当前位置:首页 >> 数学 >>

椭圆中焦点三角形的性质(含答案)


专题 1:椭圆中焦点三角形的性质及应用 例 3.已知椭圆 性质一:证明:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为 2

b2 a

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上. 若 P、 F1 、 F2 是一个直角 16 9
) D.

三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( A.

x2 y2 性 质 二 : 已知椭圆 方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 两 焦 点分别 为 F1 , F2 , 设焦 点三 角形 PF 1 F2 中 a b

9 5

B.

9 7 7

C.

9 4

9 9 7 或 4 7

?F1PF2 ? ? , 则 S ?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

例 4. 已知 F1 、 F2 是椭圆 .

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,椭圆上一点 P 使 ?F1 PF2 ? 90? ,求 a2 b2

椭圆离心率 e 的取值范围。

x2 y2 性 质三 : 已知椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 中 a b

?F1 PF2 ? ? , 则 cos? ? 1 ? 2e 2 .

练习题: 1. 椭圆

y2 x2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ F1 PF2 的面积为( 49 24
B. 22 C. 28 D. 24



A. 20 例 1:若 P 是椭圆 积.

x2 y2 ? ? 1 上的一点, F1 、 F2 是其焦点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,求△ F1 PF2 的面 100 64

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 F1 、F2 , P 是椭圆上一点,当△ F1 PF2 的面积为 1 时,PF 2. 椭圆 1 ? PF 2 4
的值为( A. 0 ) B. 1 C. 3 D. 6

例 2.已知 P 是椭圆

PF1 ? PF2 x2 y2 1 ? ? 1 上的点, F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 ? , 25 9 | PF1 | ? | PF2 | 2
)A. 3 3 B. 2 3 C.

3. 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点,当△ F1 PF2 的面积 4
) C. 4 D.

则△ F1 PF2 的面积为(

3

D.

3 3

最大时, PF 1 ? PF 2 的值为( A. 0 4.已知椭圆 B. 2

?2

x2 ? y 2 ? 1 ( a >1)的两个焦点为 F1 、 F2 ,P 为椭圆上一点, 2 a

1

且 ?F1 PF2 ? 60? ,则 | PF 1 | ? | PF2 | 的值为( A.1 B.



1 3

C.

4 3

D.

2 3

5.如图所示,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标 2 等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3

5. 已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴, F1 、 F2 为焦点,点 P 在椭圆上, 直线 PF 2 倾斜角的差为 90 ? ,△ F 1 PF2 的面积是 20,离心率为 1 与 PF 求椭圆的标准方程.

5 , 3

专题 2:离心率求法: 1.若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为( A. 2 2 B. 3 2 C. 5 3 ) D. 6 3 性质二 证明:记 | PF 1 |? r 1 , | PF 2 |? r2 , 由椭圆的第一定义得 r1 ? r2 ? 2a,? (r1 ? r2 ) ? 4a .
2 2

椭圆中焦点三角形的性质及应用(答案) y P

2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. 4 5 3 B. 5 2 C. 5 ) 1 D. 5 在△ F1 PF2 中,由余弦定理得: r1 ? r2 ? 2r1r2 cos? ? (2c) 2 .
2 2

F1

O

F2

x

配方得: (r1 ? r2 ) ? 2r1r2 ? 2r1r2 cos? ? 4c .
2 2

即 4a ? 2r1r2 (1 ? cos? ) ? 4c .
2 2

3.若椭圆的短轴长为 6,焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1,则椭圆的离心率为________.

4.已知 A 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一个动点,直线 AB、AC 分别过焦点 F1、 F2,且与椭圆交于 B、

x2 y2 a b

2(a 2 ? c 2 ) 2b 2 ? r1 r2 ? ? . 1 ? cos? 1 ? cos?
由任意三角形的面积公式得:

C 两点,若当 AC 垂直于 x 轴时,恰好有|AF1|∶|AF2|=3∶1,
求该椭圆的离心率.

S ?F1PF2 ?

1 sin ? r1 r2 sin ? ? b 2 ? ? b2 ? 2 1 ? cos?

2 sin

2 ? b 2 ? tan? . ? 2 2 cos2 2 2

?

cos

?

2

? S ?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

.

例 2.解:设 ?F1 PF2 ? ? ,则 cos? ?

PF1 ? PF2 | PF1 | ? | PF2 |

?

