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【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编 (第1期)专题08 立体几何 文


【精选+详解】2013 届高三数学名校试题汇编 (第 1 期)专题 08 立 体几何 文
一.基础题 1.【2013 届河北省重点中学联合考试】设 a,b,c 表示三条直线, ? , ? 表示两个平面,则 下列命题中逆命题不成立的是 A.c⊥α ,若 c⊥β ,则 α ∥β B.b? α ,c ? α ,若 c∥α ,则 b∥c C.b? β ,若 b⊥α ,则 β ⊥α D.a,b?

? , a ? b ? p ,c⊥a,c⊥b,若 ? ⊥ ? ,则 c ? ?

2. 【广东省珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试】 已知 ? , ? 为不重合的两个平面, 直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.【2012-2013 学年度河北省 普通高中高三 11 月教学质量监测】已知 ? , ? 是两个不同的平 面,下列四个条件:①存在一条直线 a, a ? ? , a ? ? ②存在一个平面 ? , ? ? ? ③存在两 个平行直线 a,b, a ? ? , b ? ? ,a / / ? , b / /? , ④存在两条异面直线 a,b, a ? ? , b ? ? ,

a / / ? , b / /? 。可以推出 ? / / ? 的是(
A.①③ B.②④ C.①④

) D.②③

4.【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】某几何体的正视图和侧视图均为如图 1 所 示, 则在图 2 的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )

1

A. , (1)(3) B. , (1)(4)

C. , (2)(4)

D. , , , (1) (2) (3) (4)

4.【2013 届浙江省重点中学协 作体高三摸底测试】已知 m, n 分别是两条不重合的直线,a, b 分别垂直于两不重合平面 ? , ? ,有以下四个命题:①若 m ? a , n // b ,且 ? ? ? ,则 m // n ;② 若 m // a, n // b ,且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m // a , n ? b, 且 ? // ? ,则 m ? n ;④若 m ? a , n ? b, 且 ? ? ? ,则 m // n .其中真命题的序号是 A.①② B.③④ C.①④ D.②③

5. 【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关 的尺寸如下图所示,则这个几何体的体积是( ) 4 正 视 图 A . 8? 1 侧视图 B. 7?
主视图

3

俯视图
主视图

C. 2?

`D.

7? 4

6 【湖北省武汉市 2012 年 11 月模拟考试】 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 .

2

【答案】 92 【 解 析 】 依 题 意 , 原 几 何 体 是 一 个 底 面 是 梯 形 的 直 四 棱

7. 【2013 届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】 一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别为 A. 2 2? ? 2? ? 4和 ? C. 2 2? 和 ?
4 3 4 3

B. 2 2? ? 2? 和 ? D. 2 2? 和 ?
8 3

4 3

8.【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】一个几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积为

3

9. 【 2012 河 北 省 名 校 名师 俱 乐 部 高 三 第 二 次 调 研 考 试 】 如 图 , 在 正 方 体

ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别为 CD、 DD1 的中点,则异面直线 EF 与 AC1 所 1
成角的余弦值为 【答案】

1 2

【解析】连结 A1B, BC1 ,易证 EF / / A B ,可求 得 ?A BC1 为等边三角形, 1 1 ∴ A B 与 AC1 所成的角为 60 ,∴EF 与 AC1 所成的角为 60 , 1 1 1 ∴直线 EF 与 AC1 所成的角的余弦值为 1
0 0

1 2

10.【河北省唐山市 2012-2013 学年度 高三年级摸底考试】 空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (A)8+2 5 (B)6+2 5 (C)8+2 3 (B)6+2 3 【答案】A 【解析】根据三视图可知,其直观图为放倒的三棱柱,如图 所示,AB⊥AC,且 AB=1,AC=2,CC1=2,则该几何体的表面 积为 4+2+2+2 5 =8+2 5 . B1

B

A1

C1

A

C

11.【2013 届河北省重点中学联合考试】一个几何体的三视图如下图所示.则该几何体的体 积为_____

4

二.能力题 1.【河北省唐山市 2012-2013 学年度 高三年级摸底考试】 在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC= 3 ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°,则该三棱锥外 接球的体积为 (A) ? (B)

? 3

(C)4 ?

(D)

4? 3

2. 【浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考】 如图是一个几何体的三 视图,则这个几何体的体积是 ( ) A.27 B.30 C.33 D.36 【答案】B 【解析】由三视图可知组合体是由一个底面边长为 3,高为 1 的正四棱 锥和一个边长均为 3 的正方体组成。

5

∴V ?

