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2015届高考一轮复习课时提升作业(人教A版数学理):3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数


课时提升作业(十七) 一、选择题 1.(2013?银川模拟)已知命题 p:“sinα =sinβ ,且 cosα =cosβ ”,命题 q:“α =β ”,则命题 p 是命题 q 的 ( (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2.(2013 ?南平模拟 )若 cos α =( ) (B)±2 3 (D)-2 3 )

3 , 且角α 的终边经过点 P(x,2), 则 P 点的横坐标 x 是 2

(A)2 3 (C)-2 2

3.若α =m?360°+θ ,β =n?360°-θ (m,n∈Z),则α ,β 终边的位置关 系是 ( (A)重合 (C)关于 x 轴对称 (B)关于原点对称 (D)关于 y 轴对称
2 2

)

4.(2013? 漳州模拟)点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x +y =1 逆时针方向运动 点的坐标为( )

2? 到达 P′点,则 P′ 3

1 3 , ) 2 2 1 3 ? ) ? C ? (? , 2 2

? A ? (?

3 1 , ? ) 2 2 3 1 ? D ? (? , ) 2 2

? B ? (?

5.若一扇形的圆心角为 72°,半径为 20cm,则扇形的面积为 ( (A)40π cm (C)40 cm
2 2

)

(B)80π cm

2

(D)80 cm

2

6.若角α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 (A)-2 (B)2

sin? 1 ? sin 2?

?

1 ? cos 2? 的值等于 ( cos?

)

-1-

(C)-2 或 2
2

(D)0 )

7.已知 sinx=2cosx,则 sin x+1= (

?A?

6 5

? B?

9 5

?C?

4 3

? D?

5 3

8.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度 数为 ( )

2? ?C? 3 ?D? 2 3 7 1 ? tan? 9.已知 sinα +cosα = ,0<α <π ,则 = ( ) 13 1 ? tan? 15 15 17 17 ?A? ? B? ? ?C? ? ? D? 7 7 7 7 ? ? 10.( 能力挑战题 ) 已知角 α 的终边上一点的坐标为 (sin ,cos ), 则角 α 的最小正值为 6 6

?A?

? 3

? B?

(

)

?A?

11? 6

? B?

5? 6

?C?

? 3

? D?

? 6

二、填空题 11.(2013?厦门模拟)若角θ 的终边在射线 y=-2x(x<0)上,则 cosθ = .

12.在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角α ,β ,它们的终边都在第一象限内, 并且分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A 点的纵坐标为 = ,tanβ = . .

10 2 ,B 点的纵坐标为 , 则 tanα 10 10

13.若函数 f(x)= ?

? 4 ??cos?x,x>0, 则 f(- )的值为 3 ? ?f ? x ? 1? ? 1,x ? 0,

14.(2013?枣庄模拟)已知 tanα =三、解答题

3 ,α 是第二象限角,则 sinα -cosα 的值为 4

.

15.(能力挑战题)已知角α 终边经过点 P(x,- 2 )(x≠0),且 cosα = sinα +

3 x.求 6

1 的值. tan?

答案解析

-2-

1.【思路点拨】先验证 p 能否推出 q,再判断 q 能否推出 p. 【解析】选 A.若“sinα=sinβ,且 cosα=cosβ”,则α=β+2kπ(k∈Z) ,未必有“α=β ”; 反之,若“α=β”,必定有“sinα=sinβ,且 cosα=cosβ”,即 p 与 q 满足 p 以命题 p 是命题 q 的必要不充分条件. q 但 q ? p, 所

?
2.【解析】选 D.由 cosα=-

3 <0,又点(x,2)在α的终边上,故角α为第二象限角,故 x<0. 2

? r ? x 2 ? 4,?
2 2 2

x x2 ? 4

??

3 , 2

∴4x =3x +12,∴x =12,∴x=-2 3 或 x=2 3 (舍). 3.【解析】选 C.由已知得,α的终边与θ终边相同,而β的终边与-θ的终边相同,θ与-θ关于 x 轴对称,故α,β终边关于 x 轴对称. 4.【解析】选 A.如图所示, 由题意可知∠POP′= ∴∠MOP′=

2? , 3

? , 3

∴OM=

1 3 ,MP′= , 2 2 1 3 , ). 2 2

∴P′(故选 A.

2? , 5 1 2? 2 1 2 2 ∴S 扇形= αR = × ×20 =80π(cm ). 2 2 5
5.【解析】选 B.72°= 6.【解析】选 D.原式=

sin? sin? ? , cos? cos?

由题意知角α的终边在第二、四象限, sinα与 cosα的符号相反,所以原式=0. 7.【思路点拨】由 sinx=2cosx 可得 tanx,将所求式子弦化切代入求解. 【解析】选 B.由 sinx=2cosx 得 tanx=2, 而 sin x+1=2sin x+cos x=
2 2 2

2sin 2 x ? cos 2 x sin 2 x ? cos 2 x
-3-

?

