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2016全国卷Ⅰ高考理科数学试卷及答案与解析(word版)


2016 年普通高等学校招生全统一考试

理科数学
★祝考试顺利★

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2 (1) 设集合 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x 2x ? 3 ? 0 ,则 A ? B ?

>
?

?

?

?

(A) (? 3,?

3 3 ) (B) (? 3, ) 2 2

(C) (1 ,

3 ) 2

(D) (?

3 ,3 ) 2

(2) 设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x , y 是实数,则 x ? yi ? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

(3) 已知等差数列 ?an ? 前 9 项的和为 27, a10 ? 8 ,则 a100 ? (A)100 (B)99 (C)98 (D)97

(4) 某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站 的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(5) 已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 m 的取值范围是 m 2 ? n 3m 2 ? n
(B) ( ? 1, 3 ) (C) (0 ,3 ) (D) (0 , 3 )

(A) ( ? 1, 3 )

(6) 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半 径.若该几何体的体积是 (A)17π
2 x

28? ,则它的表面积是 3
(C)20π (D)28π

(B)18π

2?的图象大致为 (7) 函数 y ? 2x ? e 在 ?? 2,
y 1 -2 O 2 x -2 1 O 2 x -2 y 1 O 2 x -2 y 1 O 2 x y

(A)

(B)

(C)

(D)

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(8) 若 a ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,则 (A) a c ? b c (C) a logb c ? b loga c (B) abc ? bac (D) loga c ? logb c

开始 输入 x, y , n

n ? n ?1

x ? x?

(9) 执行右图的程序框图,如果输入的 x ? 0 , y ? 1 , n ? 1 ,则输 出 x, y 的值满足 (A) y ? 2 x (B) y ? 3x (C) y ? 4 x (D) y ? 5 x 否

n ?1 , y ? ny 2

x 2 ? y 2 ? 36

是 输出 x, y

(10) 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A , B 两点,交 C 的准线于 D , E 两 点.已知 (A)2

AB ? 4 2 , DE ? 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为
(B)4 (C)6 (D)8

结束

(11) 平面 ? 过正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A ,? ∥平面 CB1 D1 ,? ∩平面 ABCD ? m ,? ∩平 面 ABB1 A1 ? n ,则 m, n 所成角的正弦值为

(A)

3 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

(12) 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ?

? ? ? ) , x ? ? 为 f ( x) 的零点, x ? 为 y ? f ( x) 图象 2 4 4

的对称轴,且 f ( x) 在 ( (A)11

? 5? , ) 单调,则 ? 的最大值为 18 36
(B)9 (C)7 (D)5

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题都必须作答。第(22)~(24)题为 选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 设向量 a ? (m,1) , b ? (1,2) ,且 a ? b (14) (2 x ?
2

? a ? b ,则 m ?
. (用数字填写答案)

2

2



x ) 5 的展开式中, x 3 的系数是

(15) 设等比数列 ?an ? 满足 a1 ? a3 ? 10, a2 ? a4 ? 5 ,则 a1a2 ?an 的最大值为



(16) 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、 乙两种新型材料.生产一件 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时.生产一件 A 产品的利

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润为 2100 元,生产一件 B 产品的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超 过 600 工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) .

△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 2 cosC (a cos B ? b cos A) ? c .
(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)若 c ?

7 , △ ABC 的面积为

3 3 .求 △ ABC 的周长. 2

(18) (本小题满分 12 分)

?AFD ? 90? , 如图, 在以 A, B, C , D, E, F 为顶点的五面体中, 面 ABEF 为正方形,AF ? 2 FD ,
且二面角 D ? AF ? E 与二面角 C ? BE ? F 都是 60°. (Ⅰ)证明:平面 ABEF ⊥平面 EFDC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.
F B D C

E

A

(19) (本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件,在购买机器时,可 以额外购买这种零件为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜 集并整理了 100 台这种三年使用期内更换的易损零件,得 下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器 更换的易损零件数发生的频率,记 X 表示 2 台机器三年内
O 频数

40

20

8

9

10

11

更换的易损零件数

共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求 X 的分布列;

? 0.5 ,确定 n 的最小值; (Ⅱ)若要求 P(X ? n)
(Ⅲ)以购买易损零件所需要的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一,应选用哪 个?

