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2015年新课标数学全国II试卷分析及真题详解


2015 高考数学全国卷 II 试卷分析

一级考点

二级考点

三级考点

分值

比例

代数

集合

交集及其运算

5

3.33%

常用逻辑用语

必要条件、充分条件与充要条件的判断

0

0.00%

函数

函数的值

5

3.33%

导数及其应用

函数的单调性与导数的关系

5

3.33%

利用导数研究函数的单调性

12

8.00%

不等式

简单线性规划

5

3.33%

数列

等比数列的通项公式

5

3.33%

数列递推式

5

3.33%

平面向量

平行向量与共线向量

5

3.33%

数系的扩充与复数

复数相等的充要条件

5

3.33%

排列组合与概率统计

统计与统计案例

频率分布直方图

5

3.33%

茎叶图

12

8.00%

计数原理

二项式定理的应用

5

3.33%

算法与框图

算法初步与框图

程序框图

5

3.33%

三角函数

三角函数

正切函数的图象

5

3.33%

正弦定理

12

8.00%

一级考点

二级考点

三级考点

分值

比例

平面解析几何

直线与方程

直线的斜率

12

8.00%

两点间的距离公式

5

3.33%

圆锥曲线与方程

双曲线的简单性质

5

3.33%

立体几何

空间几何体

由三视图求面积、体积

5

3.33%

球的体积和表面积

5

3.33%

空间向量与立体几何

直线与平面所成的角

12

8.00%

高等数学

几何证明选讲

相似三角形的判定

10

6.67%

坐标系与参数方程

简单曲线的极坐标方程

0

0.00%

考点卡片

1.交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集,记作 A∩B. 符号语言:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. A∩B 实际理解为:x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素. 当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集. 运算形状: ①A∩B=B∩A.②A∩?=?.③A∩A=A.④A∩B?A,A∩B?B.⑤A∩B=A?A?B.⑥A∩B=?,两个集合没有相 同元素.⑦A∩(CUA)=?.⑧CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB) .

【解题方法点拨】解答交集问题,需要注意交集中:“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混用;求交集的 方法是:①有限集找相同;②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法,会求两个集合的交集. 命题通常以选择题、填空题为主,也可以与函数的定义域,值域,函数的单调性、复合函数的单调性等联 合命题.

2.必要条件、充分条件与充要条件的判断 【知识点的认识】正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否 命题、逆否命题的概念是本节的重点;掌握逻辑推理能力和语言互译能力,对充要条件概念本质的把握是 本节的难点. 1.充分条件:对于命题“若 p 则 q”为真时,即如果 p 成立,那么 q 一定成立,记作“p?q”,称 p 为 q 的充 分条件.意义是说条件 p 充分保证了结论 q 的成立,换句话说要使结论 q 成立,具备条件 p 就够了当然 q 成立还有其他充分条件.如 p:x≥6,q:x>2,p 是 q 成立的充分条件,而 r:x>3,也是 q 成立的充分条 件. 必要条件:如果 q 成立,那么 p 成立,即“q?p”,或者如果 p 不成立,那么 q 一定不成立,也就是“若非 p 则非 q”, 记作“¬p?¬q”, 这是就说条件 p 是 q 的必要条件, 意思是说条件 p 是 q 成立的必须具备的条件. 充要条件:如果既有“p?q”,又有“q?p”,则称条件 p 是 q 成立的充要条件,或称条件 q 是 p 成立的充要条 件,记作“p?q”. 2.从集合角度看概念: 如果条件 p 和结论 q 的结果分别可用集合 P、Q 表示,那么

①“p?q”,相当于“P?Q”.即:要使 x∈Q 成立,只要 x∈P 就足够了﹣﹣有它就行. ②“q?p”,相当于“P?Q”,即:为使 x∈Q 成立,必须要使 x∈P﹣﹣缺它不行. ③“p?q”,相当于“P=Q”,即:互为充要的两个条件刻画的是同一事物. 3.当命题“若 p 则 q”为真时,可表示为,则我们称 p 为 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.这里由,得出 p 为 q 的充分条件是容易理解的.但为什么说 q 是 p 的必要条件呢?事实上,与“”等价的逆否命题是“”.它的 意义是:若 q 不成立,则 p 一定不成立.这就是说,q 对于 p 是必不可少的,所以说 q 是 p 的必要条件. 4. “充要条件”的含义, 实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同. 也就是说, 如果命题 p 等价于命题 q, 那么我们说命题 p 成立的充要条件是命题 q 成立;同时有命题 q 成立的充要条件是命题 p 成立.

【解题方法点拨】1.借助于集合知识加以判断,若 P?Q,则 P 是 Q 的充分条件,Q 是的 P 的必要条件; 若 P=Q,则 P 与 Q 互为充要条件. 2.等价法:“P?Q”?“¬Q?¬P”,即原命题和逆否命题是等价的;原命题的逆命题和原命题的否命题是等 价的. 3. 对于充要条件的证明, 一般有两种方法: 其一, 是用分类思想从充分性、 必要性两种情况分别加以证明; 其二,是逐步找出其成立的充要条件用“?”连接.

【命题方向】充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系,它是中学数学最重要的数学概念之 一,它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中,都会考查此类问题.

3.函数的值 【知识点的认识】函数不等同于方程,严格来说函数的值应该说成是函数的值域.函数的值域和定义域一 样,都是常考点,也是易得分的点.其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围.

【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多,常用的方法有一下几种: ①基本不等式法:如当 x>0 时,求 2x+ 的最小值,有 2x+ ≥2 =8;

②转化法:如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值,那么可以看成是数轴上的点到 x=5 和 x=3 的距离之和,易知最小值 为 2; ③求导法:通过求导判断函数的单调性进而求出极值,再结合端点的值最后进行比较 例题:求 f(x)=lnx﹣x 在(0,+∞)的值域 解:f′(x)= ﹣1= ∴易知函数在(0,1]单调递增, (1,+∞)单调递减 ∴最大值为:ln1﹣1=﹣1,无最小值; 故值域为(﹣∞,﹣1) 【命题方向】函数的值域如果是单独考的话,主要是在选择题填空题里面出现,这类题难度小,方法集中, 希望同学们引起高度重视,而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主.

4.函数的单调性与导数的关系 【关系描述】若函数 f(x)在区间(a,b)内可导(前提条件) ,则有: ①如果恒有 f′(x)>0,则函数 f(x)在区间(a,b)内为增函数.这个从导数的定义可以知道,可以理 解为函数任意两个点的连线的斜率大于 0,是处于增长趋势的,故函数单调递增,且严格单调递增. (f′(x) <0 则反之) ②如果恒有 f′(x)=0,则函数 f(x)在区间(a,b)内为常数. ③若 f′(x)≥0,其中只有有限个点 f′(x)=0,则函数 f(x)在(a,b)内仍是增函数,如 y=x3; (叫做不 严格单调递增)

【实例解析】函数的求导是高考的必考题,还常常出压轴题,这里面我们通过简单的实例来了解一下函数 单调与导数的关系. 例:设函数 f(x)=x2ex﹣1+ax3+bx2,已知 x=﹣2 和 x=1 为 f(x)的极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性. 解:显然 f(x)的定义域为 R. (1)f'(x)=2xex﹣1+x2ex﹣1+3ax2+2bx=xex﹣1(x+2)+x(3ax+2b) , (2 分) 由 x=﹣2 和 x=1 为 f(x)的极值点,得 (4 分)



(5 分)

解得

(7 分)

(2)由(1)得 f'(x)=x(x+2) (ex﹣1﹣1) . (8 分) 令 f'(x)=0,得 x1=﹣2,x2=0,x3=1. (10 分)f'(x) 、f(x)随 x 的变化情况如下表: (13 分) x f'(x) f(x) (﹣∞,﹣2) ﹣2 ﹣ ↘ 0 极小值 (﹣2,0) 0 + ↗ 0 极大值 (0,1) ﹣ ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗

从上表可知:函数 f(x)在(﹣2,0)和(1,+∞)上是单调递增的,在(﹣∞,﹣2)和(0,1)上是单调递减 的. 这个题就是对概念的应用,根据极值点对于的导函数的值为 0,求出 a,b;第二位完全就是对导函数 的讨论,讨论在什么区间导函数大于 0,那么这个时候就是单调递增,在什么区间小于 0,那么在这个区间 函数单调递减.

