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2008年全国高中数学联赛陕西赛区预赛


2008 年第 10 期

13

2008年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
第一试
一, 选择题 (每小题 5 分 ,共 50 分) 1. 设等差数列{ an } 的前 n 项和为 S n . 若
S 2 = 10 , S 5 = 55 ,则经过点 P ( n , an ) , ( n + 2 , Q an +

2 ) 的直线的一个方向向量的坐标可以是

5. 集合
M = { ( x , y) | log4 x + log4 y ≤ , x , ∈ + } 1 y N

) 的子集共有 ( 个 . (A) 4 (B) 16 ( C) 64 (D) 256 6. 已知数列{ a n } 的通项公式为
an =

( . ) (A) 2, (C) 1 2 (B) 1 ,-2 2 )

( n + 1)

1 n+ n

n +1

( n ∈ N+ ) ,

其前 n 项和为 S n . 则在数列 S 1 , S 2 , …, S 2008
) 中 ,有理数项共有 ( 项 . (A) 43 (B) 44 ( C) 45 (D) 46 2 7. 函数 y = tan x 的最大值是 | cos x | ( . ) (A) 1-2 ( C) - 3 8. 已知函数 2 (B) 1+2 (D) 3
3

1 ,-1 2

(D)( -1,-1

2. 如图 1, 在 120 的二面角 α - l - β 内 , °

⊙O1 , O2 分 别 ⊙ β 在半平面 α, 内 , 且与棱 l 切于同 一 点 P. 则 以 ⊙O1 , O2 为 截 ⊙
) 面的球 ( . (A) 仅有 1 个 (C) 有无数个 3. 已知函数
f ( x) =

2

图1

f ( x ) = x - log2 (

x + 1 - x) .

2

(B) 仅有 2 个 (D) 不存在

(3- a) x -3 , x ≤ ; 7
a
x- 6

,

x >7 ,

数列{ an }满足 an = f ( n) ( n ∈N+ ) ,且{ an }是递
) 增数列. 则实数 a 的取值范围是 ( . (A) 9 ,3 4 (B) 9 ,3 4

(C)( 1,3 )

(D)( 2,3 )

4. 把分母为 24 的所有最简真分数按从小

到大 的 顺 序 排 列 , 依 次 为 a1 , a2 , …, an . 则
n

i =1

) cos ∑ aπ的值是 ( .
i

(A) 1

(B)

1 2

(C) 0

(D) -

1 2

则对 于 任 意 实 数 a , ( a + b ≠0 ) , b f ( a) + f ( b) ) 的值 ( . 3 3 a + b (A) 恒大于零 (B) 恒等于零 ( C) 恒小于零 (D) 符号不确定 9. 在正三棱锥 P - ABC 中 , M 为 △ABC 内 ( 含 边 界) 一 动 点 , 且 点 M 到 三 个 侧 面 PAB , PBC , PCA 的距离成等差数列 . 则点 M ) 的轨迹是 ( . (A) 一条折线段 (B) 一条线段 ( C) 一段圆弧 (D) 一段抛物线 2 2 10. 设 k , , 均为整数 , 过圆 x + y = m n (3 k +1 ) 2 外一点 P ( m3 - m , n3 - n ) 向该圆 引两条切线 ,切点分别为 A , . 则直线 AB 上 B (横 , ) 整点 纵坐标都是整数的点) 有 ( 个 . (A) 2 (B) 1 ( C) 0 (D) 无数 二, 填空题 ( 每小题 6 分 ,共 30 分)
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23

中 等 数 学

11. 已知 .

) sin (α+ β tan α =3 . 则 的值是 ) sin (α- β tan β

1 ,0 , Ai Ai + 1 = ( 2 i -1 ,0) . 4 (1) 求证 : 点 B 1 , B 2 , …, B n , … 在同一条
OA1 =

-

5 3 12. 若 x + 3 x + 1= a0 + a1 ( x - 1 ) +

a2 ( x - 1) + … + a5 ( x - 1 ) 对任意实数 x

2

5

都成立 ,则 a3 的值是
2 xy 的最小值是 x+ y- 1

( 用数字作答) .
2 2

13. 若 实 数 x , 满 足 x + y = 1 , 则 y .

抛物线 Γ 上 ,并求出该抛物线的方程 ; (2) 过 ( 1 ) 中所求抛物线 Γ 的焦点 F 作 两条互相垂直的弦 AC , , 求四边形 ABCD BD 面积的最小值 .

