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安徽省芜湖市安师大附中2015年高考数学八模试卷(文科)


2015 年安徽省芜湖市安师大附中高考数学八模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(? UA)∪B 为( A. {1,2,4} B. {2,4,5} C. {0,2,4} D. {0,2,

3,4}
2



2.设 z=1﹣i(i 是虚数单位) ,则 +z 等于( A. ﹣1﹣i B. ﹣1+i C. 1﹣i D. 1+i



3.双曲线 A. 2

=1 的焦距为( B. 4
2 2

) D. 4 )条件.

C. 2

4.m=0 是方程 x +y ﹣4x+2y+m=0 表示圆的( A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

5.执行如图所示的程序框图,则输出的 i 的值是(



A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.函数 的图象大致是( )

A.

B.

C.

D. 7.函数 f(x)=x ﹣x﹣2,x∈[﹣5,5],在定义域内任取一点 x0,使 f(x0)≤0 的概率是 ( ) A. B. C. D.
2

8.若圆(x﹣3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x﹣3y=2 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围是( ) A. (4,6) B. [4,6) C. (4,6] D. [4,6]

2

2

2

9.数列{an}前 n 项和为 Sn,已知 恒成立则实数 a 的最小值为( A. B. C. D. 2 )

,且对任意正整数 m,n,都有 am+n=am? an,若 Sn<a

10.函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+2)=f(x) .当 0≤x ≤1 时,f(x)=x .若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象有两个不同的公共点,则实数 a 的值为( ) A. n(n∈Z) B. 2n(n∈Z) C. 2n 或 (n∈Z) D. n 或 (n∈Z)
2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.函数 的定义域是 .

12.若 x,y 满足约束条件

,则 x+2y 的最大值是



13.已知△ABC 满足(c﹣b) (sinC+sinB)=(c﹣a)sinA,则角 B=



14.设 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且| + |= 能的余弦值之积为 .

,则向量

夹角的所有可

15.如图,矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ADE 翻折过程中,下列命题正确的是 . (写出所有 正确的命题的编号) ①线段 BM 的长是定值; ②点 M 在某个球面上运动; ③存在某个位置,使 DE⊥A1C; ④存在某个位置,使 MB∥平面 A1DE.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知函数 f(x)=﹣sin2x﹣ (Ⅰ)求 f(x)的单调减区间; (Ⅱ)当 x∈[﹣ , (1﹣2sin x)+1.
2

]时,求 f(x)的值域.

17.某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业,在一个开学季内,每售出 1 盒该 产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元.根据历史资料,得到开学季市场需求量 的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品,以 X(单位:盒, 100≤X≤200)表示这个丌学季内的市场需求量,Y(单位:元)表示这个开学季内经销该产 品的利润. (Ⅰ)根据直方图估计这个丌学季内市场需求量 X 的平均数和众数; (Ⅱ)将 Y 表示为 X 的函数; (Ⅲ)根据直方图估计利润不少于 4800 元的概率.

18.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面为等边三角形,D 为 AC 的中点,AA1=AB=6. (Ⅰ)求证:直线 AB1∥平面 BC1D; (Ⅱ)求证:平面 BC1D⊥平面 ACC1A; (Ⅲ)求三棱锥 C﹣BC1D 的体积.

19.已知正项数列{an}的前 n 项的和为 Sn,满足 4Sn=(an+1) . (Ⅰ)求数列{an}通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 bn= (n∈N ) ,求证:b1+b2+…+bn< .
*

2

20.设函数 f(x)=ax﹣ ﹣2lnx(a>0) . (Ⅰ)若 x=2 是 f(x)的极值点,求 f(x)的极大值; (Ⅱ)若 f(x)在定义域上是单调函数,求 a 的取值范围.

21.如图,已知圆 E:

=16,点

,P 是圆 E 上任意一点.线

段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q. (1)求动点 Q 的轨迹Γ的方程; (2)设直线 l 与(1)中轨迹Г相交于 A,B 两点,直线 OA,l,OB 的斜率分别为 k1,k,k2 (其中 k>0) ,若恰好成等比数列,求△OAB 的面积 S 的最大值.