【必考点】这个知识点的重要性大家都清楚,不管考题如何,先要确保拿下基本的分数,比方说求极值点 (横坐标) 、极值(纵坐标) ,求函数的单调性、函数的最值.它的原则就是通过导函数和 0 的比较确定单 调区间,这里强调的一点是导函数往往也是函数,必要的时候还需要对导函数进行求导.

5.利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系: (1)若 f′(x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0 的解集与定义域的 交集的对应区间为增区间; (2)若 f′(x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0 的解集与定义域的 交集的对应区间为减区间. 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤: (1)确定 f(x)的定义域; (2)计算导数 f′(x) ; (3)求出 f′(x)=0 的根; (4)用 f′(x)=0 的根将 f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内 f′(x)的符号,进而 确定 f(x)的单调区间:f′(x)>0,则 f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0, 则 f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间.

【典型例题分析】题型一:导数和函数单调性的关系 典例 1:已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为 ( ) C. (﹣∞,﹣1)D. (﹣∞,+∞)

A. (﹣1,1)B. (﹣1,+∞)

解:设 g(x)=f(x)﹣2x﹣4, 则 g′(x)=f′(x)﹣2, ∵对任意 x∈R,f′(x)>2, ∴对任意 x∈R,g′(x)>0, 即函数 g(x)单调递增, ∵f(﹣1)=2, ∴g(﹣1)=f(﹣1)+2﹣4=4﹣4=0, 则由 g(x)>g(﹣1)=0 得 x>﹣1, 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) , 故选:B

题型二:导数很函数单调性的综合应用 典例 2:已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1,2],函数 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证: 解: (Ⅰ) (2 分) .

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞) ; 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞) ,减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数(4 分)

(Ⅱ) ∴

得 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3 ,

∴g'(x)=3x2+(m+4)x﹣2(6 分) ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=﹣2 ∴

由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立,

所以有:

,∴

(10 分)

(Ⅲ)令 a=﹣1 此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时 f(x)>f(1) ,即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, (12 分) ∵n≥2,n∈N*,则有 0<lnn<n﹣1, ∴ ∴

【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使 f′(x)=0,在其余的点恒有 f′(x)>0,则 f(x)仍为增函 数(减函数的情形完全类似) .即在区间内 f′(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必 要条件.

6.利用导数求闭区间上函数的最值 【知识点的知识】一、利用导数求函数的极值

1、极大值 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)<f(x0) ,就说 f(x0) 是函数的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0) ,是极大值点. 2、极小值 一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0) ,就说 f(x0) 是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0) ,是极小值点. 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (ⅱ)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1 是极 大值点,x4 是极小值点,而 f(x4)>f(x1) .

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的 点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 4、判别 f(x0)式极大值、极小值的方法:

若 x0 满足 f′(x0)=0,且在 x0 的两侧 f(x)的导数异号,则 x0 是 f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且 如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左正右负”,则 x0 是 f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 f′(x)在 x0 两 侧满足“左负右正”,则 x0 是 f(x)的极小值点,f(x0)是极小值. 5、求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) ; (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程 根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这 个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值.

二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数 f(x)的图象.图中 f(x1)与 f(x3)是极小值,f(x2)是极大 值.函数 f(x)在[a,b]上的最大值是 f(b) ,最小值是 f(x1) . 一般地,在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. 说明: (1)在开区间(a,b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值.如函数 f(x)= 在(0,+∞) 内连续,但没有最大值与最小值; (2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. (3)函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,是 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必 要条件. (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤:

由上面函数 f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较,就可 以得出函数的最值了. 设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求 f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f(x)在(a,b)内的极值; (2)将 f(x)的各极值与 f(a) 、f(b)比较得出函数 f(x)在[a,b]上的最值.

【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点: (1)按定义,极值点 x0 是区间[a,b]内部的点,不会是端点 a,b(因为在端点不可导) . (2)极值是一个局部性概念,只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一 个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值,也就 是说极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小. (3)若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没 有极值. (4)若函数 f(x)在[a,b]上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必 有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,一般地,当函数 f(x)在[a,b]上连续且 有有限个极值点时,函数 f(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的, (5)可导函数的极值点必须是导数为 0 的点,但导数为 0 的点不一定是极值点,不可导的点也可能是极值 点,也可能不是极值点.

7.简单线性规划 【概念】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题,它是一种重要的 数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可以用数形结合方法求

出.我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域,然后在这个可行域上面求某函数 的最值或者是斜率的最值. 【例题解析】 例:若目标函数 z=x+y 中变量 x,y 满足约束条件 (1)试确定可行域的面积; (2)求出该线性规划问题中所有的最优解. 解: (1)作出可行域如图:对应得区域为直角三角形 ABC, 其中 B(4,3) ,A(2,3) ,C(4,2) , 则可行域的面积 S= = . .

(2)由 z=x+y,得 y=﹣x+z,则平移直线 y=﹣x+z, 则由图象可知当直线经过点 A(2,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最小, 此时 z 最小为 z=2+3=5, 当直线经过点 B(4,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最大, 此时 z 最大为 z=4+3=7, 故该线性规划问题中所有的最优解为(4,3) , (2,3)

这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型,解这种题一律先画图,把每条直线在同一个坐标系中表 示出来,然后确定所表示的可行域,也即范围;最后通过目标函数的平移去找到它的最值. 【考点预测】线性规划在实际中应用广泛,因此具有很高的实用价值,所以也成为了高考的一个热点.大 家在备考的时候,需要学会准确的画出可行域,然后会平移目标曲线.

8.等比数列的通项公式 【知识点的认识】1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这 个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0) .从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非 零的,公比 q 也是非零常数. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1?qn﹣1 3.等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. G2=a?b (ab≠0) 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am?qn﹣m(n,m∈N*) . (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n, (k,l,m,n∈N*) , 则 ak?al=am?an (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0) ,{a},{an?bn},仍是等比数列. ( 4) 单调性: 或 ?{an}是递增数列; 或? {an}是递减数列; q=1?{an}

是常数列;q<0?{an}是摆动数列.

9.数列递推式 【知识点的知识】 1、递推公式定义:如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an﹣1(或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 2、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式:an= .

