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2015届高考数学一轮复习课时作业:28 数列求和


课时提升作业(二十八)数 列 求 和
(45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014·温州模拟)已知数列{an}的通项公式是 an=2n-3 为( A.380C.420【解析】选 C.由 an=2n-3 得 S20=2(1+2+3+?+20)-3 , ) B.400D.440,则其前 20 项和

=2×

/>
-3×

=420-

.

2.(2014·成都模拟)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 的前 5 项和为( A. C. 或5 ) B. D. 或5

【解析】选 C.设等比数列的公比为 q, 则当公比 q=1 时,由 a1=1 得,9S3=9×3=27, 而 S6=6,两者不相等,故不合题意. 所以 q≠1,又 a1=1,9S3=S6, 所以 9× = ,解之得 q=2,

所以

的前 5 项和为 1+ + + +

=

.

3. 已 知 定 义 在 (0,1) 上 的 函 数 f(x), 对 任 意 m,n ∈ (1,+ ∞ ) 且 m<n 时 , 都 有 f -f =f .记 an=f ,n∈N ,则在数列{an}中,a1+a2+?+a8=(
*

)

-1-

A.f

B.f

C.f

D.f

【解析】选 B.an=f =f =f -f , -f .故选 B. + +?+ 的结

所以 a1+a2+?+a8=f =f =f

4.(2014·西安模拟)若数列{an}为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn= 果可化为( A.1C. ) B.1D.

【解析】选 C.an=2 ,设 bn= 则 Tn=b1+b2+b3+?+bn

n-1

=

,

= +

+?+

=
n

. )

5.数列{an}的通项公式 an=2[n-(-1) ],设此数列的前 n 项和为 Sn,则 S10-S21+S100 的值是( A.9746 B.4873 C.9736 D.9748

【解析】选 A.当 n 为奇数时,an=2(n+1);当 n 为偶数时,an=2(n-1), 故有 S10= S21= S100= ×5+ ×11+ ×50+ ×5=60+50=110, ×10=464, ×50=10100.

故 S10-S21+S100=9746. 【方法技巧】数列求和的思路 (1)等差数列和等比数列的前 n 项和公式是求和的基础;一般数列的求和问题往往通过变形整 理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减 法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.
-2-

(2)观察数列的特点是变形的基础 .给定的数列有其自身的特点和规律 ,根据数列的特点和规 律选择合适的方法变形是解题的突破口. 6.若数列{an}满足 =d(n∈N ,d 为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列 )
*

为“调和数列”,且 b1+b2+?+b9=90,则 b4·b6 的最大值是( A.10 B.100 C.200 为“调和数列”, D.400

【解析】选 B.因为正项数列 所以 bn+1-bn=d(n∈N ,d 为常数), 即数列{bn}为等差数列. 由 b1+b2+?+b9=90 得 即 b1+b9=20, 所以 b4+b6=b1+b9=20,又 bn>0,
*

=90,

所以 b4·b6≤

=100,

当且仅当 b4=b6 时等号成立. 因此 b4·b6 的最大值是 100. 7.(能力挑战题)数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -1,则 A.(2 -1) C.4 -1
n n 2 n

+

+

+?+

等于(

)

B. (2 -1) D. (4 -1)
n-1 n

n

2

【解析】选 D.an=Sn-Sn-1=2 (n>1),又 a1=S1=1=2 ,适合上式,所以 an=2 (n∈N ),所以{ =1,q=2 的等比数列,由求和公式得
2

0

n-1

*

}是

+

+

+?+

=

= (4 -1).

n

8.已知数列 2008,2009,1,-2008,-2009,?,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的 前后两项之和,则这个数列的前 2015 项之和 S2015 等于( A.2008 B.2010 C.1 D.0 )

【解析】选 C.由已知得 an=an-1+an+1(n≥2), 所以 an+1=an-an-1. 故数列的前 8 项依次为 2008,2009,1,-2008, -2009,-1,2008,2009.
-3-

由此可知数列为周期数列,其周期为 6,且 S6=0. 因为 2015=6×335+5. 所以 S2015=S5 =2008+2009+1+(-2008)+(-2009)=1. 【加固训练】 数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1) (n∈N ),则 S100= 【解析】由 an+2-an=1+(-1) , 知 a2k+2-a2k=2,a2k+1-a2k-1=0, 所以 a1=a3=a5=?=a2n-1=1, 数列{a2k}是等差数列,a2k=2k. 所以 S100=(a1+a3+a5+?+a99)+(a2+a4+a6+?+a100) =50+(2+4+6+?+100) =50+ 答案:2600 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.(2014 ·广州模拟 ) 若已知数列的前四项是 为 . , , , , 则数列前 n 项和 =2600.
n n *

.

【解析】因为通项 an= = ,

所以此数列的前 n 项和 Sn= = = 答案: 【误区警示】利用裂项相消法求和时的注意点 (1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差. (2) 在正负项抵消后 , 是否只剩下了第一项和最后一项 , 或有时前面剩下两项 ,后面也剩下两 . + + +?+ +

-4-

项. 10.对正整数 n,若曲线 y=x (1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,则数列 前 n 项和为 .
n-1 n n



【解析】由题意,得 y′=nx -(n+1)x , 故曲线 y=x (1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n×2 -(n+1)2 , 切点为(2,-2 ), 所以切线方程为 y+2 =k(x-2). 令 x=0 得 an=(n+1)2 ,即 则数列 答案:2 -2 11.在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值(n∈N ),且 a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an} 的前 100 项的和 S100= .
* n+1 n n n n n-1 n

=2 ,
2 3 n n+1

n

的前 n 项和为 2+2 +2 +?+2 =2 -2.

