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高中数学竞赛模拟题(十六套)


模拟试题一

2010 年全国高中数学联赛模拟试题

武钢三中 岑爱国 一 试 一、填空题(每小题8分,共64分)

1.方程错误!未找到引用源。
2.如图,在错误!未找到引用源。
B

A

N D C

错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,则 m+2n 的值为错误!未找到引用源。 3.错误!未找到引用源。 M

4.单位正方体错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。这八个面截这个单位正方体,则含正方体中心的那一部分的体积 为 . 5.设数列错误!未找到引用源。

6.已知实数 x,y,z 满足 xyz=32,x+y+z=4,则|x|+|y|+|z|的最小值为错误!未找到 引用源。 7.若错误!未找到引用源。 8.空间有 100 个点,任 4 点不共面,用若干条线段连结这些点,如果不存在三角形,最多
可连错误!未找到引用源。条线段. 二、解答题(共56分) 9. (16 分)设错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。之和为 21,第 2 项、第 3 项、第 4 项之和为 33. (1)求数列错误!未找到引用源。的通项公式; (2)设集合错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 , 求证:错误!未找到引用源。 . 10. (20 分)过抛物线错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。的距离均不为整数. 11. (20 分)已知二次函数错误!未找到引用源。有两个非整数实根,且两根不在相邻 两整数之间.试求 a, b 满足的条件,使得一定存在整数 k,有错误!未找到引用源。成立. 二 试 一. (40 分)如图,已知错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。求证:错误!未找到引用源。

A

F

E

P 二. (40 分)设错误!未找到引用源。 . 三. (50 分)已知 n 个四元集合错误!未找到引用源。 B C D 错误!未找到引用源。 ,试求 n 的最大值.这里错误!未找到引用源。 四. (50 分)设错误!未找到引用源。为正整数错误!未找到引用源。 的二进制表示数的 各位数字之和,错误!未找到引用源。为数列错误!未找到引用源。的前 n 项和. 若存在无 穷多个正整数 n,满足错误!未找到引用源。 ,且 m 错误!未找到引用源。 ,则称错误!未 找到引用源。是“好数”.试问: (1)2,3,5 是否都是好数? (2)错误!未找到引用源。是否都是好数?

模拟试题二

全国高中数学联赛模拟试题
江苏省盐城中学 陈健 第一试

一、填空题: (每小题 7 分,共计 56 分) 1. 若函数 y ? f ( x) 图象经过点(2,4) ,则 y ? f (2 ? 2 x) 的反函数必过点__________ 2. a 、 b 、 c 是从集合 ? 1, 2, 3, 4, 5?中任意选取的 3 个不重复的数,则 ab ? c 为奇数的概率为 ___________ 3. 已知数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? 4. 抛物线 y ? ?

(n ? 1) 4 ? n 4 ? 1 ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n =_____ (n ? 1) 2 ? n 2 ? 1

1 2 x 的准线与 y 轴交于点 A ,过 A 作直线交抛物线于点 M 、 N ,点 B 在 8

抛物线对称轴上,且 ( BM ?

MN ) ? MN ,则 OB 的取值范围是____________ 2

5. 已知 ? , ? ? R ,直线

x y x y ? ? 1与 ? ?1 sin ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ?

的交点在直线 y ? ? x 上,则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 6. 如图,四面体 ABCD 中, ?ADB 为等腰直角三角形, A

?ADB ? 900 , AD ? 1 ,且 ?BDC ? ?ADC ? 600 ,
则异面直线 AB 与 CD 的距离为______________ B D

C

7. 已知点 A(2,2) 、 P ( x, y ) ,且 x, y 满足

? ?0 ? x, y ? 2 ? ? ? x ? y ? 2 ,则 PA 长的取值范围是________ ?1 1 ? ? ?2 ? ?x y
8. 将一个 4 ? 4 棋盘中的 8 个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有 _ 不同的染法.(用数字作答) 二、解答题: (三题共计 44 分) 9. (本题 14 分)已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? 1? a ? 0, b ? R ? ,设方程 f ? x ? ? x 有两 个实数根 x1 , x2 . ①如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f ? x ? 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ; ②如果 0 ? x1 ? 2 ,且 f ? x ? ? x 的两实根的差为 2,求实数 b 的取值范围.

10. (本题 15 分)数列 {an } 满足: a0 ? 1, an?1 ?

2 7an ? 45an ? 36

2

, n ? N.

证明: (1)对任意 n ? N , a n 为正整数;(2)对任意 n ? N , an an?1 ? 1为完全平方数

11.(本题 15 分)用纸板裁剪出两个半径不同的圆,每个圆再分成 200 个相等的扇形,且将 每个圆的 100 个扇形涂成白色,另 100 个扇形涂成黑色.将小圆叠放在大圆的上面,使得它 们的圆心重合. 求证:总可以旋转小圆,使得这两个圆的扇形上下对齐,且小圆至少有 100 个扇形位于大圆 的同色扇形上.

第二试 1.(本题 50 分)凸四边形 ABCD 中, AB 是最长边,点 M , N 分别在边 AB, BC 上,且线 段 AN , CM 平分四边形 ABCD 的面积,求证:线段 MN 平分对角线 BD .

2. (本题 50 分)定义 f ( x, y, z ) ?

( xy ? yz ? zx)(x ? y ? z ) ,其中 x, y , z 为正实数,求 ( x ? y )( y ? z )(z ? x)

f ( x, y, z ) 的值域.

3.(本题 50 分)已知一个给定的平面点集中,任意三点都可被一个半径为 1 的圆覆盖,求 证:这个点集能被一个半径为 1 的圆覆盖.

4.(本题 50 分)设 n 是一个固定的正整数,证明:对任何非负整数 k ,下述不定方程
3 3 3 x1 ? x2 ? ... ? xn ? y 3k ?2 有无穷多个正整数解 ( x1 , x2 ,..., xn ; y) .

模拟试题三

全国高中数学联赛模拟试卷
福州一中 危志刚

第一试
一,填空题(每小题 7 分,共 56 分) 1 1、设 f ( x ) 适合等式 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x, 则 f ( x ) 的值域是 x
2、若对所有正数 x, y , 不等式 x ?

y ? a x ? y 都成立,则 a 的最小值是
个.

3、等差数列 3,10,17,?,2005 与 3,8,13,?,2003 中,值相同的项有 4、在平面直角坐标系中,定义点 P?x1 , y1 ? 、 Q?x2 , y 2 ? 之间的“直角距离”为

d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 . 若 C ?x, y ? 到点 A?1,3? 、 B?6,9? 的“直角距离”相等,其中实
数 x 、 y 满 足 0 ? x ? 10 、 0 ? y ? 10 , 则 所 有 满 足 条 件 的 点 C 的 轨 迹 的 长 度 之 和 为 . 5、将一个 4 ? 4 棋盘中的 8 个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有 种不同的染法.(用数字作答)

6、若 2 ? 2 ? 2 为一个平方数,则正整数 n ?
6 9 n

7、甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对 2 1 方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 , 3 3 且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 为 8、设函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 6 x ? 14 ,且 f (a) ? 1, f (b) ? 19 ,则 a ? b ?

二、解答题(第 9 题 14 分,第 10,11 题各 15 分) 9.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,其焦点为 F, 一条过焦点 F,倾斜角为 ? (0 ? ? ? ? ) 的直线 交抛物线于 A,B 两点,连接 AO(O 为坐标 原点) ,交准线于点 B? ,连接 BO,交准线于 点 A? ,求四边形 ABB?A? 的面积.
O F x y

? a n ? 1, 当 n 为偶数时, ? ? 2 10.数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? ? an ?1
已知 an ?
30 ,求正整数 n. 19

11.对一个边长互不相等的凸 n (n ? 3) 边形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝 三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色.问:共有多少种不同的 染色方法?

第二试 (每题 50 分,共 200 分)
1、已知, A 、 B 、 C 、 D 是圆上顺次四点,且 AB ? AD , BC ? CD , ? BAD 的平分线 交圆于 X , ?BCD 的平分线交圆于 Y ,在由这六个点构成的六边形中,如果有四条边的长 度相等,那么 BD 必为圆的直径.

2、设 a, b ? [0, 1] ,求 S ?

a b ? ? (1 ? a)(1 ? b) 的最大值和最小值. 1? b 1? a

? xy ? z ? x ? y ? 3、求所有满足方程组 ? xz ? y ? x ? z 的三元实数组 ( x, y, z ) . ? yz ? x ? y ? z ?