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(20) (本小题满分 12 分) 设圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 15 ? 0 的圆心为 A , 直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C , D 两 点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . (Ⅰ)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (Ⅱ) 设点 E 的轨迹为曲线 C1 , 直线 l 交 C1 于 M , N 两点, 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P, Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a( x ? 1) 2 有两个零点. (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 , x 2 是 f ( x) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 .

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, △OAB 是等腰三角形, ?AOB ? 120 ? .以 O 为圆心, (Ⅰ)证明:直线 AB 与⊙ O 相切; (Ⅱ)点 C , D 在⊙ O 上,且 A, B, C , D 四点共圆,证明:

1 OA 为半径作圆. 2
D O A C

AB ∥ CD .

B

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cost , ( t 为参数, a ? 0 ).在以坐标原点 ? y ? 1 ? a sin t ,

为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 : ? ? 4 cos? .

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(Ⅰ)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 ,其中 ? 0 满足 tan? 0 ? 2 ,若曲线 C1 与 C 2 的公共点都在

C3 上,求 a .

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? 3 . (Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)求不等式 f ( x) ? 1 的解集.

y

1 o

1

x

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2016 年全国卷Ⅰ高考数学(理科)答案与解析
一、选择题 【答案】 (1)D (2)B (3)C (4)B (5)A (6)A (7)D (8)C (9)C (10)B

(11)A (12)B 【解析】
2 (1) A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 ? x 1 ? x ? 3 , B ? x 2 x ? 3 ? 0 ? ? x x ?

?

? ?

?

?

?

? ?

3? ? ,∴ 2?

? 3 ? A ? B ? ? x ? x ? 3? . ? 2 ?
(2)∵ (1 ? i) x ? 1 ? yi 即 x ? xi ? 1 ? yi ∴ ?

?x ?1 ?x ? 1 2 2 , 解得: , ∴ x ? yi ? x ? y ? 2 . ? ?x ? y ?y ? 1

(3)∵ S 9 ?

9(a1 ? a9 ) 9 ? 2a5 a ? a5 ? ? 9a5 ? 27 ∴ a5 ? 3 ,∵ a10 ? 8 ∴ d ? 10 ? 1,∴ 2 2 10 ? 5

a100 ? a10 ? 90d ? 98 .
(4)如图所示,画出时间轴:

7:30

7:40

7:50 A

8:00 C

8:10

8:20 D

8:30 B

小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中,而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时,才 能保证他等车的时间不超过 10 分钟, 根据几何概型,所求概率 p ?

10 ? 10 1 ? . 40 2

(5)

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 (m 2 ? n)(3m 2 ? n) ? 0 ,∴ ? m 2 ? n ? 3m 2 , 2 2 m ? n 3m ? n
?2c ? 4 2 2 2 2 ?c ? (m ? n) ? (3m ? n) ? 4m

∵?

2 解得 m ? 1 ,∴ ? 1 ? n ? 3 .

(6)原立体图如图所示: 是一个球被切掉左上角的 1/8 后的三视图,表面积是 7/8 的球面面积和三个扇形面积之和,

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∴S ?

7 1 ? 4? ? 2 2 ? 3 ? ? ? 2 2 ? 17? 8 4

(7) f (2) ? 8 ? e 2 ? 8 ? 2.82 ? 0 ,排除 A;

f (2) ? 8 ? e 2 ? 8 ? 2.7 2 ? 1 ,排除 B;

1 1 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x 2 ? e x , f ?( x) ? 4x ? e x ,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? ? 4 ? e 0 ? 0 ∴ 4 4 1 f ( x) 在 (0, ) 单调递减,排除 C; 4
故选 D
c c (8)对 A:由于 0 ? c ? 1 ,∴函数 y ? x c 在 R 上单调递增,因此 a ? b ? 1 ? a ? b ,A 错误;

对 B:由于 ?1 ? c ? 1 ? 0 ,∴函数 y ? xc ?1 在 ?1, ?? ? 上单调递减, ∴ a ? b ?1? a
c ?1

? bc ?1 ? bac ? abc ,B 错误

对 C:要比较 a logb c 和 b log a c ,只需比较 和 a ln a 构造函数

a ln c b ln c ln c ln c 和 ,只需比较 和 ,只需 b ln b ln a b ln b a ln a ln b

f ? x? ? xln x? x? 1 ?

