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2011年厦门市高中毕业班理科数学3月质量检查(含答案word版)


2011 年厦门市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷指定位置上作答,答题前,请在答题卷密封线内填写学校、班级、考 号、姓名. 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 圆锥侧面积公式: S ? ? rl ,其中 S 为侧面面积, r 为底面半径, l 为母线长.

第Ⅰ卷

(选择题 共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. i 是虚数单位,集合 A ? {i, i , } ,则 A
2

1 i

R 元素个数为
D.3

A. 0

B.1

C.2

2 2. x ? 1 ? 1 是 x ? x ? 0 的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知 t ? 0 ,若 A.3

? 0(2 x ? 2)dx ? 3 ,则 t ?
C.1 D.3 或 ?1 所得数据 息估计该

t

B.2

4.某机构调查了当地 1000 名居民的月收入,并根据 画出样本的频率分布直方图,请根据右图提供的信 地居民月收入的中位数是 A.2100 B.2200 C.2300 D.2400

y

1
5.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 图象如右图所示,那么函数值 f (0) 等 A.

1 2

B.

2 2
? ?x ? 3
2

C.

3 2

D.

6? 2 4
x

O ? 6

2? 3



x

6.已知函数 f ( x) ? ? A.1

, ( x ? 1)

( x ? 1) ? ?? x ? 2 x ? 3,
B .2

,则函数 g ( x) ? f ( x) ? e 的零点个数为 C.3 D.4

(x ? 7.记
A.4

2 n )的展开式中第 k 项的系数为 ak ,若 a3 ? 5a2 ,则 n = x
B.5 C.6 D.7

? x ? y ? 3 ? 0, ? 2 2 8.若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ? y ? 2, ?
页 1

A. 5

B. 5

C.

3 2 2

D.

9 2


开始 输入 y
3 整除

9.右图是判断“美数”的流程图.在 ?30, 40? 内的所有整数中, “美数”的个数是 A.1 C.3 B.2 D.4

y


6 整除

y





是 12 整除 y 是

输出 “不是美数” 结束

输出“是美数”

10.如图,四棱柱 ABCD-A’B’C’D’中,底面 ABCD 是为正方形,侧棱 AA’ ⊥底面 ABCD, AB = 3 2 , AA’=6. 以 D 为圆心, DC’为半径在侧面 BCC’B’ 上画弧, 当半径的端点完整地划过 C ?E 时, 半径扫过的轨迹形成的曲面面 积为 A.
A’

D’ B ’

C’

E

9 6 ? 4

B.

9 3 ? 4

C.

9 6 ? 2

D.

9 3 ? 2

D A B

C

第Ⅱ卷
2
2 2

(非选择题

共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点与圆 x ? y ? mx ? 4 ? 0 的圆心重合,则 m 的值是 12.随机变量 ? 服从正态分布 N (0, 1) ,若 P(| ? |? 1.96) =0.950,则 P(? ? ?1.96) = 13.已知 | a |? 1,| b |? 2, 且a ? b与a 垂直,则 a与b 的夹角是
2

★ ★

. .


2



14 . 若 f (n) 为 n ? 1(n ? N *) 的 各 位 数 字 之 和 , 如 : 6 ? 1 ? 37 , 则 f ( 6 ? )

? 3

记 7 ? . 10

f1 (n) ? f (n), f 2 (n) ? f ( f1 (n)), , f k ?1 (n) ? f ( f k (n)), k ? N*,

则 f 2011 (4) ?





15.已知函数 y ? f ( x) 满足 f (3x) ? 3 f ( x) ,当 1≤ x ≤ 3 时, f ( x) ? 1? | x ? 2 | .那么 x ? [1,3 ] , n ? N 时,函
n

?

数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴所围成的图形面积为





三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
页 2

16. (本小题满分 13 分) 某同学在暑假的勤工俭学活动中, 帮助某公司推销一种产品, 每推销 1 件产品可获利润 4 元. 第 1 天他推销了 12 件, 之后加强了宣传,从第 2 天起,每天比前一天多推销 3 件. 问: (Ⅰ)该同学第 6 天的获利是多少元? (Ⅱ)该同学参加这次活动的时间至少达到多少天,所获得的总利润才能不少于 1020 元?

17. (本小题满分 13 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2 3 ac sin B . 3 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 3 且 A ? (

? ?

