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2013年高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第七章 不等式)


2013 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第七章不等式
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是

(A) a>b ? 1
2

(B) a>b ? 1

(C) a 2>b2
B. sin

x ? D.

(D) a3>b3
( )

2、 (2012 福建理)下列不等式一定成立的是 A. lg( x ? ) ? lg x ( x ? 0) C. x2 ? 1 ? 2 | x | ( x ? R)

1 4

1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) sin x

1 ? 1( x ? R) x ?1
2

3、 【2012 海南嘉积中学期末】已知全集 M = {x | y = 2x } ,集合 N = {x | y = lg(2 x - x2 )}, 则M

N= (

) B、 (2,??) C、 [0,??) D、 (??,0) ? (2,??)

A、 (0, 2)

?y ? 2 ? 4、 (2012 广东理)已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 C.3 D. ?1



5、 (2012 山东青岛市期末)已知点 A(m, n) 在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上,则 2 m ? 4 n 的最小值 为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 )

1-x 6.已知向量 a=(1, ),b=(x-1,1),则|a+b|的最小值是( x A.1 B. 2 C. 3 D.2

?21? x , x ? 1 7、 (2011 辽宁)设函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是( ?1 ? log2 x, x ? 1
(A) [ ?1 ,2] (B)[0,2] (C)[1,+ ? ) (D)[0,+ ? )



?x ? y ? 3 ? 0 ? ? x 8. (2012 福建理) 若函数 y ? 2 图像上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m ? ? ?x ? m
的最大值为( )

A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

9、 (2012 四川理)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公 司共可获得的最大利润是 ( ) A.1800 元 B.2400 元 C.2800 元 D.3100 元

?y ? x ? 10、 【2012 广东佛山市质检】已知不等式组 ? y ? ? x , 表示的平面区域的面积为 4 ,点 ?x ? a ?
P( x, y ) 在所给平面区域内,则 z ? 2 x ? y 的最大值为(


. A.3 B.4 C.5 D.6 2 11.制作一个面积为 1 m ,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择, 较经济的(够用,又耗材最少)是( ) A.4.6 m B.4.8 m C.5 m D.5.2 m

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)
13. 【2012 黄冈市高三上学期期末考试】不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 3 的解集为
x ? ?2 14、 【2012 厦门市高三上学期期末质检】已知函数 f(x)= ? 2 ? ?x ? 6x ? 9



( x ? 1) ,则不等式 ( x ? 1)

f(x)>f (1)的解集是



?y ? x ? 1 ? 15、 【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检】设实数 x,y 满足不等式组 ? y ? x ? 2 ,则 ?y ? 0 ?
z ? x ? 2 y 的最小值是


? ?) ,若关于 x 的不等式 16、 (2012 江苏)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , b ? R) 的值域为 [0 , f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为__
__.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分)(2011 安徽)

1 1 1 ? ? ? xy ; xy x y (2)设 1 ? a ? b ? c ,证明: loga b ? logb c ? logc a ? logb a ? logc b ? loga c.
(1)设 x ? 1, y ? 1, 证明: x ? y ?
18、(本小题满分 10 分) 【2012 届广东省中山市四校 12 月联考理】某工厂有 A、B 两种配件

生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品使 用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按 每天 8h 计算,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,问如何安 排生产才能使利润最大?

19.(本小题满分 12 分) 【山东省滨州市沾化一中 2012 届高三上学期期末理】解关于 x 的 不等式

ax ? 1 ?0 x ?x?2
2

21.(本小题满分 12 分) 、已知集合 P ? ? ,2? ,函数 y ? log2 ax ? 2 x ? 2 的定义域为 Q ?2 ?
2

?1 ?

?

?

(1)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围。 (2)若方程 log2 ax ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解,求实数 a 的取值范围。 2
2

?

?

?1 ? ? ?

22.(本小题满分 12 分)已知函数 y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R). (1)要使 f(x)在(0,2)上单调递增,试求 a 的取值范围; π (2)当 x∈(0,1]时,y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为 θ,且 0≤θ≤ ,求 a 的 4 取值范围.

祥细答案
一、选择题

1、 【答案】A 【解析】即寻找命题 P ,使 P ? a ? b ,且 a ? b 推不出 P ,逐项验证知可选 A. 2、 【答案】C 【解析】由基本不等式得 x2 ? 1 ? 2 | x | ( x ? R) ,答案 C 正确. 3、 【答案】A 【 解 析 】 因 为 M = {x | y = 2 } , 所 以 M=R, 又 N = {x | y = lg(2 x - x )} , 所 以
x 2

2 x ? x 2 ? 0, N=(0,2), M
4、 【答案】B

N = (0, 2) ;

解析:.画出可行域 ,可知当代表直线过点 A 时,取到最大值.联

?y ? 2 ?x ? 3 立? ,解得 ? ,所以 z ? 3x ? y 的最大值为 11. ? y ? x ?1 ?y ? 2
5、 【答案】A 【解析】因 m ? 2n ? 2 ,所以 2m ? 4n ? 2m ? 22n ? 2 2m22n ? 2 22 ? 4 (取等条件当且 仅当 m ? 1, n ? 6、答案 B 1 解析 a+b=(x, ), x 1 |a+b|= x2+ 2≥ 2;|a+b|min= 2. x 7、答案:D 【解析】不等式等价于 ?

