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三角函数高考题及练习题(含答案)


三角函数高考题及练习题(含答案)
1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数 及余弦函数的图象;掌握函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及性质. 2. 高考试题中,三角函数题相对比较传统,位置靠前,通常是以简单题形式出现,因 此在本讲复习中要注重三角知识的基础性, 特别是要熟练掌握三角函数的定义、 三角函数图 象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等). 3. 三角函数是每年高考的必考内容,多数为基础题,难度属中档偏易.这几年的高考 加强了对三角函数定义、 图象和性质的考查. 在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特 殊方法,如函数法、待定系数法、数形结合法等.

π 1. 函数 y=2sin2?x- ?-1 是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”) 4? ? 函数. 答案:π 奇 π 解析:y=-cos?2x- ?=-sin2x. 2? ? 2. 函数 f(x)=lgx-sinx 的零点个数为________. 答案:3 解析:在(0,+∞)内作出函数 y=lgx、y=sinx 的图象,即可得到答案. π π 3. 函数 y=2sin(3x+φ),?|φ|< ?的一条对称轴为 x= ,则 φ=________. 12 2 ? ? π 答案: 4 π π π π 解析:由已知可得 3× +φ=kπ+ ,k∈Z,即 φ=kπ+ ,k∈Z.因为|φ|< ,所 12 2 4 2 π 以 φ= . 4 π 4. 若 f(x)=2sinω x(0<ω<1)在区间?0, ?上的最大值是 2,则 ω=________. 3? ? 3 答案: 4 π ωπ π π 解析:由 0≤x≤ ,得 0≤ωx≤ < ,则 f(x)在?0, ?上单调递增,且在这个区间 3 3 3 3? ? ωπ ωπ π ωπ π 3 上的最大值是 2,所以 2sin = 2,且 0< < ,所以 = ,解得 ω= . 3 3 3 3 4 4

题型二 三角函数定义及应用问题 例 1 设函数 f(θ)= 3sinθ +cosθ ,其中角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非 负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ≤π . 1 3 (1) 若点 P 的坐标是? , ?,求 f(θ)的值; ?2 2 ? ?x+y≥1, (2) 若点 P(x,y)为平面区域?x≤1,

?

? ?y≤1

上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求

函数 f(θ)的最小值和最大值.

解:(1) 根据三角函数定义得 sinθ=

3 1 ,cosθ= ,∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义 2 2

π 及角的范围得角 θ= ,从而求出 f(θ)=2). 3 π π (2) 在直角坐标系中画出可行域知 0≤θ≤ ,又 f(θ)= 3sinθ+cosθ=2sin?θ+ ?, 2 6? ? π ∴ 当 θ=0,f(θ)min=1;当 θ= ,f(θ)max=2. 3 (注: 注意条件,使用三角函数的定义, 一般情况下,研究三角函数的周期、最值、 单调性及有关计算等问题时,常可以先将函数化简变形为 y=Asin(ωx+φ)的形式) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β,它们的终边分别 2 2 5 与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为 、 .求: 10 5 (1) tan(α+β)的值; (2) α+2β 的值.

π 2 2 5 ,cos β= ,α、β∈?0, ?,所以 sin α= 1-cos2α 10 5 2? ? 7 2 5 = ,sin β= 1-cos2β= , 10 5 1 因此 tan α=7,tan β= . 2 1 7+ 2 tanα+tanβ (1) tan(α+β)= = =-3. 1 1-tanαtanβ 1-7× 2 1 -3+ 2 (2) tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]= =-1. 1 1-(-3)× 2 3π 3π 又α+2β∈?0, ?,所以 α+2β= . 4 2 ? ? 题型二 三角函数的图象与解析式问题 例 2 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 是常数,A>0,ω >0)的部分图象如图所示. (1) 求 f(0)的值; π (2) 若 0<φ<π ,求函数 f(x)在区间?0, ?上的取值范围. 3? ? 解:由题意得 cos α=