, ) ,求边长 c 的取值范围. 6 2

E

18. (本小题满分 13 分) 如图,多面体 EFABCD 中,底面 ABCD 是正方形, AF⊥平面 ABCD,DE∥AF,AB=DE=2,AF=1. (Ⅰ)证明: BE⊥AC; (Ⅱ)点 N 在棱 BE 上,当 BN 的长度为多少时,直线 CN 与 平面 ADE 成 30°角?

F

N D C

A

B

19. (本小题满分 13 分) 已知 B(?1,1) 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点,且点 B 到椭圆的两个焦点距离之和为 4 . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 A 为椭圆的左顶点,直线 AB 交 y 轴于点 C ,过 C 作直线 l 交椭圆于 D、E 两点,问:是否存在直线 l , 使得△ CBD 与△ CAE 的面积之比为 1: 7 .若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. y C B D

A

O E

x

页 3

20. (本小题满分 14 分) 甲有一个装有 x 个红球、 y 个黑球的箱子,乙有一个装有 a 个红球、 b 个黑球的箱子,两人各自从自己的箱子里 任取一球,并约定:所取两球同色时甲胜,异色时乙胜( a , b , x , y ? N ) .
*

(Ⅰ)当 x ? y ? 3, a ? 3, b ? 2 ,时,求甲获胜的概率; (Ⅱ)当 x ? y ? 6 , a ? b ? 3 时,规定:甲取红球获胜得 3 分;取黑球获胜得 1 分;甲负得 0 分.求甲的得分 期望达到最大时的 x , y 值; (Ⅲ)当 x ? a, y ? b 时,这个游戏规则公平吗?请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中常数 a ? 0 .
2

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 a ? 4 时,给出两组直线: 6 x ? y ? m ? 0 与 3x ? y ? n ? 0 ,其中 m, n 为常数.判断这两组直线中是否 存在 y ? f ( x) 的切线,若存在,求出该切线方程; (Ⅲ)设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x) ,若

h( x ) ? g ( x ) ? 0在 D x ? x0

内恒成立,则称 P 为函数 y ? h( x) 的“类对称点” . 当 a ? 4 时,试问 y ? f ( x) 是否存在“类对称点” ,若 存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.

页 4

2011 年厦门市高中毕业班质量检查
数学(理科)试卷参考答案及评分标准 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算. 每题 5 分,满分 50 分. 1~5 BBADA 6~10 BCDCA

二、填空题:本题考查基础知识和基本运算. 每题 4 分,满分 20 分. 11. ?2 12.0.025 13.

2? 3

14.8

15.

9n ? 1 8

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.本题主要考查等差数列的基本概念及有关数列计算和数列求和的方法,考查运算求解能力、阅读理解能力及 应用意识等. 满分 13 分. 解:记此同学第 n 天推销的产品件数为 an , ∴ a6 ? a1 ? 5d ? 12 ? 5 ? 3 ? 27 , ∴该同学第 6 天所获利润为 27 ? 4 ? 108 元. 由题可知, ?an ? 是一个公差为 3,首项为 12 的等差数列,-------------------------------3 分 -----------------------------------------5 分 -----------------------------------------7 分

设该同学前 n 天推销的产品总数为 S n ,依题意得, Sn ? 12n ? 令 4Sn ? 1020 ,即 4 ?12n ?

n(n ? 1) ? 3 ,--------9 分 2

n(n ? 1) ? ? ? 3? ? 1020 ,-----------------------------------------10 分 2 ? ? 2 整理得, n ? 7n ? 170 ? 0 ,解得, n ? 10 .-----------------------------------------------12 分
∴这位同学参加活动至少要 10 天以上,才能使所获利润不少于 1020 元.-----------13 分 17.本题主要考查正弦定理、余弦定理的基本应用及三角函数基本关系等基础知识,考查运算求解能力以及数形 结合思想. 满分 13 分. 解:(Ⅰ)在△ABC 中,根据余弦定理 a2 ? c2 ? b2 ? 2ac cos B ------------------------------2 分 ∵a ?c ?b ?
2 2 2

2 3 2 3 ac sin B ∴ 2ac cos B ? ac sin B ∴ tan B ? 3 -------4 分 3 3
------------------------------------------------------------------------------------6 分

∴B ?

?
3

(Ⅱ)∵ A ? B ? C ? ? ,∴ C ? ? ? A ? B ?

2? ? A -----------------------7 分 3

由正弦定理,得:

2? c b 3 ? ? ? 2 .∴ c ? 2sin C ? 2sin( ? A) -----9 分 ? sin C sin B sin 3 3
? 2? ? ? A? 3 2
---------------------------------10 分 ∴



?
6

? A?