4、将 8 个车放到如图的 9×9 棋盘中,使得这 8 个车互不攻击且所在小方格颜色相同,问共 有多少种不同的方法. (两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列)

模拟试题四

全国高中数学联赛模拟试题
张雷

一、

东北育才学校 一试 填空题(共 56 分,每题 7 分)
2

1、函数 f ( x) ? log 1 sin x 的单调递增区间是_______________________. 2、 将数字 3, 4, 5, 6, 7 排成一行, 使得相邻两个数都互质, 则 可能的排列方法共有______ 种. 3、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ○ 1 三角形 ○ 2 正方形 ○ 3 梯形 ○ 4 五边形 ○ 5 六边形 4、已知

a m n (其中 a , b 是大于 1 的正整数,且 a , b 互质)化为最简二次根式后是 形 b p

式,其中 m, n, p 是大于 1 的正整数,且 m, p 互质,如果 m ? n ? p ? 9 ,则 a ? b 的最小可 能值是________. 5、 若关于 x 的方程 x 2 ? (a 2 ? b 2 ? 6b) x ? a 2 ? b 2 ? 2a ? 4b ? 1 ? 0 的两个实数根 x1 , x 2 满 足 x1 ? 0 ? x2 ? 1, 则 a ? b ? 4a ? 4 的最小值与最大值的积是_________.
2 2

6、我们定义运算 a ? b ?

a 4 ? 2a 2b 2 ? b 4 ,如 5 ? 3 ? 54 ? 2 ? 52 ? 32 ? 54 ? 16 ,

3?5?2 ?

用整数 1, 2, 3, 4 和三个 ? 号 54 ? 2 ? 32 ? 52 ? 54 ? 2 ? 16 ? 2 ? 252,

组成一个算式,则这个算式的最大值是_________.

x?2 ? ? 7、 平面上满足约束条件 ? x ? y ? 0 的点 ( x, y ) 形成的区域为 D, 区域 D 关于直线 y ? 2 x ? x ? y ? 10 ? 0 ?
对称的区域为 E,则区域 D 和区域 E 中距离最近的两点的距离为___________.

) ? 6 ,则 8、令 p (n) 表示正整数 n 的所有数字的和,如 p(4) ? 4, p(50) ? 5, p(123

p(1) ? p(2) ? p(3) ? ? ? p(2008 ) ? p(2009 ) 的值是_____________.
二、解答题(共 44 分) 9、 (14 分) 已知圆 C1 和圆 C 2 的两条外公切线为 x 轴及直线 l : y ? mx(m ? 0) ,若两个圆 的一个交点为 (9,6) , 且两圆半径长度之积为 68, 求圆心 C1 和 C 2 所在直线的方程和 m . 10、 (15 分)已知函数 f ( x) ? 素的个数。

x ? 2 x ? 1 ? x ? 2 x ? 1 ,求 f ( x) ? ax ? 1 的解集中元

11、 (15 分)如果 a , b 都是正实数,请给出一个你认为的最小正数 t ,使得满足 a ? b ? t 的 任意实数 a , b ,不等式 a ? a ? 1 ? b ? b ? 2 成立,并证明你的结论.

模拟试题五
一试
一、填空题

联赛模拟题

1. 不 等 式 x( x ? 1) ? y (1 ? y ) 的 解 集 中 x, y 能 使 x 2 ? y 2 ? k 成 立 时 的 k 的 最 小 值 为 .

2.一个三位自然数 (a1a2 a3 ) 如果同时有 a1 ? a 2 及 a3 ? a 2 称为凹数, (例如 104、525、849 都是凹数,而 123、684、200 都不是凹数) ,则所有凹数的个数是 .

3.若 x 是一个十进制四位整数,记 x 的各位数码之积为 T ( x) ,各位数码之和为 S ( x) , p 为 素数,且 T ( x)

? p k , S ( x) ? p p ? 5 ,则 x 中的最小者是
i 2 )(1 ? i 3 ) ? (1 ? i n



4.已知复数列 {an } 的通项公式为 a n ? (1 ? i )(1 ? 于

) ,则 an ? an?1 等

5.一个圆锥和一个圆柱,下底面在同一平面上,它们有公共的内切球,记圆锥的体积为 V1 , 圆柱的体积为 V2 ,且 V1 ? kV2 ,则 k min ? .

? 6. x, y ? R 且 x ? 3 x ? 1 ? 3 y ? 2 ? y ,则 x ? y 的最大值是___________.

7. 已 知 x 和 y 是 实 数 , z1 ? ( x ? 4) ? yi , z 2 ? ( x ? 4) ? yi , z1 ? z 2 ? 10 , 令

u ? x ? y ? 34 ,则 u 的最大值为 . 8.平行六面体的 8 个顶点中的任意三个顶点为顶点的所有三角形中,锐角三角形的最多可能
个数是 二、解答题 .

9.已知函数 f ( x ) 的定义域是 (0,??) ,并且满足 f ( x) ? f ( ) ? 0 .如果函数

1 x

g ( x) ? f (

1 ? mx ) 是奇函数,试求实数 m 的值. x ?1

10.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? a n ?

1 2 an

(n ? N * ) 求证: a2005 ? 18

11.已知圆 O : x ? y ? 1 和抛物线 y ? x ? 2 上有三个不同的点 P, Q, R .如果直线 PQ 和
2 2 2

PR 都与圆 O 相切.求证:直线 QR 也与圆 O 相切.

二试 ? ABC 一、 内接于半径为 R 的圆 O,令 I 为 ?ABC 内心,r 为内切圆半径,且 I 和 O 不重
合,G 为重心.证明: IG ? BC ? b ? c 或 b ? c ? 3a ,其中 a , b, c 分别为 ?ABC 三个内 角 A、B、C 所对应的三边长.

二、已知: a , b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 3 ,证明:
4 4 4

1 1 1 ? ? ?1 4 ? ab 4 ? bc 4 ? ca

三、设 a , b 是正整数,满足 ab ? 1, f (a, b) ? 取到的整数值.

a 2 ? b 2 ? ab ,求 f (a, b) 所有可能 ab ? 1

四、某班共 30 名学生,每一名学生在班内均有同样多的朋友(朋友是相互的) .在一次 考试中,任意两名学生的成绩互不相同.如果一个学生的所有朋友中,有超过一半朋友 的成绩低于该学生,则称该学生为“好学生” . 试问: “好学生”最多可能有多少个?证明你的结论.

模拟试题六

全国高中数学联赛模拟试题
哈师大附中 刘利益 朱逢迁 第一试

一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.从 ?1 ,2, ? ,100 ,则取到合数的个数的数学期望是 ? 中任取 5 个数(可以相同) . 2.双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同 于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
向.则双曲线的离心率为
2 2 2

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

. .

3.在 ?ABC 中,如果 a ? b ? 6c ,则 (cot A ? cot B) tan C 的值等于 4 . 已 知 集 合 M ? ?1 , 2 3? ? , ?,N

函 数 f : M? N. 设 点 1 2定 , 3义 , 4 ? ,, A( 1 ,f ( 1 B ) ) , f ( 2 ,C ( 2f ) ( 3 ,的(外 3 )接 ) 圆 圆 心 为 D , 且 ,) ,?ABC ??? ? ???? ??? ? DA ? DC ? ? DB(? ? R) ,则满足条件的函数 f ( x) 有____个. ? f ( x) ? 3, 5.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 3) f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 ,如果 f (1) ? 2010 ,则 f (2011) 的值为 .

6.数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an ?1 ?

2010 (n ? 1)an k (n ? N * ) ,则 ? ? 2n ? an k ?1 ak

.

7.立方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M , N 分别在线段 AB,BB1 上(不包括线段的端点) , 满足 AM ? B1 N ,则 A1 M 与 C1 N 所成角的取值范围是 8.若非负实数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? x ? 2 y ? 3z ?
2 2 2

. .

13 ,则 ( x ? y ? z)min ? 4

二、解答题(共 56 分) 9. (本题满分 16 分) 已知直线 ? : x ? my ? q 与椭圆 ? : 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 交于不同两点 A、B . 设 A 关于椭 圆长轴的对称点为 A1 ,F 为椭圆的右焦点,试求 A1 、F、B 三点共线的充要条件. 10. (本题满分 20 分) 正数 a , b, c 同时满足: abc ? 三角形. 11. (本题满分 20 分) 数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 2 ,
2 an ? 2 an ?1 ? 1 , (n ? 1, 2,3,?) .试求 ? ? 2 ?a2010 ? ?. an an ? 1

1 1 1 1 , 2 ? 2 ? 2 ? 9 .求证:存在以 a , b, c 为三边长的 4 a b c

(注: ? a ? 表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分.) 第二试 一、 (本题满分 40 分) 如图,三角形 ABC 中,M 为 BC 的中点,以 AM 为直径的圆 O 分别与 AC、AB 交于 D、E 两点,圆 O 在 D、E 两点的切线交于点 H,证明: HM ? BC .
A

O D E

B

M

C

H

二、 (本题满分 40 分) 已知 a , b, c 都是非负实数,且 a ? b ? c ? 2 ,求 P ?

