当前位置:首页 >> 数学 >>

4.5 数系的扩充与复数的引入


第 五 节

数系的扩充与复数的引入

知识要求 内容 考试 复数的基本概念,复数相等的条件 说明 复数的代数表示法及几何意义 复数代数形式的四则运算 复数代数形式加、减法的几何意义 √ 了解 理解 掌握 (A) (B) (C) √ √ √

三年 考题

13年(18考):新课标全国卷ⅠT2 四

川T3 新课标全国卷ⅡT2 浙江T2 山东T1 陕西T6 湖南T1 江西T1 安徽T1 北京T4 福建T1 广东T3 辽宁T2 天津T9 重庆T11 上海T3 湖北T11 江苏T2 12年(13考):新课标全国卷T2 陕西T4 湖南T2 北京T2 江西T1 山东T1 广东T1 江苏T3 安徽T1 浙江T2 辽宁T3 福建T1 天津T1 11年(10考):江苏T3 陕西T8 湖南T2 江西T1 福建T2 新课标全国卷T2 辽宁T2 广东T1 浙江T2 山东T2

考情 播报

1.复数的基本概念、复数的几何意义、复数代数形式的 四则运算是近几年各地高考命题的必考点

2.题型一般为选择题、填空题

【知识梳理】 1.复数的有关概念

a+bi a b a=c且b=d a=0且b≠0

b=0
b≠0

内容

意义

备注

a=c且b=-d 复数a(a为实数)的共 共轭 a+bi与c+di共轭?__________

复数 (a,b,c,d∈R)
复平 面

轭复数是a

建立平面直角坐标系来表示复 实轴上的点都表示实

数的平面,叫做复平面,x轴叫 实轴 轴叫_____ 虚轴 _____,y
??? ?

数;除了原点外,虚轴
上的点都表示纯虚数
z ? a ? bi ? a 2 ? b 2

复数 向量 OZ 的长度叫做复数 的模 z=a+bi的模,记作|z|

2.复数的几何意义

3.复数代数形式的四则运算

(1)运算法则:
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

运算名称

符号表示 z1±z2=(a+bi)±(c+di) (a±c)+(b±d)i =_______________ z1·z2=(a+bi)(c+di) (ac-bd)+(ad+bc)i = _________________
z1 a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? z 2 c ? di ? c ? di ?? c ? di ? ac ? bd bc ? ad ? ? 2 i 2 2 2 c ?d c ?d

语言叙述 把实部、虚部分别相加 减 按照多项式乘法进行,

加减法
乘 法

并把i2换成-1
把分子、分母分别乘以 分母的共轭复数,然后 分子、分母分别进行乘 法运算





(c+di≠0)

(2)复数加法的运算律: 设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律: z2+z1 ①交换律:z1+z2=_____; z1+(z2+z3) ②结合律:(z1+z2)+z3= __________.

【考点自测】 1.(思考)给出下列结论: ①任何数的平方都不小于0; ②已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时复数z为纯虚数; ③两个虚数的和还是虚数; ④复数的模就是复数在复平面内对应向量的模. 其中正确的是( )

A.②

B.④

C.②③

D.①④

【解析】选B.①错误,纯虚数的平方小于0,如(2i)2=-4<0; ②错误,当a=0,且b=0时,z=0是实数; ③错误,例如,2+i与2-i是两个虚数,其和为4是实数; ④正确,由复数的几何意义知该结论正确. 故选B.

2.复数 1 =(
i

) C.i
i

A.1

B.-1
i

D.-i

【解析】选D. 1 ? i2 ? ?i.

3.复数z=(i+1)(i-1)在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第三象限 C.实轴上

)

D.虚轴上

【解析】选C.因为z=(i+1)(i-1)=i2-1=-1-1=-2,所以选C.

4.(2014·宜昌模拟)已知复数z=(a2-1)+(a-1)i(a∈R)是纯虚 数,则a=( A.0 ) B.1 C.-1 D.±1

2 ? a 【解析】选C.由题意得 ? ? 1 ? 0, 解得a=-1. ?a ? 1 ? 0,

5.(2014·衡阳模拟)已知 a ? 2i =b+i(a,b∈R,i为虚数单
i

位),则a-b=_______. 【解析】由于 a ? 2i =b+i?a-2i=bi-1?a=-1,b=-2,则可知
i

a-b=1. 答案:1

1 的共轭复数是________. 1? i 1 1? i 1 1 1 【解析】因为 ? ? ?1 ? i ? ? ? i, 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2 2 2 所以其共轭复数为 1 ? 1 i. 2 2 1 1 答案: ? i 2 2

6.复数

考点1

复数的有关概念

【典例1】(1)(2013·天津高考改编)已知a,b∈R,i是虚数单位. 若(a+i)(1+i)=bi,则复数z=a+bi的共轭复数是( )

A.2+i

B.2-i

C.1+2i

D.1-2i

(2)(2013·江苏高考)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模 为 .

