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湖南省娄底市双峰一中,涟源一中等五校2017届高三上学期期中联考数学(理)试题 Word版含答案


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双峰一中、涟源一中、冷江一中、新化一中、娄底三中 2016 年下学期高三联考试卷



学(理)
满分:150 分 第 Ⅰ 卷

时量:120 分钟

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

一、选择题:本大题共 12

题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、设集合 M ? {x | A. {x | 0 ? x ? 1}

x ? 0}, N ? {x | 0 ? x ? 2} ,则 M ? N ? ( x ?1
B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 2} )。

)。 D. {x | 0 ? x ? 2}

2、设 ? 为第二象限角, sin ? ? A.

3 ,则 sin 2? ? ( 5
C. ?

7 25

B.

24 25

7 25

D. ?

24 25

3、若双曲线 ( A. )。

y 2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的离心率是 a 2 b2

2

B.

3

C. 2

D.

3 2

4、已知 f ( x) ? ? A. 2 ? i

?1 ? x( x ? R) , i 为虚数单位,则 f [ f (1 ? i)] ? ( ?(1 ? i) x( x ? R)
B. 1 C. 3

) 。 D. 3 ? i

5、在如图所示程序框图中,若输出的 i 值为3,则输入的 x 的取值范围是( A. (2, 4] B. (2, ??) C. (4, ??) D. (4,10]

)。

(第7题图)

(第5题图) 6、A、B、C、D、E、F共6人站成一排照相,要求A不站在两端,且B、C两人站在一起,那么 不同的站法种数为( A.72 )。 B.96 C. 144 D.288 )。 D. 6 ? 2 ? 6

7、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( A. 10 ? 5 8、设 B. 6 ? 2 2 ? 6 C. 10 ? 2

f ( x) ? 3sin(2x ? ?) ? cos(2 x ? ?)

(| ? |?

?
2

) 的图像关于直线 x ? 0 对称,则(

)。

A. f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0,

?
2

) 上为减函数。 ) 上为增函数。

B. f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, C. f ( x) 的最小正周期为

?
2

? ? ,且在 (0, ) 上为增函数。 2 4 ? ? D. f ( x) 的最小正周期为 ,且在 (0, ) 上为减函数。 2 4
9、 ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,其中 b ? 3, c ? 2 , o 为 ?ABC 的外心, 则 AO ? BC ? ( A.

???? ??? ?
13 2

)。 B.

5 2

C. ?

5 2

D. 6

?y ? x 3 ? 10、设 a ? 1 , x, y 满足约束条件 ? y ? ax ,若目标函数 z ? x ? ay 的最大值不小于 2 ?x ? 2 y ? 2 ?
,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 2 B. a ? )。

3 2

C. a ?

3? 5 4

D. a ?

5 4

11、已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(b ? a) ,若对任意 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,则

a?b?c 的最小值为( b?a
A.0 12、已知函数 B. 1

)。 C. 2 D. 3

f ( x) ?

ln x ? ( x ? b) 2 x
)。

1 (b ? R ) ,若存在 x ? [ , 2] ,使得 f ( x) ? ? x ? f ?( x) ,则实数 b 的取值范围是( 2 3 9 A. (??, 2) B. (??, ) C. (??, ) D. (??,3) 2 4
第 Ⅱ 卷

本卷包括必考题和选做题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第22~23题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡中对应题号上。 13、由曲线 y ?

x ,直线 x ? 2 及 x 轴所围成的图形的面积是
1 ? ax 为奇函数,则实数 a 的值为 1 ? 3x




14、已知函数 f ( x ) ? ln

15、三棱锥 P ? ABC 是半径为3的球的内接正三棱锥 ,则 P ? ABC 的体积的最大值为 。 16、若关于 x 的不等式 a cos 2 x ? cos x ? ?1 恒成立,则实数 a 的取值范围是 三、解答题:解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 。

a ? 1, b ? 2, cos C ?

1 , 4

(1) 、求 ?ABC 的周长; (2) 、求 cos( A ? C ) 的值。

18、 (本小题满分 12 分)已知 {an } 是由正数组成的数列,其前 n 项的和 Sn 与 an 之间满足

an ?