ab bc ca ? ? 的最大值. 2 2 1 ? c 1 ? a 1 ? b2

三、 (本题满分 50 分) 设数列 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? 1, an?2 ? an?1 ? an (n ? N * ) . 求证:对任意的 n ? N , a2 n?1 都不含 4q ? 3 型质因子( q ? N ) .
*

四、 (本题满分 50 分) 单位圆内或圆上有 8 个点,任意三点不共线.求证:总有某三个点为顶点的三角形面积 小于

? . 8

模拟试题七

联赛模拟题

一、填空题: 1. 以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同的点,顺次连结这四个交点 和两个焦点,得到一个正六边形,则此椭圆的离心率为 . ? 2? 2. 在圆 ? ? 4 cos? 上有两点 A,B,它们的极角分别是 , ;由极点向直线
5 5

AB 作垂线,垂足为 H,则 H 点的极坐标是 3. A , B 为锐角,则 cos
2

.
4

A + cos

2

B =

sin 7 ( A ? B ) 成立的充要条件

是 . 4. 一含有五项的等比数列,每一项都是小于 100 的正整数,这五项和为 211,则 这个数列中为完全平方数的项之和为 . 5. 锐角△ ABC 中, AD 是高线, AB ? AC ? 4

2 = 17 , 4BC ? 5 AD ? 17, △ 17

ABC 的面积为 . 6.对任意实数 k,曲线 x 4 + k x 3 y-6 x 2 y 2-k x y 3 + y 4 = 0 总可把圆 x 2 + y 2 = 1 分成 等分 .

7. 数 N =

? (2k ? 1) 的末三位数是
k ?1

2010

.

8. 已知方程 x3-7x2+1=0 的最大实根为 t,则[t2000] 被 7 除的余数_______. 二、解答题: 9. 已知三棱锥 A— BCD 在顶点 A 处的三个面角( 即 ∠BAC,∠CAD,∠ DAB )分别为 75°,90°,105°;从这个顶点引三个侧面的高均为 1,求这 个棱锥的高. 10.用 1,2,3 这三个数字构造 n 位数,但不允许两个 1 相邻,能构造多少个 这样的 n 位数? 11. 已知抛物线 C 1 : y = x 2 + 2 x 和 C 2 : y =-x 2 + a .如果直线 l 同时是 C 1 和 C 2 的切线,称 l 是 C 1 和 C 2 的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线 段 . ⑴ a 取什么值时,C 1 和 C 2 有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程; ⑵ 若 C 1 和 C 2 有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分 .

加试模拟题
1. 设△ABC 中,E、F 是 AC、AB 边上的任意点,O、O′分别是△ABC、
BP FQ BF 2 △AEF 的外心,P、Q 是 BE、CF 上的点,满足 = = . PE QC CE 2

求证:OO′⊥ PQ .
A

O'

F O P Q E

B

C

1 1 ln n , n=1,2,? ; 2. 求证: ln(n ? 1) < 1 ? 1 2 ? 3 ? ? ? n ≤1+

3. 对于给定的正整数 k ,以 f 1 ( k ) 表示 k 的各位数字之和的平方;并设 f n + 1 ( k ) = f 1 [ f n ( k ) ] ,n = 1 , 2 , 3 , ? ; 试求 f 2010 ( 2 2009 ) 的值. 4. 某种彩票的对奖号是个三位数 (000 — 999) , 开出的中奖号也是个三位数. 买 彩票时可以自选号码, 如果对奖号与中奖号相同则中一等奖,如果对奖号与中奖 号有两个数字相同(例如中奖号为 123,对奖号为 423 或 183 或 125 等)则中二 等奖.为确保能有彩票能中二等以上的奖,最少应买几张彩票?

模拟试题八 2010 年数学奥林匹克协作体夏令营试题
人大附中 陈维兵
一试
一、 填空题:
2

1 求方程 x ? 2 x sin( xy) ? 1 ? 0 的实数解_____________ 2 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 3 两位数 ab

2an ? 1 (n ? N * ) ,则 a2010 ? ________ 4an ? 6

(a ? 0, b ? 0)

若满足 (ab , ba) ? 1 , 则称 ab 为好数, 则好数共有_____个。

4 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长为 1 的正方体内,使正四棱锥的底 面 ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点 均在正方体的面上,则这样的几何体体积 ...
的可能值有_______个。

5 若 a 是 1 ? 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为 a ?2 b



6 已知抛物线 y 2 ? 4 x 及其上的一点 P , 焦点 F (1 , 0) 和 A (5, 2 2 ) ,则 PA ? PF 的 最小值为 。 7 有 6 个相同的红球和 5 个相同的白球放入一排 1 至 100 标号的盒子里, 其中红球和白球间 隔放置(即从左到右必须 1 红 1 白间隔放) ,并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶,则共 有_____种放置方案。 8 设常数 k 使得方程 2 x2 ? 2 y 2 ? 5xy ? x ? y ? k ? 0 在平面直角坐标系 xOy 中表示两条相

2

2

??? ? ??? ? PA ? PB ?1 , 则 交 直 线 , 交 点 为 P . 若 点 A, B 分 别 在 这 两 条 直 线 上 , 且 ??? ? ??? ? P A? P B ? ______ .
二、解答题: 9 已知 x, y, z,w ? R ,求 M ?
?

xy ? 2 yz ? 3zw 的最大值。 x ? y 2 ? z 2 ? w2
2

10 数 列 {an } 定 义 如 下 : a1 ?

2 , an?1 ? 2 ? 4 ? an

2

, 而 数 列 {bn } 定 义 为

bn ? 2n?1 an , n ? N *
(1) 求 {an } 的通项公式 (2) 证明: bn ? bn?1 , n ? N * . (3) 证明: bn ? 7, n ? N * .

11 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其长轴为 A1 A , P 是椭圆上不同于 A1 , A 的一个 a2 b2

动点,直线 PA, PA 1 分别与同一条准线 l 交于 M , M 1 准线两点,试证明:以线段 MM 1 为 直径的圆经过椭圆外的一个定点。

二试
1、 在等腰△ABC 中, AB=AC , D 是边 AC 的中点, E 是点 D 在 BC 上的投影, F 是 DE 的中点. 证明: BF 垂直于 AE 的充要条件是: △ABC 是正三角形.

A

D H B G E F C

2、 设△ABC 的三边分别是 a, b, c,且 a+b+c=3. 求证:
13 4 9 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? abc ? 3 3 2 .

3、设正整数 n 大于 1,它的全部正因数为 d1,d2,?,dk,满足 1=d1<d2<?<dk = n。再设 D = d1d2+d2d3+?+dk-1dk。(i) 证明:D<n2;(ii) 确定所有的 n,使得 D 整除 n2。

4、 用 100 种颜色对 100 ? 100 的棋盘进行染色, 使得每一格均被染为其中一种颜色且每种颜 色恰好使用了 100 次. 求证:棋盘上存在一行或一列,其中的方格被染为至少 10 种颜色。

模拟试题九

2010 年全国高中数学联赛模拟试题
于杰延)

(命题人:湖南省长沙市第一中学
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)

1.用 S n 与 an 分别表示区间 ?0,1? 内不含数字 9 的位小数的和与个数.则 lim
n ??

an = Sn

.

sin 3 ? cos3 ? 2. 已知 ? ? k ,则 k 的取值范围为 sin ? cos ?



3. 在空间,从一点 O 出发引四条射线 OA,OB,OC,OD,如果∠AOB=∠BOC=∠DOA =∠AOC= ? ,则 cos ? = 4. 如图,平面 α 中有△ABC 和△A1B1C1 分别在直线 m 的 B 两侧,它们与 m 无公共点,并且关于 m 成轴对称,现将 A C α 沿 m 折成一个直二面角,则 A,B,C,A1,B1,C1 m 六个点可以确定的平面个数为 C1 5. 在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则将某些数染 A1 α 成红色.先染 1,再染 2 个偶数 2、4;再染 4 后面最邻 B1 近的 3 个连续奇数 5、7、9;再染 9 后面最邻近的 4 个连 续偶数 10、12、14、16;再染此后最邻近的 5 个连续奇 数 17、19、21、23、25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列 1,2,4,5,7,9, 12,14,16,17,?.则在这个红色子数列中,由 1 开始的第 2010 个数是 6. 十个元素组成的集合 M ? {19,93, ?1,0, 25, ?78, ?94,1,17, ?2} .M 的所有非空子集记 为 Mi (i ? 1,2,?,1023) , 每一非空子集中所有元素的乘积记为 mi (i ? 1,2,?,1023) .则
1023 i ?1

?m

i

?

7. 设 A={(x,y)| 0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)| x≤10,y≥2,y≤x-4}是直角坐标平面 xOy 上的点集. 则 C ? ?? 是 8.已知正实数 a、b 满足: a ? 3b ? 2ab ,则 a ? b ? a 2 ? b 2 的最大值是 二.(16 分) 设 y=f(x)是定义在 R 上的实函数, 而且满足条件: 对任意的 a, b∈R, 有 f[af(b)] =ab,试求|f(2010)|.

