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2016初等数论教学大纲


黔南民族幼儿师范高等专科学校

数学教育专业
《初等数论》课程

教 学 大 纲
执笔人: 审定人: 批准人: 基教系
2016 年 7 月

《初等数论》课程教学大纲
一、课程简介 课程定位与目标: 初等数论是研究整数最基本性质的课程,数学教育专业一 门十分重要的专业课, 它与小学数学有着十分紧密的联系, 通过本门课程的学习, 使学生系统掌握整数的基本性质,掌握研究整数的一些初等方法,并将这些知识 应用到小学数学中去。 先修课程:高等代数 选用的教材版本: 闵嗣鹤, 严士健主编, 初等数论第三版, 高等教育出版社, 2003,7. 课程主要内容:整数的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式与平 方剩余 课程教学方法:讲授法为主,注意联系初等数学中数论部分竞赛知识。 考核方案:闭卷:采用百分制,33 分及以上为合格。采用平时考查与期末闭卷书 面考核相结合的方式进行,平时成绩占 40 分,期末闭卷书面考试占 60 分。

二、理论课程教学大纲 (一)课程的性质、目的和任务 1.课程的性质:专业课。 2.课程的目的和任务 目的:通过本门课程的学习,使学生系统掌握整数的基本性质,掌握研究整 数的一些初等方法,并将这些知识应用到小学数学中去。 任务:使学生掌握整数最基本的性质、算数基本定理、同余的概念与性质; 掌握 n 元一次不定方程与商高不定方程的求解方法与公式; 掌握欧氏定理与费马 小定理的应用及欧拉函数的计算、掌握一次同余方程组的求法及孙子定理, (二)总学时与学分数 总学时数:54 学分数:3 (三)课程基本内容、要求、重难点、建议 第一章:整数的可除性 1.1 整除的概念、整除的性质、带余数除法;

1.2 最大公因数、辗转相除法; 1.3 整数的进一步性质及最小公倍数; 1. 4 质数、算数基本定理及其应用; 1. 5 函数[X]、{X}}及其在数论中中的应用 教学要求:通过本章的学习,使学生掌握带余除法,最小公因数与最大公倍 数的概念及其求法; 掌握质数的概念及其性质;能熟练应用算数基本定理解决整 数中的有关问题;理解函数[X]、{X}的概念 本章重点:整除的基本性质、最大公因数与最小公倍数的性质及其应用、质 数的性质及算数基本定理的应用; 本章难点:质数的性质及算数基本定理的应用 教学建议:联系高等代数多项式理论中的一些理论进行讲授 第二章 不定方程 2.1 二元一次不定方程 二元一次不定方程的判定条件及其求解公式 2.2 多元一次不定方程 多元一次不定方程判定条件及其求解公式 2.3 勾股数 商高不定方程及其求解公式、性质 2.4 费马大定理的介绍 教学要求: 要求学生掌握求解 n 元一次不定方程及 n 元一次不定方程组;掌 握商高不定方程的求解公式;理解商高不定方程求解公式的指导思想 教学重点: 求解 n 元一次不定方程及 n 元一次不定方程组、商高不定方程的 求解方法 教学难点:商高不定方程的求解公式的指导思想 教学建议:联系中小学数学中不定方程的问题进行教学 第三章 同余 3.1 同余的概念及性质 同余的概念、性质、简单应用 3.2 剩余类与完全剩余系 剩余类与完全剩余系的概念及其性质

3. 3 简化剩余系与欧拉函数 简化剩余系及其性质、欧拉函数及其性质、计算 3.4 欧拉定理、费马定理及其应用 教学要求:要求学生掌握同余的概念及其性质、理解完全剩余系与简化剩余 系的概念、掌握欧拉函数的计算。 教学重点:同余的概念及其性质、欧拉函数的计算、欧拉定理的应用 教学难点:欧拉定理与费马定理的应用 教学建议:结合实际问题讲授同余的概念与性质 第四章 同余式 4.1 基本概念及一次同余式 同余式基本概念、一次同余式有解的充要条件、求解方法 4.2 孙子定理 孙子定理及其应用 4.3 高次同余式的解数与解法 4.4 质数模的同余式 质数模的同余式的简化与解法 教学要求: 通过本章的学习, 使学生掌握一次同余式的求解方法与求解公式, 掌握孙子定理及其应用,理解高次同余式的解法 教学重点:一次同余式的解法与孙子定理的应用 教学难点:孙子定理的应用与高次同余式的解法 教学建议:结合中小学数论问题,讲授孙子定理的应用 第五章 5.1 一般二次同余式 一般二次同余式的概念与简化 5.2 单质数的平方剩余与平方非剩余 概念、欧拉判别法、性质 5.3 勒朗得符号 概念、性质、计算 5.4 质数模的二次同余式 二次同余式与平方剩余

同余式的性质、质数模的二次同余式的解法 5.5 雅克比符号 5.6 合数模的性质 教学要求:掌握平方剩余的概念与性质,掌握勒朗得符号的计算,了解二次 同余式的解法。 教学重点:平方剩余的概念与性质、勒朗得符号的计算 教学难点:计算勒朗得符号公式的证明、二次同余式的解法 教学建议:结合前几章的知识、方法,讲授本章内容 (四)学时分配表 序号 1 2 3 4 5 教学内容 整数的可除性 不定方程 同余
同余式

学时 10 14 10 10 10 54

讲课学时 8 12 10 10 10 50

实践或实验学时 2 2

二次同余式与平方剩余 合 计

4

(五)参考书目 [1] 潘承洞、潘承彪主编,初等数论第二版,北京大学出版社,2003 年 1 月 [2 ]柯召,孙琦主编,数论讲义第二版,高等教育出版社,2001 年 1 月 三、考试大纲 考试目的:检验学生所学知识,查漏补缺 考核方法:闭卷考试:采用百分制,33 分及以上为合格。采用平时考查与期末闭 卷书面考核相结合的方式进行,平时成绩占 40 分,期末闭卷书面考试占 60 分。 主要考试内容:不定方程的解法、整数的性质、同余方程、同余式 考试分数分配:考题包括填空题、计算题、解答题、证明题,其中填空题约占 10 分;计算题占 40 分;解答题占 30 分;证明题占 20 分。

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