【解析】设定值为 M,则 an+an+1+an+2=M,进而 an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得 an+3=an,即数列{an} 是以 3 为周期的数列.由 a7=2,可知 a1=a4=a7=?=a100=2,共 34 项,其和为 68;由 a9=3,可得 a3=a6=? =a99=3,共 33 项,其和为 99;由 a98=4,可得 a2=a5=?=a98=4,共 33 项,其和为 132.故数列{an}的前 100 项的和 S100=68+99+132=299. 答案:299 12.对于一切实数 x,令[x]为不大于 x 的最大整数,则函数 f(x)=[x]称为高斯函数或取整函数. 计算 f(-0.3)+f(1)+f(1.3)= 若 an=f
*

. .

,n∈N ,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S3n=

【解析】由题意 f(-0.3)+f(1)+f(1.3)=-1+1+1=1; S3n=f f f +f +f +f +f +f +f +?+f + +

=0+0+1+1+1+2+2+2+3+?+(n-1)+(n-1)+n =3(1+2+3+?+n-1)+n =3· +n

-5-

= 答案:1

.

三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.(2013·湖南高考)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N . (1)求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式. (2)求数列{nan}的前 n 项和. 【思路点拨】(1)本题是利用递推关系 an= 求数列的通项公式. (2)根据第(1)问可知应利用错位相减法求数列前 n 项和. 【解析】(1)令 n=1,得 2a1-a1= ,因为 a1≠0,所以 a1=1,
*

令 n=2,得 2a2-1=S2=1+a2,解得 a2=2.当 n≥2 时,由 2an-1=Sn, 2an-1-1=Sn-1, 两式相减 , 整理得 an=2an-1, 于是数列 {an} 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列 , 所 以,an=2 . (2)由(1)知 nan=n2 ,记其前 n 项和为 Tn,于是 Tn=1+2×2+3×2 +?+n×2
2 3 2 n-1 n-1 n-1

①,
n

2Tn=1×2+2×2 +3×2 +?+n×2
2 n-1

②,
n n n

①-②得-Tn=1+2+2 +?+2 -n×2 =2 -1-n×2 , 从而 Tn=1+(n-1)·2 . 【加固训练】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn=n ,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1)=b1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)设 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【解析】(1)a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =n -(n-1)
2 2 2 n

=2n-1,a1 适合上式, 所以 an=2n-1,n∈N .
-6*

因为 b1=a1=1,b2= 又{bn}为等比数列, 所以其公比 q= 所以 bn= (2)cn=an·bn= = ,

= ,

,n∈N . . , + . ① .②

*

所以 Tn=1+ + + +?+ 所以 Tn= + + + +?+

①-②,得 Tn=1+1+ + +?+ =3,所以 Tn=6-

14.(2013·浙江高考)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an. (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|. 【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2) , d -3d-4=0, 解得 d=-1 或 d=4, 所以 an=-n+11 或 an=4n+6. (2)设数列{an}前 n 项和为 Sn, 因为 d<0,所以 d=-1,an=-n+11,则 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=Sn =- n +
2 2 2

n;

n≥12 时,|a1|+|a2|+?+|a11|+|a12|+?+|an|=a1+a2+?+a11-a12-?-an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11= n 2

n+110.

综上所述,|a1|+|a2|+?+|an|

=

【方法技巧】求数列{|an|}的前 n 项和,可分为以下情形
-7-

(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就相当于数列{an},可以直接求解. (2)等差数列 {an}中 ,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都 为负数,可把数列{an}分成两段处理. (3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把 数列分成两段处理. 15.(能力挑战题)(2014·绍兴模拟)已知等比数列{an}的首项为 1,公比 q≠1,Sn 为其前 n 项 和,a1,a2,a3 分别为某等差数列的第一、第二、第四项. (1)求 an 和 Sn. (2)设 bn=log2an+1,数列 的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< .

【解析】(1)因为 a1,a2,a3 为某等差数列的第一、第二、第四项, 所以 a3-a2=2(a2-a1), 所以 a1q -a1q=2(a1q-a1), 因为 a1=1,所以 q -3q+2=0, 因为 q≠1,所以 q=2, 所以 an=a1q =2 , Sn= =
n n-1 n-1 2 2

=2 -1.

n

(2)由(1)知 an+1=2 , 所以 bn=log2an+1=log22 =n. 所以 所以 Tn= + + = + +?+ + = + .
n

= = 【加固训练】 < .

-8-

已知数列{an}满足 a1=3,an+1-3an=3 (n∈N ),数列{bn}满足 bn=3 an. (1)求证:数列{bn}是等差数列. (2)设 Sn= + + +?+
-n

n

*

-n

,求满足不等式
n

<

< 的所有正整数 n 的值.

【解析】(1)由 bn=3 an 得 an=3 bn, 则 an+1=3 bn+1. 代入 an+1-3an=3 中,得 3 bn+1-3 bn=3 , 即得 bn+1-bn= . 所以数列{bn}是等差数列. (2)因为数列{bn}是首项为 b1=3 a1=1,公差为 的等差数列, 则 bn=1+ (n-1)=
n -1 n n+1 n+1 n n+1

,
n-1

则 an=3 bn=(n+2)×3 , 从而有 故 Sn=
2

=3 , + +
n-1

n-1

+?+ = , < < . .

=1+3+3 +?+3 = 则 由 = <
n

= < ,得

即 3<3 <127,得 1<n≤4. 故满足不等式 < < 的所有正整数 n 的值为 2,3,4.

-9-


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