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二项式定理问题的求解策略


二项式定理 求展开式中的指定项、指定项的系数及常数项问题 此类问题的求解关键在于求出 r 的值,也可以说是求出指定项是第几项。
1? ? 例 1、 ? x ? ? x? ?
2n

展开式中间的项是__________。

分析:由二项工系数的性质知,若求展开式的中间项,只需判断幂指数的奇、偶特征 即可。因为 2n 是偶数,所以展开式的中间式是第
n

2n 2

? 1 项,此时 r ?

2n 2

? n 。根

1? n n n ? 据展开式的通项公式知: T 2 n ? C 2 n ? x ? ? ? ? ? x?

? ( ? 1) C 2 n 。
n n

例 2、在 x ? A、 ? 27 C 10
6

?

3

?

10

的展开式中,含 x 项的系数是( B、 27 C 10
4

6

)。 D、 9C 10
4

C、 ? 9C 10
6

解: T r ? 1 ? C 10 x
r

10 ? r

??

3
4

? ? r ? 0 ,1, 2 , ? ,10 ? ,令10 ? r ? 6 得 r ? 4 ,
r

? 含 x 项的系数是 C 10 ( ? 3 ) ? 9C 10 ,故选 D。
6
4

4

? 例 3、 ? ?

1 ? x ? ? 3 x ?
r 10

10

的展开式中的常数项是_________。
r 5

解 : T r ?1 ? C

? x?

10 ? r

5? r 1 ? ? r r ?? ? ? C 10 ? ? ? 1 ? ? x 6 ? r ? 0 ,1, 2 , ? ,10 3 x ? ?

?

,令

5?

5 6

r ? 0 解得 r ? 6 ? 常数项为 T 7 ? C 10 ? ? ? 1 ? ? 210 。
6 6

一、近似计算问题 解决此类问题要注意题目要结果精确到什么或保留几位有效数字,以便考虑最后一项 的取舍,一般要四舍五入。求数的 n 次幂的近似值 时,把底数化为最靠近它的那个整数加 一个小数(或减一个小数)的形式。 例 4、求 ?3 . 002

? 6 的近似值(精确到 0.001)
6

解:原式=(3+0.002)
6 5

= 3 ? 6 ? 3 ? 0 . 002 ? 15 ? 3 ? 0 . 002
4

2

? 20 ? 3 ? 0 . 002
3

3

??

? 729 ? 2 . 916 ? 0 . 00486 ? 731 . 92086 ? 731 . 921 二、整除与求余问题 此类题目往往考虑用数学归纳法证明, 但是步骤较为繁琐, 而用二项式定理证明则显 得更为简捷。

例 5、利用二项式定理证明:当 n ? N ? 时, 3 证明: 3
?8
n ?1

2n?2

? 8 n ? 9 能被 64 整除。

2n?2

? 8n ? 9 ? 9
n 2

n ?1

? 8 n ? 9 ? ( 8 ? 1)
n ?1 2

n ?1

? 8n ? 9
n

? C n ?1 ? 8 ? C n ?1 ? 8
1 n ?1

n ?1

? ? ? C n ?1 ? 8 ? C n ?1 ? 8 ? 1 ? 8 n ? 9
2 3 n ?1

? 8 ? (8
2

? C n ?1 ? 8
1 n?2

n?2

? C n ?1 ? 8 ? ? ? C n ?1 ) 。
3 n ?1

而8
? 3

n ?1

? C n ?1 ? 8
1

? C n ?1 ? 8 ? ? ? C n ?1 ? N ?
2

2n?2

? 8 n ? 9 能被 64 整除。
1 2 3 33

例 6、求 C 33 ? C 33 ? C 33 ? ? ? C 33 除以 9 的余数。
33 11 11 解:由于 C 33 ? C 33 ? C 33 ? ? ? C 33 = 2 ? 1 ? 8 ? 1 ? ( 9 ? 1) ? 1

1

2

3

33

=9

11

? C9 ?9
1 10 1

10

? C 9 ? 9 ? ? ? C 11 ? 9 ? 1 ? 1
2 9 10 9 2 8 10

= 9 ?9

? C 9 ? 9 ? C 9 ? 9 ? ? ? C 11 ? ? 2

? 所求的余数为 7。

三、证明有关的不等式问题 有些不等式可应用二项式定理, 结合放缩法证明, 即把二项展开式中的某些正项适 当删去(缩小) ,或把某些负项删去(放大) ,使等式转化为不等式,然后再根据不等 式的传递性进行证明。
1? ? 例 7、求证: 2 ? ? 1 ? ? ? 3 ? n ? 2 ? 。 n? ?
n

证明:? 当 n ? 2 时,
1? ? ?1 ? ? n? ? ? ?
n

? Cn ? Cn ?
0 1 n

1

1 2 1 2 n 1 n 0 1 ? Cn ?( ) ?? ? Cn ( ) ? Cn ? Cn ? ? 2 。 n n n n 1 1 2 2 n 1 n ? Cn ?( ) ?? ? Cn ( ) n n n

又? ? 1 ?

1? ? n?

? Cn ? Cn ?
0 1

=2 ?

1 2!
n

(1 ?

1 n

)?

1 3!

(1 ?

1 n

)( 1 ?

2 n

)?? ? 3

1? ? ? 不等式 2 ? ? 1 ? ? ? 3 ? n ? 2 ? 成立。 n? ?

四、利用赋值法求各项系数的和的问题 例 8、设 (1 ? x ? x ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a 2 n x
2 n 2 2n

求 a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 2 n ?1 的值。

解:令 x ? 1 ,得 a 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ? 3

n

① ②。

再令 x ? ? 1 得 a 0 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1 ? a 2 n ? 1
3 ?1
n

①-②可得 a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 2 n ?1 =



2


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