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2009年福建省厦门市高中毕业班适应性考试--------理科数学(word版)


2009 年厦门市高中毕业班适应性考试数学(理科)试卷
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、班级、 学号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积、 h 为高; 锥体体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3
2

独立性检验随机变量 K ? 临界值表

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P ( K 2 ? k0 )
k0

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.16 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.82 8

(选择题 共 50 分) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是 正确的) 1.如果复数 (2 ? ai)(1 ? i) 的实部和虚部相等,则实数 a 的值是 A. 1 B. 0 C. ? 1
2

第Ⅰ卷

D. 2

开始

2.已知 a>0,命题 p : ?x ? R, x ? a ? 0 ,则

A . p 是假命题, ?p : ?x ? R, x 2 ? a ? 0 B . p 是假命题, ?p : ?x ? R, x ? a ? 0
2

输入 x 西安 x<0




y=x2-1 y=2x-2

C . p 是真命题, ?p : ?x ? R, x ? a ? 0
2

D . p 是真命题, ?p : ?x ? R, x 2 ? a ? 0

3.积分 ? 1 ( A. 1

e

1 ? 2 x)dx 的值是 x
B. e C. e+1 D. e2

输出 y 西安 结束

4.执行右边的程序框图,若输出 y 的值为 2,则输入的 x 应该是 A. 2 或 3 B. 2 或 ? 3 C. 2 D. 2 或 ? 3

5.点 P 满足向量 OP =2 OA - OB ,则点 P 与 AB 的位置关系是 A. 点 P 在线段 AB 上 C. 点 P 在线段 AB 反向延长线上 B. 点 P 在线段 AB 延长线上 D. 点 P 在直线 AB 外

??? ?

??? ??? ? ?

?ln | x | ( x ? 0) ? 6.函数 f(x)= ? 1 的图象大致是 ( x ? 0) y ?x y ?

y

y

x
O A.

x

O B.

x
C.

O

x

O D.

7.为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系,某研究机构随机选取了 60 名高中生,通过问卷调 查,得到以下数据: 作文成绩优秀 课外阅读量较大 课外阅读量一般 合 计 22 8 30
2

作文成绩一般 10 20 30

合 32 28 60



由以上数据,计算得出 K ? 9.643 .根据临界值表,以下说法正确的是 A.没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B. 有 0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C.有 99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D.有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 8. 如图, 已知三棱柱 ABC- A1 B1C1 的所有棱长均为 1, A1A⊥底面 ABC, 且 B1-ABC1 的体积为 A.

C1
A1

则三棱锥

B1

3 12

B.
2

3 4

C.

6 12

D.

6 4
A

C

9.函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x ? 1 (1)函数在区间 [ (2)直线 x ?

,给出下列四个命题

B

? 5?
8 , 8

] 上是减函数;

?
8

是函数图象的一条对称轴;

(3)函数 f (x) 的图象可由函数 y ? (4)若 x ? [0,

2 sin 2 x 的图象向左平移

?
2

? 而得到; 4

] ,则 f (x) 的值域是 [0, 2]

其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 10.学习合情推理后,甲、乙两位同学各举一个例子.

甲:由“若三角形周长为 l,面积为 S,则其内切圆半径 r = 则其内切球半径 r =

2S ”类比可得“若三棱锥表面积为 S,体积为 V, l

3V ”; S
a 2 ? b2 ” 类比可得“若三棱锥 2

乙: 由“若直角三角形两直角边长分别为 a、b,则其外接圆半径 r =

三条侧棱两两垂直, 侧棱长分别为 a、b、c,则其外接球半径 r = 结论 A.两人都对

a 2 ? b2 ? c2 ”.这两位同学类比得出的 3
D. 两人都错

B.甲错、乙对

C. 甲对、乙错 (非选择题 共 100 分)

第Ⅱ卷

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将答案填在题后的横线上. ) 11.已知等比数列 ?a n ?各项均为正数,前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 2 , a1a5 ? 16 . 则 S5 ? 12. (3x ?
2

