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两条直线的位置关系教案


两条直线的位置关系
●考试目标 主词填空 1.两直线平行的充要条件. 已知两直线分别为:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2,则 l1∥l2 ? k1=k2 且 b1≠b2.? 2.两直线垂直的充要条件. 已知两直线分别为:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2,则 l1⊥l2 ? k1·k2=-1.? 3.两条直线的夹角. 设直线 l1 的斜率为 k1,l2 的斜率为 k2,l1 到 l2 的角为α,l1 与 l2 的夹角为β,则 tan α =
k ?k k 2 ?k 1 ,tan β = 2 1 . 1 + k 2 k1 1 + k 2 k1

4.点到直线的距离. 点 P0(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= 5.两平行线间的距离. 两平行线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离 d= 6.对称问题. (1)P(x,y)关于 Q(a,b)的对称点为 (2a-x,2b-y).? (2)P(x0,y0)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点是
? ( B 2 ? A 2 ) x 0 ? 2 ABy 0 ? 2 AC ( A 2 ? B 2 ) y 0 ? 2 ABx 0 + 2 BC ? , ? A2 + B 2 A2 + B 2 ? ? ? . ? ?
C1 ? C 2 A2 + B 2 Ax 0 + By 0 + C A2 + B 2

.

●题型示例 点津归纳 【例 1】 已知两直线 l1:x+m2y+6=0, l2:(m-2)x+3my+2m=0,当 m 为何值时,l1 与 】 l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.? 解前点津】 进行讨论, 转化为 “斜截式” 后, 才能使用 “充 【解前点津】 对直线的斜率存在与否, 要条件”. 规范解答】 【规范解答】 当 m=0 时, l1:x+6=0, l2:x=0 ? l1∥l2,? 当 m≠0 时,则化为斜截式方程:l1:y=①当1 m
2

1 m
2

x-

6 m
2

,l2:y=

2?m 2 x? , 3m 3



2?m 即 m≠-1,m≠3 时, l1 与 l2 相交.? 3m

2?m ? 1 ?? 2 = 3m ? ②当 ? m ,即 m=-1 时 l1∥l2.? ?? 6 ≠ ? 2 ? m2 3 ?

2?m ? 1 ?? 2 = 3m ? m ③当 ? ,即 m=3 时, l1 与 l2 重合.? ?? 6 = ? 2 ? m2 3 ?

综上所述知:①当 m≠-1,m≠3 且 m≠0 时,l1 与 l2 相交,②当 m=-1 或 m=0 时,l1∥ l2,③当 m=3 时, l1 与 l2 重合.? 解后归纳】 ,若 y 的系数 【解后归纳】 判断两直线的位置关系,关键是化直线方程为“斜截式” 含有参数,则必须分类讨论.? 3)且被两条平行线 3x+4y-7=0 及 3x+4y+3=0 截得的线段长为 5 【例 2】 求经过点 P(2, 】 的直线方程.? 解前点津】 【解前点津】 画图可知,所求直线有两条,选择应用夹角公式, 可“避免讨论”.? 【规范解答】 |AC|= 规范解答】
?7?3 32 + 4 2

=2,∵|AB|= 5 在 Rt△ABC 中,

求出|BC|=1,则 tan∠ABC=2.

? 3? k ??? ? 1 11 ? 4? 设所求直线斜率为 k,则 =2 解之:k= 或 .? 2 2 ? 3? 1 + ? ? ?k ? 4?

∴x-2y+4=0,11x-2y-16=0 为所求.? 解后归纳】 重视利用数形结合的方法, 从而发现解题思路. 【解后归纳】 本题利用了图形的性质, 【例 3】 一条光线经过点 P(2,3),射在直线 l:x+y+1=0 上,反射后穿过点 Q(1,1). 】 (1)求光线的入射线方程;? (2)求这条光线从 P 到 Q 的长度.? 解前点津】 【解前点津】 先求出 Q 关于直线 l 的对称点 Q′的坐标,从而可确定过 Q,Q′的直 线方程.? 规范解答】 【规范解答】 (1)设点 Q′(x′,y′)为 Q 关于直线 l 的对称点,且 QQ′交 l 于 M 点, ∵k1=-1,∴kQQ′=1,∴QQ′所在直线方程为 x-y=0.? 由?
?x + y + 1 = 0 ? 1 1? 得 M 坐标为 ? ? ,? ? ,又∵M 为 QQ′中点,故由 ? 2 2? ?x ? y = 0

1 ?1 ? 2 (1 + x ′) = ? 2 ? ? ? 1 (1 + y ′) = ? 1 ?2 2 ?