,则

f ' ? x? ? ln x ? 1 ? 1 ? 0 f ? x ? ?1, ?? ? , 在 上单调递增,因此

1 1 ? a ln a b ln b ln c ln c 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴ ? ? b loga c ? a logb c ,C 正确 a ln a b ln b ln c ln c 对 D:要比较 log a c 和 log b c ,只需比较 和 ln a ln b 1 1 而函数 y ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 a ? b ? 1 ? ln a ? ln b ? 0 ? ? ln a ln b ln c ln c 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴ ? ? loga c ? logb c ,D 错误 ln a ln b f ? a ? ? f ? b ? ? 0 ? a ln a ? b ln b ? 0 ?
故选 C. 【2°用特殊值法,令 a ? 3, b ? 2, c ?

1 得 3 2 ? 2 2 ,排除 A; 3 ? 2 2 ? 2 ? 3 2 ,排除 B; 2

1

1

1

1

3 log 2

1 1 1 ? 2 log 3 2 ,C 正确; log 3 ? log 2 ,排除 D;∴选 C】 2 2 2
循环节运 行次数 运行前 第一次 第二次 第三次
n ?1? ? x? x ? x ? ? 2 ? ?

(9)如下表:

y ? y ? ny ?
1

判断

x2 ? y 2 ? 36
/ 否 否 是

是否 输出 / 否 否 是

n ? n ? n ? 1?
1

0 0

1 2
6

2
3

1 2

3 2

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输出 x ?

3 , y ? 6 ,满足 y ? 4 x ,故选 C. 2

(10)以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理 2 2 2 2 设抛物线为 y ? 2 px p ? 0 ,设圆的方程为 x ? y ? r ,题目条件翻译如图:

?

?

F

设 点

A x0 , 2 2
A x0 , 2 2

?
?

p ? , D? ?? ,

? 在抛物线 y

? 2

? 5? , ?
2

? 2 px 上,∴ 8 ? 2 px0 ……①
2

? p ? ? p? D?? , 5 ? 5 ? ? ? ? r2 ? 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,∴ ?2? 点 ? 2 ……②
2 ? y 2 ? r 2 上,∴ x0 ? 8 ? r 2 ……③ 联立①②③解得: p ? 4 ,焦点到准线的距离为 p ? 4 .



A x0 , 2 2

?

? 在圆 x

2

2°【如图,设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ,圆的半径为 r,

AB, DE 交 x 轴于 C , F 点,则 AC ? 2 2 ,即 A 点纵坐 4 4 标为 2 2 ,则 A 点横坐标为 ,即 OC ? ,由勾股定 p p 2 2 2 2 2 2 2 2 理知 DF ? OF ? DO ? r ,AC ? OC ? AO ? r , p 2 4 2 2 2 即 ( 5) ? ( ) ? (2 2) ? ( ) ,解得 p ? 4 ,即 C 的 2 p
焦点到准线的距离为 4】 (11)如图所示: ∵ ?∥平面CB1 D1 ,∴若设平面 CB1 D1 ? 平面 ABCD ? m1 ,则 m1∥m 又∵平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1 D1 ,结合平面 B1 D1C ? 平面 A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ∴ B1 D1∥m1 ,故 B1 D1∥m 同理可得: CD1∥n 故 m 、 n 的所成角的大小与 B1 D1 、CD1 所成角的大小 相等,即 ?CD1 B1 的大小.

D α A B

C

D1 A1 B1

C1

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而 B1C ? B1 D1 ? CD1 (均为面对交线) ,因此 ?CD1 B1 ?

?
3

,即 sin ?CD1 B1 ?