2015 年安徽省芜湖市安师大附中高考数学八模试卷(文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(? UA)∪B 为( A. {1,2,4} B. {2,4,5} C. {0,2,4} D. {0,2,3,4} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 计算题. 由全集 U 以及集合 A,求出 A 的补集,确定出 A 补集与 B 的并集即可. 解:∵全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,3}, )

∴? UA={4,5}, ∵B={2,4}, ∴(? UA)∪B={2,4,5}. 故选 B 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
2

2.设 z=1﹣i(i 是虚数单位) ,则 +z 等于( A. ﹣1﹣i B. ﹣1+i C. 1﹣i D. 1+i 考点: 专题: 分析: 解答:
2



复数代数形式的混合运算. 数系的扩充和复数. 根据复数的四则运算进行化简即可得到结论. 解:∵z=1﹣i, = =1+i﹣2i=1﹣i,

∴ +z =

故选:C. 点评: 本题主要考查复数的四则运算,容易题.

3.双曲线 A. 2

=1 的焦距为( B. 4 C. 2

) D. 4

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直接利用双曲线方程,求出 c,即可得到双曲线的焦距.

解答: 解:双曲线 ∴c=2 双曲线 ,2c=4 .

=1,可知 a =10,b =2,c =12,

2

2

2

=1 的焦距为:4



故选:D. 点评: 本题考查双曲线的简单性质的应用,基本知识的考查. 4.m=0 是方程 x +y ﹣4x+2y+m=0 表示圆的( A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
2 2

)条件.

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义,分别判断其充分性和必要性即可. 解答: 解:m=0 时,方程为 x +y ﹣4x+2y=0,表示圆,是充分条件, 2 2 若方程 x +y ﹣4x+2y+m=0 表示圆,则需满足 5﹣m>0,即 m<5, 推不出 m=0,不是必要条件, 故选:A. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了圆的有关性质,是一道基础题. 5.执行如图所示的程序框图,则输出的 i 的值是( )
2 2

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:第一次执行循环体后,S=2,不满足退出循环的条件,i=2; 再次执行循环体后,S=6,不满足退出循环的条件,i=3;

再次执行循环体后,S=14,不满足退出循环的条件,i=4; 再次执行循环体后,S=30,满足退出循环的条件, 故输出的 i 值为 4, 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答. 6.函数 的图象大致是( )

A.

B.

C.

D. 考点: 余弦函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 由函数的解析式可以看出,函数的零点呈周期性出现,且法自变量趋向于正无穷大 时,函数值在 x 轴上下震荡,幅度越来越小,而当自变量趋向于负无穷大时,函数值在 x 轴上下震荡,幅度越来越大,由此特征对四个选项进行判断,即可得出正确选项. 解答: 解:∵函数 ∴函数的零点呈周期性出现,且法自变量趋向于正无穷大时,函数值在 x 轴上下震荡,幅度 越来越小,而当自变量趋向于负无穷大时,函数值在 x 轴上下震荡,幅度越来越大, A 选项符合题意; B 选项振幅变化规律与函数的性质相悖,不正确; C 选项是一个偶函数的图象,而已知的函数不是一个偶函数故不正确; D 选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意,故不对. 综上,A 选项符合题意 故选 A 点评: 本题考查余弦函数的图象,解题的关键是根据余弦函数的周期性得出其零点周期性 出现, 再就是根据分母随着自变量的变化推测出函数图象震荡幅度的变化, 由这些规律对照 四个选项选出正确答案. 7.函数 f(x)=x ﹣x﹣2,x∈[﹣5,5],在定义域内任取一点 x0,使 f(x0)≤0 的概率是 ( )
2

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 先解不等式 f(x0)≤0,得能使事件 f(x0)≤0 发生的 x0 的取值长度为 3,再由 x0 总的可能取值,长度为定义域长度 10,得事件 f(x0)≤0 发生的概率是 0.3 2 解答: 解:∵f(x)≤0?x ﹣x﹣2≤0?﹣1≤x≤2, ∴f(x0)≤0?﹣1≤x0≤2,即 x0∈[﹣1,2], ∵在定义域内任取一点 x0, ∴x0∈[﹣5,5], ∴使 f(x0)≤0 的概率 P= =

