方程为 ? cos? ? ?2 ,
2

圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 , ∴圆 C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 ;

? ? ? ? ? ?? ? ?? ? (Ⅱ)联立 ? ,解得 ? 4 4 ,即 M (?2 2, 4 ) , ? ? ? ?2 2 ? ? ? cos ? ? ?2 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? 联立 ? ,解得 ? 4 或? 4 ,即 N(2 2, ) 或 N( 2, ) , 4 4 4 ? ? 2 ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 ?? ? 2 2 ?? ? 2 ? ? ?
∴ MN ? 4 2 或 MN ? 3 2 ,

( 到直线 ? ? 而点 C 2 1, 2)
∴ S?C2 MN =

?
4

? ? ? R ? ? x ? y ? 0 的距离为 d ?

1? 2 2

?

1 , 2

1 1 3 MN ? d ? 2 或 S?C2 MN = MN ? d ? . 2 2 2

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解析:(Ⅰ)当 a=1 时,函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 1 ,

数学(文科)试题 A 及参考答案

第 13 页 共 14 页广州市第四中学数学科整理

当 x ? ?1时, ?( x ? 1) ? 2( x ?1) ? 1 ? x ? 4 ,解得 x ? ? ; 当 ?1 ? x ? 1 时, ( x ? 1) ? 2( x ? 1) ? 1 ? x ?

2 2 解得 ? x ? 1 ; , 3 3

当 x ? 1 时, ( x ? 1) ? 2( x ?1) ? 1 ? x ? 2 ,解得 1 ? x ? 2 ; 综上,不等式 f ( x) ? 1 的解集为 ? x

? 2 ? ? x ? 2? . ? 3 ?

(Ⅱ)当 x ? ?1时, f ( x) ? ?( x ? 1) ? 2( x ? a) ? x 12 ? 2a ?1; 当 ?1 ? x ? a 时, f ( x) ? ( x ? 1) ? 2( x ? a) 10 ? 3x ?1 ? 2a ; 当 x ? a 时, f ( x) ? ( x ? 1) ? 2( x ? a) ? ? x ? 1 ? 2a ;
8

? x ? 2a ? 1, x ? ?1 ? ∴ f ( x) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a ,如图 4, ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
解得 D(

6

2a ? 1 , 0) , 3

4

y

f(x) = 3?x + 1

2?a

B(2a ? 1,0) ,
15

2

C

C(a,1 ? a) ,
∴ S?C2 MN =

10

5

O D
2

B

5

x

10

15

2a ? 2 ? (1 ? a) 3 2 ? (a ? 1)2 ? 6 , 3 解得 a ? 2 或 a ? ?4 , ?
又a ? 0, ∴ a ? 2,

1 BD ? yC 2

f(x) = x + 2?a + 1

A
f(x) = x 2?a 1

4

6

图4

8

10

即 a 的取值范围是 . (2, ??)
12

数学(文科)试题 A 及参考答案

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