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二元一次不等式(组)与平面区域课件


3.3.1 二元一次不等式(组) 与平面区域

复习
?

二元一次方程——直线,如何在平面直角坐 标系快速、准确的画出某一直线的图形?

练习1:
在平面直角坐标系上画出直线3x+5y-15=0与2x+7y=0的图形。

情景引入
一家银行的信贷计划部计划年初投入2

500万元 用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带 来3万元的收益,其中从企业贷款中获利12%, 从个人贷款中获利10%,那么信贷部应该如何 分配这笔资金?

1、建立二元一次不等式(组)模型
(1)引入问题中的变量:
(2)把文字语言转化为数学符号语言: (3)抽象出数学模型:

2、二元一次不等式(组)的解集的定义
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有 序实数对(x,y),所有这样的有序实数对(x,y)构成 的集合称为二元一次不等式(组)的解集。 如,x+y<10的解集为{(x,y)|x+y-10< 0}

注:二元一次不等式(组)的解集是有序实数对,而点 的坐标也是有序实数对,因此,二元一次不等式(组) 的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.

3、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形

思考:Ax+By+C>0 (<0)的解集表示的图形:

一般地,Ax+By+C>0(<0)在 平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧 所有点组成的平面区域.
y Ax + By + C = 0

二元一次不等式Ax+By+C≥0和 Ax+By+C>0表示的平面区域 有什么不同?

O

x

4. Ax+By+C<0(>0)表示哪个平面区域的判断方法

直线Ax+By+C=0同一侧的所有点, 把它的坐标代入Ax+By+C,所得到的符号 相同 都 .

只需在直线的某一侧任取一点进行验证, 当C≠0时,常把 原点 作为特殊点.
y Ax + By + C = 0 x

O

例题示范
例1:画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 . 直线定界 解:(1) 先画直线x + 4y – 4 = 0(画成虚线) 判断虚实
(2) 取原点(0,0),代入x + 4y - 4,因为 0 +
4×0 – 4 = -4 < 0 所以,原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面区域内, 不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示.

代点验证 y 画出区域

结论

1

直线定界,判断虚实; 代点验证,画出区域.

O

4

x+4y―4=0

x

变式1、画出不等式 域。

4 x ? 3 y ? 12 所表示的平面区

变式2、画出不等式x-y>0与x≥1所 表示的平面区域。

例2: 用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集. , x<2y. y
分析:不等式组表示的平面区域
12

是各不等式所表示的平面 区域的交集,即各个不等 式所表示的平面区域的公 共部分.

x-2y=0
3

0

4

x

3x+y-12=0

变式1、画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)( x ? y ? 4) ? 0 所表示的平面区域。

变式2、由直线 等式可表示为

x? y?2?0


,x ? 2 y ? 1 ? 0 和

2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形区域(包括边界)用不

课本P86 练习 1,2,3 1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线x – 2y + 6 = 0的( B ) (A)右上方 (B)右下方 (C)左上方 (D)左下方 2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是( D )

?x ? 3 y ? 6 ? 0 3、不等式组 ? ?x ? y ? 2 ? 0
表示的平面区域是( B )

知识点小结:
⑴ 二元一次不等式表示平面区域: 直线 某一侧 所有点组成的平面区域.

⑵ 二元一次不等式表示平面区域的判断方法: 直线定界,判断虚实;代点验证,画出区域.
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域: 各个不等式所表示平面区域的公共部分 .

作业:课本 P93 习题 AB组 第 1、2题.

? ?4x-3y-2>0 1.画出下列不等式组表示的区域: ? ? ?x-2y-5≤0 解:如图 7.

.

图7

2.将下列各图 1 中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出 来 (图(1)中不包括 y 轴).

图 1
y>x 6x+5y≤22 ; (3)_____. (1)_____ x>0 ; (2)____________

x y 5 0 ? ? - + ≥ 3:画出不等式组?x+y≥0 表示的平面区域. ? ?x≤3 分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示
的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公 共部分. 解:不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及其右下方

的点的集合,x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及其右上方的点的集
合,x≤3 表示直线 x=3 上及其左方的点的集合.故不等式组表

示的平面区域即为图 3 中的三角形区域.

图3

4.不等式(x-y+1)(x+2y-1)≤0 在坐标平面内表示的 区域(用阴影部分表示)应是图中的( C )

5.若点 p(m,3)到直线的距离为 4,且点 p 在不等式 2x+y<3 表示的平面区域内,则 m=_____. -3

6:在平面直角坐标系 xOy 中,已知平面区域 A={(x,y)|x

+y≤1,且 x≥0,y≥0},则平面区域 B={(x+y,x-y)|(x,y)
∈A}的面积为( A.2 ) B.1 1 C. 2

D.

1 4

思维突破:A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0}实际上是 x+y≤1 ? ? 平面区域?x≥0 的另一种表现形式,B 中的(x,y)∈A. ? ?y≥0 m+n m-n 令 x+y=m,x-y=n,则 x= 2 ,y= 2 ,

?m+n m-n ? 2 + 2 ≤1 ∴? m+n≥0 ? ?m-n≥0

m≤1 ? ? ,即?m+n≥0 , ? ?m-n≥0

画出其所表示的平面区域(如图 4),

1 其平面区域的面积 S=2×2×1=1.

图4
答案:B

要点

判断二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)判断二元一次不等式表示的平面区域: ①“直线定界”,即画出边界直线 Ax+By+C=0(注意边 界为实线还是虚线); ②“特殊点定域”,即利用特殊点,如原点,找出相应区 域. (2)判断二元一次不等式组表示的平面区域:

①不等式组表示的是各个不等式表示的区域的公共部分;
②三个或三个以上不等式构成的不等式组画区域时,先观 察,可先画出两个不等式的公共区域,再与第三个找公共区域,

依次类推找下去.


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