在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系,是本讲内容一个重点,要认真掌握. 注意: (1) 用 an=Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时, 你注意到此等式成立的条件了吗? (n≥2, 当 n=1 时, a1=S1) ; 若 a1 适合由 an 的表达式,则 an 不必表达成分段形式,可化统一为一个式子. (2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式 an=Sn﹣Sn﹣1,先将已知条件转化为 只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解. 3、数列的通项的求法: (1)公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. (2)已知 Sn(即 a1+a2+…+an=f(n) )求 an,用作差法:an= .一般地当已知条

件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式,先将已知条件转化为只含 或 的关系式,然后再求解.

(3)已知 a1?a2…an=f(n)求 an,用作商法:an,=



(4)若 an+1﹣an=f(n)求 an,用累加法:an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1(n≥2) . (5)已知 =f(n)求 an,用累乘法:an= (n≥2) .

(6)已知递推关系求 an,有时也可以用构造法(构造等差、等比数列) .特别地有, ①形如 an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+bn(k,b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数 列后,再求 an.

②形如 an=

的递推数列都可以用倒数法求通项.

(7)求通项公式,也可以由数列的前几项进行归纳猜想,再利用数学归纳法进行证明.

10.平行向量与共线向量 【知识点的知识】 1、平行向量:方向相同或相反的非零向量.如果 , , 是非零向量且方向相同或相反(向量所在的直线 平行或重合) ,则可即位 ∥ ∥ ,任一组平行向量都可移动到同一条直线上,因此平行向量又叫共线向量, 任一向量都与它自身是平行向量,并且规定,零向量与任一向量平行. 2、共线向量:如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后,这些有向线段在同一条直线上,这样的一组 向量称为共线向量.零向量与任一向量共线. 说明: (1)向量有两个要素:大小和方向. (2)向量 与向量 共线的充要条件是:向量 a 与向量 b 的方向相同或相反,或者有一个是零向量.

11.复数相等的充要条件 【复数】复数是一个比实数更大的域,它包括实数,另外还包括虚数,其符号是 C,一般表达式是 a+bi; 其中 i 为虚数单位,我们把 a=0 且 b≠0 的数叫做纯虚数,a≠0,且 b=0 叫做实数.复数的模为 数相等的充要条件就是实部和虚部都要相等,相当于要满足两个条件. 【例题解析】 例:下列命题中正确的是. A. 若 a, b, c, d∈R, 则复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 或 b=d. B. 任何复数都不能比较大小. .复

C. 若

, 则 z1=z2.

D. 复数

的共轭复数是



解:A 选项不正确,若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d,故不正确; B 选项不正确,当两个复数都是实数是则可以比较大小,故此命题不正确; C 选项正确,共轭复数相等,两个复数一定相等; D 选项不正确,因为复数 综上 C 选项是正确的, 故选:C. 这个题考查了复数的概念,B 选项考查了复数是包括实数的,实数是可以比较大小的;还考察了复数的运 算,对于两个复数相除,一般的方法就是分子分母同乘以分母的共轭复数,使分母变成实数;对于 C 选项 则告诉我们复数要相等,实部和虚部必须相等,因为复数和共轭复数的实部相等,若虚部也相等的话,那 么这两个复数必相等. 【考点分析】 了解性的内容,能清楚复数相等的概念就可以了. = ,两者不是共轭的关系,故不正确.

12.频率分布直方图 【知识点的认识】 1. 频率分布直方图: 在直角坐标系中, 横轴表示样本数据, 纵轴表示频率与组距的比值, 将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示,由此画成的统计图叫做频率分布直方图.

2.频率分布直方图的特征

①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值,所有小矩形面积和为 1. ②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势. ③从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息被抹掉. 3.频率分布直方图求数据 ①众数:频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标. ②平均数:频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和. ③中位数:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 y 轴的直线横坐标. 【解题方法点拨】绘制频率分布直方图的步骤:

13.茎叶图 【知识点的认识】1.茎叶图:将样本数据有条理地列出来,从中观察样本分布情况的图称为茎叶图. 例:某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况:12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44, 49,50 得分表示成茎叶图如下:

2.茎叶图的优缺点: 优点: (1)所有信息都可以从茎叶图上得到 (2)茎叶图便于记录和表示 缺点: 分析粗略,对差异不大的两组数据不易分析;表示三位数以上的数据时不够方便. 【解题方法点拨】 茎叶图的制作步骤: (1)将每个数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)两部分 (2)将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列 (3)将各个数据的叶按大小次序写在茎右(左)侧 第 1 步中, ①如果是两位数字,则茎为十位上的数字,叶为个位上的数字,如 89,茎:8,叶:9. ②如果是三位数字,则茎为百位上的数字,叶为十位和个位上的数字,如 123,茎:1,叶:23. 对于重复出现的数据要重复记录,不能遗漏,同一数据出现几次,就要在图中体现几次.

14.古典概型及其概率计算公式 【考点归纳】1.定义:如果一个试验具有下列特征: (1)有限性:每次试验可能出现的结果(即基本事件)只有有限个;

(2)等可能性:每次试验中,各基本事件的发生都是等可能的. 则称这种随机试验的概率模型为古典概型. *古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可 以不通过大量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可. 2.古典概率的计算公式 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率 都是 ; 如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率为 P(A)= = .

【解题技巧】1.注意要点:解决古典概型的问题的关键是:分清基本事件个数 n 与事件 A 中所包含的基本 事件数. 因此要注意清楚以下三个方面: (1)本试验是否具有等可能性; (2)本试验的基本事件有多少个; (3)事件 A 是什么. 2.解题实现步骤: (1)仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深理解题意; (2)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A; (3)分别求出基本事件的个数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m; (4)利用公式 P(A)= 求出事件 A 的概率. 3.解题方法技巧: (1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 (2)利用分析法求解古典概型.

15.二项式定理的应用 【知识点的知识】二项式定理的应用: (1)求特征项:先求通项公式,再求满足条件的 r; (2)求二项式系数及项的系数的问题: ①二次项系数:每项中的组合数 ②项的系数:除去变量以外的部分 (3)证明组合恒等式问题:熟记组合数的各个性质; (4)整除、余数的问题:通常把底数适当地拆成两项之和或之差,再按二项式定理展开推得所求结论; (5)近似计算的问题:一般地,当 a 较小时, (1+a)n≈1+na *记清二项展开式的特点,熟记二项展开式的通项公式是正确应用二项式定理的关键.

16.程序框图 【知识点的知识】1.程序框图 (1)程序框图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表 示算法的图形; (2)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 起止框 功能 表示一个算法的起始和结束,是任何算法程序框图不可缺少的.

输入、 输出框表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的

位置. 处理框 赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等,它们分别写在不同 的用以处理数据的处理框内. 判断框 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时在出 口处标明则标明“否”或“N”. 流程线 算法进行的前进方向以及先后顺序

连结点 注释框

连接另一页或另一部分的框图 帮助编者或阅读者理解框图

(3)程序框图的构成. 一个程序框图包括以下几部分:实现不同算法功能的相对应的程序框;带箭头的流程线;程序框内必要的 说明文字.