解:(1)由题图可知 A= 2,

7π 3π T 7π π π = - = ,∴ ω=2.又 2× +φ=2kπ+ , 4 12 3 4 12 2 π ∴ φ=2kπ+ (k∈Z), 3 π 6 ∴ f(0)= 2sin?2kπ+ ?= . 3? 2 ? π π π π π (2) φ = , f(x) = 2 sin ?2x+ ? . 因 为 0≤x≤ , 所 以 ≤ 2x + ≤ π , 所 以 3 3 3 3 3? ? π 0≤sin?2x+ ?≤1,即 f(x)的取值范围为[0, 2]. 3? ? (注:本题主要考查正弦、余弦、正切函数及 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质以及诱导公 式,运用数形结合思想,属于中档题) ∵ 已知函数 f(x)=Asin ωx+Bcos ω x(A、B、ω 是常数,ω >0)的最小正周期为 2,并且 1 当 x= 时,f(x)max=2. 3 (1) 求 f(x)的解析式; 21 23? (2) 在闭区间? ? 4 , 4 ?上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果 不存在,请说明理由. 2π 解:(1) 因为 f(x)= A2+B2sin(ωx+φ),由它的最小正周期为 2,知 =2,ω=π. ω π π 1 1 又当 x= 时,f(x)max=2,知 π+φ=2kπ+ (k∈Z),即 φ=2kπ+ (k∈Z),所以 f(x)= 3 3 2 6 π π 2sin?πx+2kπ+ ?=2sin?πx+ ?(k∈Z). 6? 6? ? ? π 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?πx+ ?. 6? ? (2) 当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称 π π 1 21 1 23 59 65 轴,令πx+ =kπ+ (k∈Z),解得 x=k+ (k∈Z),由 ≤k+ ≤ ,解得 ≤k≤ . 6 2 3 4 3 4 12 12 21 23 16 ? 又 k∈Z,知 k=5,由此可知在闭区间? ? 4 , 4 ?上存在 f(x)的对称轴,其方程为 x= 3 . 题型三 三角函数的性质与图象的移动问题 例 3 把函数 f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位(m>0), 17π 所得函数的图象关于直线 x= 对称. 8 (1) 求 m 的最小值; 17π 15π ? (2) 证明: 当 x∈?- 时, 经过函数 f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为 ,- 8 8 ? ? 负数; (3) 设 x1,x2∈(0,π ),x1≠x2,且 f(x1)=f(x2)=1,求 x1+x2 的值. 1-cos2x 1+cos2x (1) 解:f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x= -sin2x+3· =cos2x-sin2x 2 2 π +2= 2cos?2x+ ?+2. 4? ? π 因为将 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位(m>0), 得到 g(x)= 2?2(x+m)+ ?+2 4? ? 17π 的图象,又 g(x)的图象关于直线 x= 对称, 8

所以 2?

(2k-9) 17π ? π π(k∈Z). 4 ? 8 +m?+ 4 =kπ,即 m=

π 因为 m>0,所以 m 的最小值为 . 4 π 7π 17π 15π? (2) 证 明 : 因 为 x∈ ?- , 所 以 - 4 π <2x + < - , 所 以 f(x) 在 ,- 4 2 8 8 ? ? ?-17π,-15π? 上是减函数.所以当 x 、 x ∈ ?-17π,-15π? ,且 x <x 时,都有 1 2 1 2 8 8 ? 8 8 ? ? ? f(x1)-f(x2) f(x1)>f(x2),从而经过任意两点(x1,f(x1))和(x2,f(x2))的直线的斜率 k= <0. x1-x2 π 2 (3) 解:令 f(x)=1,所以 cos?2x+ ?=- . 2 4? ? π π 9π 因为 x∈(0,π),所以 2x+ ∈? , ?. 4 ?4 4 ? π 3π π 5π π π 所以 2x+ = 或 2x+ = ,即 x= 或 x= . 4 4 4 4 4 2 π π 3π 因为 x1、x2∈(0,π),x1≠x2,且 f(x1)=f(x2)=1,所以 x1+x2= + = 4 2 4 已知函数 f(x)=2sinω x,其中常数ω >0. π 2π (1) 若 y=f(x)在?- , ?上单调递增,求 ω 的取值范围; 3 ? ? 4 π (2) 令 ω=2,将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函 6 数 y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R 且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零点, 在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b-a 的最小值. π π - ω≥- 4 2 解:(1) 因为 ω>0,根据题意有 2π π ω≤ 3 2 3 ? 0<ω≤ . 4 π π π (2) f(x)=2sin2x, g(x)=2sin2?x+ ?+1=2sin?2x+ ?+1, g(x)=0 ? sin?2x+ ?=- 6? 3? 3? ? ? ? π π 2π 1 7 ? x=kπ- 或 x=kπ- π,k∈Z, 即 g(x)的零点相邻间隔依次为 和 ,故若 y= 2 3 12 3 3 2π π 43π g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零点,则 b-a 的最小值为 14× +15× = . 3 3 3 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π ,ω >0)为偶函数,且函 π 数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 π (1) 求 f? ?的值; ?8? π (2) 将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x) 6 的单调递减区间. 3 1 解 : (1) f(x) = 3 sin(ωx + φ) - cos(ωx + φ) = 2 ? sin(ωx+φ)- cos(ωx+φ)? = 2 ?2 ? π 2sin?ωx+φ- ?.因为 f(x)为偶函数,所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, 6? ?