14. 有 20 张卡片上分别写有数字 1 ,2 , …,20 , 将它们放入一个盒子内 . 有 4 个人从 中不放回地各抽取一张卡片 , 抽到两个较小 数字的两人在同一组 , 抽到两个较大数字的 两人在同一组 . 现其中有两人抽到 5 , , 则 14 ( 用最简 此两人在同一组的概率等于 分数作答) . 15. 三 条 直 线 y = 2 x , =y
x = m 将椭圆面 x
2 2

( 五 ,20 分 ) 如图 3 , AB 是半圆 ⊙O 的直

2x 和

4

+ y ≤ 分成若干块 . 现 1

用 6 种不同的颜色给这若干块染色 , 每块只 染一种颜色 ,且任意两块不同色 ,共有 720 种 不同 的 染 法 . 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 .

第二试
( 一 ,15 分) 求函数 π π π y = sin + x - sin - x sin +x 4 4 3 的最大值 ,并求取得最大值时 x 值的集合 . ( 二 ,15 分 ) 设 二 次 函 数 f ( x ) 在 区 间 [- 1 ,4 ]上的最大值为 12 , 且关于 x 的不等 式 f ( x ) <0 的解集为区间 ( 0 ,5) . ( 1) 求函数 f ( x ) 的解析式 ; ( 2) 若对于任意的 x ∈R ,不等式 f (2-2 cos x ) < f ( 1- cos x - m ) 恒成立 ,求实数 m 的取值范围 . ( 三 ,20 分 ) 设 x >0 , y >0 , n ∈N+ . 求

径 , C 是AB 的中点 , M 是弦 AC 的中点 , CH ⊥ BM ,垂足为 H. 求证 : 2 CH = AH · . OH ( 30 六 , 分 ) 一位同学有 40 天的复习时 间准备参加全国中学生数学冬令营. 在此期 间 ,他最多可以安排 60 个小时来复习 , 并计 划每天至少复习 1 小时 ( 假定每天复习的时 数为整数) . 证明 : 无论他怎样安排复习计划 , 在此期间都存在连续的若干天 ,恰好复习 19 小时 .

参考答案
第一试
, B. 一 1. 设等差数列{ an }的公差为 d . 则
S 2 = 2 a1 + d = 10 , S 5 = 5 a1 + 10 d =55

an + 2 - an 所以 , k PQ = ( = d =4 . n + 2) - n 2. A 易知 ∠O1 PO2 为二面角 α - l - β 的平

面角 . 在平面 O1 PO2 内 , 过点 O1 , 2 分别作 O
PO1 , 2 的垂线 , 设两垂线的交点为 O . 由 PO

证:

≤x + y . 1+ xy 1+ x 1+ y 四 , 图 2 , 在 直 角 坐 标 平 面 xOy 中 , 如 ) △A i B i A i + 1 ( i = 1 ,2 , … 为正三角形 ,且满足
x
2

n

+

y

n

n

n

2

于 ∠O1 PO2 = 120°故这样的交点 O 是唯一 , 的 . 因此 , 以 ⊙O1 , O2 为截面的球有且仅 ⊙
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]

a1 = 3 , d = 4.

2008 年第 10 期

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有一个 ,其球心为 O ,半径为 OP . 3. D. 由{ an }是递增数列得
3- a >0 , ] 1< a <3 . a >1 又由 f ( 7) < f ( 8) ,得 7 ( 3- a) -3<
n

) 所以 ,sin ( x - θ = ) 1 由 sin ( x - θ ≤ ,得

2 1+ y 2
2

( tan θ= y ) .

1+ y
a .
2

2

≤ 1.

解得 a <- 9 或 a >2 . 故实数 a 的取值范围是 (2 ,3) . 4. C. 分母为 24 的所有最简真分数有 1 5 7 11 13 17 19 23 , , , , , , , . 24 24 24 24 24 24 24 24 注意到 1 23 5 19 7 17 11 13 + = + = + = + =1 . 24 24 24 24 24 24 24 24 故
i =1

解得 y ≤- 3 或 y ≥ 3 ( 舍去) . π 将 y =- 3 代入式 ① x = . 得 6 故 ymax =3. 8. A. 因 f ( - x) + f ( x) = - x - log2 ( =0 , 所以 , f ( - x ) =3 3

x + 1 + x) + x - log2 (

2

3

x + 1 - x)