?
2

, ∴

?
6

1 2? ? sin( ? A) ? 1 2 3

--------------------------------------------12 分 ∴1 ? c ? 2 . --------------------------------------------13 分

18.本题主要考查空间线线垂直、线面垂直、直线与平面所成角、空间向量应用等基基础知识,考查空间想象能 力、运算求解能力、推理论证能力及探究能力.满分 13 分. 解: (Ⅰ)法一:连结 BD,∵ABCD 是正方形,
页 5

∴BD⊥AC. --------------------------------------2 分 ∵AF⊥平面 ABCD,DE∥AF, ∴DE⊥平面 ABCD, ---------------------------3 分 ∴DE⊥AC, ------------------------------4 分 ∵BD 、DE 在平面 BDE 内,且相交于 D, ∴AC⊥平面 BDE, -----------------------------5 分 ∴BE⊥AC. ------------------------------------6 分 法二: ∵AF⊥平面 ABCD, DE∥AF, ∴DE⊥平面 ABCD, 形,∴DA、DE、DC 两两互相垂直,可建立如图的空间 ------------------------2 分 ∴A (2, 0, 0) ,C (0, 2, 0) ,B (2, 2, 0) ,E (0, 0, 2) ,

z E

F

N D C y

A x

B

又∵ ABCD 是正方 直 角 坐 标 系 ,

∴ AC ? (?2, 2, 0) , BE ? (?2,?2, 0) , --------------------------------------------------------4 分 ∵ AC ? BE ? (?2) ? (?2) ? 2 ? (?2) ? 0 ? 0 ? 0 ,∴ AC ? BE ,即 BE⊥AC.-------------6 分 (Ⅱ)∵AF⊥平面 ABCD,DE∥AF,∴DE⊥平面 ABCD,又∵ABCD 是正方形,∴DA、DE、DC 两两互相垂直, 可建立如图的空间直角坐标系, -------------------------------7 分 ∴B (2, 2, 0) ,C (0, 2, 0) , E (0, 0, 2) ,D (0, 0, 0) , ∴ CB ? (2, 0, 0) , BE ? (?2,?2, 2) , CD ? (0,?2, 0) , ∵点 N 在棱 BE 上,∴可设 BN ? ? BE(0 ? ? ? 1) , ∴ CN ? CB ? BN ? CB ? ? BE = (?2? ? 2,?2? , 2? ) , ------------------------------------9 分 由于 CD⊥平面 ADE,∴ CD 为平面 ADE 的法向量. ------------------------------------10 分 当直线 CN 与平面 ADE 成 30°角时, ? CN , CD ?? 60° , ∴ -----------------------------------8 分

cos ? CN , CD ??

CN ? CD CN CD

?

(?2? ? 2,?2? , 2? ) ? (0,?2, 0) (?2? ? 2) ? (?2? ) ? (2? ) ? 2
2 2 2

?

?
3? ? 2? ? 1
2



?
3? ? 2? ? 1
2

? cos 60? ?

1 ,解得 ? ? ?1 ? 2 ,∵ 0 ? ? ? 1,∴ ? ? 2 ? 1 ,---12 分 2
---------------------------------13 分

∴BN= | BN |? ? | BE |? ( 2 ? 1) ? 2 3 ? 2 6 ? 2 3 .

19.本题主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函 数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分 13 分. (Ⅰ)由已知得: ? a 2

?1 1 ? ? 2 ?1 b ? ? 2a ? 4
?a ? 2 ? ?? 2 ?b ? 3 ?

-----------------------------------------------------2 分

----------------------------------------------------4 分

页 6

x2 3 y 2 即椭圆方程为 ? ? 1 ----------------------------------------------5 分 4 4
(Ⅱ)由 A(?1,1) 、 B(?1,1) 有 l AB : y ? x ? 2 ,∴ C (0, 2) ---------------------------6 分 设 D( x1 , x2 ) , E( x2 , y2 ) 因为 x1 ? x2 不合题意,故可设 l : y ? kx ? 2 , 代入 x ? 3 y ? 4 得: (3k ? 1) x ? 12kx ? 8 ? 0
2 2
2 2

-----------------------7 分 (*)

?12k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? 3k ? 1 ? ? x ?x ? 8 1 2 ? 3k 2 ? 1 ?