1 1 ? 2Sn ? (n ? 1, n ? N ? ) , 2 4

(1) 、求 {an } 的通项 an (2) 、设 bn ? ( ) an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。
n

1 2

19、 (本小题满分 12 分)已知在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 ,

E , F 分别是 BC, BB1 的中点,
(1) 、若 AA 1 ? 2 ,求证: AF ? C1 E ; (2) 、若 AA 1 ? 4 ,求二面角 A ? C1 F ? E 的平面角大小。

20、 (本小题满分 12 分)如图, F1 , F2 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右两个焦点, a 2 b2

???? ???? ? 长轴长为 6, 又 A, B 分别是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点, 且满足 AF | F1F2 |? 4 , ? 2 BF 1 2 ,
(1) 、求直线 AF 1 的方程; (2)求四边形 ABF2 F 1 的面积。

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 3 (a ? 0) , (1)试讨论函数 f ( x) 的零点个数; (2)若对任意 a ? [1, 2] ,函数 g ( x) ? x ?
3

x2 [m ? 2 f ?( x)] 在 ? a,3? 有最值,求实数 m 的 2

范围。

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,已知曲线 C : ?

? x ? 3 cos ? ? ( ? 为参数) ,以原点为极点, x 轴的正 y ? 2sin ? ? ?

半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线 l : ? (2cos ? ? sin ? ) ? 6 : (1) 、试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程;

(2)在曲线 C 上取一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最大,求 P 点的坐标及此最大距离。

23、 (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| x | ?2 | x ? a | (a ? 0) (1) 、当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 4 ; (2) 、若 f ( x) ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围。

双峰一中、涟源一中、冷江一中、新化一中、娄底三中 2016 年下学期高三联理科数学 参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 C 5 D 6 C 7 B 8 A 9 B 10 D 11 D 12 C

? BC = AD ? BC = ,故选B。 9、设 BC 中点为 D ,则 AO ? BC =(AD ? DO)
10、若 a ? 2, 则Z max ?

???? ??? ?

???? ????

??? ? ???? ??? ? 5 2

2 ? 2a 2 3 ? ? a ? 2; 2a ? 1 2
2 ? 2a 3 5 5 ? ? ? a ? 2,? a ? , 故选D 3 2 4 4

若1<a ? 2, 则Z max ?
11、 ?

?a ? 0
2 ?b ? 4ac ? 0

?c?

b2 a ? b +c 3 3 ,故 ? ? ? 3, 故选D。 4a b?a 2 2

12、原不等式等价于 b ? 二、填空题: 13、

1 1 9 ? x 有解,? b ? ( ? x) max ,? b ? , 故选C。 2x 2x 4

4 2 3

14、 a ? 3

15、 8 3

16、 a ? [0,

2? 2 ] 4

2 2 2 15 、 设 正 三 棱 柱 的 高 为 h , 则 r ? 9 ? (h ? 3) ? 6h ? h ,?V (h) ?

3 (6h ? h2 )h , 当 4

h ? 4时 , V (h)max ? 8 3
16、令 t ? cos x ,原不等式等价于 2at ? t ? 1 ? a ? 0, t ?[?1,1]
2

令 f (t ) ? 2at ? t ? 1 ? a ,若 a ? 0,由f (?1) ? 0 ? a ? 0, 无解;若a=0,
2

则t+1 ? 0,恒成立; 若 a ? 0, 则 ① ? ? 0 ? a ? [

2? 2 2? 2 , ] ,② ? >0 ? 4 4

? 1 ? ?1 1 2? 2 ?? ? 0 ? a ? , 综合得a ? [0, ] ? 4a 4 4 ? ? f (?1) ? 0
三、解答题:

17、解: (1)∵ c ? a ? b ? 2ab cos C ? 4
2 2 2

∴ c?2 6分

故三角形 ?ABC 的周长为 5.

………………………………………………………………………………

C? (2) ∵ c o s

1 且 C 为 ?ABC 的内角 4

∴ sin C ?

15 4
7 8

由正弦定理

a c 15 ? 得 sin A ? sin A sin C 8

A? ∴ cos

∴ cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ? 18、(1)依题知 S n ? ∴ a1 ?

