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高一上学期数学单元测试(1)集合与函数概念(必修1第一章)


100 分教育

高一上学期数学单元测试(1)
[新课标人教版] 集合与函数概念(必修 1 第一章)
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束,试题 和答题卡一并收回。 3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案。

第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1.函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域为 A. {x | x ≤1} C. {x | x ≥1或x ≤ 0} 2.若集合 A. 、 、 ,满足 B. , C. , 若 C. a ? 2008 B. {x | x ≥ 0} D. {x | 0 ≤ x ≤1} ,则 与 之间的关系为 ( D. , 则实数 的取值范围是 ( D. a ? 2009 ) ) ( )

}, 3. 设 A ? {x | 2008? x ? 2009
A. a ? 2008 B. a ? 2009

4. 定义集合运算: A ? B ? z z ? xy, x ? A, y ? B .设 A ? ?1,2? , B ? ?0,2? ,则集合 A ? B 的 所有元素之和为 A.0 5.如图所示, , ( B.2 , 是 C.3 D.6 ( ) )

?

?

的三个子集,则阴影部分所表示的集合是

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A. C. 6.设 f(x)=|x-1|-|x|,则 f[f( )]=

B. D. ( D.1 )

A. - B.0 C. 7.若 f(x)为 R 上的奇函数,给出下列四个说法: ①f(x)+f(-x)=0 ; ③f(x)· f(-x)<0; 其中一定正确的有 A.0 个
2

②f(x)-f(-x)=2f(x); ④

f ( x) ? ?1 。 f (? x)
( ) )

B.1 个

C.2 个

D.3 个 (

8.函数 f(x)=ax +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上为减函数,则 a 的取值范围为 A. 0<a≤

1 5

B.0≤a≤

1 5

C.0<a≤

1 5

D.a>

1 5

9 .如果函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称,且 f ( x) ? ( x ? 2008 ) 2 ? 1( x ? 0) ,则

( x ? 0) 的表达式为
A. f ( x) ? ( x ? 2008 ) ?1
2

( B. f ( x) ? (2008? x) ? 1
2



C. f ( x) ? ( x ? 2008 ) ?1
2

D. f ( x) ? ( x ? 2008 ) ?1
2

10. 设定义域为 R 的函数 f (x) 满足 的值为

, 且f (-1) = , 则f (2008) ( )

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A.-1 11.设函数 ①c = 0 时,y ③y B.1 C.2009

D.

| | + b + c 给出下列四个命题: 是奇函数 ②b 0 , c >0 时,方程 ④方程 0 只有一个实根

的图象关于(0 , c)对称

0 至多两个实根 ( )

其中正确的命题是 A.①、④ B.①、③ C.①、②、③ D.①、②、④

12.若任取 x1,x2∈[a,b],且 x1≠x2,都有 [a,b]上的凸函数。试问:在下列图像中,是凸函数图像的是

成立,则称 f(x) 是 ( )

第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.已知集合 M ? {a |

2008 ? N *, a ? Z } ,则 5?a

等于

.

14.一辆汽车在某段路程中的行驶速度 与时间 的关系如图所示,则该汽车在前 3 小时内 行驶的路程为 _________km,假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2006km,那么在 时,汽车里程表读数 与时间 的函数解析式为__________.

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15.对

,记 max{a,b}= ? .

?a , a ? b 2 ,函数 f(x)=max{x+2008×2007,x }(x R) ?b, a ? b
a ∈P b

的最小值是

16.设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有 a+b、a-b、ab、 (除数 b≠0)则称 P 是一个数域,例如有理数集 Q 是数域,有下列命题:

①数域必含有 0,1 两个数;②整数集是数域;③若有理数集 Q ? M,则数集 M 必为数域; ④数域必为无限集。其中正确的命题的序号是 的序号都填上). 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分). 17. (12 分)若 ,求实数 的值. (把你认为正确的命题

18. (12 分) 已知集合 求实数 的取值范围.



, 且



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19. (12 分)判断 y=1-2x3 在 (??,??) 上的单调性,并用定义证明.

20. (12 分)已知某商品的价格上涨 x%,销售的数量就减少 mx%,其中 m 为正的常数。 (1)当 m=

1 时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额最大? 2

(2)如果适当地涨价,能使销售总金额增加,求 m 的取值范围?

21. (12 分)已知集合 ,求实数 的取值范围.



,若

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22. (14 分)设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 。 (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f ( x) 的图像; (2)设集合 A ? x f ( x) ? 5 ,

B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) 。试判断集合 A 和 B 之间的关系,并给出证明; (3)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? kx ? 3k 的图像位于函数 f ( x) 图像的上 方.

?

?

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参考答案
一、选择题 1.D;提示:只须保证根式有意义; 2.C;提示: C; 3.B;提示:可借助数轴来表示,注意 a ? {x | x ? a} ,所以若 4.D 提示:因 A * B ? {0, 2, 4} ; 5.C;提示:根据阴影部分所对应的区域即可,是集合 M、N 的内部区域,在集合 P 之外; 6.D;提示: f ( ) ?| 需要 a ? 2009 ;

? A? B,

? B ? C ,所以 A ? C 。但不能说

1 2

1 1 ? 1 | ? | |? 0, f (0) ?| 0 ? 1 | ? | 0 |? 1 ; 2 2

7.C;提示:需要考虑 f (0) ? 0 这种特殊情况,正确的是“①②” ;