? Q′(-2,-2).?

设入射线与 l 交点为 N,且 P,N,Q′共线,得入射线方程为:?
y+2 x+2 ,即 5x-4y+2=0.? = 3+ 2 2+ 2

(2)∵l 是 QQ′的垂直平分线,因而:|NQ|=|NQ′|,? ∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|= (3 + 2) 2 + (2 + 2) 2 = 41 , 即这条光线从 P 到 Q 的长度是 41 .?

【解后归纳】 无论是求曲线关于直线的对称方程,还是解答涉及对称性的问题,关键 解后归纳】 在于掌握点关于直线的对称点的求法.? 【例 4】 已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a>0),直线 l2:-4x+2y+1=0 和直线 l3:x+y-1=0, 】 且 l1 与 l2 的距离是
7 5 .? 10

(1)求 a 的值;? (2)求 l3 到 l1 的角θ;? (3)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条件:①P 是第一象限的点;②P 点到 l1 的距离是 P 点 l2 的距离的
1 ;③P 点到 l1 的距离与 P 到 l3 的距离之比是 2 ∶ 5 ;若能, 2

求 P 点坐标;若不能,说明理由.? 解前点津】 【解前点津】 求解本题用到三个公式:平行线间的距离公式,直线到直线的“到角” 公式,点到直线的距离公式.?
? 1? a ??? ? ? 2?

【规范解答】 (1)由 l2:2x-y规范解答】
1 7 = ,∵a>0,∴a=3.? 2 2

7 5 1 =0,∴l1 与 l2 的距离 d= = ,化简得: 2 2 2 10 2 + (?1)

a+

(2)由(1),l1:2x-y+3=0 ? k1=2,而 k3=-1,∴tanθ=

k1 ? k 3 2 ? (?1) = =-3, 1 + k1 ? k 3 1 + 2(?1)

∵0≤θ≤π,∴θ=π-arctan3.? (3)设点 P(x0,y0),若 P 点满足条件②,则 P 点在与 l1, l2 平行的直线 L:2x-y+c=0 上, 且
c ?3 5 = 1 2 c+ 1 2

,即 c=

5

13 11 或 c= .? 2 6

∴2x0-y0+

13 11 =0 或 2x0-y0+ =0.? 2 6

若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式,有:?
2x0 ? y0 + 3 5
=

2 5

?

x0 + y0 ? 1

2

,即:|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,∴x0-2y0+4=0,或 3x0+2=0,

由 P 在第一象限,∴3x0+2=0 不可能,由方程组:?
13 ? x 0 = ?3 ? ?2 x 0 ? y 0 + = 0 ? ?? 2 ? 1 ,舍去, ?x0 ? 2 y 0 + 4 = 0 ? y0 = 2 ? ? 1 ? 11 x = ? ?2 x 0 ? y 0 + = 0 ? 0 9 ? 由? 得? 6 ?x0 ? 2 y0 + 4 = 0 ? y = 37 ? ? 0 18 ?

∴P 即为同时满足三个条件的点.? 解后归纳】 ,推出某种结 【解后归纳】 (3)属于“存在性问题”的解答,往往从“假设存在入手” 论(肯定的或否定的),然后检验这种结论是否满足题设中的各条件.?? ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,那么系数 a= (

)?

A.-3

B. –6

C.-

3 2

D. )?

3 ? 2

2.点(0,5)到直线 y=2x 的距离是 ( A.
5 2

B. 5

C.

3 2

D.

5 2

3.已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为 A.- 或-3
1 3

π
4

,那么 m 值为(
1 3

) ?

B. 或 3

1 3

C. 或 3

1 3

D. 或-3 )?

4.若直线 l1:y=kx+k+2 与 l2:y=-2x+4 交点在第一象限内,则实数 k 的取值范围是( A. (2 ,+∞) 3

B.(-∞,2)??

C.(-

2 ,2) 3

D.(-∞,)?

