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2.概率的统计定义、古典概型


随机试验

样本空间

子集

随机事件

必然事件,不可能事件是两个特殊的 随机事件

从某种意义上说: 随机事件
所以:随机事件之间的关系

等价于

集合

等价于

集合之间的关系

随机事件间的关系及运算
复杂事件由简单事件运算构成 1. 和事件:A+B; 2. 积事件:AB; 3. 差事件:A-B; 4. 对立事件:A ; 5. 互不相溶:A I B ? ? ;

事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有

(1) 交换律
(2) 结合律

A U B = B U A, AB = BA.
( A U B) UC = A U ( B UC ),

( AB)C = A( BC ).
(3) 分配律 A I ( B U C ) = ( A I B) U (A I C ) = AB U AC, A I ( B-C ) = AB-AC
( A I B) U C = ( A U C ) I ( B UC ) = ( A UC )( B UC ).
(4)对偶律 : A U B ? A I B, A I B ? A U B.

什么是随机事件的概率?
1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫得出概 率的公理化体系: 公理1: 对任意事件A,有 P(A)? 0 .

对必然事件?,有 P(?)= 1. 公理2:
有  P(U Ai )=? P(Ai ).
i ?1 i ?1 ? ?

公理3: 对可列个两两互不相溶的事件A1 ,A2, L An, L ,  

P(A)满足公理1,2,3,称为事件A的概率.

1.3

随机事件的概率(1)

一、频率的定义与性质

二、概率的统计定义
三、古典概型 四、典型例题

一、频率的定义与性质
1. 定义
在相同的条件下, 进行了 n 次试验 , 在这 n 次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发 nA 生的频数.比值 称为事件 A 发生的频率, 并记 n 成 f n ( A).

2. 性质
设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则
(1) 0 ? f n ( A) ? 1;

(2) f n (? ) ? 1, f n (? ) ? 0
( 3) 若 A1 , A2 , ?, Ak 是两两互不相容的事件 ,则 f ( A1 ? A2 ? ? ? Ak ) ? f n ( A1 ) ? f n ( A2 ) ? ? ? f n ( Ak ).

实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. n?5 n ? 50 试验 序号 nH f f nH
1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 0.4 0.6 0.2

n ? 500 f nH
0.502 0.498 0.512

1 在 处波动较小 20.2 24 0.48

随1.0 n的增大 , 频率 f 呈现出稳定性 247 0.494 25 0.50
0.4 0.8

0.44 251 22 1 在 25 处波动较大 0.50 249 2 21 0.42 256

18
27

0.36 0.54

0.502 251 波动最小 262 0.524
258 0.516

从上述数据可得

(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的
f 不一定相同;

(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅
度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.

实验者

n
2048 4040 12000 24000

nH
1061 2048 6019 12012

f

德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊

0.5181 0.5069 0.5016 0.5005

f ( H ) n的增大

1 . 2

重要结论
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的

概率.

二、概率的统计定义
1.定义1.2 在随机试验中,若事件A出现的频率m/n随 着试验次数n的增加,趋于某一常数p, 0 ? p ? 1

则定义事件A的概率为p,记作P(A)=p .
性质1.1 (概率统计定义的性质)

(1) 对任一事件A ,有 0 ? p( A) ? 1;

( 2) P (?) ? 1, P (?) ? 0;

(3) 对于两两互斥的有限多 个事件 A1 , A 2 ,?, Am , P( A1 ? A 2 ? ? ? Am ) ? P( A1 ) ? P( A 2 ) ? ? P( Am )

概率的统计定义直观地描述了事件发生 的可能性大小,反映了概率的本质内容, 但也有不足,即无法根据此定义计算某事 件的概率。

三、古典概型
1.古典概型定 义
如果一个随机试验E具有以下特征
1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点; 2、每个样本点出现的可能性相同。 则称该随机试验为古典概型。

2. 古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事 件 A 出现的概率记为:

m A中样本点的个数 P(A)? ? . n ?中样本点总数
称此为概率的古典定义.

3. 古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白 球,n个黑球的概率? 解

设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球
样本点总数为
?M ? N? ? ?, ? m?n ?

A 所包含的样本点个数为
? M ?? N ? ? M ? N ? 故 P ( A) ? ? ?? ? ? ? m n m ? n ? ?? ? ? ?

? M ?? N ? ? ?m ? ?? ?n ? ?, ? ?? ?

(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率. 解 设 A ? {前2次摸到黑球, 第三次摸到红球 }

第3次摸到红球 4种

1次摸到黑球 6种 第2

第3 2 1次摸球

10种

样本点总数为

10 ? 10 ? 10 ? 103 ,

A 所包含样本点的个数为 6 ? 6 ? 4, 6? 6? 4 ? 0.144 . 故 P ( A) ? 3 10 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位 数字互不相同的概率. 7 7

(答案: p ? P10 10 )

2o 骰子问题 概率.

掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p ? 3 63 )

4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.

3

3

3

3

4个球放到3个杯子的所有放法 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 34 种,

????? ????? ?

? 4? ? ?种 ? 2?

? 2? ? ?种 ? 2?

2个

2个

因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为

? 4 ?? 2 ? 4 2 p ? ? ?? ? 3 ? . 27 ? 2 ?? 2 ?