?a ? 0 ? 8.B;提示:只需保证 ? b ,再讨论 a=0 这种特殊情况; ? ?4 ? ? 2a
9.C;提示:显然函数为偶函数,设 x ? 0 , 则 f ( x) ? f (? x) ? (? x ? 2008 ) ? 1 ? ( x ? 2008 ) ?1 ;
2 2

) ? 1; 10.B;提示:可以写出前几个 0、1、2、3 的函数值,可归纳出 f (2008
11.C;提示:可对绝对值号分情况展开,结合二次函数的性质分段处理; 12.C;提示:凸函数满足中点的函数值大于端点连线中点的纵坐标; 二、填空题

} ;提示:由于 2008 的正因数只有 1,2,4,8,251, 13.{4,3,1,?3,?246. ? 497,?999,?2003
502,1004,2008 共 8 个,分别代入即可; 14.220;
2

;提示:按分段函数处理即可;

15.2007 ;提示:首先在平面直角坐标系内绘制函数 ?

? y ? x ? 2007? 2008
2 ?y ? x

的图像,求得

x 2 ? x ? 2007? 2008? 0 ,结合图像代入 x ? ?2007 即可;

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16.①④;提示:按照信息给予的条件进行分析,a-a=0、

a 1 ? 1、 ? Z 、 a 2

a ? 2a ? a ? a ? 3a ? 2a ? a ? .......... .......... .;
三、解答题 17.解: 或 或 当 当 从而, 18.解: 当 当 时, 时, , , 时, 时, 或 ????????????6 分 , , , , ,适合条件;????8 分 ,适合条件????10 分

????????????12 分 ,????2 分 ????4 分

, 或 从而,实数 ????11 分 的取值范围为 <x1<x2<+ ????12 分 ????2 分

19.证明:任取 x1,x2 R,且- f(x1)-f(x2) =(1-2x31)-(1-2x32) =2(x32-x13) =2(x2-x1)(x22+x1x2+x21)

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=2(x2-x1)[(x1+x2)2+

x12] ????8 分

∵x2>x1∴x0-x1>0,又(x1+x2)2+ 故 f(x)=1-2x3 在(-

x12>0,

∴f(x1)-f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) ????10 分 ,+ )上为单调减函数。????12 分 20.解:(1)设商品现在定价 a 元,卖出的数量为 b 个。 由题设:当价格上涨 x%时,销售总额为 y=a(1+x%)b(1-mx%), 即 取 m= 得:y= ,(0<x< ),????3 分

,当 x=50 时,ymax= ab,

即:该商品的价格上涨 50%时,销售总金额最大。????6 分 (2)二次函数 在 上递减,????8 分 )内存在一个区间,使函数 y 在此区间上 ,在 上递增,

适当地涨价能使销售总金额增加,即 在(0, 是增函数,所以 解得 21.解:方法 1 , 中至少含有一个负数,即方程 ,即所求 ,

的取值范围是(0,1).????12 分

至少有一个负根。???1 分

当方程有两个负根时,



,????4 分

当方程有一个负根与一个正根时,

????7 分

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当方程有一个负根与一个零根时, 或 从而实数 的取值范围为 方法 2: , 中至少含有一个负数 或 ????10 分 ????12 分

取全集 当 A 中的元素全是非负数时,

,????4 分



所以当 从而当 22. (1)

时的实数 a 的取值范围为 时的实数 a 的取值范围为

????10 分 ????12 分

????????????4 分 ( 2 )方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14, 0, 4 和 2 ? 14 ,由于 f ( x) 在 ( ? ?, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减,在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此

A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14, ? ? .
由于 2 ? 14 ? 6,

?

?

?

?

??????????6 分

2 ? 14 ? ?2, ∴B A.

????????????8 分

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(3)[解法一] 当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .

g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4x ? 5)
4?k? k 2 ? 20k ? 36 ? , ? ? x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? ? x ? ? 2 ? 4 ? 4?k ? k ? 2, ? ? 1 . 又 ? 1 ? x ? 5 ,????????10 分 2 4?k 4?k ① 当 ?1? , ? 1 ,即 2 ? k ? 6 时,取 x ? 2 2 k 2 ? 20k ? 36 1 2 ? ? ?k ? 10? ? 64 . g ( x) min ? ? 4 4 ? 16 ? (k ? 10) 2 ? 64, ? (k ? 10) 2 ? 64 ? 0 , 则 g ( x) min ? 0 . ??????????????????????12 分 4?k g ( x) m i = ② 当 ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , n 2k ? 0 . 2 由 ①、②可知,当 k ? 2 时, g ( x) ? 0 , x ? [ ? 1, 5 ] . 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f ( x) 图像的上方.????14 分
2

?

?

解法二:当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 。

? y ? k ( x ? 3), 由? 得 x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? 0 , 2 y ? ? x ? 4 x ? 5 , ? 令 ? ? (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) ? 0 ,解得 k ? 2 或 k ? 18 ,???????????10 分 在区间 [ ? 1, 5 ] 上,当 k ? 2 时, y ? 2( x ? 3) 的图像与函数 f ( x) 的图像只交于一点 (1, 8 ) ; 当 k ? 18 时, y ? 18( x ? 3) 的图像与函数 f ( x) 的图像没有交点.
如图可知,由于直线 y ? k ( x ? 3) 过点 ( ? 3, 0 ) ,当 k ? 2 时,直线 y ? k ( x ? 3) 是由直线

y ? 2( x ? 3) 绕点 ( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到。
因 此 , 在 区 间 [ ? 1, 5 ] 上 , y ? k ( x ? 3) 的 图 像 位 于 函 数 f ( x) 图 像 的 上 方。?????????????????14 分 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn


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