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2012《走向高考》人教B版数学课件8-2


第八章

平面解析几何

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平面解析几何

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平面解析几何

重点难点 重点:圆的方程、点与圆的位置关系 难点:垂径定理的应用、圆的方程求法. 知识归纳
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1.圆的方程
(1)圆的标准方程:圆心(a,b),半径为r的圆方程为(x -a)2+(y-b)2=r2.
(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+ D E 1 2 E -4F>0,圆心(- ,- ),半径r= D +E2-4F). 2 2 2
2
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第八章

平面解析几何

2.二元二次方程表示圆的条件 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 ?A=C≠0 ? ?B=0 ?D2+E2-4AF>0 ?

.

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3.点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,则点P在圆 外 . (2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,则点P在圆上 .

(3)当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,则点P在圆 内 .
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第八章

平面解析几何

误区警示 1.解决有关轨迹问题时,要注意所求得轨迹方程表 示的曲线上的点是否都是满足题设要求的轨迹上的点. 2.与圆有关的最值问题,要特别注意是整个圆周上
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的点,还是一段圆弧上的点.

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平面解析几何

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平面解析几何

在解决与圆有关的最值问题时,主要借助圆的几何性 质,用数形结合的方法求解. 1.圆上点到定点P的距离的最大(小)值:连结圆心C 与P交圆于两点为最大(小)值点.
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(1) 点 P 在 ⊙ C 内 , 过 点 P 的 ⊙ C 的 弦 中 , 最 长 的 为
EF(过圆心),最短的为AB(AB⊥EF),在⊙C上所有点中, 点E到点P距离最小,点F到点P距离最大.

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平面解析几何

(2)点P在⊙C外,PC与圆交于E、F,圆上所有点中到 点P距离最大(小)的点为F(E),过点P可作两条直线PA、 PB与⊙C相切,且PC为∠APB的平分线,PC垂直平分AB.
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平面解析几何

2.圆上的点到定直线的距离最值:由圆心向直线作 垂线与圆两交点为最值点. 直线l与⊙C外离,PC⊥l交⊙C于A、B,则在⊙C上到 直线l距离最大(小)的点为B(A).
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平面解析几何

3.已知点P(x,y)为圆上动点 (1)形如 的最值转化为动直线的斜率求解,一 般在相切位置取最值. (2)形如ax+by的最值,一般设u=ax+by,转化为动
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直线的截距问题.用判别式法求解,或在相切位置取最
值. (3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值转化为动点到定点的距 离问题或设(x-a)2+(y-b)2=k2,转化为两圆有公共点时, k的取值范围问题.

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平面解析几何

[例1] (2010·新课标全国)过点A(4,1)的圆C与直线x- y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为________.

分析:⊙C与直线相切于B,∴CB为圆的半径,且CB
与直线垂直,又⊙C过点A,∴AC也等于圆的半径,而圆 心C(a,b)中含两个未知数,故建立a、b的两个方程即可 获解.

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平面解析几何

解析:设圆心C(a,b),由题意可得 ? ?a-4?2+?b-1?2= ?a-2?2+?b-1?2 ? ?b-1 ?a-2=-1 ?
?a=3, ? 解之得 ? ?b=0, ?



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∴r= 2 ,∴圆方程为:(x-3)2+y2

(

=2.
答案:(x-3)2+y2=2

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平面解析几何

点评:1.(1)本题中|CA|,|CB|,C到直线的距离都等 于圆的半径,故还可列等式 |a-b-1| , 2 (2)A,B都在圆上,故AB的中垂线过圆心,据此可将 圆心用一个未知数表示,再结合圆心与切点连线与切线 垂直即可获解. ?a-4?2+?b-1?2 =

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平面解析几何

2.求圆的方程时,常常要将所给条件恰当翻译,用 数学语言加以表达.如 ①圆过点A,则点A的坐标代入圆的方程一定成立. ②圆过两点A、B,则线段AB的中垂线过圆心.
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③圆心在直线l上,(一)可设出圆心坐标;(二)可考虑
圆心是否在另一条直线l′上,由l与l′方程联立求圆心. ④圆与直线l相切,则(一)d=r;(二)Δ=0.应特别注意 圆与直线l相切于点P的含义. ⑤圆C截直线l得弦AB,则半弦2+弦心距2=半径2.