2 )∪(2,+∞)? 3

5.两条直线 A1x+B1y+C1=0,及 A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是( A. A1A2+B1B2=0 B.A1A2=B1B2 ? C.
A1 A2 =-1 B1 B 2

D.

A1 A2 =1 B1 B 2

6.如果直线 ax-y+2=0 与直线 3x-y-b=0 关于直线 x-y=0 对称,那么,a、b 值为( A.a=, b=6 7.过两直线 y=- x+ A. 0 条 8.对 0<|θ|<
1 3 1 3

)?

B. a= ,b=-6 ?

1 3

C. a=3,b=-2

? D. a=3,b=6 )?

10 和 y=3x 的交点,并与原点相距为 1 的直线有( 3

B. 2 条

C. 1 条

D. 3 条 )?

π
4

的角θ,两直线 l1:x-y·sinθ=cosθ与 l2:x·cosθ+y=1 的交点为(

A.在单位圆上 B.在单位圆外? C 在单位圆内,但不是圆心 D.是单位圆的圆心 9.已知 A(-3, 8)和 B(2, 在 x 轴上有一点 M, 2), 使得|AM|+|BM|最短, 那么点 M 的坐标是( ? A.(-1,0) B.(1,0)? C.(
22 ,0) 5

)

D.(0,

22 ) 5

10.设直线 l1:x·sinα+y· 1 ? cos α +6=0, l2:x+y· 1 + cos α =0,α∈ ? π ,2π ? ,则直
?

?3 ?2

?

线 l1 与 l2 的位置关系是( )? A.平行 B.垂直 C.平行或重合 D.相交但不垂直? 二、思维激活 11.直线 l1:2x-5y+20=0,l2:mx-2y-10=0 与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数 m 的值 等于 .? 12. 直 线 ax+4y-2=0 与 直 线 2x-5y+c=0 垂 直 相 交 于 点 (1 , m) , 则 a= c= m= . 13.两条平行直线分别过点 A(6,2)和 B(-3,-1), ,各自绕 A,B 旋转,若这两条平行线距离 最大时,两直线方程分别是 .? 14.p,q 满足 2p-q+1=0,则直线 px+2y+q=0 必过定点 .? 三、能力提高 15.已知直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等,且过两直线 l1:3x-y-1=0 和 l2:x+y-3=0 的交点,求直线 l 的方程.

16.直线 l 过点(1,0),且被两平行线 3x+y-6=0 和 3x+y+3=0 所截得的线段长为 9,求直线 l 的方程.

17.求函数 y= x 2 + 1 + x 2 ? 4 x + 8 的最小值.

18.已知点 A(4,1),B(0,4),试在直线 l:3x-y-1=0 上找一点 P,使|PA|-|PB|的绝对值最大, 并求出这个最大值.

第 2 课 两条直线的位置关系习题解答
a =3 即得 a=-6. 2

1.B 由-

2.B 直接利用公式计算.? 3.C k1=-2, k2=m ? tan
π
4 = m ? (?2) | 1 ? 2m |

得:|2m-1|=|m+2|解之即得.?

4.C

2?k ? x= y = kx + k + 2 ? ? ? 2+k 得? 解方程组 ? y = ?2 x + 4 ? ? y = 4 + 6k ? 2+k ?

?2 ? k >0 ? ? 由 ?2 + k ? 4 + 6k > 0 ? 2+k ?

?? 2 < k < 2 2 ? ?? ?? <k <2. 2 3 ?k > ? 3 或k < ?2 ?

5.A 当 l1,l2 分别与坐标轴垂直时,C 答案不满足.? 6.A 因直线 ax-y+2=0 关于直线 y=x 的对称直线为 ay-x+2=0,故 x-ay-2=0 与 3x-y-b=0 重合, 故 =
1 3 ?1 ?2 1 = ,∴a= ,b=6. ?a ?b 3

7.B 交点 P 为(1,3),单位圆的两条切线.?
cos θ + sin θ ? ? x = 1 + sin θ cos θ ? 由 x-ysinθ=cosθ且 xcosθ+y=1 ? ? , sin 2 θ ?y = ? 1 + sin θ ? cos θ ? 1 + sin 2 θ + sin 4 θ (1 + sin θ ? cos θ ) 2

8.C

∴x2+y2=

<1,但 x=y=0 不成立.?