1 ? (3 ? 3) ? 1 ? 33 ? 30 ,故答案选 B. 3

3. 【 2012 河 北 省 名 校 名 师 俱 乐 部 高 三 第 二 次 调 研 考 试 】 如 图 , 设 正 方 体

ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别是 B1C1 、 C1D1 的中点,则点 A 到平面
EFDB 的距离为 A.

1 3

B.

2 3

C.

2 2

D.1

4. 【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】如图,三棱锥 V-ABC 的底面为正三 角形,侧面 VAC 与底面垂直且 VA=VC,已知其正视图的面积为 视图的面积为 A.

2 ,则其侧 3

3 2 3 6

B.

3 3

C.

3 4

D.

5.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】某几何体的三视图(单位: m)如图所示,则其表面积为( ) A. (96 ? 32 2)m2 B. (64 ? 32 3)m2

6

C. (144 ? 16 2 ? 16 3)m2

D. (80 ? 16 2 ?16 3)m2

6. 【广东省珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试】 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体 积是 A.36 B.108 C.72 D.180 【答案】B 【解析】 有几何体的三视图可知,该几何体为四棱锥和 长方体的组合体.体积 V ? V椎体 +V柱体

1 1 V椎体 = sh= ? 6 ? 6 ? 3=36 3 3

,

V柱体 ? sh ? 6 ? 6 ? 2 ? 72
故 V ? 36 ? 72 ? 108 . 三.拔高题 1.【浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考】 (本题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形, PA ? AD ? 1 , 且

D

C

AB ? 2 , ?PAB ? 120? , ?PBC ? 90? ,
(Ⅰ)平面 PAD 与平面 PAB 是否垂直?并说明理由; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 【解析】 (I)平面 PAD ? 平 面 PAB ; ??????1 分 证明:由题意得 AD ? AB 且 AD // BC 又 BC ? PB ,则 DA ? PB ??????? ???3 分 则 DA ? 平面 PAB , ??????5 分 故平面 PAD ? 平面 PAB ??????7 分 (Ⅱ)以点 A 为坐标原点,AB 所在的直线为y轴建立
A B

P

??? ? 空间直角坐标系如右图示,则 D(0, 0,1) , C (0, 2,1) , P( 3 , ? 1 , 0) 可得 CP ? ( 3 , ? 5 , ?1) , 2 2 2 2 分 ?? 平 面 ABCD 的 单 位 法 向 量 为 m ? (1, 0, 0) ,
z

9

??????????????11 分

D

C

A

B y

7
P x

?? ??? ? m 设直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 ? ,则 cos( ? ? ) ? ??? ? CP ? ? ???? 2 | m | ? | CP |

?

3 6 2 ? 8 3 25 1? ? ?1 4 4

???

13 分 则 sin ? ? 6 ,即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 6 ???????????14 分 8 8 2.【河北省唐山市 2012-2013 学年度 高三年级摸底考试】 0 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC. AB=AC=l,∠BAC=12 ,B1C=3。 (I)求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积: (II)求异面直线 B1C 与 A1 C1 所成角的大小.

3. 【 广 东 珠 海 市 2013 届 高 三 9 月 份 模 拟 】 如 图 1, 在 直 角 梯 形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2, AD ? CD ? 1 .将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. ( 1) 求证: BC ? 平面 ACD ;(2) 求几何体 D ? ABC 的体积. D C D

C A B A B

图1 答案:(Ⅰ)在图 1 中,可得 AC ? BC ?

2 ,从而 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,故 AC ? BC 图2 取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADC ? 面 ABC , 面 ADC ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ??4 分 OD ? BC ∴ 又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD ??8 分 2 2 2 另解:在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC ∵面 ACD ? 面 ABC ,面 ACD ? 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD

8

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知 BC 为三棱锥 B ? ACD 的高. BC ? 2 , S ? ACD ? 所以 VB ? ACD ?

1 2

??11 分 ??13 分

1 1 1 2 Sh ? ? ? 2 ? 3 3 2 6 2 6

由等积性可知几何体 D ? ABC 的体积为

4.【浙江省考试院 2013 届高三上学期测试】(本题满分 ( 15 分)如图,四棱锥 P-ABCD,PA⊥底面 ABCD,AB∥CD,

1 AB⊥AD,AB=AD= CD=2,PA=2,E,F 分别是 PC, PD 2
的中点. (Ⅰ) 证明:EF∥平面 PAB; (Ⅱ) 求直线 AC 与平面 ABEF 所成角的正弦值.

P F D A B (第 20 题图) E C

本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面所成角等基础知识,同时考查空间想象能力和 推理论证能力。满分 15 分。

4. 【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】 (本 小题满分 12 分) 在如图所示的多面体 ABCDE 中, AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2, AB =1. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有

E F B

A

D
9

C

直线 BF∥平面 ACD,并证明这一事实; (2)求直线 EC 与平面 ABED 所成角的正弦值.