11 …………………………………………………………………………12 分 16


1 2 ( an ? an ) 2

……………………………………………………………………………………………………

1 2 (a1 ? a1 ) , 又 an ? 0 ∴ a1 ? 1 2 1 2 又Sn - 1? (an (? 2 ) …………………………………………………………………………………………… ② ? ? 1 an ) ,n 2 1 2 2 由①-②得 an ? (an ? an ?1 ? an ? an ?1 ) 2
2 2 ∴ an ? an?1 ? an ? an ?1 , 且an ? an?1 ? 0 ,则 an ? an ?1 ? 1

∴ {an } 是等差数列,∴ an ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n …………………………………………………………………………6 分 (2) ∵ bn ? ( ) an ? n( ) ,
n n

1 2

1 2

1 1 1 1 n ? 2( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? n ? ( ) , 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n+1 ( ) ∴ Tn ? 1? ( ) ? 2( ) ? 3 ? ( ) ? ??? ? n ? 。 2 2 2 2 2 1 11 1 2 1 3 1 n 1 ( ) -n ? ( ) n ?1 两式相减得 Tn ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ??? ? 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 2 ? n( 1 ) n ? 2 ? (n ? 2)( 1 ) n 。…………………………………………………………………………12 分 ∴ Tn ? 1 2 2 1? 2
∴ Tn ? 1? 19、. (1)连接 AE,由 AB=AC,E 为 BC 的中点,知 AE⊥BC. ∵平面 BB1C1C⊥平面 ABC,平面 BB1C1C∩平面 ABC=BC,∴AE⊥平面 BB1C1C, 又 C1E?平面 BB1C1C,∴AE⊥C1E. 由于 E,F 分别是 BC,BB1 的中点,AB=AC=AA1=2, ∴BF=B1F=1,BC=B1C1=

AB2 ? AC2 ? 2 2 ,BE=CE= 2

∴EF= BF 2 ? BE 2 ? 3 ,C1E= CE ? C1C ?
2 2

6 ,C1F= B1 F 2 ? B1C12 ? 3 ,

∴C1F2=EF2+C1E2,∴C1E⊥EF, 又 AE∩EF=E,∴C1E⊥平面 AEF,∴C1E⊥AF. ………………………………………………6 分 (2)解法一 在 Rt△ABC 中,AB=AC=2,∴AE⊥BC,BC=B1C1=2 2 . 又 E,F 分别是 BC,BB1 的中点,AA1=4, ∴BE=CE= 2 ,BF=B1F=2, ∴C1E=

CE 2 ? C1C 2 ? 3 2 ,EF= BE 2 ? BF 2 ? 6 ,C1F= B1C12 ? B1 F 2 ? 2 3 ,

∴C1E2=EF2+C1F2,∴EF⊥C1F. 又 AF=

AB2 ? BF 2 ? 2 2 ,AC1= AC 2 ? CC12 ? 2 5 ,

∴A C12 =AF2+C1F2,∴AF⊥C1F, ∴∠AFE 为二面角 A-C1F-E 的平面角. 又 AE=

1 BC= 2 , 2

∴cos∠AFE=

AF 2 ? EF 2 ? AE 2 (2 2)2 ? ( 6)2 ? ( 2)2 3 , ? ? 2 AE ? EF 2 2? 2 2 ? 6

∴∠AFE=

? ? ,即二面角 A-C1F-E 的大小为 .……………………………………………………12 分 6 6

解法二 由题意,以 A 为原点,以 AB,AC,AA1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系,则由 AB=AC=2,AA1=4,E,F 分别是 BC,BB1 的中点,知 A(0,0,0),F(2,0,2),E(1,1,0),C1(0,2,4),则 AF =(2,0,2), AC1 =(0,2,4). 由(1)知 AF =(1,1,0)为平面 EFC1 的一个法向量. 设向量 n =(x,y,z)为平面 AC1F 的法向量,则

??? ?

???? ?

??? ?

?

? ??? ? ? ? ?2 x ? 2 z ? 0 ?n ? AF ? 0 由 ? ? ???? ,得 ? ,取 x=1,则 y=2,z=-1,得 n =(1,2,-1)为平面 AC1F 的一个法向量, ? ? ?n ? AC1 ? 0 ?2 y ? 4 z ? 0 ??? ? ? ??? ? ? AE ? n 1?1 ? 1? 2 ? 0 ? (?1) 3 ? ?? ∴cos< AE , n >= ??? , ? 2 |AE | ?n 2? 6

? ,由图知二面角 A-C1F-E 为锐角, 6 ? 故二面角 A-C1F-E 的大小为 .……………………………………………………12 分 6
∴< AE , n >=

??? ? ?