(

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平面解析几何

(文)(09·辽宁)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都 相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( A.(x+1)2+(y-1)2=2 )

B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

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平面解析几何

解析:由圆心在直线x+y=0上.不妨设为C(a,- a). |a-?-a?| |a-?-a?-4| ∴r= = . 2 2 解得a=1,r= 2. ∴⊙C:(x-1)2+(y+1)2=2.故选B.
答案:B

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(理)(09·重庆)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的 圆的方程是( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
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C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1 解析:点(1,2)到y轴距离为1,又圆心在y轴上,且过 点(1,2),∴圆心为(0,2). 答案:A

(

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平面解析几何

[例2]

(文)若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相交, )

则点P(a,b)(

A.在圆内
C.在圆外

B.在圆上
D.不能确定

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1 解析:由条件 2 2<1, a +b ∴a2+b2>1,∴点P(a,b)在圆外.
答案:C
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平面解析几何

x2 y2 1 (理)设椭圆 a2+ b2 =1(a>b>0)的离心率为e= 2 ,右焦 点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和 x2,则点P(x1,x2)( )

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A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上 C.必在圆x2+y2=2外 D.以上三种情形都有可能

(

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平面解析几何

c 1 解析:∵e= = ,∴a=2c,∴b2=a2-c2=3c2. a 2 b 2 2c 2 2 ∴x1 +x2 =(x1+x2) -2x1x2=?- ? +
2

? ?

?

a?

a

3c2 7 = 2+1= <2. 4c 4 ∴点P(x1,x2)在圆内.故选A.
答案:A

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平面解析几何

(文)已知点P(a,b)在圆C:x2+y2=4内,则直线ax+ by+1=0与圆C的位置关系是( A.相交 B.相切 )

C.相离

D.不能确定

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解析:∵点P(a,b)在圆x2+y2=4内,∴a2+b2<4, 1 1 1 圆心到直线距离d= 2 2>2,又2<2. a +b ∴直线与圆C位置关系不能确定.

(

答案:D
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平面解析几何

x y (理)双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾 a b 斜角为60° ,直线ax+by-a+1=0平分圆C:(x-2)2+(y - 3)2=1,则点P(a,b)与圆C的位置关系是( A.P在⊙C内 B.P在⊙C上 C.P在⊙C外 D.无法确定 )

2

2

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平面解析几何

?b ? =tan60° 解析:由条件得,?a ?2a+ 3b-a+1=0, ? 1 ? ?a=-4 解之得? ?b=- 3, 4 ? 1 3 2 ∵(-4-2) +(- 4 - 3)2>1,∴点P在⊙C外.

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答案:C

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平面解析几何

[例3]

已知圆x2+y2=4,过点A(4,0)作圆的割线 )

ABC,则弦BC中点的轨迹方程为( A.(x-1) +y =4
2 2 2 2

? 1? ?-1≤x< ? 2? ?

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B.(x-1) +y =4 (0≤x<1) C.(x-2) +y =4
2 2

? 1? ?-1≤x< ? 2? ?

D.(x-2)2+y2=4 (0≤x<1)
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平面解析几何

分析:直线过点A,可设出点斜式方程与圆方程联立, 由韦达定理可得出B、C坐标关系,设P(x,y),可由A、B、 C、P共线得kAP=kBC,消去斜率k可得轨迹方程,注意k不 存在情形.
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平面解析几何

解析:设割线的方程为y=k(x-4),再设BC中点的 y 1 坐标为(x,y),则 =- , x k 代入y=k(x-4)消去k得,(x-2)2+y2=4. 画出图形易知轨迹应是在已知圆内的部分,且x的取 值范围是0≤x<1.故选D.
答案:D

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平面解析几何

(文)由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点 分别为A、B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为( A.x2+y2=4 B.x2+y2=3 )

C.x2+y2=2

D.x2+y2=1

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解析:由题设知,在Rt△OPA中,OP为圆半径OA的2 倍,即OP=2,∴点P的轨迹方程为x2+y2=4.选A. 答案:A

(

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平面解析几何

(理)(09·上海)点P(4,-2)与圆x2 +y2 =4上任一点连 线的中点轨迹方程是( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
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C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1

(

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平面解析几何

解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),则x02+y02=4, 又设P、Q连线中点为M(x,y),
?2x=x +4 ? 0 ? 则 ?2y=y0-2 ? ?x =2x-4 ? 0 ,∴? ?y0=2y+2 ?
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代入x02+y02=4中得,(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.
答案:A 点评:求动点M的轨迹方程时,设M(x,y),然后结

(

合已知条件找x、y满足的关系式.如果点M的运动依赖于
点A的运动,而点A在已知曲线C上,这时将A的坐标用x、 y表示,代入C的方程,即得M点的轨迹方程.
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平面解析几何

[例4]

(09·全国Ⅱ)已知AC、BD为圆O:x2+y2=4的 ),则四边形ABCD的

两条相互垂直的弦,垂足为M(1,

面积的最大值为________.
分析:由于AC⊥BD,所以四边形的面积为 |AC|·|BD|,又AC与BD交于点M,故只要将|AC|、|BD| 利用垂径定理转化为弦心距,可建立其联系.

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平面解析几何

解析:设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2,垂足分 别为E、F,则四边形OEMF为矩形,则有d12+d22=|OM|2 =3. ∴|AC|=2 4-d12,|BD|=2 4-d22, 1 ∴S四边形ABCD=2|AC|· |BD| =2 4-d12 · 4-d22 ≤(4-d12)+(4-d22)=8-(d12+ 6 d2 )=5,等号在d1=d2= 时成立,即四边形ABCD的面 2
2
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积的最大值为5.
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答案:5
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平面解析几何

(2010· 全国Ⅰ)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的 → PB → 两条切线,A、B为两切点,那么PA· 的最小值为( A.-4+ 2 C.-4+2 2 B.-3+ 2 D.-3+2 2 )

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平面解析几何

解析:如图所示:设PA=PB=x(x>0),∠APO=α, 1 则∠APB=2α,PO= 1+x ,sinα= 2, 1+x
2

x2?x2-1? → PB → |PB → ∴PA · =|PA |·→ |cos2α=x2(1-2sin2α)= 2 = x +1 x4-x2 x4-x2 → PB → ,令 PA · =y,则y= 2 ,即x4-(1+y)x2-y= x2+1 x +1 0,

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∵x2是实数,∴ ∴Δ=[-(1+y)]2-4×1×(-y)=y2+6y+1≥0, 解得y≤-3-2 2或y≥-3+2 2. → PB → 故(PA· )min=-3+2 2,此时x=
答案:D

2-1.

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平面解析几何

x -x 点评:对y= 2 求最小值,还可用基本不等式, x +1 ?t-1??t-2? 2 令x +1=t,则t>1,x =t-1,∴y= =t+ t - t
2 2

4

2

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2 3≥2 2-3.等号在t= ,即t= 2 时成立,∴x= t 时ymin=2 2-3.

2-1

(

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平面解析几何

[例5]

过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦, )

其中弦长为整数的弦共有(

A.16条

B.17条

C.32条

D.34条

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分析:验证可知,点A在圆内,过圆内一点的直线与 圆相交最长弦为圆的直径,最短弦为与经过该点的直径垂 直的弦,由弦长为整数,故可找此二值之间的整数,看有 多少个,即可知弦的条数,特别注意,介于最大值与最小

(

值之间的弦长为整数的弦各有两条.
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第八章

平面解析几何

解析:∵圆x2 +y2+2x-4y-164=0的标准方程为: (x+1)2+(y-2)2=132,即此圆是一个以点O(-1,2)为圆心, 以R=13为半径的圆. ∵|OA|=12,而R=13,经过A点且垂直于OA的弦是
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经过A点的最短的弦,∴其长度为2
经过A点的最长的弦为圆的直径2R=26;

=10;而

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平面解析几何

∴ 经 过 A 点 且 为 整 数 的 弦 长 还 可 以 取 11,12,13,14,15,…,25共15个值,又由于圆内弦的对称性, 经过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间,则一定

有2条,而最长弦与最短弦各只有1条,故一共有15×2+2
=32条. 答案:C

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x y 已知直线 + =1(a、b是非零常数)与圆x2+y2=100 a b 有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么 这样的直线共有( A.60条 C.72条 ) B.66条 D.78条

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平面解析几何

解析:在第一象限内圆x2 +y2 =100上的整数点只有 (6,8),(8,6),又点(10,0),(0,10)在圆上, ∴由对称性知x2+y2=100上横、纵坐标均为整数的点 共有12个.
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过这12个点的圆x2 +y2 =100的切线有12条,割线有
=66条,共78条. 其中垂直于坐标轴的有14条,过原点与坐标轴不垂直 的有4条,∴共有78-18=60条. 答案:A

(

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平面解析几何

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平面解析几何

一、选择题 1.(文)(2010·福建)以抛物线y2 =4x的焦点为圆心, 且过坐标原点的圆的方程为( A.x2+y2+2x=0 )
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B.x2+y2+x=0
C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0 [答案] D [解析] 抛物线y2=4x的焦点是(1,0).

(

∴圆的标准方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.
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平面解析几何

(理)圆心在抛物线y2=2x(y>0)上,并且与抛物线的准 线及x轴都相切的圆的方程是( 1 A.x +y -x-2y-4=0
2 2

)

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B.x2+y2+x-2y+1=0 C.x2+y2-x-2y+1=0 1 D.x +y -x-2y+4=0
2 2

(

[答案] D

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平面解析几何

[解析]

1 2 抛物线y =2x(y>0)的准线为x=- 2 ,圆与抛

1 物线的准线及x轴都相切,则圆心在直线y=x+ 2 (y>0) 上,与y
2

?1 ? =2x(y>0)联立可得圆心的坐标为 ?2,1? ,半径为 ? ?

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? 1? 2 1 ?x- ? +(y-1)2=1,即x2+y2-x-2y+ = 1,则方程为 2? 4 ?

0.

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平面解析几何

2.(文)一条线段AB长为2,两端点A和B分别在x轴和y 轴上滑动,则线段AB的中点的轨迹是( A.双曲线 C.圆 B.双曲线的一支 D.半圆 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, )
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[答案] C
[解析] 得AB的中点到原点的距离总等于1, ∴AB的中点轨迹是圆,故选C.

(

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平面解析几何

(理)动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是( A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1 32 2 1 D.(x+2) +y =2 )

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[答案] C [解析] 设中点M(x,y),则点A(2x-3,2y), ∵A在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1, 即(2x-3)2+4y2=1,故选C.
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3.直线xsinθ+ycosθ+sinθ·cosθ=0与圆2x2 +2y2 =1 的位置关系是( A.相交 C.相离 ) B.相切 D.不确定
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[答案] A
[解析] |sinθcosθ| 圆心(0,0)到直线距离d= sin2θ+cos2θ

(

1 1 2 = |sin2θ|≤ < ,∴相交. 2 2 2

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平面解析几何

二、填空题 4.(文)一条光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到⊙C: (x - 2)2 + (y - 3)2 = 1 上 , 则 光 走 过 的 最 短 路 程 为 ________.
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[答案] 4
[解 析] A( -1,1) 关于 x 轴的对称点 B( - 1, -1),

(

C(2,3),|BC|-1=4.

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第八章

平面解析几何

(理)实数x、y满足x2+(y+4)2=4,则(x-1)2+(y-1)2 的最大值为________.
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[解析]

(x-1)2+(y-1)2表示圆x2+(y+4)2=4上动

点(x,y)到(1,1)点距离d的平方.∵ 26 -2≤d≤ 26 + 2,∴最大值为( 26+2)2=30+4 26.

(

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第八章

平面解析几何 的圆O
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5.(2010·广东)已知圆心在x轴上,半径为

位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是 ________. [答案] (x+2)2+y2=2
[解析] 设圆的方程为(x-a)2+y2=2(a<0),由条件

(

|a| 得 2= ,∴|a|=2,又a<0,∴a=-2. 2

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第八章

平面解析几何

三、解答题 6.在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x- 3y=4相切. (1)求圆O的方程; (2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、 → PB → |PO|、|PB|成等比数列,求PA· 的取值范围.

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平面解析几何

[解析]

(1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x

4 - 3y=4的距离,即r= =2, 1+3 ∴圆O的方程为x2+y2=4. (2)由(1)知A(-2,0),B(2,0). 设P(x,y),由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列得, ?x+2?2+y2· ?x-2?2+y2=x2+y2, 即x2-y2=2. → PB → PA· =(-2-x,-y)· (2-x,-y)=x2-4+y2
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第八章

平面解析几何

=2(y2-1).
?x2+y2<4 ? 由于点P在圆O内,故? 2 2 ?x -y =2 ?



由此得y2<1. → PB → 所以PA· 的取值范围为[-2,0).

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