?? x1 ? x2 y1 ? y ? ? , ? ( x1 , y1 ) ? A,( x2 , y2 ) ? B ? 所成图形的面积 2 ? ?? 2 ?

b, 三.(20 分) 求最大的正数 ? , 使得对任意实数 a 、 均有 ?a 2 b 2 ?a ? b? ≤ a 2 ? ab ? b 2
2

?

?

3

四.(20 分) 已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使 得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。

加试
一.(40 分) △ABC 内接于⊙K,BD 是∠B 的平分线,现有 ⊙K1 与 BD 相切于点 I,且与 AC 及⊙K 也相切(如图), 证明:切点I是△ABC 的内心. D

A

.K I C

.K1

二.(40 分) 设 a1 , a2 ,?, an 为正数,证明:

B

a1 ? a2 ? ? ? an ? a2 ? a3 ? ? ? an ? a3 ? ? ? an ? ? ? an

? a1 ? 4a2 ? 9a3 ? ? ? n 2 an
三.(50 分) 一次数学竞赛分一、二两试共有 28 个题目,每个参赛者都恰好解出 7 个题目, 每两个题恰好有两名参赛者解出.试证:必有一个参赛者,他在第一试中或者一道也没 有解出或者至少解出四道题. 四.(50 分) 设 p 是质数,且 p ? 71的不同正因数的个数不超过 10 个.求 p .
2

模拟试题十

2010 年联赛模拟试题
青岛二中 邹明

一.填空题(本题共 8 道小题每小题 7 分,满分 56 分) 1.设函数 f(x)=log0.5(x2-2ax+3)(a>0)的值域为 (??,?1] ,

g(x)=log2(kx2-2ax+2)的定义域为 A,集合 B=[ ,1],若 A∩B≠Φ ,则实数 k 的取值范围是___________; 2. 已知 : 设 a,b 为正实常数 , θ 为参变量 , 则满足 xsin θ -ycos θ =
x ?y
2 2

1 2

sin 2 ? cos2 ? 1 ? ? 且 的 点 (x,y) 的 轨 迹 方 程 是 a2 b2 x2 ? y2

______________________;

3.使得 1 ? 2 ? ? ? n (n>2)为整数的最小正整数 n=_________; 4.如图,已知⊙C 的圆心 C 在抛物线 x2=2py 上(p>0) 运动,且⊙C 过定点 A(0,p),点 M,N 为⊙C 与 x 轴的 交点.如果 5.
1 | AM | ? x .则函数 f(x)= x ? 的值域是______________; x | AN |
y A C? O M N x















n,

使



a(9· 2010n+1)· 2010n+(b-1)· 2010n+1=(c· 2010n+1)2 恒成立,且 b 取最大值的实数组(a,b,c)等于_____________________; 6.用红蓝两种颜色给排成一行的 10 个方格染色,每一格只染一 种颜色,如果要求相邻两个方格不能都染红色,那么,所有染色方法 的种数是_______________. 7.设 OABC 是边长为 1 的正四面体,E、F 分别为 AB 与 OC 的 中点.则异面直线 OE 与 BF 的距离是________. 8.非负实数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=1.则 f(x,y,z)=x+y+z-2xyz 的最大 值是___________. 三.解答题(本题共 3 道满分 44 分)
A E B O F C

9.(14 分)如图,已知 A,B 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶 a 2 b2
y M P

点,P,Q 是该椭圆上不同于顶点的两点,若直线 AP,QB 相交于点 M, 直线 PB, AQ 相交于点 N. (Ⅰ)求证:MN⊥AB; (Ⅱ)若弦 PQ 过椭圆的右焦点 F2,试求直线 MN 的方程. 10.(15 分)设 a,b∈R, 点集 A={(n,na+b)|n∈Z },B={(m,m2+17)|m∈ Z }, C={(x,y)|x2+2y2≤ 66}.试求出所有的整数 n,使得存在实数 a,b 满足 A∩ B≠Φ且(a,b)∈C. 11.(15 分)设定义域,值域都是实数集 R 的非常数函数 f(x),g(x),满 足对任意 x∈R,都有 f(g(x))=f(x),g(f(x))=g(x). (1)求 f(x),g(x); (2)定义数列{an}:a1=3,a2=7,f(an2)+g(5)=f(an-1)g(an+1)(n≥2).
A F1 O B F2 Q

x

N

二试题 (本题共 4 道小题每小题 50 分,满分 200 分) 一.(50 分)如图,半径分别为 r,R 的两圆Г 1,Г 2 相交于 A,B 两点, 过点 B 的一条直线分别交圆Г 1,Г 2 于点 C,D,过点 B 的另一条直线分 别交圆Г 1,Г 2 于点 E,F.如果劣弧 AC 与劣弧 AF 长度之比为 r∶ ГR.求证:
2

F

A

(Ⅰ)CD=EF; (Ⅱ)圆 AEF 与圆 ACD 的一个交点在线段 FD 上.

二.(50 分)设数列{xn}满足:x1=2011, xn ? xn?1 ? ? ?

2( xn?1 ? 1) ? ? ,n=2,3,….其中 n ? ?

[x]表示不超过 x 的最大整数.求数列{xn}的通项 xn. 三.(50 分)给定素数 p,q,r.求证:对任意给定的正整数 k,总存在无穷 多个正整数 n,使得 pn+qn+rn-1, pn+qn+rn-2,?,pn+qn+rn-k 均为合数. 四.(50 分)设正整数 a1,a2,?,a2010 满足: (1)ai≠211(i=1,2,?,2010), (2)任意连续若干项之和≠211. 求 min{ ? a i }.
i ?1 2010

模拟试题十一

全国高中数学竞赛模拟卷
湖南师大附中 周正安 第一试

一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)
2 2 1.已知不等式 x ? 5 x ? 6 ? x ? a 的解集 A 满足 A ? 1 ,则 a ?


? ?

2.求值 tan18 ? tan 36 ? tan 36 ? tan 54 ? tan 54 ? tan 72 ? ? ? tan144 ? tan162 ?
? ? ? ? ? ?



3.在等差数列 ?an ? 中, am ? n3 , an ? m3 ,则 am? n ?



4.某底面是单位圆的圆锥具有性质:在过顶点的所有截面中,以轴截面面积最大。则该圆 锥的体积最小值为 。

5.设非零复数 a , b, c 满足 a ? a ? b ? c , a ? b ? 3 c , c ? 1 ,

c ? (ab)2000 ? (ab)2000 则 n ?

n

。 个

6. 用 1、 2、 3 这三个数字写六位数, 要求任何两个相邻的数位不能都为 1, 则总共可写出 不同的六位数。 7.已知 a ? 0 ,如果函数 f ( x) ?

( x ? a)2 在 [ ?1,1] 上为增函数,则 a 的取值集合为 x2 ? 1



8.将 2 个相同的白球,3 个相同的红球,4 个相同的黑球全部投入 A、B、C 三个袋中,则无 空袋的放法有 种。

二、解答题(共 56 分) 9.(16 分)已知数列 ?an ? 满足: an ? ?
2 2 2 记 bn ? a1 ? a2 ? ?? an ? a1a2 ?an 。

(1 ? n ? 5) ?n ?a1a2 ? an?1 ? 1 (n ? 6)

(1) 求数列 ?bn ? 的通项公式;
2 (2) 求出所有的正整数 n ,值得 bn ?1 ? bn ? bn?2 。

10.(20 分)定义 F ( x, y) ? (1 ? x) y , x, y ?(0, ??) (1)设 g ( x) ? F (1,log2 ( x3 ? ax2 ? bx ?1)) 的图象为曲线 C,若存在实数 b 使得曲线 C 在

x ? x0 ( x0 ? (1, 4)) 处有斜率为-8 的切线,求 a 的取值范围;
? (2)当 x, y ? N 且 x ? y 时,求证: F ( x, y) ? F ( y, x) 。

11. (20 分) 已知点 B (-1, 0) , C (1, 0) , P 是平面上一动点, 且满足 | PC | ? | BC |? PB ? BC. (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜 率 k1、k2 满足 k1· k2=2.求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点。 第二试 一、(40 分)已知 ?ABC 的内心为 I , ? O1 , ? O2 , ? O3 分别过 B、C,A、C 和 A、B 且与 ? I 直 交。 ? O1 与 ? O2 相交于另一点 C ' ,同理可得点 B ' 和点 A' 。 求证: ?A ' B ' C ' 的外接圆半径等于 ? I 半径的

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

1 。 2

二、(40 分)设 x ? y ? 1, x, y ? R? , 求证:

x ? x? y

y 1 ? ? y ?1 x ?1

y x ? ? x? y x ?1

1 。 y ?1

三、(50 分)已知 P 为质数 n , m 均是正整数,试求方程 pn ? m3 ? 8 的所有解。 四、(50 分)证明:在任意 2n ? 2 个人中,可以找到两个人 A、B,使得其余 2 n 个人中,至 少有 n 个人他们中的每一个,或者都认识 A、B;或者都不认识 A、B。

模拟试题十二

高中数学联赛模拟试题
第一试

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.对于任意的 x ,都有 a cos x ? b cos 2 x ? ?1 ,则 a ? b 的最大值是 。
2.对于任意实数 a,b,不等式 max a ? b , a ? b , 2010 ? b ? C 恒成立,则常数 C 的最 大值是 . (注: max ? x, y, z ? 表示 x,y,z 中的最大者. )

?