3 . 2

(12)由题意知:

? π ? ? +? ? k1 π ? ? 4 ? ? π ? +? ? k π+ π 2 ? ?4 2 则 ? ? 2 k ? 1 ,其中 k ? Z

π T ? f ( x) 在 ? π , 5π ? 单调, 5? ? ? ? ? ? , ? ? 12 ? ? 18 36 36 18 12 2 ? ?
接下来用排除法 若

? ? 11,? ? ?

π π? ? π 3π ? ? 3π 5 π ? 4 ,此时 f ( x) ? sin ? ?11x ? ? , f ( x) 在 ? , ? 递增,在 ? , ? 递减,不满 4 18 44 ? ? ? ? ? 44 36 ?

? π 5π ? 足 f ( x) 在 ? , ? 单调; ? 18 36 ?



? ? 9,? ?

π π? ? π 5π ? 4 ,此时 f ( x) ? sin ? ? 9 x ? ? ,满足 f ( x) 在 ? , ? 单调递减 4? ? ? 18 36 ?

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二、填空题 【答案】 (13)-2 【解析】 (13) 由已知得 a ? b ? (m ? 1,3) ,∴ a ? b 得 m ? ?2 . 2° a ? b ? a ? b 得 a ? b ,∴ m ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ,解得 m ? ?2 . (14) (2 x ?
r r (2 x)5?r ( x )r ? 25?r C5 x x ) 的展开式的通项为 C5
5

(14)10

(15)64

(16)216 000

?

?

?

?2

?2 ?2 ? a ? b ? (m ? 1) 2 ? 32 ? m 2 ? 12 ? 12 ? 2 2 ,解

?

?2

?2

?2

?

?

5?

r 2

(r ? 0, 1, 2, …, 5), 令5 ?

r ?3 2

4 得 r ? 4 ,所以 x3 的系数是 2C5 ? 10 .

?a1 ? 8 ? ?a1 ? a1 q 2 ? 10 ? ?a1 ? a3 ? 10 1, (15) 设等比数列 ?an ? 的公比为 q(q ? 0) ,∴ ? ,解得 ? ?? 3 q? ? ?a1 q ? a1 q ? 5 ? ? a2 ? a4 ? 5 2 ?
故 an ? ? ?

?1? ?2?

n?4

,∴ a1 a 2 ?a n ? ? ?

?1? ?2?

( ?3) ? ( ?2 ) ??? (n ? 4)

?1? ?? ? ? 2?

1 n ( n ?7 ) 2

?1? ?? ? ? 2?

2 1 ? ? 7 ? 49 ? ?? n? ? ? ? 2? 2 4? ? ? ? ?

∴当

n ? 3或4 时, a1a2 ?an 取得最大值 2 6 ? 64 .
(16) 设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造 线性规则约束为
?1.5 x ? 0.5 y ≤ 150 ? ? x ? 0.3 y ≤ 90 ?5 x ? 3 y ≤ 600 ? ? ?x ≥ 0 ?y≥0 ? ?x ? N * ? * ? ?y? N

目标函数 z ? 2100 x ? 900 y 作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为 (60,100) (0, 200) (0, 0) (90,0)

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在 (60,100) 处取得最大值, z ? 2100 ? 60 ? 900 ? 100 ? 216000 三、解答题 (17)解: (I)由已知及正弦定理的,

2 cosC (sin A cos B ? sin B cos A) ? sin C ,
即 2 cosC sin( A ? B) ? sin C , 故 2 sin C cos C ? sin C , 可得 cos C ?

1 ? ,∴ C ? . 2 3

(II)由已知, 又C ?

1 3 3 , ab sin C ? 2 2

?
3

,∴ ab ? 6 ,

2 2 由已知及余弦定理得, a ? b ? 2ab cosC ? 7 ,
2 2 故 a ? b ? 13 ,从而 (a ? b) 2 ? 25 ,

∴ △ ABC 的周长为 5 ? 7 (18)解: (I)由已知可得 AF⊥DF,AF⊥FE,∴AF⊥平面 EFDC. 又 AF ? 平面 ABEF,故平面 ABEF⊥平面 EFDC. (II)过 D 作 DG⊥EF, 垂足为 G, 由(Ⅰ)知 DG⊥平面 ABEF, 以 G 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向, 为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz.