5.【武汉市 2013 届高三 11 月调研测试】 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,四个侧面都是等边三角形,AC 与 BD 交于点 O,E 为侧棱 SC 上的一点. (Ⅰ)若 E 为 SC 的中点,求证:SA∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 SAC. 解: (Ⅰ)如图,连结 OE. ∵O 是 AC 的中点,E 是 SC 的中点, ∴OE∥SA, 又∵SA?平面 BDE,OE? 平面 BDE, ∴SA∥平面 BDE.??????????6 分 (Ⅱ)由已知,得 SB=SD,O 是 BD 的中点, ∴BD⊥SO. 又∵四边形 ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC. ∵SO∩AC=O, ∴BD⊥平面 SAC. ∵BD? 平面 BDE,

10

∴平面 BDE⊥平面 SAC.?????????????????????13 分 6. 【河南省南阳市 2012 届高中三年级期终质量评估】 (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥ AD,

1 AB 2 1 =1, M 为 PC 的中点,N 在 AB 上且 AN= NB. 3
AD⊥DC,PA⊥底面 ABCD,PA=AD=DC= (Ⅰ)证明:MN∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 B-PNC 的体积.

(1)证明:过 M 在平面 PCD 内作 ME//DC 交 PD 于 E,则 ME // 又 DC=1 ∴ME=

1 DC 2

1 2
∴DC//AB ∴

又 AB ? AD, AD ? DC, 又 AN ? ∴MN//AE (2)解

1 1 1 NB ? AB ? 3 4 2


ME// AN

∴EMAN 为平行四边形 P

MN//平面 PAD

VB ? PNC ? VP ? BNC

? PA ? 平面ABCD

E A D

M N C B

1 1 ?VP ? BNC ? PA ? S ?CNB ? 3 4

7. 【浙江省嘉兴一中 2013 届高三 10 月月考】 若将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成 一个直二面角,且 EA⊥平面 ABD,AE=a(如图) . (Ⅰ)若 a ? 2 2 ,求证:AB//平面 CDE; (Ⅱ)求实数 a 的值,使得二面角 A-EC-D 的大小为 60°.
E

C A D

B

(第 20 题)

.解: (1)如图建立空间指教坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, 2 ),D(0,2,0),E(0,0, 2 2 ), ??? ? ???? ???? AB ? ? 2,0,0 ? , DE ? 0, ?2, 2 2 , DC ? 1, ?1, 2 2分 ?? ? 设平面 CDE 的一个法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,则有 ?2 y ? 2 2z ? 0, x ? y ? 2z ? 0 , ?? ? 取 z ? 2 时, n1 ? 0, 2, 2 4分 ??? ?? ? ? 7分 ? AB ? n1 ? 0 ,又 AB 不在平面 CDE 内,所以 AB // 平面 CDE ; (2)如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, 2 ),D(0,2,0),E(0,0, a

?

?

?

?

?

?

11

), ???? ???? DE ? ? 0, ?2, a ? , DC ? 1, ?1, 2 ,

?? ? 设平面 CDE 的一个法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,则有 ?2 y ? az ? 0, x ? y ? 2z ? 0 , ?? ? 取 z ? 2 时, n2 ? a ? 2 2, a, 2 9分 ?? ? 又平面 AEC 的一个法向量为 n3 ? ? ?1,1,0? , 10 分 ?? ?? ? ? n2 ? n3 1 因为二面角 A ? EC ? D 的大小为 60? ,? ?? ?? ? , ? ? n2 n3 2

?

?

?

?

即 a2 ? 2 xa ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 ? 2 又 a ? 0 ,所以 a ? 2 ? 2 . 15 分

14 分

F 8.【吉林市普通中学 2012-2013 学年度高中毕业班摸底测试】如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所

在平面, CE // DF , ?DEF ? 90 .
0

(1)求证: BE // 平面ADF ; (2)若矩形 ABCD 的一个边 AB ? 3 , EF ? 2 3 , 则另一边 BC 的长为何值时,三棱锥 B—DEF 的体积为 3 ?
A B E D C

9. 【江西省临川一中、师大附中 高三(文)科数学联考】如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 , PA ? 2 ,求: (Ⅰ)三角形 PCD 的面积 ; (II)三棱锥 P ? ABE 的 体积 解: (Ⅰ)易证 ?PCD 是一个直角三角形,所以 S ?PCD ? 2 3 (II) 如图, PB 的中点为 H, EH ∥ 设 则 BC,而 BC⊥平面 PAB,所以 HE 为三棱锥 P ? ABE 的 高 , 因 此 可 求

12

VP ? ABE ? VE ? PAB ?