2

f ( x ) ,即 f ( x ) 为奇函数 . x + 1 - x)
2

又 f ( x ) = x - log2 (
= x + log2 (
3 2

cos ∑ aπ = 0.
i

x + 1 + x)

5. D.

由 log4 x + log4 y ≤ ,得 1 ≤xy ≤ 1 4. 故 ( x ,) = ( 1 ,1 ) , ( 1 ,2 ) , ( 1 ,3 ) , ( 1 ,4) , y ( 2 ,1) , ( 2 ,2) , ( 3 ,1) , ( 4 ,1) . 8 因此 ,集合 M 的子集共有 2 = 256 个 . 6. A. 1 由 ak = k ( k + 1) ( k + 1 + k )
=
k +1 n

k

k ( k + 1)

=

1

k

-

1

k +1

( k =1 ,2, … , )

n

则 Sn =
= 1-

k =1


1

ak =

k =1



1

k

-

1

k +1

n +1

.

又 2009 <45 ,故 n +1=2 ,3 , …,44 . 因此 , S 1 , S 2 , …, S 2008 中共有 43 个有理 数项 . 7. C. 要使 y 最大 ,应有 tan x > 0. π 不妨设 0< x < . 则 2 2 sin x -2 y = tan x = <0 , cos x cos x 即 x - y cos x = 2. sin

2

2

2

) 在 ( 0 ,+ ∞ 上单调递增 ,则 f ( x ) 在 R 上是增 函数 . 注意到 ( f ( a) - f ( - b) ) [ a - ( - b) ]> 0 , f ( a ) + f ( b) 因此 , > 0. a+ b 3 3 又 ( a + b ) ( a + b) > 0 ,故 f ( a) + f ( b) > 0. 3 3 a +b 9. B. 如图 4 , 由于 正三棱椎 P ABC 的 三 个 侧 面 面积 相 等 , 因 此 , 点 M 到三个侧面 PAB , PBC , PCA 的 距离 成 等 差 数 列 图4 等价 于 三 个 三 棱 椎 M - PAB , - PBC , - PCA 的体积成等 M M 差数列 ,即 2 V M - PBC = V M - PBC + V M - PCA .

所以 ,3 V M -

PBC

= VP-

ABC

.

从而 , S △MBC = ①

1 S . 3 △ABC

故点 M 的轨迹是经过 △MBC 的重心且
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43

中 等 数 学

平行于 BC 的一条截线段 . 10. C. 易知 ,切点弦所在直线 AB 的方程为 ( m3 - m ) x + ( n3 - n) y = ( 3 k +1 ) 2 . 若直线 AB 上存在整点 ( x0 , y0 ) ,则
( m - 1) m ( m +1 ) x0 + ( n - 1) n ( n +1 ) y0
2 = ( 3 k +1 ) . 因 ( m - 1) m ( m +1 ) 和 ( n -1 ) n ( n +1 ) 都是 3 的倍数 , 所以 , 上式左端能被 3 整除. 而右端被 3 除余 1 ,矛盾 . 故直线 AB 上不存在整点 . 二 , 2. 11.

取 ,共有 A18 种情况 . 抽到 5 和 14 的两人在同一组 ,有两种情 况:
(1 ) 5 和 14 为较小两数 , 则另两人需从 15~20 这 6 张中各抽 1 张 ,有 A6 种情况 ; (2 ) 5 和 14 为较大两数 , 则另两人需从 1~4 这 4 张中各抽 1 张 ,有 A4 种情况 .
2 2

2

于是 ,抽到 5 和 14 两张卡片的两人在同 2 2 A6 +A 4 7 一组的概率为 P = = . 2 51 A18
15. { m|- 2< m ≤2 2 或 m =0 或 ≤m < 2}. 3 3

由题设得 sin α cos β+ cos α sin β · · ) = 3 ( sin α cos β- cos α sin β , · · 即 α cos β= 2cos α sin β. sin · · tan α sin α cos β · 故 β= = 2. tan cos α sin β · 12. 13. 5 3 在 x +3x +1 5 3 = [ ( x - 1) +1 ] + 3[ ( x -1 ) +1 ] + 1 3 2 的展开式中 , ( x - 1 ) 项的系数为 C5 + 3=
13 ,所以 , a3 = 13. 13. 12. 注意到 ( x + y ) 2 - ( x 2 + y2 ) 2 xy = x+ y- 1 x+ y- 1 2 ( x + y) - 1 = = x + y +1 . x+ y- 1 2 2 2 x + y ≤x + y 1 因为 = ,所以 , 2 2 2 - 2 ≤x + y ≤ 2. 2 xy 从而 , = x + y +1 ≥- 2 +1 , 当 x+ y- 1