故选 C 点评: 本题考查了几何概型的意义和求法,将此类概率转化为长度、面积、体积等之比, 是解决问题的关键 8.若圆(x﹣3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x﹣3y=2 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围是( ) A. (4,6) B. [4,6) C. (4,6] D. [4,6] 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,由题意得|5﹣r|<1,解此不等 式求得半径 r 的取值范围. 解答: 解:∵圆心 P(3,﹣5)到直线 4x﹣3y=2 的距离等于 由|5﹣r|<1 得 4<r<6, 故选 A. 点评: 本题考查点到直线的距离公式的应用,以及绝对值不等式的解法. =5,
2 2 2

9.数列{an}前 n 项和为 Sn,已知 恒成立则实数 a 的最小值为( A. B. C. D. 2 )

,且对任意正整数 m,n,都有 am+n=am? an,若 Sn<a

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 综合题. 分析: 由 am+n=am? an,分别令 m 和 n 等于 1 和 1 或 2 和 1,由 a1 求出数列的各项,发现此 数列是首项和公比都为 的等比数列,利用等比数列的前 n 项和的公式表示出 Sn,而 Sn<a 恒成立即 n 趋于正无穷时,求出 Sn 的极限小于等于 a,求出极限列出关于 a 的不等式,即可 得到 a 的最小值.

解答: 解:令 m=1,n=1,得到 a2=a1 = ,同理令 m=2,n=1,得到 a3=

2

,…

所以此数列是首项为 ,公比也为 的等比数列,则 Sn=

= (1﹣

) ,

Sn<a 恒成立即 n→+∞时,Sn 的极限≤a,所以 a≥ 则 a 的最小值为 .

(1﹣

)= ,

故选 A 点评: 此题考查了等比数列关系的确定,掌握不等式恒成立时所满足的条件,灵活运用等 比数列的前 n 项和的公式及会进行极限的运算,是一道综合题. 10.函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+2)=f(x) .当 0≤x ≤1 时,f(x)=x .若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象有两个不同的公共点,则实数 a 的值为( ) A. n(n∈Z) B. 2n(n∈Z) C. 2n 或 (n∈Z) D. n 或 (n∈Z)
2

考点: 函数的零点与方程根的关系;函数的图象与图象变化;偶函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先求出直线 y=x+a 与函数 y=f(x)在区间[0,2)上的图象有两个不同的公共点 时的 a 的值为 0 或 ,又因为对任意的 x∈R,

都有 f(x+2)=f(x) ,所以要求的实数 a 的值为 2n 或 2n﹣ . 解答: 解:因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,设 x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1],于 是 f(x)=(﹣x) =x . 2 设 x∈[1,2],则(x﹣2)∈[﹣1,0].于是,f(x)=f(x﹣2)=(x﹣2) . ①当 a=0 时,联立 ,解之得 ,即当 a=0 时,即直线 y=x+a 与函数 y=f
2 2

(x)的图象有两个不同的公共点. ②当﹣2<a<0 时,只有当直线 y=x+a 与函数 f(x)=x 在区间[0,1)上相切,且与函数 f (x)=(x﹣2) 在 x∈[1,2)上仅有一个交点时才满足条件.由 f (x)=2x=1,解得 x= , ∴y= ∴ = ,故其切点为 ; ,
2 ′ 2



(1≤x<2)解之得



综上①②可知:直线 y=x+a 与函数 y=f(x)在区间[0,2)上的图象有两个不同的公共点时 的 a 的值为 0 或 .

又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+2)=f(x) ,实数 a 的 值为 2n 或 2n﹣ , (n∈Z) . 故应选 C. 点评: 此题考查了函数的奇偶性、周期性及导数的应用,用到了数形结合的思想方法. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.函数 的定义域是 (1,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令被开方数大于等于 0,真数大于 0,分母不为 0 得到不等式组,求出 x 的范围写出 区间形式. 解答: 解:要使函数有意义,需满足 解得 x>1 故答案为: (1,+∞) 点评: 本题主要考查函数定义域的求法,属于基础题.

12.若 x,y 满足约束条件

,则 x+2y 的最大值是 1 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值.