17.正切函数的图象 【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 图象 y=sin x y=cos x y=tan x

定义域 值域

R [﹣1,1]

R [﹣1,1]

k∈Z R

单调性

递增区间:

递增区间: [2kπ﹣π,2kπ]

递增区间: (k∈Z)

(k∈Z) ; 递减区间:

(k∈Z) ; 递减区间: [2kπ,2kπ+π]

(k∈Z) 最 值

(k∈Z)

x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=1;x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;无最值 x=2kπ﹣(k∈Z)时, ymin=﹣1 x=2kπ+π(k∈Z) 时, ymin=﹣1 偶函数 奇函数 对称中心: (k∈Z) 无对称轴 π

奇偶性 对称性

奇函数

对称中心: (kπ,0) (k∈Z) 对称中心: (k∈Z) 对称轴:x=kπ+,k∈Z 对称轴:x=kπ,k∈Z 2π

周期



18.正弦定理 【知识点的知识】1.正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 =2R ( R 是△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccos A, b2=a2+c2﹣2accos B, c2=a2+b2﹣2abcos C 变形 形式 ①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ②sin A= ,sin B= ,sin C= ; cos A= ,

③a:b:c=sinA:sinB:sinC; ④asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A

cos B=



cos C= 解决 三角 形的 问题 在△ABC 中,已知 a,b 和角 A 时,解的情况 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; ①已知三边,求各角;

②②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他 ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他 两角 两角

关系式

a=bsin A

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

解的个数 一解

由上表可知,当 A 为锐角时,a<bsin A,无解.当 A 为钝角或直角时,a≤b,无解. 2、三角形常用面积公式 1.S= a?ha(ha 表示边 a 上的高) ; 2.S= absin C= acsin B= bcsin A.

1 2

1 2

3.S= r(a+b+c) (r 为内切圆半径) .

1 2

19.三角形中的几何计算 【知识点的知识】1、几何中的长度计算: (1)利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解:

①已知两角和任一边,求其他两边和一角. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) . (2)利用余弦定理可以求解: ①解三角形; ②判断三角形的形状; ③实现边角之间的转化.包括:a、已知三边,求三个角;b、已知两边和夹角,求第三边和其他两角.

(2)面积问题的解法: ①公式法:三角形、平行四边形、矩形等特殊图形,可用相应面积公式解决. ②割补法:若是求一般多边形的面积,可采用作辅助线的办法,通过分割或补形把不是三角形的几何图形 分割成不重叠的几个三角形,再由三角形的面积公式求解.

3、几何计算最值问题: (1)常见的求函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值; ②逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域. ⑦数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域. (2)正弦,余弦,正切函数值在三角形内角范围内的变化情况: ①当角度在 0°~90°间变化时,

正弦值随着角度的增大而增大,且 0≤sinα≤1; 余弦值随着角度的增大而减小,且 0≤cosα≤1; 正切值随着角度的增大而增大,tanα>0. ②当角度在 90°~180°间变化时, 正弦值随着角度的增大而减小,且 0≤sinα≤1; 余弦值随着角度的增大而减小,且﹣1≤cosα≤0; 正切值随着角度的增大而增大,tanα<0.

20.直线的斜率 【考点归纳】 1. 定义: 当直线倾斜角 α≠ 2.斜率的求法 (1)定义:k=tanα(α≠ (2)斜率公式:k= ) . 时, 其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 用小写字母 k 表示, 即 k=tanα.

3.斜率与倾斜角的区别和联系 (1)区别:①每条直线都有倾斜角,范围是[0,π) ,但并不是每条直线都有斜率. ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向,而斜率是从代数的角度刻画直线的方向. (2)联系:①当 a≠ 时,k=tanα;当 α= 时,斜率不存在; )时,k>0 且随 α 的增大而增大,当 α∈( ,

②根据正切函数 k=tanα 的单调性:当 α∈[0, π)时,k<0 且随 α 的增大而增大. 【命题方向】

直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是刻画直线倾 斜程度的几何要素与代数表示,也是用坐标法研究直线性质的基础.在高考中多以选择填空形式出现,是 高考考查的热点问题. 常见题型: (1)已知倾斜角范围求斜率的范围; (2)已知斜率求倾斜角的问题. (3)斜率在数形结合中的应用.

21.两点间的距离公式 【知识点的知识】 (1)两点间的距离公式: 点与点的空间距离即为两点的距离,我们设 A 点的坐标为(x1,y1) ,B 点的坐标为(x2,y2) ,那么这 两点的距离公式为 d= .

(2)点到直线的距离公式:



(3)平行直线间的距离公式:



22.双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0)

图形

F1(﹣c,0) ,F2( c,0) 焦点 焦距 范围 对称 顶点 性 轴 |F1F2|=2c |x|≥a,y∈R 关于 x 轴,y 轴和原点对称 (﹣a,0) . (a,0) 实轴长 2a,虚轴长 2b

F1(0,﹣c) ,F2(0,c)

a2+b2=c2 |y|≥a,x∈R

(0,﹣a) (0,a)

离心率 e= (e>1) 准线 x=± ± =0 y=± ± =0

渐近线



23.直线与圆锥曲线的综合问题 【概述】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点,比方说求封闭面积,求距离,求他们的关系等等, 常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系,通过这两个关系的变形去求解.

【实例解析】例:已知圆锥曲线 C 上任意一点到两定点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)的距离之和为常数,曲线 C 的离心率 .

(1)求圆锥曲线 C 的方程; (2)设经过点 F2 的任意一条直线与圆锥曲线 C 相交于 A、B,试证明在 x 轴上存在一个定点 P,使 的值是常数. 解: (1)依题意,设曲线 C 的方程为 (a>b>0) ,

∴c=1, ∵ ∴a=2, ∴ , ,

所求方程为



(2)当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设其方程为 y=k(x﹣1) ,





得(3+4k2)x2﹣8k2x+4(k2﹣3)=0, 从而 , ,

设 P(t,0) ,则 =





解得 此时对?k∈R, ;

当 AB⊥x 轴时,直线 AB 的方程为 x=1, xA=xB=1, 对 , ,使 的值为常数 . , ,

即存在 x 轴上的点

这是一道符合高考命题思维的题型,一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式;第二问在求证某 种特殊的关系,像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式.我们看看解答思路,第一问就是 求 a、b、c 中的两个值即可;第二问先是联立方程,然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系, 这也是常用的方法. 【考点分析】必考题,也是难题,希望大家多总结,尽量去总结一下各种题型和方法,在考试的时候,如 果运算量大可以适当的放到最后做.

24.由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1.三视图:观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形,包括: (1)主视图:物体前后方向投影所得到的投影图,反映物体的高度和长度; (2)左视图:物体左右方向投影所得到的投影图,反映物体的高度和宽度; (3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图,反映物体的长度和宽度. 2.三视图的画图规则:

(1)高平齐:主视图和左视图的高保持平齐; (2)长对正:主视图和俯视图的长相对应; (3)宽相等:俯视图和左视图的宽度相等. 3.常见空间几何体表面积、体积公式

(1)表面积公式:

(2)体积公式:

【解题思路点拨】1.解题步骤: (1)由三视图定对应几何体形状(柱、锥、球) (2)选对应公式 (3)定公式中的基本量(一般看俯视图定底面积,看主、左视图定高) (4)代公式计算 2.求面积、体积常用思想方法:

(1)截面法:尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题,常用轴截面进行分析求解; (2)割补法:求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法; (3)等体积转化:充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点,灵活求解三棱锥的体积; (4)还台为锥的思想:这是处理台体时常用的思想方法. 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一,是新课程高考重点考查的内容.解答此类问题,必须熟练掌 握三视图的概念,弄清视图之间的数量关系:正视图、俯视图之间长相等,左视图、俯视图之间宽相等, 正视图、 左视图之间高相等 (正俯长对正, 正左高平齐, 左俯宽相等) , 要善于将三视图还原成空间几何体, 熟记各类几何体的表面积和体积公式,正确选用,准确计算. 例:某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.8﹣2π

B.8﹣π

C.8﹣

D.8﹣

分析:几何体是正方体切去两个 圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高,把数 据代入正方体与圆柱的体积公式计算. 解答:由三视图知:几何体是正方体切去两个 圆柱, 正方体的棱长为 2,切去的圆柱的底面半径为 1,高为 2, ∴几何体的体积 V=23﹣2× ×π×12×2=8﹣π. 故选:B. 点评:本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题 的关键.