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由(Ⅰ)知∠DFE 为二面角 ? ? 的平面角,故∠=60° , 则 = 2, = 3,可得(1,4,0),(?3,4,0),(?3,0,0),(0,0, 3), 由已知,AB∥EF,∴AB∥平面 EFDC, 又平面 ABCD ?平面 EFDC=CD,故 AB∥CD,CD∥EF, 由 BE∥AF,可得 BE⊥平面 EFDC,∴∠CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角,∠CEF=60°,从 而可得 C(-2,0, 3), ∴ = 1,0, 3 , = 0,4,0 , = ?3, ?4, 3 , = (?4,0,0), 设 = (, , )是平面 BCE 的法向量,则 x+ 3z=0 即 ,∴可取 = (3,0, ? 3), ? = 0, 4y=0 ? = 0,

设是平面 ABCD 的法向量,则
? ? 2 19 19

同理可取 = (0, 3, 4), ? = 0,
2 19 19

? = 0,

则cos , = (19)解:

=?

,故二面角 E-BC-A 的余弦值为?

.

(I)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数位 8,9,10,11 的概率 分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04, P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16, P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24, P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24, P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2, P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08, P(X=22)= 0.2×0.2=0.04, 所以 X 的分布列为 X P (II)由(Ⅰ)知 P(X≤ 18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故 n 的最小值为 19. (III)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元) , 当 n=19 时,EY=19×200×0.68+(19×200+500) ×0.2+(19×200+2×500) ×0.08+(19×200+3 ×500) ×0.04=4040. 当 n=20 时,EY=20×200×0.88+(20×200+500) ×0.08+(20×200+2×500) ×0.04=4080. 可知当 n=19 时所需费用的期望值小于 n=20 时所需费用的期望值,故应选 n=19.
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16 0.04

17 0.16

18 0.24

19 0.24

20 0.2

21 0.08

22 0.04

(20)解: (I)∵ AD = AC ,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC. ∴ EB = ED ,故 EA + EB = EA + ED . 又圆 A 的标准方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16,从而 AD = 4,∴ EA + EB = 4.

由题设得 A(-1,0), B(1,0),AB = 2, 由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为:

x2 y2 . ? ?1 (y ? 0) 4 3

(II)当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1( , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . ) k ? 0)

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 ,得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . y2 ? ? 1 ? 3 ?4
则 x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) 2 x x ? MN ? 1 ? k x ? x ? , ;∴ . 1 2 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m: y ? ?

2 1 ( x ? 1) ,A 到 m 的距离为 , k k 2 ?1

∴ PQ ? 2 4 ? (
2

2 k 2 ?1

)2 ? 4

4k 2 ? 3 . k 2 ?1

故四边形 MPNQ 的面积 S ?

1 1 MP PQ ? 12 1 ? 2 . 2 4k ? 3

可得当 l 与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为 (12, 8 3) . 当 l 与 x 轴垂直时,其方程为 x ? 1, MN ? 3, PQ ? 8 ,四边形 MPNQ 的面积为 12. 综上,四边形 MPNQ 面积的取值范围为 [12, 8 3) (21)解: (I) f ?( x) ? ( x ? 1)e x ? 2a( x ? 1) ? ( x ? 1)(e x ? 2a) .
x (i)设 a ? 0 ,则 f ( x) ? ( x ? 2)e , f ( x) 只有一个零点.