(1) (2)

1 CB ? CD ? sin ?ACE S?CBD 2 1 又 ? ? --------8 分 S?CAE 1 CA ? CE ? sin ?ACE 7 2

CB 1 CD 2 ------------------------------------------------9 分 ? , ∴ ? CA 2 CE 7 2 从而 x1 ? x2 (3) ---------------------------------------------------------11 分 7 结合(1)(2)(3)三式,得 k ? ?3 ,均满足(*)式的 ? ? 0 .
即: l : y ? ?3x ? 2 ----------------------------------------------------------------13 分

20.本题主要考查随机变量的分布列及数学期望等概率的基础知识,考查运算求解能力、分析与解决问题能力及 必然与或然、分类等数学思想.满分 14 分. 解: (Ⅰ)由题意,甲、乙都取红球的概率 P 1 ?
1 1 C3 C3 3 ? ? ,----------------------------2 分 1 1 C6 C5 10 1 1 C3 C2 1 ? ? ,----------------------------4 分 1 1 C6 C5 5

甲、乙都取黑球的概率 P2 ?

∴甲获胜的概率 P ? P 1?P 2 ? (Ⅱ)令 ? 表示甲的分数,则 ? 的取值为 0,1,3,

3 1 1 ? ? .------------------5 分 10 5 2

P(? ? 1) ?

1 C1 y ? C3 1 1 C6 ? C6

?

1 C1 ? C3 x y , P(? ? 3) ? x ? , 1 1 C6 ? C6 12 12

P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 1 ?
得 ? 的分布列如下:

x? y , -------------------------7 分 12

?
P

0

1

3

x? y y x 12 12 12 x? y y x 3x ? y 于是 E? ? 0 ? (1 ? ;----------------------8 分 ) ? 1? ? 3 ? ? 12 12 12 12 1?
页 7

又 x, y ? N * 且 x ? y ? 6 ,∴ 1 ? x ? 5 ,且 E? ? 故当 x ? 5, y ? 1时, E? 的最大值为

6 ? 2x 12

4 . --------------------------------10 分 3
1 1 2

(Ⅲ)解法一:由题意,两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有 Cx ? y ? Cx ? y ? ( x ? y) 种不同情形,每种情形都是等可能的,记记甲获胜为事件 A,乙获胜为事件 B,则

P( A) ?

1 1 1 C1 x ? Ca ? C y ? Cb 1 C1 x ? y ? Ca ? b

1 1 1 C1 x2 ? y 2 2 xy x ? Cb ? C y ? Ca ? ? , P( B) ? , 2 1 1 ( x ? y) Cx ? y ? Ca ?b ( x ? y )2

∴ P( A) ? P( B) ?

x2 ? y 2 2 xy ( x ? y)2 ,-----------------------12 分 ? ? ( x ? y)2 ( x ? y)2 ( x ? y )2

当 x ? y 时, P( A) ? P( B) ,甲、乙获胜的概率相等,这个游戏规则是公平的; 当 x ? y 时, P( A) ? P( B) ,甲获胜的概率大于乙获胜的概率,这个游戏规则不公平. -----------------------14 分 解法二:由题意,两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有 Cx ? y ? Cx ? y ? ( x ? y) 种不同情形,每种情形都
1 1 2

是等可能的,记甲获胜为事件 A,则 P( A) ?

1 1 1 C1 x ? Ca ? C y ? Cb 1 C1 x ? y ? Ca ? b

?

x2 ? y 2 ,则 ( x ? y )2

P( A) ?

1 x 2 ? y 2 1 ( x ? y)2 ;---12 分 ? ? ? 2 ( x ? y)2 2 2( x ? y) 2

当 x ? y 时, P( A) ?

1 1 ,甲获胜的概率恰为 ,这个游戏规则是公平的;---13 分 2 2 1 1 当 x ? y 时, P( A) ? ,甲获胜的概率超过 ,这个游戏规则不公平. ----14 分 2 2
1 1 2

解法三:由题意,两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有 Cx ? y ? Cx ? y ? ( x ? y) (种)不同情形,每种情形都是等可能的,记乙获胜为事件 B,则

P( B) ?

1 1 1 C1 x ? Cb ? C y ? Ca

C

1 x? y

?C

1 a ?b

?

2 xy , ( x ? y )2

则 P( B) ?