25.球的体积和表面积 【知识点的认识】1.球体:在空间中,到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体,简称球.其中 到定点距离等于定长的点的集合为球面. 2.球体的体积公式 设球体的半径为 R, V 球体= 3.球体的表面积公式 设球体的半径为 R, S 球体=4πR2. 【命题方向】 考查球体的体积和表面积公式的运用,常见结合其他空间几何体进行考查,以增加试题难度,根据题目所 给条件得出球体半径是解题关键.

26.直线与平面所成的角 【知识点的知识】 1、直线和平面所成的角,应分三种情况:? (1)直线与平面斜交时,直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角; (2)直线和平面垂直时,直线和平面所成的角的大小为 90°;? (3)直线和平面平行或在平面内时,直线和平面所成的角的大小为 0°.? 显然,斜线和平面所成角的范围是(0, ) ;直线和平面所成的角的范围为[0, ].?

2、一条直线和一个平面斜交,它们所成的角的度量问题(空间问题)是通过斜线在平面内的射影转化为两 条相交直线的度量问题(平面问题)来解决的.具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似,有如下的环 节:? (1)作﹣﹣作出斜线与射影所成的角;? (2)证﹣﹣论证所作(或找到的)角就是要求的角;? ( 3) 算﹣﹣常用解三角形的方法 (通常是解由垂线段、 斜线段、 斜线段的射影所组成的直角三角形) 求出角. ? (4)答﹣﹣回答求解问题. 在求直线和平面所成的角时,垂线段是其中最重要的元素,它可起到联系各线段的纽带的作用.在直 线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想.?

3、斜线和平面所成角的最小性: 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的,其中一条直线就是斜线本身,另一条直 线是斜线在平面上的射影.在平面内经过斜足的直线有无数条,它们和斜线都组成相交的两条直线,为什 么选中射影和斜线这两条相交直线,用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢?原因是斜线和平面 内经过斜足的直线所成的一切角中,它是最小的角.对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的,它的大小 反映了斜线关于平面的“倾斜程度”.根据线面所成的角的定义,有结论:斜线和平面所成的角,是这条斜线 和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.

27.相似三角形的判定 【知识点的知识】 相似三角形的判定

定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或 相似系数) .预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与 原三角形相似. 判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. 判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相 等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.

28.简单曲线的极坐标方程 【知识点的认识】 一、曲线的极坐标方程 定义:如果曲线 C 上的点与方程 f(ρ,θ)=0 有如下关系 (1)曲线 C 上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程 f(ρ,θ)=0; (2)以方程 f(ρ,θ)=0 的所有解为坐标的点都在曲线 C 上. 则曲线 C 的方程是 f(ρ,θ)=0.

二、求曲线的极坐标方程的步骤: 与直角坐标系里的情况一样 ①建系 (适当的极坐标系) ②设点 (设 M( ρ,θ)为要求方程的曲线上任意一点)

③列等式(构造△,利用三角形边角关系的定理列关于 M 的等式) ④将等式坐标化 ⑤化简 (此方程 f(ρ,θ)=0 即为曲线的方程)

三、圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为 r,ρ=r. (2)中心在 C(ρ0,θ0) ,半径为 r. ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos(θ﹣θ0)=r2.

四、直线的极坐标方程 (1)过极点,θ=θ0(ρ∈R) (2)过某个定点垂直于极轴,ρcosθ=a (3)过某个定点平行于极轴,rsinθ=a (4)过某个定点(ρ1,θ1) ,且与极轴成的角度 α,ρsin(α﹣θ)=ρ1sin(α﹣θ1)

五、直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图; 2、设点 M(ρ,θ)是直线上任意一点; 3、连接 MO; 4、根据几何条件建立关于 ρ,θ 的方程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求.

29.参数方程化成普通方程 【知识点的认识】 参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程:消去参数,消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等.如 果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t) ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关 系 y=g(t) ,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一 致.

30.不等式的证明 【知识点的知识】 证明不等式的基本方法: 1、比较法: (1)作差比较法 ①理论依据:a>b?a﹣b>0;a<b?a﹣b<0. ②证明步骤:作差→变形→判断符号→得出结论. 注:作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0 的大小关系. (2)作商比较法 ①理论依据:b>0, >1?a>b;b<0, <1?a<b; ②证明步骤:作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论. 2、综合法 (1)定义:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得到命题成立, 这种证明方法叫做综合法.综合法又叫做推证法或由因导果法.

(2)思路:综合法的思索路线是“由因导果”,也就是从一个(组)已知的不等式出发,不断地用必要条件 代替前面的不等式,直至推导出要求证明的不等式. 3、分析法 (1)定义:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立 的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等) ,从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. (2)思路:分析法的思索路线是“执果索因”,即从要证的不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不 等式,直到打到已知不等式为止. 注:综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理清楚.当问题比较 复杂时,通常把分析法和综合法结合起来使用,以分析法寻找证明的思路,用综合法叙述、表达整个证明 过程. 4、放缩法 (1)定义:证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目 的,这种证明方法称为放缩法. (2)思路:分析证明式的形式特点,适当放大或缩小是证题关键. 常用的放缩技巧有:

2015 年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标 II)

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)

1. (5 分)已知集合 A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|(x﹣1) (x+2)<0},则 A∩B=( A.{﹣1,0} B.{0,1} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}



2. (5 分)若 a 为实数,且(2+ai) (a﹣2i)=﹣4i,则 a=( A.﹣1 B.0 C.1 D.2



3. (5 分)根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下 结论中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

4. (5 分)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=( A.21 B.42 C.63 D.84



5. (5 分)设函数 f(x)= A .3 B.6 C.9 D.12

,则 f(﹣2)+f(log212)=(



6. (5 分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为( )

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,﹣7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|=( A .2 B.8 C.4 D.10



8. (5 分)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序 框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( )

A .0

B.2

C.4

D.14

9. (5 分)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π C.144π D.256π )

10. (5 分)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 y=f(x)的图象大致为 ( )

A.

B.

C.

D.

11. (5 分) 已知 A, B 为双曲线 E 的左, 右顶点, 点 M 在 E 上, △ABM 为等腰三角形, 顶角为 120°, 则 E 的离心率为( A. B.2 C. ) D.

12. (5 分)设函数 f′(x)是奇函数 f(x) (x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣f(x) <0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) B. (﹣1,0)∪(1,+∞) ) C. (﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D. (0,1)∪(1,+∞)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

13. (5 分)设向量 , 不平行,向量 λ + 与 +2 平行,则实数 λ=



14. (5 分)若 x,y 满足约束条件

,则 z=x+y 的最大值为



15. (5 分) (a+x) (1+x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a=



16. (5 分)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=﹣1,an+1=SnSn+1,则 Sn=



三、解答题(共 5 小题,满分 60 分)

17. (12 分)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍. (1)求 ; ,求 BD 和 AC 的长.

