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3.4.2对数的运算


对数的运算
呼市二中亚光

复习上节内容 定义: 一般地,如果 的b次幂等于N, 就是
a ?a ? 0 , a ? 1?

a

b

? N ,那么数 b叫做
log
a

以a为底 N的对数,记作

N ?b

a叫做对数的底数,N叫做真数。

复习上节内容 有关性质: ⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵ log a 1 ? 0 , log a a ? 1 ⑶对数恒等式

a

log

a

N

? N

复习上节内容 ⑷常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log 10 N 简记作lgN。 ⑸自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。 为了简便,N的自然对数 log
e

N 简记作lnN。

(6)底数a的取值范围: ( 0 ,1) ? (1, ?? )

真数N的取值范围 : ( 0 , ?? )

新授内容: 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:
log a (MN) ? log a M ? log a N M log a ? log a M ? log a N N n log a M ? nlog a M(n ? R) (1 ) (2) (3)

为了证明以上公式,请同学们 回顾一下指数运算法则 :
a
m

?a
m

n

? a ? a

m?n

(m , n ? R )

(a

)

n

mn

(m , n ? R )
n

( ab )

n

? a

n

? b (n ? R )

证明:①设

log

a

M ? p,

log

a

N ? q,
p

由对数的定义可以得:M ? a ,
p q

N ? a

q

a ? a ? a p ? q ? log a MN ? p ? q ∴MN=
即证得
log a (MN) ? log a M ? log a N (1 )

证明:②设

log

a

M ? p,

log

a

N ? q,
p

由对数的定义可以得:M ? a , ∴
M N ?

N ? a
M N

q

a a

p q

? a

p?q

? log

a

? p?q

即证得
log
a

M N

? log a M ? log a N

(2)

证明:③设

log

a

M ? p,
p

由对数的定义可以得:M ? a , ∴

M

n

? a

np

? log

a

M

n

? np

即证得
log a M
n

? nlog a M(n ? R)

(3)

上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数 式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形; 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。
log a (MN) ? log a M ? log a N M log a ? log a M ? log a N N n log a M ? nlog a M(n ? R) (1 ) (2) (3)

①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”……

②有时逆向运用公式
③真数的取值范围必须是 ( 0 , ?? ) ④对公式容易错误记忆,要特别注意:
log a ( MN ) ? log
a

M ? log

a

N,

log

a

( M ? N ) ? log

a

M ? log

a

N

其他重要公式1:
log
m

a

N
N

n

?

n m

log

a

N

证明:设

log

n

a

m

? p,
n

由对数的定义可以得: N ∴ N
n

? (a ) ,
m p

m

? a

mp

? N ? a
N
n

p

n

? log

a

N ?

m n

p

即证得
log
a
m

?

n m

log

a

N

其他重要公式2:

log
证明:设

a

N ?

log log

c c

N a
( a , c ? ( 0 ,1) ? (1, ?? ), N ? 0 )

log

a

N ? p

由对数的定义可以得:

N ? a ,
p

? log
? p ?

c

N ? log
c c

c

a , ? log
log

p

c

N ? p log
log log
c c

c

a,

log log

N a

即证得

a

N ?

N a

这个公式叫做换底公式

其他重要公式3:
log
a

b ?

1 log
b

a
a

a , b ? ( 0 ,1) ? (1, ?? )

证明:由换底公式

log

N ?

log log

c c

N a
b b

取以b为底的对数得: log a b ?

log log

b a

? log

b

b ? 1,
log

? log

a

b ?

1 log
b

a

还可以变形,得
a

b ? log

b

a ?1

讲解范例 例1 计算 (1) log 2 ( 2 5 ? 4 7 ) 解 : log ( 2 5 ? 4 7 ) ? log 2 5 7 ? log 2 4 2 2
? log
2

2

5

? log

2

2

14

=5+14=19 (2) log 9 27

解 : log 9 27 ? log
? 3 2 3

3

2

3
3

3

log

3

?

2

讲解范例 (3) log 2 3 ? log 3 7 ? log 7 8 解 :
log
2

3 ? log

3

7 ? log

7

8

?

lg 3 lg 2

?
3

lg 7 lg 3

?

lg 8 lg 7

?

lg 2

?

lg 2 3 lg 2

lg 2

=3

讲解范例 例2 用 log
(1)log

a

x , log
xy ; z

a

y , log

a

z
a

表示下列各式:
x
2

y z

a

( 2 ) log

3

解(1)

log

xy
a

z

? log a ( xy ) ? log

a

z

? log

a

x ? log
2

a

y ? log
1

a

z
1 a

解(2) log

x
a

2

y z

3

? log a ( x y 2 ) ? log
1

z3
1 a

? log

a

x ? log
2

a

y 2 ? log

z3

? 2 log

a

x?

1 2

log

a

y?

1 3

log

a

z

讲解范例 例3计算: (1)lg 14 ? 2 lg 解法一:
lg 14 ? 2 lg ? lg 14 ? lg(
? lg 14 ? 7 7
2

7 3

? lg 7 ? lg 18

解法二:
7 3 7 3
2

? lg 7 ? lg 18 ) ? lg 7 ? lg 18
2

lg 14 ? 2 lg

7 3

? lg 7 ? lg 18

? lg( 2 ? 7 ) ? 2 lg

7 3

? lg 7 ? lg( 2 ? 3 )
? lg 2 ? lg 7 ? 2 (lg 7 ? lg 3 ) ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3 )

( ) ? 18 3 ? lg 1 ? 0

? 0

讲解范例 例3计算: (2) 解: ( 2 )
lg 243 lg 9 ? lg 3 lg 3

lg 243 lg 9
5 2

(3)

lg

27 ? lg 8 ? 3 lg lg 1 . 2

10

?

5 lg 3 2 lg 3

?

5 2
1 1 3

(3)

lg

27 ? lg 8 ? 3 lg lg 1 . 2

10

?

lg( 3 ) 2 ? lg 2 ? 3 lg( 10 ) 2
3

lg

3? 2 10

2

3 ? 2

(lg 3 ? 2 lg 2 ? 1 ) lg 3 ? 2 lg 2 ? 1

?

3 2

练习 1.求下列各式的值: (1) log 2 6 ? log 2 3 (2) lg 5 ? lg 2 (3) log 5 3 ? log
5

? log

6
2

? log
? lg 10

3

2

2
?1

?1

? lg( 5 ? 2 )

1 3

? log 5 ( 3 ?
? log 5
3

1 3

) ? log 5 1 ? 0
3
?1

(4) log 3 5 ? log 3 15

15

? log

3

? ?1

练习 2. 用lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) lg( xyz ) =lgx+lgy+lgz; (2) lg (3) lg

xy z

2

=lgx+2lgy-lgz;
3

xy

=lgx+3lgy-

1 2

lgz;

z
(4) lg
x y z
2

?

1 2

lg x ? 2 lg y ? lg z

小结 : 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:
log a (MN) ? log a M ? log a N M log a ? log a M ? log a N N n log a M ? nlog a M(n ? R) (1 ) (2) (3)

其他重要公式:

log

a

m

N

n

?

n m

log

a

N

log
log

a

N ?
b ? log

log log
b

c c

N a

( a , c ? ( 0 ,1) ? (1, ?? ), N ? 0 ) a , b ? ( 0 ,1) ? (1, ?? )

a

a ?1


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