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山东省14市2016届高三数学上学期期末试题分类汇编 概率与统计 理


山东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 概率与统计
一、选择题 1 、 ( 潍 坊 市 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 根 据 如 下 样 本 据 得 到 回 归 直 线 方 程

$ $ y ?$ bx ? $ a,其中 a ? 9.1, 则$ b?

A.9.4

B.9.5

C.9.6

D.9.7

参考答案 1、A 二、填空题 1、 (济南市 2016 届高三上学期期末)某高校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系, 将该校不小于 35 岁的 80 名教师按年龄分组,分组区间为

55?, 60? ,由此得到频 ?35,40? ,?40,45? , ?45,50?, ?50, ?55,
率分布直方图如图, 则这 80 名教师中年龄小于 45 岁的教师有 ________人. 参考答案 1、48 三、解答题 1、(济南市 2016 届高三上学期期末)某卫视的大型娱乐节目现场,所有参演的节目都由甲、乙、 丙三名专业老师投票决定是否通过进入下一轮,甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰” 三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任 意一类票的概率均为

1 ,且三人投票相互没有影响,若投票结果中至少有两张“通过”票,则该节 3

目获得“通过”,否则该节目不能获得“通过”。 (I)求某节目的投票结果获“通过”的概率; (II)记某节目投票结果中所含“通过”和“待定”票票数之和为 X,求 X 的分布列和数学期望. 2、(胶州市 2016 届高三上学期期末)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中, 摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中 任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球张红球与篮球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 摸出红、篮球个数 3红1蓝 3红0蓝 获奖金额 200 元 50 元

1

三等奖

2红1蓝

10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (Ⅰ)求一次摸奖恰好摸到一个红球的概率; (Ⅱ)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与数学期望 E ? X ? .

3、(临沂市 2016 届高三上学期期末)甲、乙、丙三班进行知识竞赛,每两班比赛一场,共赛三场. 每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,没有平局,在每一场比赛中,甲班胜乙班的概率为 丙班的概率为

2 ,甲班胜 3

1 1 ,乙班胜丙班的概率为 . 4 5

(1)求甲班获第一名且丙班获第二名的概率; (2)设在该次比赛中,甲班得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

4、(青岛市 2016 届高三上学期期末)某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序,每道工序都要 经过相互独立的工序检查,且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序,两道工序都合格,产 品才完全合格,.经长期监测发现,该仪器第一道工序检查合格的概率为 概率为

8 ,第二道工序检查合格的 9

9 ,已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器. 10

(I)求本月恰有两台仪器完全合格的概率; (II)若生产一台仪器合格可盈利 5 万元,不合格则要亏损 1 万元,记该厂每月的赢利额为 ? ,求 ? 的分布列和每月的盈利期望. 5、(威海市 2016 届高三上学期期末)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可 抽奖,一等奖 500 元,二等奖 200 元,三等奖 10 元.抽奖规则如下;顾客先从装有 2 个红球、4 个 白球的甲箱中随机摸出两球,再从装有 1 个红球、2 个黑球的乙箱随机摸出一球,在摸出的 3 个球 中,若都是红球,则获一等奖;若有 2 个红球,则获二等奖;若三种颜色各一个,则获三等奖,其 它情况不获奖. (I)设某顾客在一次抽奖中所得奖金数为 X,求 X 的分布列和数学期望; (II)若某个时间段有三位顾客参加抽奖,求至多有一位获奖的概率. 6、(潍坊市 2016 届高三上学期期末)某高中学校在 2015 年的一次体能测试中,规定所有男生必须 依次参加 50 米跑、立定跳远和一分钟引体向上三项测试,只有三项测试全部达标才算合格.已知男 生甲的 50 米跑和立定跳远的测试与男生乙的 50 米跑测试已达标,男生甲还需要参加一分钟引体向 上测试, 男生乙还需要参加立定跳远和一分钟引体向上两项测试.若甲参加一分钟引体向上测试达标 的概率为 p,乙参加立定跳远和一分钟引体向上测试达标的概率均为 标互不影响.已知甲和乙同时合格的概率为

1 ,甲、乙每一项测试是否达 2

1 . 6

(I)求 p 的值,并计算甲和乙恰有一人合格的概率; (II) 在三项测试项目中, 设甲达标的测试项目项数为 x, 乙达标的测试项目的项数为 y, 记? =x ? y ,

2

求随机变量 ? 的分布列和数学期望.[来

7、(枣庄市 2016 届高三上学期期末)甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,甲做对的概率 为

1 ,乙、丙做对的概率分别为 m, n ? m ? n ? ,且三位学生是否做对相互独立,记 X 为这三位学生 2

中做对该题的人数,其分布列为:

X

0

1

2

3

P

1 4

a

b

1 24

(1)求至少有一位学生做对该题的概率; (2)求 m, n 的值; (3)求 X 的数学期望.

8、(淄博市 2016 届高三 3 月模拟试题)袋中共有 8 个球,其中有 3 个白球,5 个黑球,这些球除 颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球 不再放回,并且另补一个白球放入袋中. (Ⅰ)重复上述过程 2 次后,求袋中有 4 个白球的概率; (Ⅱ)重复上述过程 3 次后,记袋中白球的个数为 X ,求 X 的数学期望.