(2)若 AD=1,DC=

18. (12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得 到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及 分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可) ; (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:

满意度评分 满意度等级

低于 70 分 不满意

70 分到 89 分 满意

不低于 90 分 非常满意

记事件 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”, 假设两地区用户的评价结果相互独立, 根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的频率,求 C 的概率.

19. (12 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1, D1C1 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值.

20. (12 分)已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两 个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点( ,m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由.

21. (12 分)设函数 f(x)=emx+x2﹣mx. (1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;

(2)若对于任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求 m 的取值范围.

四、选做题.选修 4-1:几何证明选讲

22. (10 分)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底 边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 ,求四边形 EBCF 的面积.

选修 4-4:坐标系与参数方程

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(t 为参数,t≠0) ,其中 0≤α≤π,在以 O 为极点, cosθ.

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标;

(2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

选修 4-5:不等式选讲

24.设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 ab>cd,则 + > + ;

( 2)

+



+

是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.

2015 年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标 II)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|(x﹣1) (x+2)<0},则 A∩B=( A.{﹣1,0} B.{0,1} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2} )

【考点】交集及其运算. 【专题】集合.

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【分析】解一元二次不等式,求出集合 B,然后进行交集的运算即可. 【解答】解:B={x|﹣2<x<1},A={﹣2,﹣1,0,1,2}; ∴A∩B={﹣1,0}. 故选:A. 【点评】考查列举法、描述法表示集合,解一元二次不等式,以及交集的运算.

2. (5 分)若 a 为实数,且(2+ai) (a﹣2i)=﹣4i,则 a=( A.﹣1 B.0 C.1 D.2



【考点】复数相等的充要条件. 【专题】数系的扩充和复数.

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【分析】首先将坐标展开,然后利用复数相等解之. 【解答】解:因为(2+ai) (a﹣2i)=﹣4i,所以 4a+(a2﹣4)i=﹣4i, 4a=0,并且 a2﹣4=﹣4, 所以 a=0; 故选:B.

【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件,熟记运算法则以及复数相等的条件是关键.

3. (5 分)根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中 不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量减少的最多,故 A 正确; B 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少,故 B 正确; C 从图中看出,2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故 C 正确; D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故 D 错误. 【解答】解:A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的 最多,故 A 正确; B2004﹣2006 年二氧化硫排放量越来越多,从 2007 年开始二氧化硫排放量变少,故 B 正确;

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C 从图中看出,2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故 C 正确; D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故 D 错误. 故选:D 【点评】本题考查了学生识图的能力,能够从图中提取出所需要的信息,属于基础题.

4. (5 分)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=( A.21 B.42 C.63 D.84



【考点】等比数列的通项公式.

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【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】由已知,a1=3,a1+a3+a5=21,利用等比数列的通项公式可求 q,然后在代入等比数列通项公式即 可求. 【解答】解:∵a1=3,a1+a3+a5=21, ∴ ∴q4+q2+1=7, ∴q4+q2﹣6=0, ∴q2=2, ∴a3+a5+a7= 故选:B 【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用,属于基础试题. =3×(2+4+8)=42. ,

5. (5 分)设函数 f(x)=

,则 f(﹣2)+f(log212)=( D.12



A .3

B.6

C.9

【考点】函数的值.

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【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】先求 f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,再由对数恒等式,求得 f(log212)=6,进而得到所求和. 【解答】解:函数 f(x)= ,

即有 f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3, f(log212)= =12× =6,

则有 f(﹣2)+f(log212)=3+6=9. 故选 C. 【点评】本题考查分段函数的求值,主要考查对数的运算性质,属于基础题.

6. (5 分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积 的比值为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积.

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【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可. 【解答】解:设正方体的棱长为 1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,

∴正方体切掉部分的体积为 ∴剩余部分体积为 1﹣ = ,

×1×1×1= ,

∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为 . 故选:D.

【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状,求几何体的体积.

7. (5 分)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,﹣7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|=( A .2 B.8 C.4 D.10



【考点】两点间的距离公式. 【专题】计算题;直线与圆.

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【分析】设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入点的坐标,求出 D,E,F,令 x=0,即可得出结论.

【解答】解:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则



∴D=﹣2,E=4,F=﹣20, ∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0, 令 x=0,可得 y2+4y﹣20=0, ∴y=﹣2±2 ∴|MN|=4 故选:C. , .

【点评】本题考查圆的方程,考查学生的计算能力,确定圆的方程是关键.

8. (5 分)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图, 若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( )

A .0

B.2

C.4

D.14

【考点】程序框图.

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【专题】算法和程序框图. 【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的 a,b 的值,即可得到结论. 【解答】解:由 a=14,b=18,a<b, 则 b 变为 18﹣14=4, 由 a>b,则 a 变为 14﹣4=10, 由 a>b,则 a 变为 10﹣4=6, 由 a>b,则 a 变为 6﹣4=2, 由 a<b,则 b 变为 4﹣2=2, 由 a=b=2, 则输出的 a=2. 故选:B.

【点评】本题考查算法和程序框图,主要考查循环结构的理解和运用,以及赋值语句的运用,属于基础题.

9. (5 分)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O﹣ABC 体积的 最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π C.144π 【考点】球的体积和表面积. )

D.256π

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【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ABC 的体积最大,利用三棱锥 O﹣ABC 体积的 最大值为 36,求出半径,即可求出球 O 的表面积. 【解答】解:如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ABC 的体积最大,设球 O 的 半径为 R,此时 VO﹣ABC=VC﹣AOB= 故选 C. = =36,故 R=6,则球 O 的表面积为 4πR2=144π,

【点评】本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱 锥 O﹣ABC 的体积最大是关键.

10. (5 分)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动, 记∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 y=f(x)的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】正切函数的图象.

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【分析】根据函数图象关系,利用排除法进行求解即可. 【解答】解:当 0≤x≤ 此时 f(x)= 时,BP=tanx,AP= +tanx,0≤x≤ ≤x≤ = ,

,此时单调递增, 时, =﹣ ,

当 P 在 CD 边上运动时,

且 x≠

如图所示,tan∠POB=tan(π﹣∠POQ)=tanx=﹣tan∠POQ=﹣ ∴OQ=﹣ , ,PC=BO+OQ=1﹣ , , , ≤x≤π,PA+PB= 对称,

∴PD=AO﹣OQ=1+ ∴PA+PB= 当 x=

时,PA+PB=2

当 P 在 AD 边上运动时,

﹣tanx,

由对称性可知函数 f(x)关于 x= 且 f( )>f(

) ,且轨迹为非线型,

排除 A,C,D, 故选:B.

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据条件先求出 0≤x≤

时的解析式是解决本题的关键.

11. (5 分)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,顶角为 120°,则 E 的离心率为( A. B.2 ) C. D.

【考点】双曲线的简单性质.

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【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 M 在双曲线 ﹣ =1 的左支上,由题意可得 M 的坐标为(﹣2a, a) ,代入双曲线方程可得

a=b,再由离心率公式即可得到所求值. 【解答】解:设 M 在双曲线 ﹣ =1 的左支上,

且 MA=AB=2a,∠MAB=120°, 则 M 的坐标为(﹣2a, 代入双曲线方程可得, ﹣ =1, a) ,

可得 a=b, c= 即有 e= = 故选:D. = . a,

【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,运用任意角的三角函数的定义 求得 M 的坐标是解题的关键.