? ? ?

π π 因此 sin?-ωx+φ- ?=sin?ωx+φ- ?, 6? 6? ? ? π π π π 即-sinωxcos?φ- ?+cosωxsin?φ- ?=sinωxcos(φ- )+cosωxsin?φ- ?, 6 6? 6? 6? ? ? ? π 整理得 sinωxcos?φ- ?=0.因为 ω>0,且 x∈R, 6? ? π π π 所以 cos?φ- ?=0.又 0<φ<π,故 φ- = . 6 2 6 ? ? 2π π π 所以 f(x)=2sin?ωx+ ?=2cosωx.由题意得 =2× ,所以 ω=2,故 f(x)=2cos2x, 2 2? ? ω π π 因此 f? ?=2cos = 2. 4 ?8? π π π (2) 将 f(x)的图象向右平移 个单位后,得到 f?x- ?的图象,所以 g(x)=f?x- ?= 6 6? 6? ? ? π π π π 2cos?2?x- ??=2cos?2x- ?.当 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z),即 kπ+ ≤x≤kπ+ 3 6 6 ?? 3? ? ? ? 2π π 2 π (k∈Z)时,g(x)单调递减,因此 g(x)的单调递减区间为?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z). 3 6 3 ? ? 题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用 π 例 4 已知函数 f(x)=2sin2? +x?- 3cos2x-1,x∈R. ?4 ? (1) 求 f(x)的最小正周期; π (2) 若 h(x)=f(x+t)的图象关于点?- ,0?对称,且 t∈(0,π ),求 t 的值; ? 6 ? π π (3) 当 x∈? , ?时,不等式|f(x)-m|<3 恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2? π π 解:(1)因为 f(x)=-cos? +2x?- 3cos2x=2sin?2x- ?,故 f(x)的最小正周期为π. 3? ?2 ? ? π π π π (2) h(x)=2sin?2x+2t- ?.令 2×?- ?+2t- =kπ(k∈Z),又 t∈(0,π),故 t= 3 3 3? ? ? 6? 5π 或 . 6 π π 2π π π (3) 当 x∈? , ?时,2x- ∈? , ?, 3 ?6 3 ? ?4 2? ∴ f(x)∈[1,2].又|f(x)-m|<3,即 f(x)-3<m<f(x)+3, ∴ 2-3<m<1+3,即-1<m<4. π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0,|φ |<π ),在同一周期内,当 x= 时,f(x) 12 7 取得最大值 3;当 x= π 时,f(x)取得最小值-3. 12 (1) 求函数 f(x)的解析式; (2) 求函数 f(x)的单调递减区间; π π (3) 若 x∈?- , ?时,函数 h(x)=2f(x)+1-m 有两个零点,求实数 m 的取值范围. ? 3 6? 2π π 7 解:(1) 由题意,A=3,T=2? π- ?=π,ω= =2. T 12? ?12 π π π 由 2× +φ= +2kπ得 φ= +2kπ,k∈Z. 12 2 3 π π 又 -π<φ<π,∴ φ= ,∴ f(x)=3sin?2x+ ?. 3 3? ?