▲▲▲



1 x

) 5 的展开式中常数项是

▲▲▲



?y ?0 ? 13.设满足 ? x ? y ? 2 ? 0 的点 ( x, y ) 构成的区域为 D,又知区域 D 内的每一个点都在区域 M 内.为了测 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
算区域 M 的面积,向区域 M 内随机抛入 10000 个质点,经统计,落在区域 D 内的质点有 2500 个,则 区域 M 的面积大约是 ▲▲▲ . 14.设 F 为抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,点 A 在抛物线上,O 为坐标原点,若 ?OFA ? 120 ,且
2

?

??? ??? ? ? FO?FA ? ?8 ,则抛物线的焦点到准线的距离等于 ▲▲▲ .
15.如果一个自然数 n ,我们可以把它写成若干个连续自然数之和,则称为自然数 n 的一个“分拆”.如 .请写出 70 的三个“分 9 ? 4 ? 5 ? 2 ? 3 ? 4 ,我们就说“ 4 ? 5 ”与“ 2 ? 3 ? 4 ”是 9 的两个“分拆” 拆” 70 = : ▲▲▲ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 从某高校新生中随机抽取 100 名学生,测得身高情况如下表所示. (I)请在频率分布表中的①、②位置填上相应的数据,并在所给的坐标系中补全频率分布直方图,再 根据频率分布直方图估计众数的值; (II) 按身高分层抽样, 现已抽取 20 人参加厦门国际马拉松志愿者活动, 其中有 3 名学生担任迎宾工作, 记这 3 名学生中“身高低于 170cm”的人数为 ξ,求 ξ 的分布列及期望. 分组 频数 频率

?160,165 ? ?165,170 ? ?170,175 ? ?175,180 ?
[180,185]
合计

5 ① 35 30 10 100

0.050 0.200 ② 0.300 0.100 1.00
160 cm 165 170 175 180 185 身高
频率 组距

17. (本小题满分 13 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直 角梯形. (Ⅰ)证明:BN⊥平面 C1B1N; (Ⅱ)设二面角 C-NB1-C1 的平面角为 ? ,求 cos ? 的值; (Ⅲ)M 为 AB 中点,在 CB 上是否存在一点 P,使得 MP∥平面 CNB1,若存在,求出 BP 的长;若不存在, 请说明理由.
C C1

4
B

?
8
正视图
侧视图
A

B1 N

M

4 4
俯视图

18. (本小题满分 13 分) 某航模兴趣小组的同学, 为了测定在湖面上航模航行的速度, 采用如下办法: 在岸边设置两个观察点 A、 B ,且 AB = 80 米,当航模在 C 处时,测得 ∠ABC=105°和 ∠BAC=30°,经过 20 秒后,航模直线航行 到 D 处, 测得 ∠BAD=90°和 ∠ABD=45°.请你根据 以上条件求 D 出航模的速度.(答案保留根号)

C A B

19. (本小题满分 13 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-2, 0)、B(2, 0), 动点 C 满足条件:△ABC 的周长为 10, 记动点 C 的 轨迹为曲线 M. (Ⅰ) 求曲线 M 的方程; (Ⅱ) 若直线 l 与曲线 M 相交于 E、F 两点,若以 EF 为直径的圆过点 D(3,0),求证:直线 l 恒过定点, 并求出该定点的坐标. y

A

?

o

B

?

x

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)= e
x ?1

+

a ( a ? R ). x

(Ⅰ)若函数 f(x)在 x=1 处有极值, 且函数 g(x)=f(x)+b 在(0,+∞)上有零点,求 b 的最大值; (Ⅱ)若 f(x)在(1,2)上为单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,数列{an}中 a1=1, an+1= f(an)- f '(an). 求|an+1-an|的最小值.

21.本题有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分. 如果多做,则按 、 、 所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号 中 (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

?a 1? ? ?1? ? 的一个特征根为 ?1 ,属于它的一个特征向量 e1 ? ? ? . ? c 0? ? ?3 ?

(Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)点 P(1, 1)经过矩阵 M 所对应的变换,得到点 Q,求点 Q 的坐标. (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,设直线 l 的参数方程是 ? 参数) .判断直线 l 和曲线 C 的位置关系. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 | 2 x ? 3 | ≤1 的解集为 [m, n] (Ⅰ)求 m ? n 的值; (Ⅱ)若 x ? a ? m, 求证: x ? a ? 1 .

? x ? ?3t ? 2 (t 为 ? y ? 4t

2009 年厦门市高中毕业班适应性考试

数学(理科)试卷参考答案
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算. 每题 5 分,满分 50 分. 1. B 2.A 3.D 4.D 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.C 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算. 每题 4 分,满分 20 分. 11. 31 12. 15 13. 16 14. 4 15. 16+17+18+19=12+13+14+15+16=7+8+9+10+11+12+13. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.本题主要考查频率分布表、 众数、分层抽样、分布列、期望等统 识, 考查学生运用所学知识解决实际 的能力。满分 13 分. 解: (I)①处填 20,②处填 0.35; 众数为 172.5cm?????3 分 补全频率分布直方图如图所示。 ????6 分 (Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选 取 20 人,则其中“身高低于 170cm” 的有 5 人, “身高不低于 170cm” 的有 15 人。 ??7 分 故 ξ 的可能取值为 0,1,2,3;
P (? ? 0) ?
3 C15

直方图、
频率 组距

计概率知 应用问题

160 cm

165

170

175

180

185

身高

C20

3

?

91 228

P (? ? 1) ?

2 C15C51

C20

3

?

35 76

P (? ? 2) ?

1 C15C52

C20

3

?

5 38

P(? ? 3) ?

C53
3 C20

?

1 114

???????

10 分 所以 ξ 的分布列为 ξ P

0

1

2

3

91 228

105 228

30 228

2 228
????11 分 ????13 分

所以: E? ? 0 ?

91 105 30 2 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 228 228 228 228 4

17. 本题主要考查三视图,线面位置关系,二面角的求 基本知识,考查空间想像能力,探索运算求解能力和推理 能力. 满分 13 分.
A C

z
C1

法 等 论 证

B

?

M N

B1

y

x

法一:(Ⅰ)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴BA,BC,BB1 两两垂直. 以 BA,BC,BB1 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,??1 分 则 N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4) ∵ BN ? NB1 =(4,4,0)· (-4,4,0)=-16+16=0

???? ???? ?

???? ???? ? BN ? B1C1 =(4,4,0)· (0,0,4)=0

??3 分

∴BN⊥NB1, BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1, ∴BN⊥平面 C1B1N; (Ⅱ)∵BN⊥平面 C1B1N, BN 是平面 C1B1N 的一个法向量 n1 =(4,4,0), 设 n2 =(x,y,z)为平面 NCB1 的一个法向量,

??4 分

????

??

??5 分

?? ?

?? ???? ? ?? ? ? n2 ? CN ? 0 ( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 x? y?z ?0 ? ? 则 ? ?? ???? ,取 n2 =(1,1,2), ? ? ( x, y, z ) ? (4, ?4, 0) ? 0 x? y ?0 ? n2 ? NB1 ? 0

?

?

?7 分

则 cosθ=

3 1 4?4 = = ; 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4 3 3

??9 分

(Ⅲ)∵M(2,0,0).设 P(0,0,a)为 BC 上一点,则 MP =(-2,0,a),∵MP∥平面 CNB1, ∴ MP ⊥ n2 ? MP ·n2 =(-2,0,a) · (1,1,2)=-2+2 a =0 ? a =1. 又 MP ? 平面 CNB1, ∴MP∥平面 CNB1, ∴当 BP=1 时 面 CNB1. ??13 分 法二:(Ⅰ)证明:由已知得 B1C1⊥平面 BNB1,∴B1C1⊥BN, BN=4 2 = B1N,BB1=8, ∴BB12= BN2+ B1N2, ∴BN⊥B1N 又 B1C1 与 B1N 交于 B1, ∴BN⊥平面 C1B1N; (Ⅱ)过 N 作 NQ / / B1C1,则
A
1 1

????