(3)(2013·上海高考)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是 虚数单位,则m= .

【解题视点】(1)由复数相等的意义确定a,b的值,由共轭复数 的概念确定答案. (2)先化简复数z,再求复数z的模. (3)由纯虚数的概念求解.

【规范解答】(1)选D.因为(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,所以 a-1=0,a+1=b,即a=1,b=2,所以z=a+bi=1+2i,故复数z的共轭 复数是1-2i. (2)z=(2-i)2=4+i2-4i=3-4i,故|z|=5. 答案:5
2 ? m ? m-2 ? 0, ? (3)m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数? ? 2 ? m ? -2. 1? 0 ? ?m -

答案:-2

【易错警示】注意条件的完整性 本例第(3)题容易出现对条件考虑不完整致误,在解决复 数类问题时要注意条件的完整性.

【互动探究】若本例(3)中的复数是非零实数,试求m的值. 【解析】由m2+m-2+(m2-1)i是非零实数(m∈R),得 m2-1=0, m2+m-2≠0,解得m=-1.

【规律方法】求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都 与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问 题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式, 再根据题意列方程(组)求解.

【变式训练】(2014·福州模拟)若复数z满足(2-i)z=|1+2i|, 则z的虚部为( A.- 5 B. 5
5

) C. 5 D.5 5

【解析】选B.设z=x+yi(x,y∈R),则(2x+y)+(2y-x)i= 5 ,
? 2 5 x ? , ? ?2x ? y ? 5, ? 5 所以 ? 解得 ? ?2y ? x ? 0, ?y ? 5 , ? 5 ? 2 5 5 5 所以 z ? ? i,故z的虚部为 . 5 5 5

【加固训练】 1.(2013·山东高考)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位), 则z的共轭复数 z 为( )

A.2+i

B.2-i

C. 5+i

D.5-i
2-i

【解析】选D. 因为(z-3)(2-i)=5,所以 z ? 5 ? 3 ? 2 ? i ? 3 ? 5 ? i,

所以 z ? 5-i.

2.若复数|z|=5,其共轭复数为3-mi,则实数m的值为( A.4 B.-4 C.±4 D.±5

)

【解析】选C.由题意,得z=3+mi,所以 z ? 9 ? m2 ? 5, 即m2=16,解得m=〒4.

3.已知a∈R,复数z1=2+ai,z2=1-2i,若
z1 的虚部为______. z2 +2i ? 2-2a a+4 【解析】z1 = 2+ai =? 2+ai ??1 = + i. z2 1 -2i ?1 -2i ??1 +2i ? 5 5 因为 z1 为纯虚数, z2 ? 2-2a =0, ? a?4 ? 5 所以 ? 所以a= 1, 所以 ? 1, 5 ? a+4 ? 0, ? z? 5

z1 为纯虚数, z2

则复数



1

z2

的虚部为1.

答案:1

考点2

复数的几何意义

【典例2】(1)(2013·湖南高考)复数z=i·(1+i)(i为虚数单位) 在复平面上对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 )

B.第二象限 D.第四象限

(2)(2013·四川高考)如图,在复平面内,点A表示复数z,则 图中表示z的共轭复数的点是( A.A C.C B.B D.D )

(3)已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A(1,1),

B(-2,3),则向量 AB 对应的复数为_______.

??? ?

【解题视点】(1)先把复数化为a+bi(a,b∈R)的形式,再判断 其对应的点所在的象限. (2)由共轭复数的定义及复数的几何意义进行判断 . (3)先求 AB 的坐标,再确定其对应的复数.
??? ?

【规范解答】(1)选B.因为z=i·(1+i)=-1+i,而(-1,1)对应的 点在第二象限,所以选B. (2)选B.由于点A表示复数z=a+bi,所以其共轭复数是a-bi, 在图中应该是点B对应的复数,故选B.
??? ? ??? ? ??? ? =(-2,3)-(1,1)=(-3,2),所以向量 (3)因为 AB ? OB ? OA
??? ? AB 对应的复数为-3+2i.

答案:-3+2i

【互动探究】设本例题(2)点A表示的复数z=a+bi(a,b∈R),试 求点C,点D对应的复数. 【解析】由图易知,点A与点C关于y轴对称,点A与点D关于原 点对称,所以点C与点D对应的复数分别为z1=-a+bi,z2=-a-bi.

【规律方法】复数几何意义及应用
??? ? (1)复数z、复平面上的点Z及向量 OZ 相互联系,即z=a+bi ??? ? (a,b∈R)?Z(a,b)? OZ.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可 把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合

的方法,使问题的解决更加直观.

提醒:|z|的几何意义 令z=x+yi(x,y∈R),则 z ? x 2 ? y2 , 由此可知表示复数z的点到 原点的距离就是|z|的几何意义;|z1-z2|的几何意义是复平面 内表示复数z1,z2的两点之间的距离.

【变式训练】(2013·湖北高考)在复平面内,复数 z ? 2i (i为
1? i

虚数单位)的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限
(1 ? i)(1 -i)

)

B.第二象限 D.第四象限

【解析】选D.z ? 2i(1-i) ? i ? 1,z ? 1-i. 所以复数z的共轭复数

对应的点位于第四象限.

【加固训练】 1.已知i是虚数单位,则复数z=i+2i2+3i3所对应的点落在( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

【解析】选C.z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i,

对应的点是(-2,-2),故选C.

2.已知f(x)=x2,i是虚数单位,则在复平面内复数 f ?1 ? i ?
3?i



应的点在(

)

A.第一象限
C.第三象限 【解析】选A.
f ?1 ? i ?

B.第二象限
D.第四象限

2i ? 3 ? i ? 2i 2 ? 6i 1 3 ? ? ? ? i, 3?i 3?i 3 ? i ? 3 ? i ?? 3 ? i ? 10 5 5 故复数对应的点是 ( 1 , 3 ), 在第一象限. 5 5
2

?1 ? i ? ?

?

3.已知复数 a ? i ? i 的对应点在复平面的第二、四象限的角平分
i

线上,则实数a=_____. 【解析】已知复数 a ? i ? i ? ?1 ? ? a ? 1? i,
i

由题意知a+1=-1,解得a=-2. 答案:-2

考点3

复数的四则运算

高频考点 通 关

【考情】复数的加、减、乘、除四则运算一直以来都是高考的 热点,作为复数的运算它常与复数的相关概念及复数的几何意 义相结合进行考查,以选择题、填空题的形式出现.

【典例3】(1)(2013·浙江高考)已知i是虚数单位,则

(2+i)(3+i)=(
A.5-5i

)
B.7-5i

C.5+5i

D.7+5i

(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1-i)z=2i,则

z=(

)
B.-1-i D.1-i

A.-1+i C.1+i

(3)(2013·新课标全国卷Ⅰ) A. ?1 ? 1 i? C.1 ? 1 i
2 2

1 ? 2i

B. ?1 ? 1 i
2

?1 ? i ?

2

?

(

)

D.1 ? 1 i
2

【解题视点】(1)直接运用复数乘法的多项式法则进行计算化 简. (2)解方程,利用复数除法的运算法则求解 . (3)利用复数乘法、除法的运算法则计算化简.

【规范解答】(1)选C.(2+i)(3+i)=6+5i+i2=5+5i.
2i ? i ?1 ? i ? ? ?1 ? i. 1? i 1 ? 2i ?? ?2i ? ?2i ? 4i 2 ? 1 ? 2i 1 ? 2i 1 (3)选B. ? ? ? ? ? 1 ? i. 2 2 4i 2 ?1 ? i ? ?2i ? ?2i ?? ?2i ?

(2)选A.由(1-i)z=2i得 z ?

【通关锦囊】 高考指数 ◆◆◆ 重点题型
复数的 乘法运算 复数的 除法运算 复数的运算与









复数的乘法运算满足多项式的乘法

法则,多项式的乘法公式,利用上述
法则或公式计算 分子分母同乘以分母的共轭复数, 转化为复数的乘法进行计算化简 先利用复数的运算法则化简,一般

◆◆◆

◆◆◆

复数有关概
念的综合题

化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合
相关定义解答

高考指数 ◆◆◆

重点题型
复数的运算









先利用复数的运算法则化简,一般

与复数的几何
意义的综合题 复数的 综合运算

化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合
复数的几何意义解答 分别运用复数的乘法、除法法则进 行运算,要注意运算顺序,要先算乘 除,后算加减,有括号要先算括号里 面的

◆◆◇

【通关题组】

1.(2013·广东高考)若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对
应的点的坐标是( )

A.(2,4)

B.(2,-4)

C.(4,-2)
i

D.(4,2)

【解析】选C. 解方程iz=2+4i, z ? 2 ? 4i ? 4-2i,z对应点的坐标

是(4,-2).
另解:在iz=2+4i两端乘以因式-i可得(-i)iz= (-i)(2+4i),z=4-2i,z对应点的坐标是(4,-2).

2.(2013·山东高考)复数 z ? ? 2-i ? i |z|=( A.25 ) B. 41
2

2

(i为虚数单位),则

C.5
i ? -4-3i, 所以 z ?

D. 5

【解析】选C. z ? ? 2-i ?

?-4 ? ? ?-3? ? 5.
2 2

3.(2013·安徽高考)设i是虚数单位,若复数 a- 是纯虚数,则a的值为( A.-3 B.-1
3-i

10 (a∈R) 3?i

) C.1 D.3

【解析】选D.由 a ? 10 ? a- 10 ? 3 ? i ? ? ? a-3?-i,

? 3-i ?? 3 ? i ?

令a-3=0,则得a=3.

【加固训练】 1.(2013·大纲版全国卷) (1 ? 3i)3 ? ( A.-8 B.8 C.-8i ) D.8i
3i-2 1 ? 3i ? -8.

【解析】选A.(1 ? 3i)3 ? 1 ? 3i

?

? ?1 ? 3i ? ? ? 2
2

??

?

2.(2013·辽宁高考)复数 z ? 1 的模为( A. 1
2 i- 1

)

B. 2

2 1? i 1? i 【解析】选B. z ? 1 ? ?- , i- 1 ? i- 1??1 ? i ? 2 所以 z ?| -1 ? i |? 2 . 2 2

C. 2

D.2

3.(2012·天津高考)i是虚数单位,复数 7 ? i ? (
3?i

)

A.2+i

B.2-i
3?i

C.-2+i

D.-2-i
10

【解析】选B. 7 ? i ? ? 7 ? i ?? 3 ? i ? ? 20 ? 10i ? 2 ? i.

? 3 ? i ?? 3 ? i ?

【易错误区13】复数有关概念应用的易错点 【典例】 (2013·陕西高考)设z是复数,则下列命题中的假命

题是(

)
B.若z2<0,则z是虚数

A.若z2≥0,则z是实数

C.若z是虚数,则z2≥0

D.若z是纯虚数,则z2<0

【解析】

【误区警示】

【规避策略】

【类题试解】 (2014·成都模拟)设z1,z2是复数,则下列命题 中的假命题是( ) B.若 z1 ? z2 , 则z1 ? z2

A.若|z1-z2|=0,则 z1 ? z 2

C.若|z1|=|z2|,则 z1 ?z1 ? z2 ?z2 D.若|z1|=|z2|,则z12=z22

【解析】选D.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).

选项
A B C

具体分析
若|z1-z2|=0,则 ? a ? c ?2 ? ? b ? d ?2 ? 0, 所以a=c,b=d,即z1=z2,故 z1 ? z2
若z1 ? z2 , 则a=c,b=-d,所以 z1 ? z2

结论
正确 正确 正确

若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以 z1 ?z1 ? z2 ?z2 z12=(a2-b2)+2abi, z22 =(c2-d2)+2cdi,在 a2+b2=c2+d2的前提下不能保证a2-b2=c2-d2, 2ab=2cd

D

错误


相关文章:
数系的扩充与复数的引入
《第三章 数系的扩充与复数的引入》教材分析 第三章 数系的扩充与复数的引入》广州市黄埔区教育局教研室 肖凌戆 数系的扩充与复数的引入是选修 1-2 与选修 ...
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结_数学_高中教育_教育专区。数系的扩充与复数的引入知识点总结一.数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如 a ?...
数系的扩充与复数引入的教案
数系的扩充与复数引入的教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 数系的...【归纳总结】 一、数系的扩充; 二、复数有关的概念: 1、复数的代数形式; 2...
数系的扩充与复数的引入测试题及答案解析
(其中 z 为 z 的共轭复数) 2 第三章 数系的扩充与复数的引入 1.解析:Bwww.xkb1.com 2.解析:D 点拨: z1 ? z2 ? 5 ? 7i 。 3.解析:B 点拨:原...
高考理科第一轮练习(4.5数系的扩充与复数的引入)
高​考​理​科​第​一​轮​练​习​(​4​.​5​数​系​的​​充​与​复​数​的​引​入​) 暂无评价|...
导学案_数系的扩充与复数的引入
日期 课时编号 课题: §1 数系的扩充与复数的引入【学习目标】 1.了解数的概念的发展过程和扩充到复数的必然性; 2.了解复数的表示法,理解复数的有关概念和相等...
(含答案)数系的扩充与复数的引入复习
(含答案)数系的扩充与复数的引入复习_高二数学_数学_高中教育_教育专区。数系的扩充与复数的引入复习 知识梳理一、复数的有关概念 1.复数的概念 形如 a+bi(a...
第四讲 数系的扩充与复数的引入(生)
清大教育中心清 大教育 Tsingda EDU 1 欢迎报读数学/英语基础班、提高班 全国连锁教育品牌 第 4 讲 数系的扩充与复数的引入 1.复数的有关概念 (1)复数的...
第四章第4讲数系的扩充与复数的引入
第4 讲 数系的扩充与复数的引入 1.复数的有关概念 (1)复数的概念: 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a+...
更多相关标签:
复数的扩充微博 | 复数的扩充 | 为什么要引入复数 | 为什么引入复数 | 为什么引入复数的概念 | 复数的引入 | 这是我的战争背包扩充 | 斗战神怎么扩充背包 |