12. (5 分)设函数 f′(x)是奇函数 f(x) (x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣f(x)<0, 则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) ) C. (﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D. (0,1)∪(1,+∞)

B. (﹣1,0)∪(1,+∞)

【考点】函数的单调性与导数的关系.

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【专题】创新题型;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】由已知当 x>0 时总有 xf′(x)﹣f(x)<0 成立,可判断函数 g(x)= 为减函数,由已知 f

(x)是定义在 R 上的奇函数,可证明 g(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,根据函数 g(x)在(0, +∞)上的单调性和奇偶性,模拟 g(x)的图象,而不等式 f(x)>0 等价于 x?g(x)>0,数形结合解不 等式组即可. 【解答】解:设 g(x)= ,则 g(x)的导数为:g′(x)= ,

∵当 x>0 时总有 xf′(x)<f(x)成立, 即当 x>0 时,g′(x)恒小于 0, ∴当 x>0 时,函数 g(x)= 又∵g(﹣x)= = 为减函数, = =g(x) ,

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数 又∵g(﹣1)= =0,

∴函数 g(x)的图象性质类似如图: 数形结合可得,不等式 f(x)>0?x?g(x)>0

?





?0<x<1 或 x<﹣1. 故选:A.

【点评】 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性, 并由函数的奇偶性和单调性解不等式, 属于综合题.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)设向量 , 不平行,向量 λ + 与 +2 平行,则实数 λ= 【考点】平行向量与共线向量. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用向量平行即共线的条件,得到向量 λ + 与 +2 之间的关系,利用向量相等解答. 【解答】解:因为向量 , 不平行,向量 λ + 与 +2 平行,所以 λ + =μ( +2 ) , 所以 ,解得 ; .

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故答案为: . 【点评】本题考查了向量关系的充要条件:如果两个非 0 向量 共线,那么存在唯一的参数 λ,使得

14. (5 分)若 x,y 满足约束条件

,则 z=x+y 的最大值为



【考点】简单线性规划.

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【专题】不等式的解法及应用. 【分析】首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在 y 轴的截距最大值. 【解答】解:不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过 D 点时,z 最大, 由 得 D(1, ) , ;

所以 z=x+y 的最大值为 1+

故答案为: . 【点评】本题考查了简单线性规划;一般步骤是:①画出平面区域;②分析目标函数,确定求最值的条件.

15. (5 分) (a+x) (1+x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= 3 . 【考点】二项式定理的应用.

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【专题】计算题;二项式定理. 【分析】给展开式中的 x 分别赋值 1,﹣1,可得两个等式,两式相减,再除以 2 得到答案.

【解答】解:设 f(x)=(a+x) (1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5, 令 x=1,则 a0+a1+a2+…+a5=f(1)=16(a+1) ,① 令 x=﹣1,则 a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f(﹣1)=0.② ①﹣②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1) , 所以 2×32=16(a+1) , 所以 a=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时,一般先设出展开式,再用赋值法代入特殊值,相加或相减.

16. (5 分)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=﹣1,an+1=SnSn+1,则 Sn= ﹣ 【考点】数列递推式.



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【专题】创新题型;等差数列与等比数列. 【分析】通过 an+1=Sn+1﹣Sn=SnSn+1,并变形可得数列{ }是以首项和公差均为﹣1 的等差数列,进而可得结

论. 【解答】解:∵an+1=SnSn+1, ∴an+1=Sn+1﹣Sn=SnSn+1, ∴ = ﹣ =1,





=﹣1,

又 a1=﹣1,即

=

=﹣1,

∴数列{

}是以首项和公差均为﹣1 的等差数列,



=﹣1﹣1(n﹣1)=﹣n,

∴Sn=﹣ , 故答案为:﹣ . 【点评】本题考查求数列的通项,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中 档题.

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍. (1)求 ; ,求 BD 和 AC 的长.

(2)若 AD=1,DC=

【考点】正弦定理;三角形中的几何计算. 【专题】解三角形.

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【分析】 (1)如图,过 A 作 AE⊥BC 于 E,由已知及面积公式可得 BD=2DC,由 AD 平分∠BAC 及正弦定 理可得 sin∠B= (2)由(1)可求 BD= ,sin∠C= ,从而得解 .

.过 D 作 DM⊥AB 于 M,作 DN⊥AC 于 N,由 AD 平分∠BAC,可求 AB=2AC,

令 AC=x,则 AB=2x,利用余弦定理即可解得 BD 和 AC 的长. 【解答】解: (1)如图,过 A 作 AE⊥BC 于 E,



=

=2

∴BD=2DC, ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC

在△ABD 中, 在△ADC 中, ∴ =

= = = .…6 分

,∴sin∠B= ,∴sin∠C= ;

(2)由(1)知,BD=2DC=2×

=



过 D 作 DM⊥AB 于 M,作 DN⊥AC 于 N, ∵AD 平分∠BAC, ∴DM=DN,



=

=2,

∴AB=2AC, 令 AC=x,则 AB=2x, ∵∠BAD=∠DAC, ∴cos∠BAD=cos∠DAC,

∴由余弦定理可得: ∴x=1, ∴AC=1, ∴BD 的长为 ,AC 的长为 1.

=



【点评】本题主要考查了三角形面积公式,正弦定理,余弦定理等知识的应用,属于基本知识的考查.

18. (12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户 对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及 分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可) ; (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”, 假设两地区用户的评价结果相互独立, 根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的频率,求 C 的概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式;茎叶图. 【专题】概率与统计.

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【分析】 (1)根据茎叶图的画法,以及有关茎叶图的知识,比较即可; (2)根据概率的互斥和对立,以及概率的运算公式,计算即可. 【解答】解: (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意评分的平均值高于 B 地区用户满意评分的平均值;A 地区用户满意 度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散; (2)记 CA1 表示事件“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”, 记 CA2 表示事件“A 地区用户满意度等级为非常满意”, 记 CB1 表示事件“B 地区用户满意度等级为不满意”, 记 CB2 表示事件“B 地区用户满意度等级为满意”, 则 CA1 与 CB1 独立,CA2 与 CB2 独立,CB1 与 CB2 互斥, 则 C=CA1CB1∪CA2CB2, P(C)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2) , 由所给的数据 CA1,CA2,CB1,CB2,发生的频率为 所以 P(CA1)= 所以 P(C)= × ,P(CA2)= + × ,P(CB1)= , , , , ,Φ

,P(CB2)=

=0.48.

【点评】本题考查了茎叶图,概率的互斥与对立,用频率来估计概率,属于中档题.

19. (12 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角.