参考答案 1、 (Ⅰ)设“某节目的投票结果获“通过”为事件 A, 则事件 A 包含该节目获 2 张“通过票”或该节目获 3 张“通过票”, ∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为 , 且三人投票相互没有影响,∴某节目的投票结果是最终获“通过”的概率为:

7 ?1? ? 2? 3?1? ???? 4 分 P ? A? ? C ? ? ? ? ? C3 ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3 ? 27
2 3

2

3

(Ⅱ)所含“通过”和“待定”票票数之和 X 的所有取值为 0,1,2,3,

1 6 ?1? 1 ? 2 ?? 1 ? , P ? X ? 1? ? C3 P ? X ? 0? ? C ? ? ? ? ?? ? ? , ? 3 ? 27 ? 3 ?? 3 ? 27
0 3

3

2

8 ? 2 ? ? 1 ? 12 3?2? , P ? X ? 3? ? C3 ,???? 8 分 P ? x ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 27 ? 3 ? 27
2 3

2

3

∴ X 的分布列为:

3

X P

0

1

2

3

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 .???? 12 分 27 9 9 27 2、解:设 Ai 表示摸到 i 个红球, B j 表示摸到 j 个蓝球,则 Ai (i ? 0,1, 2,3) 与 B j ? ( j ? 0,1) 相互独 EX ? 0 ?
立. (Ⅰ)恰好摸到 1 个红球的概率为 P ( A1 ) ?
1 2 C3 C4 18 ? .???????????4 分 3 C7 35

(Ⅱ) X 的所有可能值为: 0 , 10 , 50 , 200 ???????????6 分

P( X ? 200) ? P( A3 B1 ) ? P ( A3 ) P( B1 ) ? P( X ? 50) ? P( A3 B0 ) ? P ( A3 ) P( B0 ) ?

3 C3 1 1 ? ? 3 C7 3 105

3 C3 2 2 ? ? 3 C7 3 105

1 C32C4 1 12 4 P( X ? 10) ? P( A2 B1 ) ? P ( A2 ) P ( B1 ) ? ? ? ? 3 C7 3 105 35

P( X ? 0) ? 1 ?

1 2 4 6 ? ? ? 105 105 35 7

所以 X 的分布列为

X

0

10

50

200

X

6 7

4 35

2 105

1 105

???????????10 分

所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

6 4 2 1 ? 10 ? ? 50 ? ? 200 ? ? 4 ???????12 分 7 35 105 105

3、解: (1)甲获第一,则甲胜乙且甲胜丙, ∴甲获第一的概率为

2 1 1 ? ? 3 4 6

?????2 分 ????4 分 ?????6 分 ??????????7 分

1 4 ? 5 5 1 4 2 ∴甲获第一名且丙获第二名的概率为 ? ? 6 5 15
丙获第二,则丙胜乙,其概率为 1 ? (2)ξ 可能取的值为 O、3、6 甲两场比赛皆输的概率为 P (? ? ? 0) ? (1 ? )(1 ? ) ?

2 3

1 4

1 4

??????8 分

4

2 1 1 2 7 ????9 分 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 3 4 4 3 12 2 1 1 甲两场皆胜的概率为 P (? ? 6) ? ? ? ?????10 分 3 4 6 ∴ξ 的分布列为 ξ 0 3 6 P 1 1 7 12 4 6
甲两场只胜一场的概率为 P(? ? 3) ?

1 7 1 11 ? E? ? 0 ? ? 3 ? ? 6 ? ? 4 12 6 4

????l2 分

4、解: (Ⅰ) 设恰有两台仪器完全合格的事件为 A ,每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为 p

8 9 4 P ? ? = ?????????????2 分 9 10 5 4 48 2 2 2 4 2 所以 P( A) ? C3 p (1 ? p) ? C3 ( ) (1 ? ) ? ???????5 分 5 5 125
(Ⅱ) 每月生产的仪器完全合格的台数可为 3, 2,1, 0 四种 所以赢利额 ? 的数额可以为 15,9,3, ?3 ????????7 分

64 125 4 1 48 2 2 ? 当 ? ? 9 时, P(? ? 9) ? C3 ( ) 5 5 125 4 1 2 12 1 当 ? ? 3 时, P(? ? 3) ? C3 ( ) ? 5 5 125 1 0 1 3 当 ? ? ?3 时, P (? ? ?3) ? C3 ( ) ? ????????????10 分 5 125 64 48 12 1 57 ? 9? ? 3? ? (?3) ? ? 10.14 每月的盈利期望 E? ? 15 ? 125 125 125 125 5 所以每月的盈利期望值为 10.14 万元?????12 分
当 ? ? 15 时, P (? ? 15) ? C3 ( ) ?
3 3

4 5

5、

5

6、

6

7、解:(1)至少有一位学生做对该题的概率为 1 ? P( X ? 0) ? 1 ?

1 3 ? . ??????4 分 4 4

1 1 ? (1 ? )(1 ? m)(1 ? n) ? , ? ? 2 4 (2)由题意,得 ? ??????????????????6 分 1 1 ? mn ? . ? ?2 24

1 1 又 m ? n ,解得 m ? , n ? . ?????????????????????8 分 3 4 1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 (3)由题意, a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ????????????9 分 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24

1 11 1 1 b ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ? 1 ? ? ? ? . ????????10 分 4 24 24 4
1 11 1 1 13 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ????????????????12 分 4 24 4 24 12
8、

7


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