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运用三角函数巧解定值问题


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" ( " 绝对值与最值 例 #! 当 ) 为何值时,# ) % # # % # ) % ! # % # ) 并求出最小值 ! % $ # 的值最小, 解 从数轴上看, 即是求到点 ’ #,’ !,’ $ 的 距离的和为最小时的点 ) , 不难尝试出 ) " ’ ! 时, 其 最值为最小, 且最小值为 ! ! 已知 ($&*+ 是一个五位自然数, 其中 ( , 且 ( , $ , & , *, 求# (’ $, &, *, + 为阿拉伯数码, $ # % # $ ’ & # % # & ’ * # % # * ’ + # 的最大值 ! 解 求值式 "( $ ’ ()%( & ’ $ )%( * ’ &)% ! # * ’ + # " * ’ ( % # * ’ + #(!) 当 * " + 时, ( !) 式 " !* ’ ( ’ + ! 由题设可得 # # ( # $ % # # & % # # * 且 ( , $, 例 #$ 注意到三角形任何两边之和大于第三边 !

中学数学杂志 (初中) !%%$ 年第 ( 期 ( !) &, *, + 均不大于 " ! 此时 * " ", ( " #, + " % 时, 式取得最大值为 #& ! 当 * , + 时, ( !) 式 " + ’ ( # " ’ # " ’ , #& ! 故 # ( ’ $ #%# $ ’ & #%# & ’ * #%# * ’ + # 的 最大值为 #& ! #% 绝对值与求和 例 #( # ( $ % #) ( 已知 # ($ % # # % # ( % # # " %,求和: # … % ( % ( $ % !) % ( ’ #)

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运用三角函数
湖北省武汉市第三初级中学
三角学的特点是建立边与角的函数关系, 在动 态几何中的定值问题体现了变与不变的辩证思想, 我们可以运用三角函数解决一类几何定值问题 ! 该 方法是在图形运动中, 选取适当的角和三角函数, 将 有关线段进行表示, 使一些复杂的线段关系简单化、 具体化, 达到顺利求解的目的 ! # 直接运用三角函数的定义 例# 证明: 内接于定圆的所有腰长为 ( 的等腰

巧解定值问题
($%%)% 桂文通

梯形如何变化, 腰 ./ 是圆内定长 ( ()的弦, 所以它 所对的圆周角! 也就是确定不变的值 ! 说明: 将线段的比转化为正切函数, 再利用弦不 变, 它所对的圆周角不变确定定值 !

梯形的高与中位线的长度之比为定值 (第 * !! 届全 苏数学奥林匹克竞赛题) 分析与解 观察图形在变化过程中, 分析等腰 图# 图! 梯形的高与中位线的比值, 由什么不变量确定的 * 如 图 #, 设圆内接等腰梯形是 -./0 , 过 -0 " /. " ( , / 引 /1 $ -. 于 1 * 显然, -1 的长即等腰梯形中位线 /1 即可 * 的长, 所以, 只考虑 -1 /1 设 % /-1 " !, 则 只要! 是定值, 那 " +,!, -1 这一点不难判定, 因为不论等腰 么 +,! 也就定值了, 例 ! ./ 是过已知 & 2 内的定点 - 的任意一条 弦, 过点 . 、 求证: 点 - 到两切 / 分别作此圆的切线, 线的距离的倒数和为一定值 ! 分析与解 如图 !, 设点 - 到两切线的距离分 别为 -3 、 过点 - 作在特殊位置的弦 — — — 直径 -4 , 则此点 - 到此弦两端所作切线的距离分别为 56 , 由于点 - 为定点, 故 -5 、 -5 、 -6 , -6 为定长 !