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【专题】空间角;空间向量及应用. 【分析】 (1)容易知道所围成正方形的边长为 10,再结合长方体各边的长度,即可找出正方形的位置,从 而画出这个正方形; (2)分别以直线 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,考虑用空间向量解决本问,能够确 定 A,H,E,F 几点的坐标.设平面 EFGH 的法向量为 , 坐标可以求出,可设直线 AF 与平面 EFGH 所成角为 θ,由 sinθ= ,根据 即可求出法向量 即可求得直线

AF 与平面 α 所成角的正弦值. 【解答】解: (1)交线围成的正方形 EFGH 如图: (2)作 EM⊥AB,垂足为 M,则: EH=EF=BC=10,EM=AA1=8; ∴ ,∴AH=10;

以边 DA,DC,DD1 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则: A(10,0,0) ,H(10,10,0) ,E(10,4,8) ,F(0,4,8) ; ∴ 设 ; 为平面 EFGH 的法向量,则: ,取 z=3,则 ;

若设直线 AF 和平面 EFGH 所成的角为 θ,则:

sinθ=

=

; .

∴直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值为

【点评】考查直角三角形边的关系,通过建立空间直角坐标系,利用空间向量解决线面角问题的方法,弄 清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系,以及向量夹角余弦的坐标公式.

20. (12 分)已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点( ,m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线的斜率. 【专题】创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (1)联立直线方程和椭圆方程,求出对应的直线斜率即可得到结论. (2)四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM,建立方程关系即可 得到结论. 【解答】解: (1)设直线 l:y=kx+b, (k≠0,b≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(xM,yM) , 将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2(m>0) ,得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0, 则 x1+x2= ,则 xM= = ,yM=kxM+b= ,

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于是直线 OM 的斜率 kOM=

=



即 kOM?k=﹣9, ∴直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形 OAPB 能为平行四边形. ∵直线 l 过点( ,m) , ∴l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k>0,k≠3, 由(1)知 OM 的方程为 y= 设 P 的横坐标为 xP, x,





,即 xP=



将点( ,m)的坐标代入 l 的方程得 b= 即 l 的方程为 y=kx+ 将 y= 得 kx+ 解得 xM= x,代入 y=kx+ = x , , ,



四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM, 于是 =2× ,

解得 k1=4﹣

或 k2=4+



∵ki>0,ki≠3,i=1,2, ∴当 l 的斜率为 4﹣ 或 4+ 时,四边形 OAPB 能为平行四边形.

【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题,联立方程组转化为一元二次方程,利用根与系数之间 的关系是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.

21. (12 分)设函数 f(x)=emx+x2﹣mx. (1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)若对于任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】创新题型;导数的概念及应用. 【分析】 (1)利用 f′(x)≥0 说明函数为增函数,利用 f′(x)≤0 说明函数为减函数.注意参数 m 的讨论; (2)由(1)知,对任意的 m,f(x)在[﹣1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,则恒成立问题转化为最大值 和最小值问题.从而求得 m 的取值范围. 【解答】解: (1)证明:f′(x)=m(emx﹣1)+2x. 若 m≥0,则当 x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1≤0,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,emx﹣1≥0,f′(x)>0. 若 m<0,则当 x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1>0,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,emx﹣1<0,f′(x)>0. 所以,f(x)在(﹣∞,0)时单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)由(1)知,对任意的 m,f(x)在[﹣1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故 f(x)在 x=0 处取得最小 值. 所以对于任意 x1,x2∈[﹣1,1],|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1 的充要条件是

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设函数 g(t)=et﹣t﹣e+1,则 g′(t)=et﹣1. 当 t<0 时,g′(t)<0;当 t>0 时,g′(t)>0.故 g(t)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.

又 g(1)=0,g(﹣1)=e﹣1+2﹣e<0,故当 t∈[﹣1,1]时,g(t)≤0. 当 m∈[﹣1,1]时,g(m)≤0,g(﹣m)≤0,即合式成立; 当 m>1 时,由 g(t)的单调性,g(m)>0,即 em﹣m>e﹣1. 当 m<﹣1 时,g(﹣m)>0,即 e﹣m+m>e﹣1. 综上,m 的取值范围是[﹣1,1] 【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用.属于难题,高考压轴题.

四、选做题.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的 高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 ,求四边形 EBCF 的面积.

【考点】相似三角形的判定.

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【专题】开放型;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)通过 AD 是∠CAB 的角平分线及圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F,利用相似的性质即得结 论; (2)通过(1)知 AD 是 EF 的垂直平分线,连结 OE、OM,则 OE⊥AE,利用 S△ABC﹣S△AEF 计算即可. 【解答】 (1)证明:∵△ABC 为等腰三角形,AD⊥BC,

∴AD 是∠CAB 的角平分线, 又∵圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F, ∴AE=AF,∴AD⊥EF, ∴EF∥BC; (2)解:由(1)知 AE=AF,AD⊥EF,∴AD 是 EF 的垂直平分线, 又∵EF 为圆 O 的弦,∴O 在 AD 上, 连结 OE、OM,则 OE⊥AE, 由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=2OE, ∴∠OAE=30°,∴△ABC 与△AEF 都是等边三角形, ∵AE=2 ,∴AO=4,OE=2, ,∴OD=1,

∵OM=OE=2,DM= MN= ∴AD=5,AB= ,

∴四边形 EBCF 的面积为

×

﹣ ×

×

=



【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系,考查四边形面积的计算,注意解题方法的积累,属于中 档题.

选修 4-4:坐标系与参数方程

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(t 为参数,t≠0) ,其中 0≤α≤π,在以 O 为极点,x 轴 cosθ.

正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标;

(2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】 (I) 由曲线 C2: ρ=2sinθ, 化为 ρ2=2ρsinθ, 把 代入可得直角坐标方程. 同理由 C3:

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ρ=2

cosθ.可得直角坐标方程,联立解出可得 C2 与 C3 交点的直角坐标.

(2)由曲线 C1 的参数方程,消去参数 t,化为普通方程:y=xtanα,其中 0≤α≤π,其极坐标方程为:θ=α (ρ∈R,ρ≠0) ,利用|AB|= 即可得出.

【解答】解: (I)由曲线 C2:ρ=2sinθ,化为 ρ2=2ρsinθ, ∴x2+y2=2y. 同理由 C3:ρ=2 联立 cosθ.可得直角坐标方程: , ,

解得





∴C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0) , (2)曲线 C1: θ=α(ρ∈R,ρ≠0) , ∵A,B 都在 C1 上, ∴A(2sinα,α) ,B .



(t 为参数,t≠0) ,化为普通方程:y=xtanα,其中 0≤α≤π,其极坐标方程为:

∴|AB|= 当

=4 时,|AB|取得最大值 4.



【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距 离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

选修 4-5:不等式选讲 24.设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 ab>cd,则 ( 2) + > + + > + ;

是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.

【考点】不等式的证明;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】不等式的解法及应用;简易逻辑.

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【分析】 (1)运用不等式的性质,结合条件 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,ab>cd,即可得证; (2)从两方面证,①若 + > + ,证得|a﹣b|<|c﹣d|,②若|a﹣b|<|c﹣d|,证得 + > + ,注

意运用不等式的性质,即可得证. 【解答】证明: (1)由于( ( + )2=c+d+2 , + )2=a+b+2 ,

由 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,ab>cd, 则 > + > + , )2>( + ; > + ,则( , + )2>( + )2, + )2,

即有( 则 +

(2)①若 即为 a+b+2

>c+d+2

由 a+b=c+d,则 ab>cd, 于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab, (c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd, 即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|; ②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2, 即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd, 由 a+b=c+d,则 ab>cd, 则有( + )2>( + > + + )2. 是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.

综上可得,

【点评】本题考查不等式的证明,主要考查不等式的性质的运用,同时考查充要条件的判断,属于基础题.


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