?

3.已知每条棱长都为 3 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠BAD=60° ,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动,另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动,则 MN 中点 P 的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为___________. 4.已知四个整数 a, b, c, d 都是偶数,且 0 ? a ? b ? c ? d , d ? a ? 90 ,若 a , b, c 成等差 数列, b, c, d 成等比数列,则 a ? b ? c ? d 的值等于 .

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 与 F2 , 5. 已知椭圆 点 P 在直线 l:x ? 3 y ? 8 ? 2 3 ? 0 16 4
上. 当 ?F 1PF 2 取最大值时,

PF1 的值为 PF2



6.已知数列 {an } 的前 n 项之和为 Sn ,且 Sn 2 ? 2Sn ? anSn ? 1? 0 , n ? 1, 2,3,? ,则 Sn 的 表达式为___________________. 7 . 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 且 当 0 ? x ? 1 时 ,

f ( x) ? 2 1 ? x2 ,若直线 y ? x ? a 与曲线 y ? f ( x) 恰有三个交点,则实数 a 的取值范围
为________________. 8.某食品厂制作了 4 种不同的精美卡片,在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片, 规定:如果收集齐了 4 种不同的卡片,便可获得奖品.小明一次性购买该种食品 6 袋,那么 小明获奖的概率是__________________.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
1. (本小题满分 16 分) 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F, 过 F 作两条相互垂直的弦 AB、 CD,
2

设弦 AB、CD 的中点分别为 M、N. ( 1 )求证:直线 MN 必过定点; ( 2)分别以弦 AB 和 CD 为直径作圆,求证:两圆相交弦所在的直线经过原点. 2. (本小题满分 20 分)设函数 f ( x) ? x ? ax ? b (其中 a , b 为实常数) ,数列 {an } 和 {bn }
2

定 义 为 : a1 ?

1 1 , 2an?1 ? f (an ) ? 15 , bn ? ( n ? 1, 2,3,? ) ,已知不等式 2 2 ? an

f ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 30 对任意实数 x 均成立,数列 {bn }的前 n 项的和记为 Sn .
(1)求实数 a 、 b 的值; (2)若数列 {bn }的前 n 项的乘积记为 Tn ,证明:对任意正整数 n , 2n?1Tn ? Sn 为定值;

? ? 4 ?n ? (3)证明:对任意正整数 n ,都有 2 ?1 ? ? ? ? ? S n ? 2 . ? ?5? ? ? ?
3. (本小题满分 20 分) 设 x1 , x2 ,?, xn 为 n 个正实数 ( n ? 2, n ? N ) , 且 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 , 将
?

xn x1 x2 , ,?, 中最大的数记为 S . 1 ? x1 1 ? x1 ? x2 1 ? x1 ? x2 ? ? ? xn
1 ; S

(1)令 yk ? 1 ? x1 ? x2 ? ? ? xk , k ? 1, 2,?, n ,求证: y1 ? y2 ? ? ? yn ?

(2)对于给定的正整数 n, n ? 2 ,求 S 的最小值,并求出 S 取最小值时 x1 , x2 ,?, xn 的值.

第二试

一、 (本小题满分 40 分)如图,已知两圆 O1 与 O2 内切,另四个圆 O3 、 O4 、 O5 、 O6 均与

O1 内切,与 O2 外切,且连心线 O3O4 、O5 O6 与 O1O2 的夹角相等,求证:点 O3 、O4 、O5 、

O6 共圆.
二、 (本小题满分 40 分)设 xi ??4,10? , i=1,2,3 ??? ,n.试 求下面式子的最大值与最小值:

S ??
i ?1

n

n xi ? ? xi ,其中, xn?1 ? x1 . xi ? xi ?1 i ?1

三、 (本小题满分 50 分)正整数 m,n 均大于 1,已知 求所 n ? n ? 1?? n ? 2??? n ? m? 刚好有 3 个不同的质因子, 有满足要求的数组(m,n) . 四、 (本小题满分 50 分)甲、乙两人在一张无限大的方 格棋盘上轮流下棋,每次可以将一个棋子放入任意一个 方格中,且每个方格中至多放入一个棋子,现在由甲先 下一个黑棋, 乙接着下一个白棋, 然后甲再下一个黑棋, 乙再下一个白棋,??,如此进行下去.如果在棋盘上 横着或竖着连出 5 个黑棋,那么甲获胜,如果连出 5 个 白棋,那么乙获胜.请问:分别对于甲、乙两人,是否 各自存在一种策略,可以使得对手无法获胜?说明理 由.

O5

O4

O3

O1 O2 O6

模拟试题十三

高中数学竞赛模拟试卷
-------大连市第 24 中学 李振权

一试
一、填空题 1.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=

3xn ? 1 3 ? xn

2005

,则

?x
n ?1

n

=

2、一个七位数 a ,其各位数字相加得到 b ,已知 a ? b 仍为一个七位数,且 a ? b 各位数字 的其中六个为 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 ,如果小明足够聪明,他能猜中第七个数字的概率 为 。

3.z1、z2 分别在实轴和虚轴上运动,保持|z1-z2|=2 恒定,而 z3=z1(1+i)-z2i,则|z3|的最大 值为_________.

4.在椭圆

x2 y2 ? ? 1 中, F 是左焦点,点 C 是左准 25 9

线上一点,过 C 点的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点, 连结 FA 、 FB 、 FC ,且 ?FAB ? 50? ,

?FBA ? 20? ,则 ?FCA ? __________________。

5.我们注意到 6!=8×9×10,试求能使 n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数 n 为__________.

6.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2,试求 满足 f(a)=a 的所有整数 a=__________.

7.设有足够的铅笔分给 7 个小朋友,每两人得到的铅笔数不同,最少者得到 1 支,最多者得 到 12 支,则有 种不同的分法。

8、已知斜四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面是边长为 1 的菱形,侧棱长为 x ,?BAD ? 60 ,
?

?A1 AB ? ?A1 AD ? 45? ,当 x ? ___________时, AC1 ? 平面 A1BD .
二、解答题 9、 已知 ?ABC 中,AC=2AB.过点 C、A 分别作 ?ABC 外接圆的切线,切点分别为 C 和 A,

若两条切线相交于点 P。直线 BP 交圆于点 D. 求证:直线 BP 平分 BAC 。

?

10.已知 a, b, c∈R ,且满足

+

kabc 2 2 ≥(a+b) +(a+b+4c) ,求 k 的最小值。 a?b?c
2

11.已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx , (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明:a≤2 b ; (2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b 12、已知数列 {an } 满足 a1 ? a , an ?1 ? (Ⅰ)判断数列 ? 理由; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明当 n ? 3 时,

(4n ? 6)an ? 4n ? 10 . 2n ? 1

? an ? 2 ? ? 是否是等比数列,若是等比数列,请给出证明,若不是,请说明 ? 2n ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? . S3 S 4 Sn 10

二试 一、 (50 分)已知 Q 为以 AB 为直径的圆上的一点,Q ≠ A, B,Q 在 AB 上的投影为 H,以 Q 为圆心,QH 为半径的圆与以 AB 为直径的圆交于点 C、D.证明 CD 平分线段 QH. 二、 (50 分)设

f ( x) ? x n ? ax2 ? bx ? c, n 为自然数,
f (3) ? ?4, f (6) ? 119 ,求 f ( x) .

已知 f (?1) ? 0, f (1) ? ?6, f (2) ? ?9 ,

三、 (50 分)是否存在 1000000 个连续整数,使得每一个都含有重复的素因子,即都能被某 个素数的平方所整除? 四、 (50 分)设|X|为子集 X ? S 中元素的个数;又为 S ? X ,是 X 的补集; Ci 是 a ? i 对

k 个参赛选手有相同的判决,证明

k b ?1 ? . a 2b

模拟试题十四
一.填空题 1.已知 f ( x) ?