2tan 2 x ? 1 2 ? 4 ? 1 9 ? 2 ? . tan 2 x ? 1 2 ?1 5

8. 【解析】选 C. 由题意可知 , 圆内接正三角形边长 a 与圆的半径之间关系为 a= 3 r, ∴

??

a 3r ? ? 3. r r
7 2 是不够的,还要运用 sin 13

9. 【思路点拨】 把 sinα,cosα看成两个未知数,仅有 sinα+cosα=
2

α+cos α=1 组成一个方程组,解出 sinα,cosα的值,然后弦化切代入求解即可. 【解析】选 C.由条件结合平方关系式可得

?sin 2 ? ? cos 2? ? 1, ? ? 7 ?sin? ? cos? ? . 13 ?
7 ? sin? ? cos? ? , ? ? 13 可得 ? 又∵0<α<π, 60 ?sin?cos? ? ? . ? 169 ?
12 5 , cos? ? ? , 13 13 12 1 ? (? ) 12 1 ? tan? 5 ? ? 17 . 故 tan? ? ? .? ? 5 1 ? tan? 1 ? (? 12 ) 7 5
∴sinα>0,cosα<0,解得 sin? ? 【一题多解】本题还可用如下解法:sinα+cosα=

7 两边平方可得: 13

49 , 169 120 , 所以 2sinαcosα= ? 169
1+2sinαcosα= 故(sinα-cosα) =1-2sinαcosα= 因 0<α<π,且 sinα+cosα=
2

289 . 169

7 ,则α 必为钝角(否则值大于等于 1), 13 17 故 sinα-cosα>0,sinα-cosα= . 13 17 ? 1 ? tan? cos? ? sin? 17 则有 ? ? 13 ? ? . 7 1 ? tan? cos? ? sin? 7 13

-4-

10.【解析】选 C.∵sin

? ? >0,cos >0, 6 6

∴角α的终边在第一象限,

? 3 cos y 6 ? 2 ? 3, ∴ tan? ? ? 1 x sin ? 6 2 ? ∴角α的最小正值为 . 3
11.【解析】由已知得角的终边落在第二象限, 故可设角终边上一点 P(-1,2),则 r =(-1) +2 =5,∴r= 5,
2 2 2

此时 cos? ?

?1 5 ?? . 5 5

答案: ?

5 5
1 1 , . sinβ= 10 5 2
1 7 3 ,同理可得 cosβ= ,因此 tanα= , 3 5 2 10

12.【解析】由条件得 sinα=

∵α为锐角,∴cosα>0 且 cosα=

1 . 7 1 答案: 3
tanβ=

1 7 4 4 )=f(- +1)+1 3 3

13.【解析】由已 知得 f(-

1 1 )+1=f(- +1)+2 3 3 2 =f( )+2 3 2? 1 5 =-cos +2= +2= . 3 2 2 5 答案: 2
=f(14.【解析】∵tanα= ? ∴sinα=-

3 sin? 3 ,? ?? , 4 cos? 4

3 2 2 cosα.又 sin α+cos α=1, 4
-5-

9 16 2 2 2 cos α+cos α=1,∴cos α= . 16 25 4 又α为第二象限角,∴cosα=- , 5 3 ∴sinα= , 5 3 4 7 ∴sinα-cosα= ? ? . 5 5 5 7 答案: 5
∴ 15.【思路点拨】利用三角函数定义先确定 P 到原点的距离 r,再代入三角函数公式可解. 【解析】∵P(x,- 2 )(x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x 2 ? 2, 又 cosα=

3 x, 6

∴cosα=

x x ?2
2

?

3 x. 6

∵x≠0,? x ? ? 10,?r ? 2 3. 当 x= 10 时,P 点坐标为( 10 ,- 2 ), 由三角函数的定义,有 sin? ? ?

6 1 , ? ? 5, 6 tan?

? sin? ?

1 6 6 5? 6 ?? ? 5?? ; tan? 6 6 1 6 5? 6 当x ? ? 10时,同理可求得sin? ? ? . tan? 6

【变式备选】已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0),求α的三角函数值. 【解析】因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0),所以, r= 5 |a|,x=a,y=2a, 当 a>0 时,sinα=

y 2a 2a 2 5 ? ? ? ; r 5 5a 5a

cosα=

x a 5 tanα=2 . ? ? ; r 5 5a

-6-

当 a<0 时,sinα=

y 2a 2a 2 5 ? ? ?? ; r 5 5 a ? 5a

cosα=

x a 5 tanα=2. ? ?? ; r ? 5a 5
2 5 5 cosα= , , 5 5

综上,角α的三角函数值为 sinα=

tanα=2 或 sinα=-

2 5 5 cosα=tanα=2 , , 5 5

-7-


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