9.B 因 B 关于 x 轴对称点为 B′(2,-2),则直线 AB′的方程可求得为:2x+y=2 令 y=0 得 x=1. 10.B 两直线的斜率之积 k1·k2=
?3 ?2 ? ?
sin θ ? 1 ? cos α ? 1 ? 1 + cos α = sin α 1 ? cos α
2

=

sin α | sin α |

又α∈ ? π ,2π ? ,∴|sinα|=-sinα,∴k1·k2=-1,∴l1⊥l2.? 11. 四边形对角互补时有外接圆,由于两坐标轴互相垂直,∴ ? 12. a=10,c=-12,m=-2 故? 两直线垂直,所以- ?
2 m =-1 ? m=-5.? 5 2

a 2 =-1 ? a=10,又两直线都过点(1,m), 4 5

?10 + 4m ? 2 = 0 ?m = ?2 ?? . ? 2 ? 5m + c = 0 ?c = ?12
?1 ? 2 1 = ,当两直线都与 AB 垂直时,平行线距离最大.? ?3?6 3

13. AB 的斜率 kAB=

? 所求直线为:3x+y-20=0,3x+y+10=0.?

14.由 2p-q+1=0 ? 直线为 px+2y+(2p+1)=0 ? (x+2)·p+(2y+1)=0,

令?

? x = ?2 ?x + 2 = 0 ? 1? ? 得? 1 故定点为 ? ? 2,? ? . 2? ? ?2 y + 1 = 0 ? y = ? 2 ?
?3 x ? y ? 1 = 0 得交点 C(1,2),? ?x + y ? 3 = 0
3?2 1 1 = ? ,故 l 为:y-2=- ·(x-1),即: 2 3?5 2

15.解方程组: ?

当 A、B 两点在 l 的同侧时, l∥AB,而 kAB= x+2y-5=0.

5 ?2 y?2 2 5 当 A、B 两点在 l 异侧时,则 l 过线段 AB 中点(4, ),由两点式知 l 方程为 = 2 x ?1 4 ?1

化之 x-6y+11=0.? 综上所述知,l 的方程是:x+2y-5=0 或 x-6y+11=0.? 16.如图所示,当 l 的斜率不存在时, l 方程为 x=1 它与两平行线交 点为(1,3)和(1,-6),其距为|3-(-6)|=9 符合题意. 当 l 的斜率存在时,设 l:y=k(x-1),由 ? 及?
? y = k ( x ? 1) ?3 x + y ? 6 = 0

? y = k ( x ? 1) ,解得 l 与两平行直线的交点分别为? ?3 x + y + 3 = 0

? k + 6 3k ? ? k ? 3 ? 6k ? , , ? ?及? ?. ? k +3 k +3? ? k +3 k +3?

故由 ?

4 4 ? 9 ? ? 9k ? 2 ? +? ? =9 ,得:k=- 故此时 l:y=- (x-1), 即 4x+3y-4=0. 3 3 ? k +3? ? k +3?

2

2

综上所述知,l 的方程为:4x+3y-4=0 或 x=1.? 17. y= x 2 +1 + x 2 ?4 x + 8 = ( x ? 0) 2 + (0 ? 1) 2 + ( x ? 2) 2 + (0 ? 2) 2 令 A(0,1),B(2,2),P(x,0),则问题转化为:在 x 轴上求一点 P(x,0),使得|PA|+|PB| 取得最小值,∵A 关于 x 轴的对称点为 A′(0,-1),所以(|PA|+|PB|)min=|A′B|= 13 . 18.如图所示,设 B 关于 l 的对称点为 B′(x′,y′),由
? y′ ? 4 1 ? x′ = 3 ? 解得 B′(3,3),直线 AB′的方程为 ? ?3? x ′ + 0 ? ? y ′ + 4 ? 1 = 0 ? ? ? ? 2 ? 2 ?
y ?1 x ? 4 = 即 2x+y-9=0. 3 ?1 3 ? 4

由?

?2 x + y ? 9 = 0 ?x = 2 , 解得? ,故所求 P 点坐标为(2,5) 3x ? y ? 1 = 0 ? ?y = 5

此时||PA|-|PB||=||PA|-|PB′||=|AB′|= (4 ? 2) 2 + (1 ? 5) 2 = 2 5 为所求.?


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