(ii)设 a ? 0 ,则当 x ? (??, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x) 在 (??, 1) 单调递减,在 (1, ? ?) 单调递增. 又 f (1) ? ?e,f (2) ? a ,取 b 满足 b ? 0 且 b ? ln

a ,则 2

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f (b) ?

a 3 (b ? 2) ? a(b ? 1) 2 ? a(b 2 ? b) ? 0 , 2 2

故 f ( x) 存在两个零点. (iii)设 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ln(?2a) . 若a ? ?

e ,则 ln( ?2a) ? 1 ,故当 x ? (1 , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,因此 f ( x) 在 (1, ? ?) 单调 2

递增.又当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 不存在两个零点; 若a ? ?

e ,则 ln( ?2a) ? 1 ,故当 x ? (1 , ln(?2a)) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln( ?2a), ? ?) 2

时,f ?( x) ? 0 . 因此 f ( x) 在 (1 在 (ln(?2a), 又当 x ? 1 , ln(?2a)) 单调递减, ? ?) 单调递增. 时, f ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 不存在两点零点. 综上, a 的取值范围为 (0, ? ?) .

1) , x2 ? (1, ? ?) ,2 ? x2 ? (??, 1) , f ( x) 在 (??, (II)不妨设 x1 ? x 2 ,由(Ⅰ)知, x1 ? (??, 1)
单调递减,∴ x1 ? x2 ? 2 ? f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ) ,即 f (2 ? x2 ) ? 0 . ∵ f (2 ? x 2 ) ? ? x 2 e ∴ f (2 ? x 2 ) ? ? x 2 e
2? x2

? a( x2 ? 1) 2 ,而 f ( x2 ) ? ( x2 ? 2)e x2 ? a( x2 ? 1) 2 ? 0 , ? ( x2 ? 2)e x2 .

2? x2

设 g ( x) ? ? xe2? x ? ?( x ? 2)e x ,则 g ?( x) ? ( x ? 1) (e 2? x ? e x ) . ∴当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,而 g (1) ? 0 ,故当 x ? 1 时 g ( x) ? 0 . 从而 g ( x2 ) ? f (2 ? x2 ) ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 2 . (22)解: (I)设 E 是 AB 的中点,连结 OE. ∵OA=OB,∠AOB=120°,∴OE⊥AB,∠AOE=60°. 在 Rt△AOE 中,OE=2AO,即 O 到直线 AB 的距离等于⊙ O 的半径,∴AB 与⊙O 相切. (II)∵OA=2OD,∴O 不是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设
A E
1

D O O'

C

B

O ? 是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线 OO′.
由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上,又 O′在线段 AB 的垂直平分线上,∴OO′⊥AB. 同理可证,OO′⊥CD.∴AB∥CD.

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(23)解: (I)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? a 2 . C1 是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆. 将 x ? ? cos? ,y ? ? sin ? 代入 C1 的普通方程中,得到 C1 的极坐标方程为

? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a 2 ? 0 .
? ? 2 ? 2 ? sin ? ? 1 ? a 2 ? 0 (II)曲线 C1 , C2 的公共点的极坐标满足方程组 ? , ? ? ? 4 cos?
若 ? ? 0 ,由方程组得 16cos2 ? ? 8 sin ? cos? ? 1 ? a 2 ? 0 ,由已知 tan ? ? 2 ,可得

16cos2 ? ? 8 sin ? cos? ? 0 ,从而 1 ? a 2 ? 0 ,解得 a ? ?1 (舍去) ,a ? 1.

a ? 1 时,极点也为 C1 , C2 的公共点,在 C3 上.
∴ a ? 1. (24)解:

? ? x ? 4, x ? ?1 ? 3 ? (I) f ( x) ? ?3x ? 2, ? 1 ? x ? , y ? f ( x) 的图像如图所示. 2 ? ?? x ? 4,x ? 3 ? 2 ?
(II)由 f ( x) 得表达式及图像,当

y

f ( x) ? 1 时,可得 x ? 1 或 x ? 3 ;
当 f ( x) ? ?1 时,可得 x ?

1 或 3

x ? 5;
故 f ( x) ? 1 的解集为 x 1 ? x ? 3 ;

?

?

1 o

1

x

f ( x) ? ?1 的解集为

1 ? ? ? x丨x ? 或x ? 5? . 3 ? ?
∴ f ( x) ? 1 的解集为

1 ? ? ? x丨x ? 或1 ? x ? 3或x ? 5? . 3 ? ?

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