1 2 xy 1 ( x ? y)2 ; ---------------------------12 分 ? ? ? ? 2 ( x ? y)2 2 2( x ? y) 2

1 1 ,乙获胜的概率恰为 ,这个游戏规则是公平的; 2 2 1 1 当 x ? y 时, P( B) ? ,乙获胜的概率小于 ,这个游戏规则不公平. -----14 分 2 2
当 x ? y 时, P( B) ? 21.本题主要函数与导数、函数图象与性质、函数、方程与不等式等基础知识,考查学生抽象概括能力、推理论 证能力、创新意识,考查函数与方程思想、有限与无限思想、分类与整合等思想.满分 14 分. 解:(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域是 x ? 0 .
页 8

f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x ,

a 2( x ? )( x ? 1) a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a 2 ∴ f '( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? ? . -----------------------1 分 ? x x x a a ? 2 ,∴ ? 1 . 2 a 2 (x ? )x (? 1 ) a 2 令 f '( x) ? 0 ,即 ? 0 , x ? 0 , ∴ 0 ? x ? 1, 或 x ? x 2 a ∴函数 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) , ( , ??) . ----------------------------------------4 分 2

2 x2 ? 6 x ? 4 (Ⅱ)当 a ? 4 时, f ( x) ? x ? 6 x ? 4ln x ,则 f '( x) ? , x
2

x ? 0 ,∴ f '( x) ? 2( x ?

2 ? 3) ? 4 2 ? 6 . x

-------------------------------------6 分

所以曲线 f ( x) 在定义域内的任意一点处的切线斜率都大于等于 4 2 ? 6 , 所以曲线 f ( x) 可以与 3x ? y ? n ? 0 中的一条直线相切, 此时切线的斜率是 3,对应的切线方程是 y ? 3x ? 20 ? 8ln 2 或 y ? 3x ?

17 ? 4ln 2 . 4

-----------------------------------------------------8 分 (Ⅲ)解法一:由(2)得函数 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为:

2 x0 2 ? 6 x0 ? 4 l : y ? g ( x) ? ( x ? x0 ) ? x0 2 ? 6 x0 ? 4ln x0 . x0
若函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 4ln x 存在“类对称点” P( x0 , f ( x0 )) , 则
2

等价于当 0 ? x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) ,当 x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.------- 10 分 1 当 0 ? x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,等价于 ○ 当 0 ? x ? x0 时, x ? 6 x ? 4ln x ?
2

2 x0 2 ? 6 x0 ? 4 ( x ? x0 ) ? x0 2 ? 6 x0 ? 4ln x0 恒成立, x0
3

即当 0 ? x ? x0 时, x0 x ? (2 x0 ? 4) x ? 4 x0 ? ln x ? x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ? ln x0 ? 0 恒成立.
2 2

令 ? ( x) ? x0 x ? (2 x0 ? 4) x ? 4ln x ? x0 ? x0 ? 4 x0 ? 4ln x0 ? x0 ,则 ? ( x0 ) ? 0 ,
2 2 3

要使 ? ( x) ? 0 在 0 ? x ? x0 恒成立,只要 ? ( x) 在 (0, x0 ) 单调递增即可. 又 ? '( x) ? 2 x0 x ? (2 x0 ? 4) ?
2

4 x0 2( x0 x ? 2)( x ? x0 ) , ? x x
页 9

∴ x0 ?

2 ,即 0 ? x0 ? 2 . x0

----------------------------------------12 分

2 同理当 x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立时, x0 ? ○ ∴ x0 ?

2 .------------------------------------13 分

2. 2 .---14 分 2.

所以 y ? f ( x) 存在“类对称点” ,其中一个“类对称点”的横坐标是 x0 ?

解法二:猜想 y ? f ( x) 存在“类对称点” ,其中一个“类对称点”的横坐标是 x0 ? 下面加以证明: 当 x0 ?

--------------------------------------------------9 分

2 时, g ( x) ? (4 2 ? 6) x ? 6 ? 2ln 2

1 当0 ? x ? ○ 当0? x ?

2 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,等价于

2 时, x2 ? 6 x ? 4ln x ? (4 2 ? 6) x ? 6 ? 2ln 2 恒成立,
2

令 ? ( x) ? x ? 4 2 x ? 4ln x ? 6 ? 2ln 2 , ? '( x) ? 2 x ? 所以函数 ? ( x) ? x ? 4 2 x ? 4ln x ? 6 ? 2ln 2 在 0 ? x ?
2

4 ?4 2 ?0, x

2 时单调递增,

从而当 0 ? x ? 即当 0 ? x ? 2 同理当 x ? ○

2 时, ? ( x) ? ? ( 2) ? 0 恒成立, 2 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.
2 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立时.
------------------------------------12 分 -----------------------------------13 分

所以 y ? f ( x) 存在“类对称点” , 其中一个“类对称点”的横坐标是 x0 ?

2 .---14 分

页 10


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