显然 ,两条定直线 y = ± 2 x 将椭圆面
x
2

4

2 + y ≤ 分成了 4 1

块 ( 如图 5 ) . 当 | m | ≥ 时 , 用 6 种颜色 2 给这 4 块染色 , 不同 4 的染法种数为 A6 <
图5

720 ,不满足要求 ,所以 ,| m |<2 .
y = ±2x , ] x = ±2 . 由 x2 2 3 + y =1 4 当 m = 0 时 ,直线 x =0 过原点 ,此时 ,椭 圆面被分成 6 块 ,用 6 种颜色给这 6 块染色 , 6 不同的染法共有 A6 = 720 种 ,满足要求 .

当 0<| m |<

2 时 ,直线 x = m 将其中的 3

3 块各分成两块 , 共有 7 块 . 用 6 种颜色给这 7 块染色 ,则必有两块同色 ,不满足要求 . 2 ≤ | m |< 2 时 ,直线 x = m 将其中一 3



且仅当 x = y =故

2 时 ,等号成立 . 2

块分成两块 ,共 5 块 . 用 6 种颜色给这 5 块染 5 色 ,不同的染法共有 A6 = 720 种 ,满足要求 . 综上 , m 的取值范围是 2 2 m|- 2< m ≤- 或 m =0 或 ≤m < 2 . 3 3

2 xy 的最小值为 1- 2. x+ y- 1 7 14. . 51 由于已有两人分别抽到 5 和 14 两张卡 片 ,则另外两人只需从剩下的 18 张卡片中抽

第二试

一, 注意到

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2008 年第 10 期

53

y = sin

π π + x - sin - x 4 4
3 1 cos x + sin x 2 2

sin

π +x 3

= 2sin x = = =

6 2 2 sin x · x + sin x cos 2 2 6 2 sin 2 x + ( 1- cos 2 x ) 4 4

π 2 2 sin 2 x + . 2 6 4
2 2 3 2 + = . 2 4 4

所以 , y max =

π 此时 , x 值的集合为 x | x = k +

π , k ∈Z . 3

( 二 ,1) 依题意 ,设 f ( x ) = ax ( x - 5) ( a >0 ) , 2 5 25 即 f ( x ) = a x a. 2 4 因为 f ( x ) 在 [- 1 ,4 ] 上的最大值为 12 , 且 a >0 ,所以 ,当 x =-1 时 , f ( x ) 取得最大 值 ,即 f ( -1 ) =6 a =12 ,得 a =2 . 2 故 f ( x ) = 2 x - 10 x . ( 2) 设 t =1- cos x ( 0 ≤t ≤ ) . 则原不等 2 式化为 f ( 2 t ) < f ( t - m ) ,即 2 2 8 t - 20 t <2 ( t - m ) - 10 ( t - m ) ] ( t + m ) t - m + 5 < 0. 3 m +5 5 当- m< , 即 m >时 ,- m < t 3 4 m +5 < . 此不等式对任意的 t ∈[0 ,2 ] 恒成立 3 - m <0, 的充要条件是 m + 5 解得 m > 1. >2 , 3 m +5 5 当 - m = , 即 m =时, 3 4 2 5 t< 0 ,不满足要求 . 4 m +5 5 m +5 当- m> , 即 m <时, < 3 4 3 t <- m . 此不等式对任意的 t ∈ ,2 ] 恒成立 [0 m +5 <0 , 3 的充要条件是 解得 m <- 5. - m >2,

综上 ,实数 m 的取值范围是 ( - ∞,- 5) ∪( 1 ,+ ∞ . ) 三, 因为 x > 0 , y >0 , n ∈N+ ,所以 , ( x n - 1 y + xy n - 1 ) - ( x n + y n ) n- 1 n- 1 =- ( x - y ) ( x - y ) ≤ , 0 n- 1 n- 1 ≤x n + y n . 即 x y + xy 2 2 2 2 2 2 又 (1+ x ) (1+ y ) = 1+ x + y + x y 2 2 2 ≥ 1+2 xy + x y = (1+ xy ) , n n n 2 n 2 x x x (1+ y ) + y (1+ x ) 则 2 + 2 = 2 2 (1+ x ) (1+ y ) 1+ x 1+ y n n n- 1 n- 1 x + y + xy ( x y + xy ) = 2 2 ( 1+ x ) ( 1+ y ) n n n n n n ≤x + y + xy ( x2 + y ) = x + y . 1+ xy ( 1+ xy ) ( x , y) . 则 四 , Bn 设
x =-