1 ) 。 2

? x ? 1, ?2
1? x

?2

或?

? x ? 1, 解不等式组,可得 0 ? x ? 1 或 x ? 1 ,即 ?1 ? log 2 x ? 2,

x ? 0 ,故选 D.
8、 【答案】B
x 【解析】 x ? y ? 3 ? 0 与 y ? 2 的交点为 (1, 2) ,所以只有 m ? 1 才能符合条件,B 正确.

9、 【答案】C [解析]设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得 利润为 Z 元/天,则 由已知,得 Z=300X+400Y

? X ? 2Y ? 12 ?2 X ? Y ? 12 ? 且? ?X ? 0 ? ?Y ? 0
画可行域如图所示, 目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= ?

3 z x? 4 400

这是随 Z 变化的一族平行直线

解方程组 ? 10、答案:D

?2x ? y ? 12 ?x ? 2y ? 12

?x ? 4 即 A(4,4) ? Z max ? 1200? 1600? 2800 ?? ?y ? 4

【解析】画出可行域得

故可行域的面积 S ?

1 ? a ? 2a ? a 2 ? 4 ,解得 a ? 2 ,做目标直线 y ? ?2 x ,平移可知, 2

在点 (2, 2) 处 Zmax ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 。 11、答案 C 2 解析 令一直角边长为 a,则另一直角边长为 ,斜边长为 a 4 2 a2+ 2≥2 2+2>4.8,当且 a= 时取等号. a a 12、答案 C 解析:由于 (a2 ? b2 ? c )(x2 ? y 2 ? z 2 ) ? (ax ? by ? cz)2 等号成立当且仅当
2

4 2 a2+ 2,周长 l=a+ + a a

a b c ? ? ? t , 则 a=t x b=t y c=t z , t 2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 10 x y z

所以由题知 t ? 1 / 2 , 又 二、填空题

a b c a?b?c a?b?c ? ? ? , 所以 ? t ? 1 / 2 ,答案选 C. x y z x? y?z x? y?z

13、 【答案】 (- ? ,0) ? (3,+ ? )

【解析】由绝对值的意义, | x ? 1|,| x ? 2 | 分别表示数轴上的点到 1,2 的距离。由图知,

x ? 0或x ? 3 时符合 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 3
∴不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 3 的解集为(- ? ,0) ? (3,+ ? ) 14、 【答案】 {x | x ? 1或x ? 2} 【解析】本题主要考查分段函数及不等式的解法 . 属于基础知识、基本运算的考查.

f (1) ? 4 ,若 x ? 1 ,则 2x ? 4 ? x ? 2
若 x ? 1 ,则 x2 ? 6 x ? 9 ? 4 ? x ? 5或x ? 1 ? x ? 1 ∴ 不等式 f(x)>f (1)的解集是 {x | x ? 1或x ? 2} 15、 【答案】

【 解 析 】 如 图 , 作 出 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件

1 2

?y ? x ? 1 ? ? y ? x ? 2 可行域是三角形 ABC;C(1,0),B(-2,-2)作出 ?y ? 0 ?
直线 x ? 2 y ? 0 ,

1 1 x ? z ,直线 y ? x ? z 在 y 轴上 2 2 1 z 最大。 截距最小时, 由图知直线过 C 点时 y ? x ? z 2 1 1 有最小截距 ? , z ? x ? 2 y 的最小值是 2 2 z ? x ? 2y ? y ?
16、 【答案】9.

? ?) ,当 x 2 ? ax ? b =0 时有 V? a 2 ? 4b ? 0 ,即 b ? 【解析】由值域为 [0 ,

a2 , 4

a2 ? a? ??x? ? . ∴ f ( x) ? x ? ax ? b ? x ? ax ? 4 ? 2?
2 2

2

a? a a a ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? . 2? 2 2 2 ?
m ? 6 ),∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 , 解 得 ∵ 不 等 式 f ( x) ? c 的 解 集 为 ( m ,
c ? 9 .. 三、解答题

2

a 2

a 2

17、证明: (1)由于 x ? 1, y ? 1, 所以 x ? y ?

