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椭圆经典结论



1. 2.



点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角 外角. 外角 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点.

3. 4. 5. 6.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 相离. 相离 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 内切. 内切

7.

xx y y x2 y2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 + 02 = 1 . a b a b 2 2 x y 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切 a b xx y y 点弦 P1P2 的直线方程是 02 + 02 = 1 . a b 2 2 x y 椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1 ,F 2 ,点 P 为椭圆上任意一点 a b ∠F1 PF2 = γ ,则椭圆的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 = b 2 tan

γ

2

.

8.

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的焦半径公式: > > )的焦半径公式: a2 b2 | MF1 |= a + ex0 , | MF2 |= a ? ex0 ( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) M ( x0 , y0 ) ).
椭圆 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是 椭 圆

kOM ? k AB

x2 y2 + = 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的 中 点 , 则 a2 b2 b2 x b2 = ? 2 ,即 K AB = ? 2 0 。 a a y0 x2 y2 + = 1 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a2 b2

12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆

x0 x y0 y x0 2 y0 2 + 2 = 2 + 2 . a2 b a b
13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆

x2 y2 + = 1 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 a2 b2

x 2 y 2 x0 x y0 y + = 2 + 2 . a2 b2 a b

双曲线
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1. 2.

点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角 内角. 内角 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角, 为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3. 4.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 相交. 相交 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切: 相 P 在左支)

5.

6.

7.

x2 y2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程 a b x0 x y0 y 是 2 ? 2 = 1. a b x2 y2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切 a b xx y y 线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 = 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意 a b
一点 ∠F1 PF2 = γ ,则双曲线的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 = b co t
2

γ

2

.

8.

x2 y2 双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 ( ?c, 0) , F2 (c, 0) > > )的焦半径公式: a b 在右支上时, 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |= ex0 + a , | MF2 |= ex0 ? a .
在左支上时, 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |= ?ex0 + a , | MF2 |= ?ex0 ? a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶 点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y 0 ) 为 AB a2 b2 b 2 x0 b 2 x0 的中点,则 K OM ? K AB = 2 ,即 K AB = 2 。 a y0 a y0

x2 y2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方 a b 2 2 xx y y x y 程是 02 ? 02 = 02 ? 02 . a b a b 2 x y2 13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程 a b 2 2 xx y y x y 是 2 ? 2 = 02 ? 02 . a b a b
1. 外点到双曲线中心的比例中项.
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