20、(1)由题意知 2a ? 6 ,∴ a ? 3 。
∴椭圆的标准方程为



a2 ? b2 ? 4

∴b ? 5
2

x2 y 2 ? ? 1 .………………………………………………………………………… 2 分 9 5

??? ? ???? ? 延长AF1, BF2分别交椭圆C于A, B, ?AF1 ? 2BF2 , 且F1,F2分别为焦点, ??? ? ???? ? x2 y 2 ? 1的左右焦点F1 (?2, 0), F2 (2, 0) ?AF ? BF2 , AF1 ? 2F1 A1, 而 ? 9 5 ?? ? ??? ? 设直线的方程为y=k(x+2)(k是存在的,否则与AF1 =2BF2矛盾)
1 2 代入5x 2 +9y 2 =45中,得5( y-2) ? 9 y 2 ? 45 k 5 20 即( 2 +9)y2 - y-25=0 k k

设( A x1,y1 ),A1(x2 ,y2 ), 有y1 =-2y2 ………………………………………………………………………… 4 分
20k ? y1 ? y2 ? ? ? y2 ? ? 5 ? 9k 2 ?? ? k 2 ? 3, k ? ? 3, 依题意舍去k ? ? 3 2 ? y y ? ?25k ? ?2 y 2 1 2 2 ? 5 ? 9k 2 ?

?直线AF1的方程为y= 3( x ? 2) ………………………………………………………………………… 6 分
(2)? ABB1 A 1为平行四边形,

且SABF2F1 ?

1 1 SABB1A1 ? S?F2 AA1 ? ? 2c?|y 2 -y1|=2|y 2 -y1| …………………………………………………………………………8 分 2 2

由y= ( 3 x+2)代入5x2 +9y2 =45消去x得 32y2 -20 3y-75=0
2 (20 3) +4 ? 32 ? 75 15 3 ∴ |y2 -y1|= ………………………………………………………………………… 11 分 = 32 8

∴ S? F2 AA1 ?

15 3 4 15 3 4
12 分

∴四边形 ABF2 F1的面积为

…………………………………………………………………………

21、解(1)? x ? 0, f ?( x) ?

1 ? a, ………………………………………………………………………1 分 x

若a<0,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, +?)上单调递增,
… … …… … …3 分 且f(e3 ) ? ?ae3 ? 0, x ? 0时,f ( x) ? ??, 此时,f(x)存在唯一零点;

若a>0,f?(x)=

1-ax 1 ? 0, x ? x a 1 1 x ? (0, ), f ( x) ? , x ? ( , ??), f ( x) ? a a

1 ? f ( x) )? ? l n a ? 4 m a x? f ( a

当 ? ln a ? 4 ? 0,即a>e-4时,f(x)无零点;
当-lna-4=0,即a=e-4时,f(x)有一个零点;
……………………………………………………………………5 分 当-lna-4>0,即0<a<e-4时,f(x)有两个零点。

综上:a<0或a=e-4时,f(x)有一个零点;
…………………………………………………6 分 0<a<e-4时,f(x)有两个零点。a>e-4时,f(x)无零点。

(2) g(x)=x ? (
3

m ? a) x 2 ? x, g?(x)=3x 2 ? (m ? 2a) x ? 1 2

………………………………………………8 分 ? g ( x)在(a,3)上有最值, ? g ( x)在(a,3)上不单调,

? g ?(3) ? 0 ………………………………………………10 分 而g ?(0)= ? 1 ? 0,? ? 恒成立。 ? g ?(a) ? 0
又 a ? [1, 2],由g ?(a ) ? 0 ? m ?

1 19 ? 5a ? m ? ? , a 2 32 32 19 g ?(3) ? 0 ? 3m ? 26 ? 6a ? 0 ? m ? ? , 故 ? ? m ? ? . ………………………………………………12 分 3 3 2

22、解: (1) l 的直角坐标方程为 2 x ? y ? 6 ? 0

曲线 C 的普通方程为

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………………………………………………………………5 分 3 4

| 4sin( ? ? ) ? 6 | 3 (2)设 P ( 3 cos ? , 2sin ? ), 则d ? 5
当 sin( ? ? ) ? ?1时,d 最大 3 3 ? P (? ,1), d max ? 2 5 ……………………………………………………………………………………………10 分 2
23、(1) ① 当x ? 1时,解得1 ? x ? 2

?

?

② 当0 ? x ? 1时, 解得0 ? x ? 1

2 ?x?0 3 2 ? 不等式的解集为{x|- ? x ? 2} ……………………………………………………………………………5 分 3
③ 当x ? 0时,解得(2)作出 f(x)的大致图像,求得 f(x)的最小值为 a ∴ a ? 4 ……………………………………………………………………………10 分


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