中学数学杂志 (初中) "((& 年第 ’ 期 从而 !’ , 所以, 只需证明 ! "* ! , # % !( !) !& ? !’ 则 ! + % !, 设 ! !&( % ! ’!) % !, ! ! "$ , 而 !" ? !$ % !& ? # % !" !$ !" ? !$

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过 !、 求证: +, + 任作一圆交 ! &!’ 的两边于 & 、 ’, !& # !’ 为定值 , 分析与解 在问题中不变的量有定角 ! &!’ 在 $ !&+ 和线段 !+ 的长 , 设 ! &!+ % ! ’!+ % !, 和 $ !+’ 中, 由余弦定理得, &+" % !&" # !+" 5 " !& ? !+ *+# !, ’+" % !’" # !+" 5 " !’ ? !+ *+# !, " " " 即 !& 5 " !&? !+ *+# ! # !+ 5 &+ % (
" " !’" 5 " !’ ? !+ *+# ! # !+ 5 ’+ % ( 因为 &+ % ’+ ,

所以 !( % !& #$% !) % !’ #$% !、 !, ! ! &’ !& # &’ 所以 % % # % !( !) !& ? !’ #$% ! !& ? !’ #$% ! "* , !& ? !’ 例& 如图 &, 在直角坐标系中, (’、 、 ("、 & ") ’ , 点 - 从 ’ 点出发, 以 ! 个单位 . 秒的速度沿 / 轴 () 正方向运动, 点 0 从 1 点出发, 以 " 个单位 . 秒的速 度沿 2 轴正方向运动, 以 &- 为直径 " + 交 / 轴于 ! 求证 点, 连结 !0 交 " + 于点 " , - 点在 ! 点的左侧, !" ? !0 为定值 ,("((" 年武汉市中考试题) 分析与解 很显然可以通过极端化猜想定值, 当 -、 即 -、 0 两点没有运动时, 0 分别在 ’ 、 1 两点 时, !" ? !0 % !’ ? !1 % " 3 ’ % ) , 设 -、 则 10 % " 4 、 0 两点运动的时间为 4 秒, !连结 &" 、 作 &6 # !" 于点 6 , -" , % " 5 4, 所 以 "& % &- #$%! &-" % &- #$%! &!" % &- #$%! 10! , 所 以 "6 % "& *+#! &"! % "& *+#! &-! % &- #$%! 10! ? *+#! &-! % &- #$%! 10! ? !- #$%! 10! , 又因为 !6 % !& *+#! &!" % "*+#! 10! , !% &-

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所以 根 据 !、 !& 、 !’ 可 看 成 方 程 /" 5 ", " " " !+ *+# ! / # !+ 5 &+ % ( 的两根 , 由根与系数关系 得 !& # !’ % " !+ *+# !,(定值) 例 - 如图 -, !& 是定圆 的一定直径, ’ 是 !& 上一定 点, 过点 ’ 任作弦 +- , 设 !+ 和 !- 的延长线分别交此圆 过点 & 的切线于点 0 、 求 6, 证: &0 ? &6 为一定值 , 分析 与 解 设 ! 0!& 图又设 % !,则 ! 0 % .(/ 5 ! % ! !&+ % ! !-6 ; 则 ! 6 % .(/ 5 " % ! -!& % ! !+’ , ! 6!& % ", !& #$% ! , 因为 &0 % (.(/ 5 !) #$% !& #$% " , &6 % (.(/ 5 ") #$% 所以 &0 ? &6 !&" #$% !? #$% " , (.(/ 5 !) (.(/ 5 ") ? #$% #$% 又在 $ !’+ 和 $ !-’ 中, 分别由正弦定理得 #$%! +!’ #$% ’+ , % % ( ! ) !’ #$%! !+’ #$% .(/ 5 " ’#$%! ’!#$% , % % ( " ) !’ #$%! ’-! #$% .(/ 5 ! ’+ ’!’ ? &’ 所以 &0?&6 % !&"? ? % !&"? !’ ? !’ !’ !’ &’ , % !&" ? (定值) !’ 说明: 根据问题的结构特征, 正确地运用正弦和 % 余弦定理, 巧妙地建立变量和不变量间的关系 ,

图& 所 以 !" % "6 # !6 %

图’

!- #$%! 10! # ’ "4 ) ? "*+#! 10! %(" 5 4 ) , # "? % !0 !0 !0 所以 !" ? !0 % ) , 说明: 以上两例, 关键在选取适当的三角函数, 建立有关线段与特定角的函数模型, 运用解直角三 角形的方法使问题得到解决 , " 运用与三角函数有关的两个重要定理 例’ 如图 ’, 在定角 ! &!’ 的角平线上一定点

运用三角函数巧解定值问题
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 桂文通 湖北省武汉市第三初级中学,430050 中学数学杂志(初中版) ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(CHUZHONGBAN) 2003,""(4) 0次

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