π π 3π π 7π π (2) 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,得 +2kπ≤2x≤ +2kπ,即 +kπ≤x≤ 2 3 2 6 6 12 7π +kπ,k∈Z. 12 π 7π ∴ 函数 f(x)的单调递减区间为? +kπ, +kπ?,k∈Z. 12 ?12 ? m - 1 π π π (3) 由题意知,方程 sin?2x+ ?= 在?- , ?上有两个根. 6 3? ? ? 3 6? π π π π 2π ∵ x∈?- , ?,∴ 2x+ ∈?- , ?. 3 ? 3 3 ? ? 3 6? m-1 ? 3 ∴ ∈ - ,1?,∴ m∈[1-3 3,7). 6 ? 2 ?

1. (2013·江西卷)设 f(x)= 3sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的 取值范围是________. 答案:a≥2 π 解析:f(x)= 3sin3x+cos3x=2sin?3x+ ?,|f(x)|≤2,所以 a≥2. 6? ? π π 2. (2013· 天津卷)函数 f(x)=sin?2x- ?在区间?0, ?上的最小值是________. 4? 2? ? ? 2 答案:- 2 π 3. (2013· 全国卷)函数 y=cos(2x+φ)(-π ≤φ <π )的图象向右平移 个单位后,与函数 2 π y=sin?2x+ ?的图象重合,则|φ|=________. 3? ? 5π 答案: 6 4. (2014· 北京卷)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 是常数,A>0,ω >0).若 f(x)在区 π π π 2π π 间? , ?上具有单调性,且 f? ?=f? ?=-f? ?,则 f(x)的最小正周期为________. ?6 2? ?2? ? 3 ? ?6? 答案:π π π π π 解析:由 f(x)在区间? , ?上具有单调性,f? ?=-f? ?知,函数 f(x)的对称中心为 ?6 2? ?2? ?6? ?π,0?,函数 f(x)的对称轴为直线 x=1?π+2π?=7π,设函数 f(x)的最小正周期为 T,所 2? 2 3 ? 12 ?3 ? π π 2π 7π π T 1 以 T≥ - ,即 T≥ ,所以 - = ,解得 T=π. 2 2 6 3 12 3 4 1 5. (2014· 福建卷)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)- . 2 π 2 (1) 若 0<α< ,且 sinα = ,求 f(α)的值; 2 2 (2) 求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 2 解:(解法 1)(1) 因为 0<α< ,sinα= ,所以 cosα= . 2 2 2 2 2 2 1 1 所以 f(α)= ? + ?- = . 2?2 2? 2 2 1+cos2x 1 1 1 1 1 2 (2) 因 为 f(x) = sinxcosx + cos2x - = sin2x + - = sin2x + cos2x = 2 2 2 2 2 2 2

2π π π π 3π π sin?2x+ ?,所以 T= =π.由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x 2 2 4 2 8 4? ? π 3π π ≤kπ+ ,k∈Z.所以 f(x)的单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 8 8 8? ? 1+cos2x 1 1 1 1 1 2 ( 解 法 2)f(x) = sinxcosx + cos2x - = sin2x + - = sin2x + cos2x = 2 2 2 2 2 2 2 π sin?2x+ ?. 4? ? π π 2 (1) 因为 0<α< ,sinα= ,所以 α= . 2 2 4 π 2 2 3π 1 从而 f(α)= sin?2α+ ?= sin = . 2 4 2 4? 2 ? 2π (2) T= =π. 2 π π π 3π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.所以 f(x) 2 4 2 8 8 3 π π 的单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 8 8? ? 1 6. (2013· 北京卷)已知函数 f(x)=(2cos2x-1)sin2x+ cos4x. 2 (1) 求 f(x)的最小正周期及最大值; π 2 (2) 若 α∈? ,π ?,且 f(α)= ,求 α 的值. 2 ?2 ? 1 1 1 解:(1) 因为 f(x)=(2cos2x-1)sin2x+ cos4x=cos2xsin2x+ cos4x= (sin4x+cos4x)= 2 2 2 π π 2 ? 2 sin 4x+ ?,所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 2 4? ? π 2 (2) 因为 f(α)= ,所以 sin?4α+ ?=1. 2 4? ? π π 9π 17π? 因为 α∈? ,π?,所以 4α+ ∈? , , 4 2 4 ? ? ? ? 4 π 5π 9π 所以 4α+ = ,故 α= . 4 2 16