1 2 n -1 1 +1+3+ …+ (2 n -3 ) + = n4 2 2

2

,

3 ( 2 n -1 ) . 2 2 消去 n 得 y = 3 x . | y |=

故点 B 1 , B 2 , …, B n , … 在同一条抛物线 Γ: y = 3 x 上 .
2

(2) 易知 , 抛物线 Γ 的焦点为 F

3 ,0 , 4

且 AC , 都不垂直于坐标轴 . BD 设直线 AC 的方程为 x = my + 代入 y = 3 x 得 y - 3 my 由韦达定理得
yA + y C = 3 m , yA y C =2 2

3 . 4

9 =0 . 4

9 . 4

故| AC |=
=

1+ m | yA - y C |

2

2 2 1+ m · ( yA + y C ) - 4 yA y C

2 = 3 ( 1+ m ) .

将上式中的 m 用 | BD |= 3 1+ 1
m
2

1
m

代换得

. 1 | AC | · BD | | 2
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于是 , S 四边形ABCD =

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63

中 等 数 学

课外训练

数学奥林匹克初中训练题 ( 112)
第 一 试
一, 选择题 ( 每小题 7 分 ,共 42 分) 1. 已知 abc ≠ ,且 0
a + b + c = a + b + c = 2.
2 2 2

外接圆半径为 R . 若 R =

a bc , 则 △ABC 的 b+ c

则代数式

(1- a ) 2
bc

+

( 1- b) 2
ca

+

(1- c) 2
ab

) 最大角是 ( . (A) 75° (B) 120° ( C) 90° (D) 150° 2 3. 已知二次函数 y = ax + bx + c ( a , , b c 为 实 数 ) 的 图 像 与 x 轴 交 于 A ( x1 , 0 ) , B ( x2 ,0) 两点 ,且 a >0 , a >2 c > b , 当 x =1

) 的值为 ( . (A) 3 (B) -3 ( C) 1 (D) -1 2. 设 △ABC 的三边长分别为 a , , , 其 b c 1 9 ( 1+ m2 ) 1+ 2 2 m ≥9 × m ×2 = 18. 2 2 m 当且仅当 m = ± 时 ,上式等号成立 . 1 故四边形 ABCD 面积的最小值为 18. 五, 如图 3 ,联结 OC , . 则 BC ∠BOC = ∠BHC = 90° . 所以 , O , , , 四点共圆 . B C H 故 ∠OHB = ∠OCB = 45° . 又 ∠BCM = 90° CH ⊥BM , 且 M 为 AC , 的中点 ,则

时 , y =( . )

a

2

. 则 | x 1 - x2 | 的 取 值 范 围 是

=

六, 设这 40 天中他每天的复习时间依次 为 b1 , b2 , …, b40 ,并作部分和 :
a1 = b1 , a2 = b1 + b2 , …… a40 = b1 + b2 + …+ b40 .

依题意
bi ≥ ( 1 ≤i ≤ ) , 1 40

1 ≤a1 < a2 < …< a40 ≤ 60.



考虑数列 a1 , a2 , …, a40 , a1 + 19 , a2 +
19 , …, a40 + 19 , 共 80 项 , 且它们都在 1 与 60+ 19=79 之间 . 由抽屉原理知 ,其中必有两

AM = CM = MH· MB

2

2

项相等 . 由式 ①知 , a1 , a2 , …, a40 互不相等 , 从 而 , a1 + 19 , a2 + 19 , …, a40 + 19 也互不相等 . 所以 ,必存在正整数 i ,( 1 ≤i < j ≤ ) ,使得 j 40
aj = ai + 19. 因此 ,

所以 , △AMH ∽ △BMA . 则 ∠MAH = ∠MBA , ∠AHN = ∠BAM = 45° . 从而 , ∠AHM = ∠BHO . 因此 , △AMH ∽ △BOH .
AH MH 故 = ,即 BH OH AH · = MH· . OH BH

又 CH = MH· ,故 CH = AH · . HB OH
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] HM = AM .
AM BM
2

19= aj - ai = bi + 1 + bi + 2 + …+ bj .

这说明 , 从第 i + 1 天到第 j 天这连续
j - i 天中 ,他恰好复习了 19 小时 .
2

( 刘康宁 提供)
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