1? x , 对于n ? N , 定义f1 ( x) ? f ( x), f n ?1 ( x) ? f [ f n ( x)] ,若 f13 ( x) ? f31 ( x), 2? x

则 f16 ( x) 的解析式为______________. 2.设 a ? b ? c ? d , 若变量x, y, z, t是a, b, c, d 的某一个排列,那么表达式

n( x, y, z, t ) ? ( x ? y)2 ? ( y ? z)2 ? ( z ? t )2 ? (t ? x)2 可以取____________个不同的值.
3. 设 Sn 是 集 合 A ? {1, ,? ,

1 2

1 } 含有 3 个元素的所有子集的元素之和,则 2n ?1

S lim n ? __________. n ?? n 2
4.已知 ? , ? 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a, b, c为实数) 的两根,且 ? 是虚数,
5985 k ?1

?2 是实数,则 ?

? (? )

?

k

=_____________. 则整数 k=_________. ? 1 ? ( x ? 1)2n 不被 x 2 ? x ? 1整除,

5.当且仅当 n 被 k 整除时, 多项式 x

2n

6.已知纯虚数 x1 , x2 ,?, x1999 的模均为 1,则 x1 x2 ? x2 x3 ? ? ? x1998 x1999 ? x1999 x1 被 4 除所得余 数为_______________. 7.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 11, x ? Z}, F ? {(a, b, c, d ) | a,.b, c, d ? M } ,映射 f : F ? Z 使得

(a, b, c, d ) ? ab ? cd ,已知 (u, v, x, y) ? 39, (u, y, x, v) ? 66, 则(x, y, u, v) ? ____________.
8.12 个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组 4 人,不同组坐不同的桌子,若要求这些朋 友中任意两人至少有一次同坐一张桌,则至少要________周. 二.解答题 1. F1 , F2 是椭圆

f

f

f

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 是椭圆上一点,且点 P 不在 x 轴上,求值 a 2 b2

tan

?PF1 F2 ?PF2 F1 tan . 2 2

2.数列 {an } 中, an ? n

3

? (n
i ?1

99

2

? i 2 )2 ,求该数列前 n 项和 Sn .

3.定义在(-1,1)上的函数 f ( x ) 满足:1)对任意 x, y ? (?1,1) 都有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( 2)当 x ? (?1, 0) 时,有 f ( x) ? 0 . 求证: f ( ) ? f (

x? y ); 1 ? xy

1 5

1 1 1 ) ?? f ( 2 ) ? f ( )(n ? N ) . 11 n ? 3n ? 1 2

第二试 一. 如图在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分 ?BAD, 在CD上取一点E, BE 与 AC 相交于 F, 延长 DF 交 BC 于 G,求证: ?GAC ? ?EAC .

A

F

D

B E G C

二.设 a, b, c ? 0, ab ? bc ? ca ? 1 ,求证: 3

1 1 1 1 . ? 6b ? 3 ? 6c ? 3 ? 6a ? a b c abc

三.证明:对于大于 2 的任意正整数 a ,存在无穷多个 n ? N ? , 使得n | an ?1 .

四.设 p 是奇质数, a , b 是小于 p 的正整数,证明: a ? b ? p 的充分必要条件是对任何小于 p 的正整数 n,均有 [

2an 2bn ]?[ ] 等于正奇数. p p

第十五套:联赛模拟
上海延安:丁虬骋
一、填空题
1. 若不等式 围是 2. 方程组 ?

x( x 2 ? 8)(8 ? x) ? ? ( x ? 1) 对一切实数 x ? (0,2) 恒成立,则实数 ? 的取值范

? (1 ? x)(1 ? x 2 )(1 ? x 4 ) ? 1 ? y 7
2 4 7 ?(1 ? y )(1 ? y )(1 ? y ) ? 1 ? x

的实数解 ( x, y ) 共有



3. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M , N 分别在线段 AB,BB1 上(不包括线段的端点) , 满足 AM ? B1 N ,则 A1 M 与 C1 N 所成角的取值范围是
2 2 4. 已 知 P 是直线 y ? x ? 1 上 一 点 , M , N 分 别 是 圆 C1 : ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 1 与 圆

C2 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 上的点,则 PM ? PN 的最大值为

5. 设函数 f ( x ) ?

n ?1 1 x i * ? log 2 ,定义 S n ? ? f ( ) ,其中 n ? N ,且 n ? 2 , 2 1? x n i ?1

则 Sn =

.

6. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AA1 ? 4 , AD ? 3 ,则异面直线 A1 D 与 B1 D1 间的 距离为 . (其中 ? x ? 表示不超

1 2 22 22010 ] ? 1005 = 7. 求和: [ ] ? [ ] ? [ ]? ? [ 3 3 3 3
过 x 的最大整数). 8. 扔 6 次骰子,令第 i 次得到的数为 a i ,若存在正整数 k 使得 中 m, n 是互质的正整数,则 log6 m ? log7 n = 二、解答题 9. 设 a0 , a1 ,?, an ,?为实数列,满足 a n ?1 ? a n ?
2

?a
i ?1

k

i

? 6 的概率 p ?
.

n ,其 m

1 ,其中 n ? N . 5

2 求证:当 n ? 5 时, a n ?5 ? a n ?5 .

10. 设 F 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点, AB, CD 为过焦点的弦,满足 AB ? CD , a 2 b2

求“蝶形” ACFBD 面积的最大值和最小值.

11. 设函数 f ( x) ? ax ? 8x ? 3 (a ? R).?
2

(1)若 g ( x) ? xf ( x), f ( x)? 与 g ( x )? 在 x 同一个值时都取得极值,求 a 的值. (2) 对于给定的负数 a , 有一个最大的正数 M (a) , 使得 x ?[0, M (a)] 时, 恒有 | f ( x) |? 5. ① M (a) 的表达式; ② M (a) 的最大值及相应的 a 值.

第二试
1、在 Rt ?ABC 中,CD 是斜边上的高,记 I1 , I 2 , I 分别是 ?ADC, ?BCD ,?ABC 的内心,

I 在 AB 边上的射影为 O1 ;?CAB ,?ABC 的角平分线交 BC , AC 分别于 P ,Q ; PQ
的连线与 CD 相交于 O2 .求证:四边形 I 1O1 I 2 O2 为正方形.
C

Q I1

O2 I I2

P

A

D O1

B

2、设 a, b, c ? R ? ,求证:

a3 b3 c3 a?b?c ? ? ? . 2 2 2 2 2 2 2a ? ab ? 2b 2b ? bc ? 2c 2c ? ca ? 2a 3

3、设 ?ABC 的内切圆半径为 1,三边长 BC ? a , CA ? b , AB ? c .若 a 、b 、c 都是整数, 求证: ?ABC 为直角三角形.

4 求证:面积为 1 的凸 n 边形 n ? 6 可以被面积为 2 的三角形覆盖.

第十六套:高中数学联赛模拟题
华南师大附中 一试 姓名 一 : 选 择 题 ( 每 小 题 8 分 , 共 64 分 ) 成绩 宋红军

1 、设 集 合 X ={ - 1,0,1}, Y ={ - 2, - 1,0,1,2} ,从 X 到 Y 的 映 射 f 满 足 条 件 : 对 于 每 个 x ? X , 恒 有 x + f ( x ) 为 奇 数 , 则 这 样 的 映 射 一 共 有 18 个 。

2 、 已 知 x + lgx =10, y +10 =10 , 则 x + y = 10 。

y

7 ? 3 、 设 f ( z )=3 z ( cos 6 + isin 6 ? ) , 这 里 z 是 复 数 , 用 A 表 示 点 f (1+ 3 i ) , B 表 示 点 f (0) , C 表 示 点 4 i , 则 ∠ ABC = 60 ? 。

4 、 设 抛 物 线 y 2 =2 x 的 焦 点 为 F , 以 P (4.5,0) 为 圆 心 , | PF | 长 为 半 径 作 一 圆 , 与 抛 物 线 在 x 轴 上 方 交 于 点 M 、 N 。 则 | MF |+| NF | 的 值 是 8 。

5 、已 知 四 棱 锥 S — ABCD 的 底 面 为 平 行 四 边 形 ,面 SAC ⊥ 面 SBD ,若 △ SBC 、 △ SCD 、 △ SDA 的 面 积 分 别 为 5,6,7 , 则 △ SAB 的 面 积 等 于 38 。

6 、 若 1 ≤ a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ a 4 ≤ a 5 ≤ a 6 ≤ 64 , 则 Q = 3 4 。

a1 a3 a5 + + 的最小值为 a2 a4 a6

7 、 一 个 由 16 个 小 方 格 组 成 的 4 ? 4 的 棋 盘 , 将 其 中 8 个 小 方 格 染 黑 , 使 得 每 行 、 每 列 都 恰 有 2 个 黑 格 , 有 90 种 不 同 的 染 法 。