解答: 解:作出不等式组

对应的平面区域,

设 z=x+2y,得 y=﹣ x+ ,

平移直线 y=﹣ x+ ,由图象可知当直线 y=﹣ x+ 经过点 A(0, )时,直线 y=﹣ x+ 的 截距最大,此时 z 最大. 此时 z 的最大值为 z=0+2× =1, 故答案为:1.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

13.已知△ABC 满足(c﹣b) (sinC+sinB)=(c﹣a)sinA,则角 B=



考点: 专题: 分析: 解答:
2

正弦定理. 解三角形. 根据正弦定理和余弦定理进行化简即可. 解:由正弦定理得(c﹣b) (c+b)=(c﹣a)a,
2 2

即 c ﹣b =ac﹣a , 2 2 2 即 a +c ﹣b =ac, 由余弦定理得 cosB= 则在△ABC 中,B= 故答案为: 点评: 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键. , = = ,

14.设 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且| + |= 能的余弦值之积为 .

,则向量

夹角的所有可

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用.

分析: 设向量

夹角为θ,则 cosθ=

.再根据| + |=

,求得 x 的值,

可得 cosθ的值,从而求得向量

夹角的所有可能的余弦值之积.

解答: 解:设向量

夹角为θ,则 cosθ=

=



再根据| + |= 求得 =﹣2
2

,可得 x +1+5+2 cosθ,即

2

? =﹣2

? cosθ=5, ? .

化简可得,x +2x﹣3=0,求得 x=﹣3 或 x=1, ∴cosθ=﹣ ∴向量 故答案为: ,或 cosθ=﹣ , ) ?(﹣ )= ,

夹角的所有可能的余弦值之积为(﹣ .

点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式,两个向量的夹角公式,属于基础题. 15.如图,矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ADE 翻折过程中,下列命题正确的是 ①②④ . (写出所有正 确的命题的编号) ①线段 BM 的长是定值; ②点 M 在某个球面上运动; ③存在某个位置,使 DE⊥A1C; ④存在某个位置,使 MB∥平面 A1DE.

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离;推理和证明. 分析: 取 CD 中点 F,连接 MF,BF,则平面 MBF∥平面 A1DE,可得④正确;由余弦定理可得 2 2 2 MB =MF +FB ﹣2MF? FB? cos∠MFB,所以 MB 是定值,M 是在以 B 为球心,MB 为半径的球上, 可得①②正确.A1C 在平面 ABCD 中的射影为 AC,AC 与 DE 不垂直,可得③不正确. 解答: 解:①取 CD 中点 F,连接 MF,BF,则 MF∥DA1,BF∥DE,

∴平面 MBF∥平面 A1DE, ∴MB∥平面 A1DE,故 D 正确 由∠A1DE=∠MFB,MF= A1D=定值,FB=DE=定值, 由余弦定理可得 MB =MF +FB ﹣2MF? FB? cos∠MFB,所以 MB 是定值,故①正确. ②∵B 是定点, ∴M 是在以 B 为球心,MB 为半径的球上,故②正确, ③∵A1C 在平面 ABCD 中的射影为 AC,AC 与 DE 不垂直, ∴存在某个位置,使 DE⊥A1C 不正确,故③错误. ④取 CD 中点 F,连接 MF,BF,则平面 MBF∥平面 A1DE,可得④正确; 故正确的命题有:①②④, 故答案为:①②④. 点评: 掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解 题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知函数 f(x)=﹣sin2x﹣ (Ⅰ)求 f(x)的单调减区间; (Ⅱ)当 x∈[﹣ , (1﹣2sin x)+1.
2 2 2 2

]时,求 f(x)的值域.

考点: 正弦函数的单调性;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用辅助角公式进行化简,即可求 f(x)的单调减区间; (Ⅱ)根据三角函数的单调性和值域之间的关系即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ) f (x) =﹣sin2x﹣ +1 …(3 分) )+1 的单调增区间 )为单调增函数, …(5 分) (1﹣2sin x) +1=﹣sin2x﹣
2

cos2x+1=﹣2sin (2x+



原函数的单调减区间即是函数 y=2sin(2x+ 由正弦函数的性质知,函数 y=2sin(2x+ 就是函数 f(x)的单调减区间, 当 2kπ﹣ 即 kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,

≤x≤kπ+

,k∈Z 时,

所以函数 f(x)的单调减区间为[kπ﹣ (Ⅱ)因为 x∈[﹣ 所以 sin(2x+ , ],所以 2x+

,kπ+ ∈[0,

],k∈Z. ],…(8 分)

…(7 分)

)∈[0,1]…(10 分)