2 2 3

10. 【河北省五校联盟 2012—2013 学年度第一学期调研考试】 如图,在四面体 ABCD 中,CB ? CD , AD ? BD ,点 E ,F 分别是 AB , BD 的中点. (1)求证:平面 EFC ⊥平面 BCD ; (2)若平面 ABD ⊥平面 BCD ,且 AD ? BD ? BC ? 1 , 求三棱锥 B ? ADC 的体积.

11.【河南省新乡许昌平顶山三市 2013 届高三第一次科研考试】(本 小题满分 12 分)已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,

?BAD ? ?CBA ? 90? ,面 PAB⊥面 ABCD,PA=PB=AB=AD=2,BC=1,
点 M 是棱 PD 的中点 (Ⅰ)求证:CM∥平面 PAB; (Ⅱ)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

13

12.【浙江省慈溪中学 2013 届高三第一次月考】 (本题满分 14 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB=2BC,点 M 在边 CD 上,点 F 在边 AB 上,且 DF ? AM ,垂足为 E,若将 ?ADM 沿 AM 折起,使点 D 位于 D ? 位置,连接 D ?B , D ?C 得四棱锥 D ? ? ABCM 。 (1) 求证: AM ? D ?F ; (2) ?D ?EF ? 若 求直线 AD ? 与平面 ABCM 所成角的正弦值。

?
3

, 直线 D ?F 与平面 ABCM 所成角的大小为

? , 3

(本题满分 14 分)

14

14.【广东省海珠区 2013 届高三综合测试(一 )】如图 5 ,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱与底
0 面垂直, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? AA1 ? 2 ,点 M , N 分别为 A B 和 B1C1 的中点. 1

(1)证明: A1M ? 平面 MAC ; (2)求三棱锥 A ? CMA 的体积; 1 (3)证明: MN / / 平面 A ACC1 . 1

A1 N B1 M A B
图5

C1

C

(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数 学思想方法,以及空间想 象能力、推理论证能力和运算求解能力)

15

MAC ? A1M ? 平面 MAC
证法二:在 Rt ?BAC 中, BC ? 在 Rt ?A1 AC 中, A1C ?

????4 分 ????5 分

AB2 ? AC 2 ? 22 ? 22 ? 2 2

A1 A2 ? AC 2 ? 22 ? 22 ? 2 2 .
C1

A1 ? BC ? AC , 1 N P 即 ?A1CB 为等腰三角形. ????1 分 B1 又点 M 为 A B 的中点, 1 ????2 分 ? A1M ? MC . M 又 四边形 AA BB1 为正方形, M 为 A B 的中点, ? 1 1 A ????3 分 ? A1M ? MA AC ? MA ? A , AC ? 平面 MAC , MA ? 平面BMAC ????4 分 ????5 分 ? A1M ? 平面 MAC
(2)由(1)的证明可得: 三棱锥 A ? CMA 的体积 VA?CMA1 ? VC ? AMA1 ? 1

C

1 ? S ?AMA1 ? CA ????7 分 3
????8 分 ????9 分 ????10 分

1 1 ? ? ? 2 ? 1? 2 3 2 2 ? . 3
(3)证法一: 连接 AB1 , AC1 , 由题意知,点 M , N 分别为 AB1 和 B1C1 的中点,

? MN / / AC1 . 又 MN ? 平面 A ACC1 , AC1 ? 平面 A ACC1 , 1 1 ? MN / / 平面 A1 ACC1 . 证法二:取 A1B1 中点 P ,连 MP, NP ,
而 M , P 分别为 AB1 与 A1B1 的中点,

????11 分 ????13 分 ????14 分 ????10 分

? MP / / AA1, MP ? 平面 A1 ACC1 , AA1 ? 平面 A1 ACC1 ? MP / / 平面 A1 ACC1 , 同理可证 NP / / 平面 A ACC1 1 又 MP ? NP ? P ? 平面 MNP / / 平面 A1 ACC1 . ? MN ? 平面 MNP , ? MN / / 平面 A1 ACC1 .

????11 分 ????12 分 ????13 分 ????14 分

15.【河北省五校联盟 2013 届高三上学期调研考试】如图, 在四面体 ABCD 中,CB ? CD , AD ? BD ,点 E ,F 分 别是 AB , BD 的中点. (1)求证:平面 EFC ⊥平面 BCD ;

16

(2)若平面 ABD ⊥平面 BCD ,且 AD ? BD ? BC ? 1 , 求三棱锥 B ? ADC 的体积.

17


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