1 1 1 ? ? ? xy ? xy ( x ? y ) ? 1 ? y ? x ? ( xy )2 xy x y

将上式中的右式减左式,得

y ? x ? ( xy)2 ? ( xy( x ? y) ? 1) ? (( xy)2 ?1) ? ( xy( x ? y) ? ( x ? y)) ? ( xy ? 1)( xy ? 1) ? ( x ? y)( xy ? 1) ? ( xy ? 1)( xy ? x ? y ? 1) ? ( xy ? 1)( x ? 1)( y ? 1) 因为 x ? 1, y ? 1, 所以 ( xy ? 1)( x ? 1)( y ? 1) ? 0 ,从而所要证明的不等式成立

18、解:设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,工厂获得的利润为 z 又已知条件可得二元一

次不等式组:

?x ? 2 y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 目标函数为 z ? 2 x ? 3 y ? x?0 ? ? ? y?0
把 z ? 2 x ? 3 y 变形为 y ? ?

2 z 2 z x ? ,这是斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 的直线。当 z 3 3 3 3 z 变化时,可以得到一族互相平行的直线,当截距 最大时,z 取得最大值,由上图可以 3 2 z 看出, y ? ? x ? , 当直线 x=4 与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 的交点 M(4,2)时,截 3 3 z 14 距 的值最大,最大值为 ,这时 2x+3y=14.所以,每天生产甲产品 4 件,乙产品 2 3 3
件时,工厂可获得最大利润 14 万元。

19、解:原不等式等价于 (ax ? 1)(x ? 2)(x ? 1) ? 0

当 a =0 时,原不等式等价于 ( x ? 2)(x ? 1) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 2 ,此时原不等式得解集为{x| ? 1 ? x ? 2 }; 当 a >0 时, 原不等式等价于 ( x ?

1 )( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , a

1 当 a ? 时, 原不等式的解集为 ?x | x ? ?1且x ? 2? ; 2

1 综 上 , 当 a =0 时 , 不 等 式 得 解 集 为 {x| ? 1 ? x ? 2 } ; 当 a ? 时, 原 不 等 式 的 解 集 为 2

1 ? ? 时, 原不等式的解集为 ? x | x ? 或 ? 1 ? x ? 2? ;当 a ? ?1 ?x | x ? ?1且x ? 2?;当 0< a ? 1 a 2 ? ?
时 , 原 不 等 式 的 解 集 为 ?x | x ? 2且x ? ?1? ; 当 ? 1 ? a ? 0 时 , 原 不 等 式 的 解 集 为

1 1 ? ? ? ? ? x | x ? 或 ? 1 ? x ? 2? ;当 a ? ?1 时, 原不等式的解集为 ? x | x ? ?1或 ? x ? 2? 。 a a ? ? ? ?

?-2x,x<-1, ? 2 1 x 1 20.解: (Ⅰ)f(x)=|x+1|+|x-1|=? ,- ≤ ≤ , ?2x,x>1. ?
当 x<-1 时,由-2x<4,得-2<x<-1; 当-1≤x≤1 时,f(x)=2<4; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. 所以 M=(-2,2). (Ⅱ)当 a,b∈M 即-2<a,b<2, ∵4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=(a2-4)(4-b2)<0, ∴4(a+b)2<(4+ab)2, ∴2|a+b|<|4+ab|.
2 21、解: (1)若 P ? Q ? ? ,? ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 ? ,2? 内有有解? a ? ? 2 ? x x ?2 ?

?1 ?

2

2

令u ? ?

2 2 1 ?1 1? ? ? ?2? ? ? ? 2 x 2 x ? x 2?

2

当 x ? ? ,2? 时, u ? ?? 4, ? 2 2

?1 ? ? ?

? ?

1? ?

所以 a>-4,所以 a 的取值范围是 a a ? ?4

?

?
2

(2)方程 log2 ax2 ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解, 则 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 ? ,2? 内有解。 2 2

?

?

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

2 2 ?1 1? 1 ? a ? 2 ? ? 2? ? ? ? x x ? x 2? 2
当 x ? ? ,2? 时, a ? ? ,12? 2 2 所以 a ? ? ,12? 时, log2 ax ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解 2 2
2

2

?1 ? ? ? ?3 ?

?3 ?

? ?

? ?

?

?

?1 ? ? ?

22、解析 (1)f′(x)=-3x2+2ax,要使 f(x)在(0,2)上单调递增,则 f′(x)≥0 在(0,2)上恒成 立, ∵f′(x)是开口向下的抛物线, ? ?f′?0?≥0 ∴? ,∴a≥3. ?f′?2?=-12+4a≥0 ? π (2)∵0≤θ≤ ,∴tanθ=-3x2+2ax∈[0,1]. 4 据题意 0≤-3x2+2ax≤1 在(0,1]上恒成立, 3 3 由-3x2+2ax≥0,得 a≥ x,a≥ , 2 2 3 1 由-3x2+2ax≤1,得 a≤ x+ . 2 2x 3 1 3 又 x+ ≥ 3(当且仅当 x= 时取“=”), 2 2x 3 ∴a≤ 3. 3 综上,a 的取值范围是2≤a≤ 3.


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