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2.1.3函数单调性ppt


2.1.3 函数的单调性(一)

上升
y

下降
y

局部上升或下降
y

y ? x ?1

y ? ?x ?1

y ? x2
o x o x o x

函数的这种性质称为函数的单调性
在某一区间内,
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升;

当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。

北京市8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图

例2.画出下列函数图像,并写出单调区间:
1 (1) y ? ( x ? 0); x

y

1 y ? x
x

1 ? y ? 的单调减区间是 ( ??, 0) , (0, ??) _____________ x



用函数单调性的定义证明

用定义判断函数单调性的主要步骤

1. 任取x1,x2∈D,且x1<x2;
2. 作差f(x1)-f(x2);

3. 变形(通常是因式分解和配方);
4. 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5. 下结论

1 例3.证明函数 y ? x ? 在定义域 x

?1, ??? 上的单调性.

并给出证明

例4.画出下列函数图像,并写出单调区间:

(2) y ? ? x2 ? 2.
y ? ? x2 +2的单调增区间是 ( ??, 0] _______;

y
2 1 -2 -1 -1 -2

y=-x2+2

y ? ? x +2的单调减区间是_______.
2

[0, ??)

1

2

x

变式:讨论

y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的单调性
2

成果交流

如果证得对任意的 x1 , x2 ? (a, b) ,
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 且 x1 ? x 2 有 ? 0 ,能断定 x2 ? x1

函数在区间上是增函数吗?

f ( x) 是定义在R上的单调函数,且 f ( x) 的图
象过点A(0,2)和B(3,0) (1)解方程 f ( x) ? f (1 ? x) (2)解不等式 f (2 x) ? f (1 ? x) (3)求适合 f ( x) ? 2或f ( x) ? 0 的 x 的 取值范围

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成果运用

若二次函数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 4 在区间 ? ??,1?

上单调递增,求a的取值范围。

( A) y ? ?2 x ? 1
2 (C ) y ? x

( B) y ? ?3x ? 1
2

( D) y ? 2x2 ? x ?1

? x ?1 x ? 0 ? ?? x ? 1 x ? 0

________

1 试用定义法证明函数 f ( x) ? ? ? 1 x 在区间 ? 0, ??? 上是单调增函数。

y ? ax

2

b ? bx ? c(a ? 0) 的对称轴为 x ? ? 2a
单调增区间 单调减区间

y ? ax2 ? bx ? c

a>0

? b ? ? , ?? ? ? 2a ? ?

b? ? ? ??, ? ? 2a ? ?
? b ? ? , ?? ? ? 2a ? ?

a<0

b? ? ? ??, ? ? 2a ? ?

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证明:在区间

?x ? x2 ? x1 ? 0

?1, ??? 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 ? x2
作差

取值

1 1 则?y=f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? ) x2 x1

1 1 ? ( x2 ? x1 ) ? ( ? ) x2 x1
( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x1 ) ? x2 ? x1 x2 ? x1 ? 1 ? ( x2 ? x1 )( ) x2 ? x1
,且 x1

变 形

? x1, x2 ??1, ???

? x2 ? x2 ? x1 ? 0, x2 x1 ?1 ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0,? f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 所以函数 y ? x ? 在区间上 ?1, ?? ? 是增函数. x

定号

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