8 、 已 知 M =2 t =3 s , 其 中 t 是 奇 数 , s 不 能 被 3 整 除 , 则 M 的 所 有 形

7

5

如 2p3q( 其 中 p,q 为 自 然 数 ) 的 约 数 之 和 等 于

92820



二 : 解 答 题 ( 9 小 题 每 小 题 16 分 , 10 、 11 小 题 20 分 , 共 56 分 ) 9 、 数 列 { a n } 定 义 如 下 : a 0 = a 1 =1, a n + 2 =14 a n + 1 - a n ( 其 中 n ? N ) , 求 证 : 对 所 有 的 正 整 数 n, 2an-1 是 完 全 平 方 数 。 证明: 数 列 { a n } 对 应 的 特 征 方 程 为 x 2 - 14 x +1=0 , 其 两 根 为 x 1 =7+4 3, x 2 =7 - 4 3 , ∴ an=?· (7+4 3) n + ? · (7 - 4 3) n 又 a 0 = a 1 =1 ∴ ?= ∴ an= 2- 3 2+ 3 ,? = 4 4 2- 3 2- 3 2+ 3 2+ 3 · (7+4 3) n + · (7 - 4 3) n = · (2+ 3) 2 n + · (2 - 3) 2 n 4 4 4 4 2- 3 2+ 3 · (2+ 3) 2 n + · (2 - 3) 2 n - 1 2 2 3-1 2 3+1 2 ) · (2+ 3) 2 n +( ) · (2 - 3) 2 n - 1 2 2 3-1 3+1 · (2+ 3) n · (2 - 3) n ] 2 2 2
n i

∴ 2 a n - 1=

=( =[

由 二 项 式 定 理 得 : (2+ 3) n = ?C n · 2n-i· ( 3) i
i=0

可 设 (2+ 3) n = x + y 3, 其 中 x , y 为 整 数 , 则 (2 - 3 ) n = x - y 3 ∴ 2 a n - 1=[ 又∵ 3-1 3+1 · (2+ 3) n · (2 - 3) n ] 2 =(3 y - x ) 2 2 2

3y-x 为 整 数

∴ 2an-1 是 完 全 平 方 数 。 解法二:用归纳法证明。 ( 构 造 数 列 { b n }: b 0 = - 1 , b 1 =1, b 2 =5, b n + 2 =4 b n + 1 - b n , 证 明 2a n - 1=b n 2 )

10 、 已 知 a,b,c 为 正 实 数 , 求证: ( a 5 - a 2 +3)( b 5 - b 2 +3)( c 5 - c 2 +3) ≥ ( a + b + c ) 3 证 明 : ∵ a,b,c 为 正 实 数 ∴ a 5 - a 3 - a 2 +1= a 3 ( a 2 - 1) - ( a 2 - 1)=( a - 1) 2 ( a + 1)( a 2 + a + 1) ≥ 0 ∴ a 5 - a 2 +1> a 3 ∴ a 5 - a 2 +3 ≥ a 3 +2

同 理 可 得 : b 5 - b 2 +3 ≥ b 3 +2 ; c 5 - c 2 +3 ≥ c 3 +2 ; ∴ ( a 5 - a 2 +3)( b 5 - b 2 +3)( c 5 - c 2 +3) ≥ ( a 3 +2)( b 3 +2)( c 3 +2)

= a 3 b 3 c 3 +2 a 3 b 3 +2 b 3 c 3 +2 a 3 c 3 +4 a 3 +4 b 3 +4 c 3 +8 =( a 3 + b 3 + c 3 )+( a 3 + a 3 b 3 +1)+( a 3 + a 3 c 3 +1)+( b 3 + a 3 b 3 +1)+( b 3 + b 3 c 3 +1)+ ( c 3 + a 3 c 3 +1)+( c 3 + b 3 c 3 +1)+( a 3 + b 3 + c 3 + a 3 b 3 c 3 +1+1) ≥ a 3 + b 3 + c 3 +3 a 2 b +3 a 2 c +3 ab 2 +3 b 2 c +3 ac 2 +3 bc 2 +6 abc =( a + b + c ) 3 当 a = b = c =1 时 取 等 号 。 11 、 点 P 到 定 点 F ( - 1,2) 和 到 定 直 线 x = - 3 的 距 离 之 和 等 于 4 。 ( 1) 求
? ?x = - 1+ tcos ? 点 P 的 轨 迹 方 程 , 并 画 出 曲 线 L。 ( 2) 直 线 l:? ? ?y =2+ tsin ?

(? 为 倾

斜 角 , t 为 参 数 ) 。与 曲 线 L 交 于 P 、 Q 两 点 ,记 f ( ? )= | PQ | ,试 求 f (? )的 表 达 式 及 其 最 大 值 和 最 小 值 。 解 : (1) 设 P 点 的 坐 标 为 : P ( x , y ) , 则 有 ( x +1) 2 +( y - 2) 2 +| x +3|=4 ∴ 当 x ≥ - 3 时 , ( y - 2) 2 = - 4 x 当 x ≤ - 3 时 , ( y - 2) 2 =12( x +4) ∴ P
?( y - 2) 2 = - 4 x ? 点的轨迹方程为:? 2 ? ?( y - 2) =12( x +4)

( x ≥ - 3) ( x ≤ - 3)

(2) 以 F ( - 1,2) 为 极 点 , x 轴 正 向 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 则 当 x ≥ - 3 时 , P 点 轨 迹 为 以 F ( - 1,2) 为 焦 点 的 抛 物 线 , 此 时 的 抛 物 线 椎 坐 标 方 程 为 ?= 2 ( - 120 ? ≤ ? ≤ 120 ? ) ; 1+ cos ?

当 x ≤ - 3 时 , P 点 轨 迹 也 为 以 ( - 1,2) 为 焦 点 的 抛 物 线 ; 此 时 的 抛 物 线 椎 坐 标 方 程 为 ?= 6 (120 ? ≤ ? ≤ 240 ? ) ; 直 线 方 程 为 ? = ? 0 ; 1 - cos ? 2 且 1+ cos ?

直线与曲线相交有两种情况: ( 1) 直线只与一条抛物线相交时, 这条抛物线方程必为: ?= 60 ? ≤ ? ≤ 120 ? , 此 时 4 ≤ | PQ |= 2 2 4 16 + = ≤ 3 1+ cos ? 1 - cos ? 1 - cos 2 ?

当 ? =90 ? 时 取 最 小 值 ; 当 ? =60 ? 时 取 最 大 值 。 ( 2 ) 直 线 与 两 条 抛 物 线 都 相 交 时 , - 60 ? ≤ ? ≤ 60 ? , 此 时 4 ≤ | PQ |= 2 6 8 16 + = ≤ 3 1+ cos ? 1+ cos ? 1 + cos ?

当 ? =0 ? 时 取 最 小 值 ; 当 ? =60 ? 时 取 最 大 值 。 4 ? ?1 - cos 2 ? f ( ? )= ? 8 ? ?1+ cos ? (60 ? ≤ ? ≤ 120 ? ) ( - 60 ? ≤ ? ≤ 60 ? )



16 且 f (? )的 最 大 值 为 3 , 最 小 值 为 4。
二试 姓名 一 : 本 题 满 分 40 分 给 定 锐 角 △ ABC , 在 BC 边 上 取 点 A 1 、 A 2 ( A 2 位 于 A 1 与 C 之 间 ) ; 在 CA 边 上 取 点 B 1 、 B 2 ( B 2 位 于 B 1 与 A 之 间 ) ;在 AB 边 上 取 点 C 1 、 C 2 ( C 2 位 于 C 1 与 B 之 间 ) 。使 得 ∠ AA 1 A 2 = ∠ AA 2 A 1 = ∠ BB 1 B 2 = ∠ BB 2 B 1 = ∠ CC 1 C 2 = ∠ CC 2 C 1 。直 线 AA 1 、 BB 1 、 CC 1 可 构 成 一 个 三 角 形 , 直 线 AA 2 、 BB 2 、 CC 1 可 构 成 另 一 个 三 角 形 , 求 证:这两个三角形的六个顶点共圆。 一 : 证 明 : 设 上 述 两 个 三 角 形 分 别 为 图 中 所 示 的 △ UVW 和 △ XYZ , 则 ∵ ∠ BB 2 B 1 = ∠ CC 1 C 2 ∴ ∠ AB 2 B = ∠ AC 1 C ∵ ∠ BAB 2 = ∠ CAC 1
B A1 C2 Y V Z A2 C C1 U X B2 W B1 A

成绩

∴ △ AB 2 B ∽ △ AC 1 C ∴ AC 1 AB 2 = 且 ∠ ABB 2 = ∠ ACC 1 AC AB

同 理 可 得 : ∠ BAA 1 = ∠ BCC 2 ∴ ∠ A 1 VB = ∠ BAA 1 + ∠ B 1 BB 2 + ∠ ABB 2 = ∠ BCC 2 + ∠ C 1 CC 2 + ∠ ACC 2 = ∠ ACB 同 理 可 得 : ∠ ACB = ∠ AXB 2 ∴ ∠ A 1 VB = ∠ AXB 2 在 △ ABV 中 : 同理可得: ; 同 理 可 得 : ∠ A 2 ZC = ∠ A UC 1