(2) 每个杯子只能放一个球

问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能
放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
4 p4 4 ? 3 ? 2 ?1 p? 4 ? p10 10 ? 9 ? 8 ? 7

1 ? . 210

课堂练习 1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.

(答案: 3! 33 )
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. ? 20 ?? 10 ?

(答案 : p ? ? ?? ? 36520 ) ? 10 ?? 10 ?

5. 古典概型的概率的性质 (1)对于任意事件A , 0 ? P(A) ? 1
( 2) P (?) ? 1, P (?) ? 0;
(3) 对于两两互斥的有限多 个事件 A1 , A2 ,?, Am , P ( A1 ? A2 ? ? ? Am ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? ? P ( Am )

四、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次 . (1) 设事件 A1 为" 恰有一
次出现正面" , 求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 "至少有一 次出现正面" , 求 P ( A2 ).

解 (1) 设 H 为出现正面, T 为出现反面.
则 ? ? { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}.
而 A 1 ? { HTT , THT , TTH }. 得 P ( A 1 ) ? 3 8 ,

( 2) A 2 ? { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT ,TTH }.

因此 P ( A 2 ) ? 7 8 .

例 2 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k ? D ) 件次品的概率是多少 ?

解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
?N? ? ?n ? ?种, ? ? 在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法

共有

? D ?? N ? D ? ? ?? ?种, ? k ?? n ? k ?

? D ?? N ? D ? ? N ? ? ? ?. 于是所求的概率为 p ? ? ?? ? k ?? n ? k ? ? n ?

例 1.6(分房问题) 有 n 个人,每个人都以同样的 概率 1/N 被分配在 N (n ? N ) 间房中的每一间中,试 求下列各事件的概率: (1)某指定 n 间房中各有一人 ; (2)恰有

n 间房,其中各有一人;
m(m ? n) 人。

(3) 某指定一间房中恰有

解 先求样本空间中所含样本点的个数。

首先,把 n 个人分到N间房中去共有 N n种分法,其 次,求每种情形下事件所含的样本点个数。

(a)某指定n间房中各有一人,所含样本点的个数, 即可能的的分法为 n!;
n (b)恰有n间房中各有一人,所有可能的分法为 C N n!;

(c)某指一间房中恰有m人,可能的分法为 Cnm ( N ? 1) n?m .

进而我们可以得到三种情形下事件的概率,其分别为 :
m n (1 ) ( N ? 1) n?m N n . n! N n (2) CN ? n! N n (3) Cn

上述分房问题中,若令 N ? 365, n ? 30, m ? 2 则可演化为 生日问题.全班学生30人, (1) (2) 某指定30天,每位学生生日各占一天的概率; 全班学生生日各不相同的概率;

(3)

全年某天,恰有二人在这一天同生日的概率。

利用上述结论可得到概率分别为 :

(1) 30! 365 ; (2) C
2 C ) (3) 30 ( 3 6 4

30

30 365

? 30!/ 365 ? 0.294 ;
30

(365)30

由(2)立刻得出,全班30人至少有2人生日相同 的概率等于1-0.294=0.706, 这个值大于70%。

备份题
例1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率. ? 10 ? 解 (1)总的选法种数为 n ? ? ?, ?3 ?

? 5? 最小号码为5的选法种数为 m ? ? ?, ? 2?

故小号码为5的概率为

? 5 ? ? 10 ? ? 1 . P?? ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? 12 ? 4? (2)最大号码为5的选法种数为 ? ?, ? 2? 故最大号码为5的概率为 ? 4 ? ? 10 ? ? 1 . P?? ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? 20

例2 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 ,试求每 个盒子至多有一只球的概率.
4种 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 , 共有 6 解 放法. 每个盒子中至多放一只球共有6 ? 5 ? 4 ? 3 种不同放

法. 因而所求的概率为
6? 5? 4? 3 p? 64 ? 0.2778.

例3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:

? 15 ? ? 10 ? ? 5 ? ? 15! . ? ?? ?? ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? 5! 5! 5!
(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有

? 3 ? ? 2 ? ? 1 ?? 12? ? 8 ? ? 4 ? ? ? 4? ?? ? 4? ?? ? 4? ? ? (3!?12! ) (4! 4! 4! ) 种. ?1 ? ?? ?1 ? ?? ? 1? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

因此所求概率为
25 3!?12! 15! ? . p1 ? 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91

(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有

(3 ?12! ) (2! 5! 5! ) 种, 因此所求概率为
6 3 ? 12! 15! ? . p2 ? 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91

例4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 7 4

?

7 12

周三 周四 周五 周六 周日

故一周内接待 12 次来访共有 712 种.

2 1

2

2 3

2 4

?

2 12

周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为

212 p ? 12 ? 0.0000003 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.

例5 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 解 64 个人生日各不相同的概率为
365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? 64 ? 1) p1 ? 36564

故64 个人中至少有2人生日相同的概率为
365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? 64 ? 1) ? 0.997. p ? 1? 64 365

说明

随机选取n(? 365)个人, 他们的生日各不相同的 概 率为

365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? n ? 1) p? 365n

而n个人中至少有两个人生 日相同的概率为
365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? n ? 1) p ? 1? 365n

我们利用软件包进行数值计算.


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