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高三数学文科解析几何讲义——抛物线


抛物线
标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

y
图形

y 2 ? ?2 px ( p ? 0) y

x 2 ? 2 py ( p ? 0)

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

y F

y
O

O
范围 焦点 准线 焦半径 对称轴 顶点 离心率

? F

x

? F O
x≤0 , y?R
? p ? ? ? ,0? ? 2 ? p x? 2

?
F
O

x

?

x

x
y ≤0 , x?R
p? ? ? 0, ? ? 2? ? p y? 2

x≥0 , y?R
?p ? ? ,0? ?2 ? p x?? 2

y ≥0 , x?R
? p? ? 0, ? ? 2? p y?? 2

PF ? x0 ?

p 2

PF ? ? x0 ?

p 2

PF ? y0 ?

p 2

PF ? ? y0 ?

p 2

x轴

y轴

? 0, 0 ?
e ?1

p 的几何意义: 焦准距(焦点到准线的距离) 通径(垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段) 2p(过焦点最短的弦) : 一.抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(定点 F 不在 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线 的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线 注:当定点 F 在定直线 l 上时,动点的轨迹是过点 F 与直线 l 垂直的直线。 三.位置关系 4.焦点弦: 已知 AB 是过抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点的弦,F 为抛物线的焦点, A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则
2

(1) y1 ? y 2 ? ? p ,x1 ? x 2 ?
2

p2 4

(2) | AB |? x1 ? x2 ? p ? (3) S ?ABC

2p (? 为直线AB的倾斜角); sin 2 ?

1 p2 ? p y1 ? y 2 ? 4 2 sin ?

(4)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

【例】设圆 C 与圆 x ? ( y ? 3) ? 1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为(
2 2

)

A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 二.抛物线的方程及性质 【例 1】求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: ⑴过点 P ? ?3, 2 ? ; ⑵焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上; 1 ⑶准线方程是 x=- 4

⑷顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M ? ?3, m ? 到焦点的距离等于 5 ; ⑸顶点在原点,对称轴为 x 轴且截直线 2 x ? y ? 1 ? 0 所得弦长为 15 . ⑹过抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 A,B 两点,且|AB|=6.
2

【例 2】⑴已知抛物线的标准方程为 2 y ? 5 x ? 0 ,则它的焦点坐标为________,准线方程为________
2

⑵已知抛物线顶点在原点,焦点在 x 轴上,又知抛物线上一点 A(4,m)到准线距离为 6,则 m=_______. ⑶抛物线 y ? ?

1 2 x 的焦点坐标为________ 2
2

⑷设点 F(2,0),动点 P 到 y 轴的距离为 d,求满足条件|PF|-d=2 的点 P 的轨迹方程 【例】 ⑴已知正方形的一条边 AB 在直线 y=x+4 上,顶点 C、D 在抛物线 y ? x 上,求该正方形的边长. ⑵已知抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得的弦长为 3,求
2

p 的值

四.最值问题
2 【例】⑴已知抛物线 y ? 2 x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求 PA ? PF 的最小值,并求出

取最小值时点 P 的坐标
2 ⑵已知抛物线 y ? 2 x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(2,3),求 PA ? PF 的最小值,并求出

取最小值时点 P 的坐标 ⑶已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的一个动点, 求点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值
2

⑷已知 l1 :4x-3y+6=0 和 l 2 :x=-1,求抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 l 2 的距离之和的最小值
2

【习题】 1. 抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为 (
2

)

A. 2
2.
2

B. 3

C. 4

D. 5
)

抛物线 y ? ? x 的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是(

4 A. 3
3.
2

7 B. 3

8 C. 5

D. 3

设抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点为 F,点 A(0,2),若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离 为________

4. 5.

已知过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,AF=2,则 BF=________
2

抛物线 y ? 4 x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离是______
2

6.

x2 y2 已知椭圆 ? ? 1 的右焦点为 F2 ,在 y 轴正半轴上的顶点为 B2 ,求分别以 F2 , B2 为焦点的抛物线标准方程 16 9
及其准线方程

7. 8. 9.

设抛物线 y ? mx 的准线与直线 x=1 的距离为 3,求抛物线方程.
2

y 2 ? 2 px (p>0)有一内接直角三角形,直角顶点在原点,一直角边的方程是 y=2x,斜边长是 5,求此抛物线方程
顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y=2x+1 交于 P、Q 两点,已知 PQ= 15 ,求抛物线的方程

10. 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点.若 P(2,2)为 AB 的中点, 求抛物线 C 的方程 11. 已知△ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为 A(0,0),B(6,0),顶点 C 在曲线 y ? x ? 3 上运动,求△ABC 重心的轨迹
2

方程 12. 抛物线 x2=4y 的焦点为 F, 过点(0, -1)作直线交抛物线于不同两点 A、 以 AF、 为邻边作平行四边形 FARB, B, BF 求顶点 R 的轨迹方程


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