AV AB AB AB = = = sin ∠ ABV sin ∠ AVB sin ∠ A 1 VB sin ∠ ACB

AB AC = sin ∠ ACB sin ∠ ABC = AC sin ∠ ABC

AZ AC AC = = sin ∠ ACZ sin ∠ AZC sin ∠ A 2 ZC

∴ AV = AZ 又

同 理 可 得 : BW = BX ; CU = CY

AC 1 AC 1 AU AC = = · AC sin ∠ AC 1 U sin ∠ AUC 1 sin ∠ ABC

=

AB 2 AB 2 AB AX · = = AB sin ∠ ACB sin ∠ AXB 2 sin ∠ AB 2 X 同 理 可 得 : BV = BY ; CW = CZ ∴ ∠ AUX = ∠ AA 1 A 2 = ∠ BB 1 B 2 = ∠ BWX

∴ AU = AX

∴ UX ∥ BC ; UX ∥ CA

∴ X 位 于 △ UVW 的 外 接 圆 上 同 理 可 得 : Y 位 于 △ UVW 的 外 接 圆 上 ; Z 位 于 △ UVW 的 外 接 圆 上 ∴ U、 V、 W、 X、 Y 、 Z 六 点 共 圆 。

二 : 本 题 满 分 40 分 设 a, b, c > 0, 求 证 : 3 1 1 1 + + ≥3 a?1 + b? b?1 + c? c?1 + a? a1 a3 b = k· 3 abc (1+ abc )
3



证:记 k =

abc

> 0, 作 分 式 变 换 a = k·

a2 a3 , c = k· , a1 a2

a1, a2, a3 > 0, 则原不等式等价于 a3 a1 a2 3 + + ≥ ? ? ?*? a 1 + ka 2 a 2 + ka 3 a 3 + ka 1 1 + k a1 ·∑ a 1 ? a 2 + ka 3 ? ≥ ? a 1 + a 2 + a 3 ? a 2 + ka 3
2

由 Cauchy 不 等 式 有 ∑ 而

?? ①

∑ a 1 ? a 2 + ka 3 ? = ? 1 + k ?? a 1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 1 ? ? ? ② ?∑ a1?
2

≥ 3?a1a2 + a2a3 + a2a1? ? ? ③

由 ① ② ③ 立 得 ?*?, 故 原 不 等 式 得 证 。

三 : 本 题 满 分 50 分 求 所 有 正 整 数 a1,a2, ? ,an , 使 得 99 a0 a1 an-1 = + +?+ ,其中 100 a1 a2 an

a 0 =1,( a k + 1 - 1 ) a k - 1 ≥ a k 2 ( a k - 1), k =1,2 , ? , n - 1 。 解 : 设 a1 , a2 ,?, an 是 满 足 已 知 条 件 的 正 整 数 。 因 为 a0 ? 1 , 所 以 a1 ? 1 , 否则

a0 99 , 即 有 a1 ? 2 , 且 a1 ? a0 , 假 设 ak ? ak ?1 , ak ? 2 , 则 ?1? a1 100
2 2 ak (ak ? 1) a 2 (a ? 1) ak ?1 ? k k ? ? ak , 综 上 所 述 , 有 ak ?1 ak ?1 ak ?1

ak ?1 ?

2 ak ?1 ? ak , ak ?1 ? 2 ,其 中 k ? 0,1,2,?, n ? 1 将 不 等 式 (ak ?1 ? 1) k ?1 ? ak (ak ? 1) 重 写 为

ak ?1 ak a a ak , 即 k ?1 ? k ?1 ? 。 ? ak (a k ? 1) a k ?1 ? 1 ak a k ? 1 a k ?1 ? 1
对 于

k ? i ? 1, i ? 2,?, n ? 1



an?1 a ? n?1 an an ? 1









ai a a ai ? i ?1 ? ? ? n?1 ? ai ?1 ai ? 2 an ai ?1 ? 1
当 i ? 0时,有

100 100 1 99 1 ? a1 ? ? ? ,即 , 则 a1 ? 2 。 99 99 a1 100 a1 ? 1

当 i ?1时,有

a1 a 200 200 99 1 ? a2 ? ? 1 , 则 a2 ? 5 。 ? ? ? 1 ,即 99 49 a2 100 a1 a2 ? 1
5 5 1 1 ? 99 1 a1 ? 1 , 即 55 ? a 3 ? 55 ? 1, 则 a3 ? 56 。 ? ? ? ? ? ? ? ? 9 9 a3 a 2 ? 100 a1 a 2 ? a3 ? 1

当 i ? 2时, 有

当 i ? 3时,有

1 1 ? 99 1 a1 a 2 ? 1 ,即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a 4 a3 ? 100 a1 a 2 a3 ? a 4 ? 1

56?14?100 ? a4 ? 56?14?100? 1 , 则 a4 ? 7 8 4 0。 0
当 i ? 4时,有

1 1 ? 99 1 2 5 56 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0,不可能。 a5 a4 ? 100 2 5 56 7 8 4 0?0

因 此 , a1 ? 2, a2 ? 5, a3 ? 56, a4 ? 7 8 4 0是 0 惟一的解。

四 : 本 题 满 分 50 分 设 n 和 k 是正整数,满足 1 2 n<k≤ n。 求 最 小 的 数 m, 将 m 个 “ 车 ” 放 入 一 2 3

个 n×n 棋 盘 的 方 格 内 , 使 每 行 、 每 列 都 不 存 在 连 续 的 k 个 方 格 上 都 没 有 放 “车” 。 解 :如 果 棋 盘 上 不 存 在 k × 1 或 1 × k 个 没 放“ 车 ”的 方 格 ,则 称 棋 盘 上 的“ 车 ” 的放法是“好的” 。 记 行 和 列 分 别 是 第 0 行 到 第 n-1 行 和 第 0 列 到 第 n-1 列 。 一 个 理 想 的 “ 好 的 ” 放 法 如 下 : 将 “ 车 ” 放 在 (i,j)上 , 其 中 i,j 分 别 表 示 为 第 i 行 、 第 j 列 , 使 k | i + j +1 。 由 于 n <2 k , 所 以 i + j +1= k ,2 k 或 3 k 。 从 而 构 成 三 条 由“ 车 ”构 成 的 斜 线 。因 为 3 k ≤ 2 n ,则 这 三 条 斜 线 上 分 别 包 含 k 个 方 格 、2 n - 2 k 个 方 格 和 3n-3k 个 方 格 ( 特 别 地 3 k =2 时 , 第三条斜线不存在) 。 所 以 共 有 4( n - k ) 个方格放有“车” 。 下面证明这是“车”满足“好的”放法的最小值。 假设用 m 个 “车” 存在一个 “好的” 放法, 划分棋盘为 9 个矩形区域 C 如 右 图 示 ,使 得 每 个 角 所 在 的 区 域 A 、C 、G 、I 为 ( n - k ) × ( n - k ) 的 区 域 ,B 、 E F G D A B

H 有 n - k 行 ,2 k - n 列 ,D 、F 有 2 k - n 行 ,n - k 列 。因 为 2 k - n >0 ,因 此 这 种 H I

分法是合理的。 假设在矩形区域 B 中有 b 行没有“车” ,H 中有 h 行没有“车” ,D 中有 d 列没有“车” ,F 中有 f 列没有“车” 。任取 B 中没有“车”的 b 行中一行, 并向左、右延伸到整个棋盘,则这一行延伸到 A 的部分至少含有 1 个“车” , 否则放法不是“好的” 。同理,这一行在 C 的部分至少含有 1 个“车” 。在 A 和 C 中对这一行中的两个“车”所在的方格各作一个记号。 同理对 H 中没有“车”的 h 行有同样的结论。而对 D 和 F 中没有“车” 的 d 列 和 f 列 也 具 有 同 样 的 结 论 。因 此 在 A ∪ C ∪ G ∪ I 中 总 共 有“ 车 ”的 方 格 作 了 2( b + h + d + f ) 次 记 号 , 而 每 个 方 格 最 多 做 了 两 次 记 号 。 所 以 有 记 号 的 方 格 至 少 有 b+h+d+f 个 , 它 们 中 的 每 一 个 方 格 内 都 有 1 个 “ 车 ” 。 因 此 , 在 A∪ C ∪ G∪ I 中 至 少 的 b+h+d+f 个 “ 车 ” 。 又 由 于 B 中 至 少 有 n - k - b 个“ 车 ” , H 中 至 少 有 n - k - h 个“ 车 ” ,D 中 至 少 有 n-k-d 个 “ 车 ” , F 中 至 少 有 n-k-f 个 “ 车 ” , 所 以 m ≥ 4( n - k ) 综上所述:要使每行、每列都不存在连续的 k 个方格上都没有放“车” , 至 少 要 放 4( n - k ) 个 “ 车 ” 。


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