(本题模拟高考评分标准,满分 14 分) π 设 a>0,函数 f(x)=asinxcosx-sinx-cosx,x∈?0, ?的最大值为 G(A). 2? ? π (1) 设 t=sinx+cosx,x∈?0, ?,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t); 2? ? (2) 求 G(A). π 解:(1) t=sinx+cosx= 2sin?x+ ?. 4? ? π π 3π π ∵ x∈?0, ?,∴ x+ ∈? , ?, 4 ?4 2? 4 ? ? π 2 ∴ ≤sin?x+ ?≤1, 2 4? ? ∴ 1≤t≤ 2,即 t 的取值范围为[1, 2].(3 分) π (另解:∵ x∈?0, ?,∴ t=sinx+cosx= 1+sin2x.由 2x∈[0,π]得 0≤sin2x≤1, 2? ? ∴ 1≤t≤ 2)

t2-1 ∵ t=sinx+cosx,∴ sinxcosx= ,(5 分) 2 2 t -1 1 1 ∴ m(t)=a· -t= at2-t- a,t∈[1, 2],a>0.(7 分) 2 2 2 (2) 由二次函数的图象与性质得: 1 1+ 2 1 ① 当 < ,即 a>2( 2-1)时,G(A)=m( 2)= a- 2; (10 分) a 2 2 1 1+ 2 ② 当 ≥ ,即 0<a≤2( 2-1)时,G(A)=m(1)=- 2.(13 分) a 2 1 ? ?2a- 2,a>2( 2-1), ∴ G(A)=? (14 分)

?- 2,0<a≤2( 2-1). ?

π π 1. 若 <x< ,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为________. 4 2 答案:-8 -4t3(t+ 2)(t- 2) 2t4 解析:令 tanx=t∈(1,+∞),y= , y ′ (t) = ,得 t= 2时 1-t2 (1-t2)2 y 取最大值-8. 2. 已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x,求: π (1) f? ?的值; ?3? (2) f(x)的最大值和最小值. 2π π π 3 1 解:(1) f? ?=2cos +sin2 =-1+ =- . 3 3 4 4 ?3? (2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1,x∈R.因为 cosx∈[-1,1],所以当 cosx =± 1 时,f(x)取最大值 2;当 cosx=0 时,f(x)取最小值-1. 2π 3. 已知 A 为△ABC 的内角,求 y=cos2A+cos2? +A?的取值范围. ? 3 ? 2π 1+cos2? +A? 3 1 + cos2A ? ? 2 π 解: y=cos2A+cos2? +A?= + 2 2 ? 3 ? 4π cos2A 1? 4π =1+ + cos cos2A-sin sin2A? 2 2? 3 3 ? π 1?1 1 3 =1+ cos2A+ sin2A?=1+ cos?2A- ?. 2?2 2 ? 3? 2 ? ∵ A 为三角形内角, π ∴ 0<A<π,∴ -1≤cos?2A- ?≤1, 3? ? 2 π 1 3 ∴ y=cos2A+cos2? +A?的取值范围是[ , ]. 2 2 3 ? ? x x 4. 设函数 f(x)=-cos2x-4tsin cos +4t3+t2-3t+4,x∈R,其中|t|≤1,将 f(x)的最小 2 2 值记为 g(t). (1) 求 g(t)的表达式; (2) 讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. x x 解:(1) f(x)=-cos2x-4tsin cos +4t3+t2-3t+4 2 2 2 3 2 =sin x-2tsinx+4t +t -3t+3 =(sinx-t)2+4t3-3t+3. 由于(sinx-t)2≥0,|t|≤1,故当 sinx=t 时,f(x)达到其最小值 g(t),即 g(t)=4t3-3t+3.

(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1),-1<t<1. 列表如下: 1 ?1,1? 2 ?2 ? 0 0 g′(t) + - + ?Z ?] ?Z g(t) 极大值 极小值 1? ?1 ? ? 1 1? 由此可见,g(t)在区间? ?-1,-2?和?2,1?上单调增,在区间?-2,2?上单调减,极小 1? ? 1? 值为 g? ?2?=2,极大值为 g?-2?=4. t -

?-1,-1? 2? ?

1 2

?-1,1? ? 2 2?


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