????

?? ?

? ???? ??

??12 分 MP∥ 平
C C1

Q

?

B M N

B1

? BCQN,又 BN⊥平面 C B N,

C C1

∴CQ⊥平面 C1B1N,则 CQ⊥B1N, QN⊥B1N ,∴∠CNQ 是二 C-B1N-Q 的平面角 θ, 在 Rt△CNQ 中 ,NQ=4,CQ=4



2

,



3 NQ CN=4 3 ,cosθ= = ; CN 3
(Ⅲ)延长 BA、B1N 交于 R,连结 CR,∵MP∥平面 CNB1, MP ? 平面 CBR, 平面 CBR∩平面 CRN 于 CR,

?
A

B M N

B1

R

∴MP∥CR, △RB1B 中 AN / / ∴

1 BB1,∴A 为 RB 中点, 2
?????13 分 际问题的 13 分.

BP BM 1 = = ,∴BP=1,因此存在 P 点使 MP∥平面 CNB1. BC BR 4
D

18.本题主要考查学生运用正弦和余弦定理解决与三角形有关的实 能力,考查学生的运算能力以及化归与转化的数学思想方法。满分 法一:1、在△ABC 中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB=45°?2 分

C

? AD ? AB ? 80,? BD ? 80 2
在 ?ABC 中,

????????4 分

BC AB ? ? sin 30 sin 45?
80 ? 2 2 1 2 ? 40 2
?????6 分

A

B

AB sin 30? ? BC ? ? sin 45?

在 ?DBC 中,DC2=DB2+BC2-2DB· BCcos60°=(80 2 )2+(40 2 )2-2×80 2 ×40 2 × =9600

1 2

?????10 分 ??????11 分

? DC ? 40 6
航模的速度 V ?

40 6 ? 2 6 (米/秒) 20

?????12 分 ?????13 分

答:航模的速度为 2 6 (米/秒)

法二:(略解) 、在 ?ADC 中, AD ? 80, ?ABC 中 AC ? 40 1 ? 3 , ?DAC ? 60 在 ?ACD 中,DC2=AD2+AC2-2AD· ACcos60°=9600 ?????10 分

?

?

0

? DC ? 40 6
航模的速度 V ?

y
?????11 分

D
C

40 6 ? 2 6 (米/秒) 20

???12 分

答:航模的速度为 2 6 (米/秒) 法三:(略解) 、如图建立直角坐标系, 则 A(0,0), B(80,0), D(0,80)

?????13 分

????2 分

A

B
?????7 分

x

由 ?ABC ,AC=40(1+ 3 ),∴C(60+20 3 ,20+20 3 )

?DC ?

?60 ? 20 3? ? ?20 ? 20
2

3 ? 80

?

2

? 9600 ? 40 6

?????11 分 ?????12 分

航模的速度 V ?

40 6 ? 2 6 (米/秒) 20

答:航模的速度为 2 6 (米/秒)

?????13 分

19、本题主要考查直线、圆与椭圆的位置关系等基本知识,考查运算求解能力和探索求解、分析问题、解 决问题的能力. 满分 13 分 解: (Ⅰ) 设 C(x, y), ∵ AC ? BC + AB ? 10 , AB ? 4 , ∴ AC ? BC ? 10 ? AB , ∴ 由定义知,动点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长为 6 的椭圆,除去与 x 轴的两个交点.
2 2 设椭圆方程为 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) a b 2 2 则 a=3,c=2.∴b2=a2-c2=5.∴ 曲线 M 的方程为: x ? y ? 1 (y≠0).(缺 y≠0 的扣 1 分)??5 分 9 5 (Ⅱ)法一: 即要使 DE⊥DF, 用特值法 kDE=1,

由?

15 6 ?x ? 3 ? y 得 14y2+30y=0,又 y≠0, ∴y=- ,代入 DE 得 x= , 2 2 7 7 ?5 x ? 9 y ? 45 ? 0

y E

6 由对称性知定点在 x 轴上, ∴最多只有定点 Q ( , ??8 分 0) 7
设直线 DE 的方程为 x=my+3,E(x1,y1), 由?

A

?

o F

B

?
D

x

? x ? my ? 3, ?5 x ? 9 y ? 45.
2 2

得(5m2+9)y2+30my=0, 又 y≠0, ∴y1=-

30m 5m 2 ? 9

∴E(

30m 27 ? 15m2 ,), 2 5m ? 9 5m 2 ? 9

???????10 分

27m2 ? 15 30m 同理 F( , ) 5 ? 9m2 5 ? 9m 2

???????11 分

30m 30m ?0 2 210m 210m 5m ? 9 - 5 ? 9m 2 kQE-kQF= = =0 2 2 2 6 27 ? 15m 27m ? 15 6 135m ? 135 135m2 ? 135 ? ? 7 5m 2 ? 9 5 ? 9m 2 7 6 得 E、Q、F 三点共线,得出定点坐标为 ( , . ???????13 分 0) 7 0?
法二:当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 yx=kx+m,E(x1,y1),F(x1,y1), ? y ? kx ? m, 2 2 2 由? 2 得 (5 ? 9k ) x ? 18mkx ? 9(m ? 5) ? 0 , ?x y2 ? 1. ? ? 5 ?9 由△=(18mk)2-36(5+9k2)(m2-5)>0, 得 5+9k2- m2>0,

x1 ? x2 ? ?

18mk 9(m2 ? 5) ,x1 ?x2 ? 5 ? 9k 2 5 ? 9k 2

?????????8 分

又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

5(m2 ? 9k 2 ) , 5 ? 9k 2

因为以 EF 为直径的圆过点 D(3, 等价于 DE ? DF ? 0 ,即 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? 0 0)

??? ???? ?

5 ? 9k 5 ? 9k 6k , ?7m2 ? 27mk ? 18k 2 ? 0 .解得: m1 ? ?3k , m2 ? ? ,且均满足 5 ? 9k 2 ? m2 ? 0, 7 当 m1=-3k 时,l 的方程为 y=k(x-3),直线过点 Q(3,0),因为点 Q 不在曲线 M 上,此时 l 与曲线 M 没有 两个公共点,不合题意;
当 m2 ? ?

2 2 k2 5) ? y1 y2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0 ,? 5(m ? 92 ) ? 9(m ? 2 ? 54mk2 ? 9 ? 0 ,

5 ? 9k

6k 6 6 时, l 的方程为 y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , . 0) 7 7 7

?????11 分

当直线 l 的斜率不存在时,直线 x ? t ? 0 与曲线 M 交于 E (t , n)、F t , ?n) 两点,此时 (

??? ???? ? ???? ???? DE ? (t ? 3, n), DF=(t ? 3, ?n) ,由 DE ? DF ? 0 ,得 (t ? 3)2 ? n2 ? 0 ,点 E (t , n) 在曲线 M 上,

5 5 6 6 n 2 ? 5 ? t 2 ,所以 (t ? 3)2 ? 5 ? t 2 ? 0 ,解得 t ? 3(不合题意,舍去), t ? ,即直线 x ? ? 0 满足 9 9 7 7
条件. ∴直线 l 过定点,定点坐标为 ( , . 0)

6 7

???????????13 分

20. 本题主要考查函数、导数的基本知识及用导数处理函数性质,递推数列及不等式、数学归纳法等基础 知识,同时考查考生函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等及推理论证能力、运算求解能 力及创新意识.满分 14 分. 解: (Ⅰ)f '(x)= e g'(x)= e
x ?1 x ?1

