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1.1回归分析的基本思想及其初步应用


1.1回归分析的基本思想及其初步应用

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必修3(第二章 统计)知识结构
整理、分析数据估 计、推断 用样本估计总体 变量间的相关关系

收集数据
(随机抽样)

简 单 随 机 抽 样

分 层 抽 样

系 统 抽 样

/>
用样本 的频率 分布估 计总体 分布

用样本 数字特 征估计 总体数 字特征

线 性 回 归 分 析

数学3——统计

1. 画散点图
2. 求出b,a的值。 3. 求回归直线方程

4. 用回归直线方程解决应用问题

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问题1:现实生活中两个变量间的关系有哪些呢? 不相关 1、两个变量的关系

函数关系
线性相关

相关关系
非线性相关

相关关系:对于两个变量,当自变量取值一定时,因
变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。

思考:相关关系与函数关系有怎样的不同?
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系
相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在,是更一般的情况

问题2:对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划 之间的关系呢? 2、最小二乘估计 最小二乘估计下的线性回归方程:

? ?a ? ? bx ? y
1 n x ? ? xi n i ?1
?

?? b

? ( x ? X )( y ? Y ) ? x y ? nx y
i ?1 i i

n

n

?(X
i ?1

n

?

i

? X)

2

i ?1 n

i

i

?x
i ?1

2 i

? nx

2

1 n y ? ? yi n i ?1
?

? ? ? Y ? bX a
? ?

回归直线必过样本点的中心 ( x , y )

3、回归分析的基本步骤:
画散点图 求回归方程 预报、决策
这种方法称为回归分析. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计 分析的一种常用方法.

问题一:结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数模 型和回归模型。
例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。 编号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 解:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图:

2.回归方程:

? ? 0.849x ? 85.172 y
身高172cm女大学生体重 ? = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg) y

探究:身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg 吗?如果不是,你能解析一下原因吗? 答:用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生 的体重的预测值,只能给出她们平均体重的估计值。

由于所有的样本点不共线,而只是散布在某一直线的附近,
所以身高和体重的关系可以用线性回归模型来表示:

y ? bx ? a ? e
其中a和b为模型的未知参数,e称为随机误差.
思考:函数模型与“回归模型”的关系的区别

函数模型:因变量y完全由自变量x确定
回归模型: 预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定

思考:产生随机误差项e的原因是什么?
(1)所用确定性函数不恰当;
(2)忽略了某些因素的影响; (3)观测误差。

问题二:在线性回归模型中,e是用bx+a预报真实值 y的随机误差,它是一个不可观测的量,那么应如何研 究随机误差呢? e=y-(bx+a)
残差:一般的对于样本点(x1,y1),(x2,y2 ),...,(xn ,yn ), 它们的随机误差为ei ? yi ? bxi ? a,i ? 1,2,...n,
? ? ? ? 其估计值为ei ? yi ? yi ? yi ? b xi ? a,i ? 1,2,...n ? ei 称为相应于点(xi,yi)的残差。

问题三:如何发现数据中的错误?如何衡量随机模型
的拟合效果?

法一:我们可以通过残差分析发现原始数据中的
? ? ? ? ? ? ? 1)计算 ei ? y ? b x ? a ( (i=1,2,...n) i i ? ? 残差分析( ? 2)画残差图 ? ( ? 1)查找异常样本数据 ? ? ? (3)分析残差图( ? 2)残差点分布在以O为中心的水平带状区域,并沿 ? ?水平方向散点的分布规律相同。 ? ? ?

可疑数据,判断建立模型的拟合效果。

残差图的制作和作用: 制作:坐标纵轴为残差变量, 横轴可以有不同的选择.可以为编号;可以为解释变量

作用:判断模型的适用性若模型选择的正确,残差图中 的点应该分布在以横轴为中心的带形区域.
下面表格列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
编号 身高/cm 体重/kg 残差 1 165 48
-6.373

2 165 57
2.627

3 157 50
2.419

4 170 54
-4.618

5 175 64
1.137

6 165 61
6.627

7 155 43
-2.883

8 170 59
0.382

残差图的制作及作用。 残差平方和(? ( yi ? yi )越小,模型的拟合效果越好 i ?1 ?几点说明: 坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择; 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大,需要确认在采集过程中是否有人为的错误。 ? 若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以横轴 如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采 集没有错误,则需要寻找其他的原因。 为心的带形区域; 另外,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型计较合适,这样的带 ? 对于远离横轴的点,要特别注意。 状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高。

n

?

身 高 与 体 重 残 差 图

异 常 点
? 错误数据 ? 模型问题

法二:我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是 n 2 ? ( y ? y ) ? i i 残差平方和 2 i ?1 R ? 1? n ? 1? 。 总偏差平方和 2 ? ( yi ? y )
i ?1

显然,R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合效果越 好。 在线性回归模型中,R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。 R2越接近1,表示回归的效果越好(因为R2越接近1,表示解析变量 和预报变量的线性相关性越强)。

如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析,则可以通
过比较R2的值来做出选择,即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。

注:相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模 型中,它代表自变量刻画预报变量的能力。

下面我们用相关指数分析一下例1:
来源 回归变量 残差变量 总计 平方和 225.639 128.361 354 比例 0.64 0.36 1

? 从上中可以看出,解析变量对总效应约贡献了64%,即


R2 0.64,可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”,而随 机误差贡献了剩余的36%。 所以,身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。

问题四:结合例1思考:用回归方程预报体重时应注意什么?

1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。 2.我们建立的回归方程一般都有时间性。

3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。
4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。

问题五:归纳建立回归模型的基本步骤

(1)确定研究对象,明确哪个变量是解析变量,哪个变量 是预报变量。

(2)画出确定好的解析变量和预报变量的散点图,观察它们
之间的关系(如是否存在线性关系等)。 (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性

关系,则

选用线性回归方程y=bx+a).

(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)。 (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残 差过大,或残差呈现不随机的规律性,等等),过存在异常, 则检查数据是否有误,或模型是否合适等。

小结 1.残差平方和与模型拟合效果关系: 残差平方和越小,效果越好

2.相关指数与模型拟合效果关系
探索无止境

相关指数越大,效果越好

比《数学3》中“回归”增加的内容
数学3——统计 1. 画散点图 2. 了解最小二乘法的 思想 3. 求回归直线方程 y=bx+a 4. 用回归直线方程解 决应用问题 选修1-2——统计案例 5. 引入线性回归模型 y=bx+a+e 6. 了解模型中随机误差项e产生 的原因 7. 了解相关指数 R2 和模型拟合 的效果之间的关系 8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类非 线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果


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