所以 f(x)的值域为[﹣1,1]. …(12 分) 点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题 的关键. 17.某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业,在一个开学季内,每售出 1 盒该 产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元.根据历史资料,得到开学季市场需求量 的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品,以 X(单位:盒, 100≤X≤200)表示这个丌学季内的市场需求量,Y(单位:元)表示这个开学季内经销该产 品的利润. (Ⅰ)根据直方图估计这个丌学季内市场需求量 X 的平均数和众数; (Ⅱ)将 Y 表示为 X 的函数; (Ⅲ)根据直方图估计利润不少于 4800 元的概率.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由频率直方图分别求出各组距内的频率,由此能求出这个开学季内市场需求 量 X 的众数和平均数. (Ⅱ)由已知条件推导出当 100≤x≤160 时,y=50x﹣(160﹣x) ? 30=80x﹣4800,当 160< x≤200 时,y=160×50=8000,由此能将 Y 表示为 X 的函数. (Ⅲ)利用频率分布直方图能求出利润不少于 4800 元的概率. 解答: 解: (Ⅰ)由频率直方图得到: 需求量为 110 的频率=0.005×20=0.1, 需求量为 130 的频率=0.01×20=0.2, 需求量为 150 的频率=0.015×20=0.3, 需求量为 170 的频率=0.0125×20=0.25, 需求量为 190 的频率=0.0075×20=0.15, ∴这个丌学季内市场需求量 X 的众数是 150,

这个丌学季内市场需求量 X 的平均数: =110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153. (Ⅱ)∵每售出 1 盒该产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元, ∴当 100≤x≤160 时, y=50x﹣(160﹣x) ? 30=80x﹣4800, 当 160<x≤200 时, y=160×50=8000, ∴y= .

(Ⅲ)∵利润不少于 4800 元, ∴80x﹣4800≥4800,解得 x≥120, ∴由(Ⅰ)知利润不少于 4800 元的概率 p=1﹣0.1=0.9. 点评: 本题考查频率分布直方图的应用,考查函数解析式的求法,考查概率的估计,是中 档题,解题时要注意频率分布直方图的合理运用. 18.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面为等边三角形,D 为 AC 的中点,AA1=AB=6. (Ⅰ)求证:直线 AB1∥平面 BC1D; (Ⅱ)求证:平面 BC1D⊥平面 ACC1A; (Ⅲ)求三棱锥 C﹣BC1D 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 OD,则点 O 为 B1C 的中点,证明:A1B∥OD,即可 证明直线 AB1∥平面 BC1D; (Ⅱ)证明 BD⊥平面 ACC1A1,即可证明:平面 BC1D⊥平面 ACC1A; (Ⅲ)利用 = ,求三棱锥 C﹣BC1D 的体积.

解答: (Ⅰ)证明:连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 OD,则点 O 为 B1C 的中点. ∵D 为 AC 中点,得 DO 为△AB1C 中位线, ∴A1B∥OD. ∵OD? 平面 AB1C,A1B? 平面 AB1C, ∴直线 AB1∥平面 BC1D;…(4 分) (Ⅱ) 证明:∵AA1⊥底面 ABC,∴AA1⊥BD,

∵底面 ABC 正三角形,D 是 AC 的中点, ∴BD⊥AC ∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面 ACC1A1, ∵BD? 平面 BC1D,∴平面 BC1D⊥平面 ACC1A;…(8 分) (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,△ABC 中,BD⊥AC,BD=BCsin60°=3 ∴S△BCD= ∴ = = = , =9 . …(12 分)

点评: 本题考查线面平行,平面与平面垂足,考查三棱锥体积的计算,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题. 19.已知正项数列{an}的前 n 项的和为 Sn,满足 4Sn=(an+1) . (Ⅰ)求数列{an}通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 bn= (n∈N ) ,求证:b1+b2+…+bn< .
* 2

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由数列递推式求出数列首项,取 n=n+1 得另一递推式,作差后可得{an}是等 差数列,由等差数列的通项公式得答案; (Ⅱ) 把数列{an}通项公式代入 bn= 解答: (Ⅰ)解:由 4Sn=(an+1) , 令 n=1,得 又 4Sn+1=(an+1+1) , ∴ ,整理得: (an+1+an) (an+1﹣an﹣2)=0.
2 2

, 由裂项相消法求和后即可证明 b1+b2+…+bn< .