1 ,? ? ? 60 ?. 2

y2 x2 同理可证,在椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)中,公式仍然成立. a b
性质三 证明:设 PF 1 ?r 1 , PF 2 ? r2 , 则在 ?F 1 PF 2 中,由余弦定理得:

? S ?F1PF2 ? b 2 tan
故选答案 A.

?
2

? 9 tan 30? ? 3 3.

例 3.解:若 F1 或 F2 是直角顶点,则点 P 到 x 轴的距离为半通径的长
2 P 到 x 轴的距离为 h,则 S ?F1PF2 ? b tan

cos? ?

r12 ? r22 ? F1 F2 (r ? r ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 2a 2 ? 2c 2 ? 1 2 ? ?1 2r1r2 2r1r2 2r1r2
? 2a 2 ? 2c 2 2a 2 ? 2c 2 ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2e 2 . r1 ? r2 2 2a 2 2( ) 2
命题得证。

2

b2 9 ? ;若 P 是直角顶点,设点 a 4
1 ? ( 2c ) ? h ? 7 h, 2

?
2

? 9 tan 45? ? 9 ,又 S ?F1PF2 ?

? 7h ? 9 , h ?

9 7 . 故答案选 D. 7
0 2

思路一:由焦点三角形性质二, cos90 ? 1 ? 2e .

x2 y2 ? ? 1 中, a ? 10, b ? 8, c ? 6, 而 ? ? 60?. 例 1.解法一:在椭圆 100 64
记 | PF 1 |? r 1 , | PF2 |? r2 .

?

2 ≤ e <1 2

思路二:利用焦点三角形性质⑴,从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为 B
2 2 则 S ?F1PF2 ? b tan45? ? b ≤ S ?F1BF2 ?

? 点 P 在椭圆上,

? 由椭圆的第一定义得: r1 ? r2 ? 2a ? 20.
在△ F1 PF2 中,由余弦定理得: r1 ? r2 ? 2r1r2 cos? ? (2c) 2 .
2 2

1 ? 2c ? b ? bc 2
1 c2 ≥ ,故 2 2 a

配方,得: (r1 ? r2 ) ? 3r1r2 ? 144.
2

? b ≤ c ? b 2 ≤ c2 ? a2 ? c2 ≤ c2 ? e2 ?

2 ≤ e <1 2

? 400 ? 3r1r2 ? 144. 从而 r1 r2 ?
S ?F1PF2 ?

256 . 3

练习题:
2 2 1. 解: ?F1 PF2 ? ? ? 90?, b ? 24 ,? S ?F1PF2 ? b tan

1 1 256 3 64 3 r1r2 sin ? ? ? ? ? . 2 2 3 2 3

?
2

? 24 tan 45? ? 24 .

x2 y2 ? ? 1 中, b 2 ? 64 ,而 ? ? 60?. 解法二:在椭圆 100 64
? S ?F1PF2 64 3 ? b tan ? 64 tan30? ? . 2 3
2

故答案选 D.
2 2. 解:设 ?F1 PF2 ? ? ,? S ?F1PF2 ? b tan

?
2

? tan

?
2

? 1,

?

?

?
2

? 45?, ? ? 90? , PF 1 ? PF 2 ? 0.

故答案选 A.
3

2 3. 解: a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,设 ?F1 PF2 ? ? ,? S ?F1PF2 ? b tan

?
2

? tan

?
2

, 1.解析: 选 A.如图所示, 四边形 B1F2B2F1 为正方形, 则△B2OF2 腰直角三角形, ∴ = 为 等

? 当△ F1 PF2 的面积最大时, ? 为最大,这时点 P 为椭圆短轴的端点, ? ? 120 ? ,
2 ? PF ? ? ?2 . 1 ? PF 2 ?| PF 1 | ? | PF 2 | cos? ? a cos120

c a

2 . 2
2 2 2

故答案选 D. 4. 解: ?F1 PF2 ? ? ? 60? , b ? 1 , S ?F1PF2

2.解析:选 B.由题意知 2b=a+c,又 b =a -c ,

3 , ? b tan ? tan30? ? 2 3
2

?