-

a ,又函数 f(x)在 x=1 处有极值,∴f '(1)=0,a=1,经检验符合题意 ??2 分 x2

-

1 , x2

当 x∈(0,1)时, g'(x)<0, g(x)为减函数, 当 x =1 时,g'(x)=0, 当 x∈(1,+∞)时 g'(x)>0,g(x)为增函数,∴g(x) 在 x =1 时取得极小值 g(1)=2+b,依题意 g(1)≤0, ∴b≤-2, ∴b 的最大值为-2; ??????????????????4 分 (Ⅱ)f '(x)= e
x ?1

-

a , x2
x ?1

当 f (x)在(1,2)上单调递增时, e
x ?1

-

a x ?1 x ?1 ≥0 在[1,2]上恒成立, ∴a ≤x2 e ,令 h(x)= x2 e , 2 x

则 h'(x)= e ( x2+2 x)>0 在[1,2]上恒成立, 即 h(x) 在[1,2]上单调递增, ∴h(x) 在[1,2]上的最小值为 h(1)=1, ∴a≤1; ??????????????7 分 当 f(x)在[1,2]上单调递减时,同理 a≥x2 e , x ?1 h(x)= x2 e 在[1,2]上的最大值为 h(2)=4e, ∴a≥4e; 综上实数 a 的取值范围为 a≤1 或 a≥4e; ??????????????9 分
x ?1

(Ⅲ)由⑴得 a=1, ∴f(x)- f '(x)=

1 1 1 1 ? 2 ,因此 an+1= + 2 , a1=1,∴a2=2, a n an x x
????11 分

可得 0<a2n+1<1, a2n+2>2. 用数学归纳法证明如下: ①当 n=1 时 a3=

3 28 , a4= ,结论成立; 4 9
1 a2 k ? 2 1 a
2 2k ?2

②设 n=k,k∈N*,时结论成立,即 0<a2k+1<1, a2k+2>2 成立, 则 n=k+1 时 a2k+3= + <

1 1 + =1,∴0<a2k+3<1, 2 2

a2k+4=

1 a2 k ? 3

+

1 a
2 2 k ?3

>1+1=2.

∴n=k+1 时结论也成立, 根据①、②可得 0<a2n+1<1, a2n+2>2 恒成立, ?????????????13 分 ∴|an+1-an|≥a2-a1=2-1=1,即|an+1-an|的最小值 1. ???????????14 分 21.本题有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分. 如果多做, 、 、 则按所做的前两题计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 本题考查矩阵特征根及特征向量的概念及求法、变换与矩阵等基础知识,考查运算求解能力. 解:由题知

? a 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? a ? 3 ? ?1 ? c 0 ? ? ?3 ? = ? ? 即 ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? c ? 3 ?a ? 2 ?2 1? ?? ∴M= ? ? ? 3 0? ?c ? 3
? 1? ? 3 ? ? 1? ? 3 ?
即点 Q 的坐标(3,3)

???????4 分 ???????5 分

∴M ? ? ?? ?

???????7 分

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 本题考查极坐标、直线和圆位置关系等基础知识,考查运算求解能力及化归与转化思想. 解:曲线 C 的极坐标方程可化为:ρ2=2ρsinθ 又 ?

?? 2 ? x2 ? y2 ? ? sin ? ? y

曲线 C 的直角坐标方程为: x ? y ? 2 y ? 0
2 2

??2 分 ?????4 分 ??????5 分

将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程得:4x+3y-8=0 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(0,1),半径 r =1 则圆心 C 到直线 l 的距离 3 ?1 ? 8 ? 1 ? r 42 ? 32 ∴ 直线 l 与圆 C 相切 (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲

??????7 分

本题主要考查绝对值不等式的基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力

解: (Ⅰ)由 不等式 | 2 x ? 3 |? 1 可化为 ?1 ? 2 x ? 3 ? 1 得 1 ? x ? 2 ∴m=1,n=2, m+n=3 (Ⅱ)若 x ? a ? 1, x ? x ? a ? a ? x ? a ? a ? a ? 1 注:各题若有其它解法可参照给分.

???2 分 ?????4 分 ??????7 分


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