,即 a1=1,

∵an>0,∴an+1﹣an=2,则{an}是等差数列, ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知,bn= 则 b1+b2+…+bn= = ,

= = .

点评: 本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了裂项相消法求数列的和, 是中档题.

20.设函数 f(x)=ax﹣ ﹣2lnx(a>0) . (Ⅰ)若 x=2 是 f(x)的极值点,求 f(x)的极大值; (Ⅱ)若 f(x)在定义域上是单调函数,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求 f′(x) ,所以 f′(2)=0,这样即可求出 a= ,这样就可求出 f′(x) , 并令 f′(x)=0,这样方程的解将区间(0,+∞)划分为几个区间,通过判断 f′(x)在 这几个区间上的符号,即可找到极大值点,从而求出极大值; (Ⅱ)求 f′(x) ,所以 f′(x)≥0 对于 x>0 时恒成立,或 f′(x)≤0 对于 x>0 恒成 立,所以得到 a≥ 围. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=a+ ﹣ , ,或 a≤ ,求出 的最大值和最小值 1,从而求出 a 的范

∴f′(2)=a+ ﹣1=0,解得 a= ,

∴f′(x)= +

﹣ =

,x>0,

令 f′(x)=0,解得:x= ,或 2, ∴x∈(0, )时,f′(x)>0, x∈( ,2)时,f′(x)<0, x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, ∴x= 时,f(x)取得极大值 f( )=2ln2﹣ ; (Ⅱ)①若 f(x)在定义域上是增函数, 则 f′(x)≥0 在 x>0 时恒成立, ∵f′(x)=a+
2

﹣ =



∴需 x>0 时 ax ﹣2x+a≥0 恒成立;

化 ax ﹣2x+a≥0 为 a≥ ∵ = ≤1,

2

恒成立,

∴a≥1 为所求; ②若 f(x)在定义域上是减函数, 则 f′(x)≤0 在 x>0 时恒成立, ∵f′(x)=a+
2

﹣ =



∴需 x>0 时 ax ﹣2x+a≤0 恒成立; 化 ax ﹣2x+a≤0 为 a≤ ∵ = >0,
2

恒成立,

∴a≤0 为所求; 综合①②:a≥1 或 a≤0. 点评: 考查极值的概念,根据极值定义求极值,函数单调性和函数导数符号的关系.而对 于第二问的关健是得到式子 a≥ ,或 a≤ ,本题是一道中档题.

21.如图,已知圆 E:

=16,点

,P 是圆 E 上任意一点.线

段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q. (1)求动点 Q 的轨迹Γ的方程; (2)设直线 l 与(1)中轨迹Г相交于 A,B 两点,直线 OA,l,OB 的斜率分别为 k1,k,k2 (其中 k>0) ,若恰好成等比数列,求△OAB 的面积 S 的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线和圆的方程的应用. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由题意易得|QE|+|QF|=4,由椭圆的定义可得; (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) .与椭圆方程联立可得(1+4k ) x +8kmx+4m ﹣4=0,由韦达定理和等比数列可解得 k= ,可得面积 S= |m|= ,由基本不等式可得最值.
2 2 2

解答: 解: (Ⅰ)连接 QF,由垂直平分线的性质可得|QP|=|QF|, 则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=4, ∴动点 Q 的轨迹Γ是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 可知 a=2,c= ,故 b= =1, .

∴点 Q 的轨迹Γ的方程为

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) .
2 2 2

联立

,消去 y 并整理可得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0,

∴△=16(1+4k ﹣m )>0,x1+x2=﹣ ∵k1,k,k2 构成等比数列, ∴k =k1k2= ∴﹣km
2 2 2

2

2

,x1x2=



,化简变形可得 km(x1+x2)+m =0, +m =0,解得 k = .∵k>0,∴k= .
2

2

此时△=16(2﹣m )>0,解得﹣ <m< . 又由 A、O、B 三点不共线得 m≠0,∴﹣ <m< ∴S= |AB|d= |x1﹣x2|?

且 m≠0,

=

|m|=

|m|

=
2 2



=1

当且仅当 2﹣m =m 即 m=±1 时取等号, ∴△OAB 的面积 S 的最大值为 1 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,设计轨迹方程的求解和圆锥曲线的最值,属 难题.


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