∴4(a -c )=a +c +2ac. ∴3a -2ac-5c =0.∴5c +2ac-3a =0. 3 2 ∴5e +2e-3=0.∴e= 或 e=-1(舍去). 5 3.解析:依题意,得 b=3,a-c=1. 又 a =b +c ,解得 a=5,c=4,
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

又? S ?F1PF2

1 3 ? | PF1 | ? | PF2 | sin ? ? | PF1 | ? | PF2 | , 2 4

4 3 3 ,从而 | PF1 | ? | PF2 |? . | PF1 | ? | PF2 |? ? 3 4 3
故答案选 C. 5. 解:设 ?F1 PF2 ? ? ,则 ? ? 90? . ? S ?F1PF2 ? b tan
2

c 4 4 ∴椭圆的离心率为 e= = . 答案: a 5 5
4.解:设|AF2|=m,则|AF1|=3m,

?
2

? b tan 45? ? b ? 20 ,
2 2

∴2a=|AF1|+|AF2|=4m. 又在 Rt△AF1F2 中, |F1F2|= |AF1| -|AF2| =2 2m. 2c |F1F2| 2 2m 2 ∴e= = = = . 2a 2a 4m 2 5. 解:法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a、b、c.则焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),M 2 点的坐标为(c, b), 3
2 2

c a2 ? b2 5 又? e ? ? , ? a a 3
b2 5 20 5 ? 1 ? 2 ? ,即 1 ? 2 ? . 9 9 a a
2 解得: a ? 45 .

? 所求椭圆的标准方程为

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ? 1. 45 20 45 20

则△MF1F2 为直角三角形. 在 Rt△MF1F2 中, |F1F2| +|MF2| =|MF1| , 4 2 2 2 即 4c + b =|MF1| . 9 而|MF1|+|MF2|=
2 2 2 2 2

4 2 2 2 4c + b + b=2a, 9 3
2 2 2

整理得 3c =3a -2ab.又 c =a -b , 离心率求法:
4

b 4 所以 3b=2a.所以 2= . a 9

2

∴e = 2=

2

c2 a2-b2 b2 5 =1- 2= , 2 a a a 9

∴e=

5 . 3

法二:设椭圆方程为

x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2
2 c 4b 则 M(c, b).代入椭圆方程,得 2+ 2=1, 3 a 9b
2 2

c 5 c 5 5 所以 2= ,所以 = ,即 e= . a 9 a 3 3

2

5


相关文章:
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)_数学_高中教育_教育专区。专题 1:椭圆中焦点三角形的性质及应用 例 3.已知椭圆 性质一:证明:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于...
高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用
高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用_数学_高中教育_教育专区。高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称...
椭圆中的焦点三角形及求离心率问题(含答案)
椭圆中的焦点三角形及求离心率问题(含答案) - 椭圆中的焦点三角形及求离心率问题 x2 y2 1、若椭圆方程为 4 + 3 =1,∠PF1F2=90° ,试求△PF1F2 的...
椭圆中与焦点三角形有关的问题
? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,椭圆上一 a2 b2 点 P 使 ?F1 PF2 ? 90? ,求椭圆离心率 e 的取值范围。 思路:由焦点三角形性质二, cos90 ? 1 ?...
高二数学椭圆中焦点三角形的性质及应用
高二数学椭圆中焦点三角形的性质及应用 - 2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。 性质一:已知椭圆方程...
圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质
圆锥曲线焦点三角形,探求其所具有共同特征的性质应该是一件非常有意义事情.在对文献进行分 析、研究基础,文章主要是结合高中数学课程要求,对椭圆焦点三角...
专题:椭圆的焦点三角形
专题:椭圆的焦点三角形 - 椭圆的焦点三角形 一 知识梳理 定义:椭圆(双曲线)上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形;有一个角为直角的焦点 三角形叫焦点直角...
椭圆焦点三角形的性质
椭圆焦点三角形的性质_高三数学_数学_高中教育_教育专区。本文档重点介绍了椭圆的定义,焦点三角形的性质,适合高三一轮复习使用 椭圆的焦点三角形基础再现:已知椭圆 ...
解析几何学案(五)椭圆中焦点三角形的性质及应用
前言:焦点三角形,又称“魅力三角形”,其定义为:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称 1 营口开发区第一高中高二数学学案(五)专题:椭圆中焦点三角形的性质及...
椭圆中焦点三角形的拓展结论
LbB 数学精品讲稿 专题:椭圆中焦点三角形的性质及应用前言:焦点三角形,又称“魅力三角形”,其定义为:椭圆上任意一点与两焦点所构成的 三角形称为焦点三角形。 ...
更多相关标签: