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幂函数与函数的图像变换








幂函数与函数的图像变换

重点难点 重点:①幂函数的定义、图象与性质. ②函数图象三种基本变换规则. 难点:①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系. ②利用基本变换规则作函数图象

知识归纳
一、幂函数的定义和图象 1.定义:形如 y=xα的函数叫幂函

数(α为常数) 1 1 要重点掌握α=1,2,3, ,-1,0,- ,-2 时的幂函数 2 2 2.图象:(只作出第一象限图象)

幂函数在其它象限的图象,可由幂函数的奇偶性根据对称性作出.

幂函数 y=xα(α∈R)的图象如下表:

q α= p

α<0

0<α<1

α>1

p、 q 都是
奇数

p 为奇
数,q 为 偶数

q α= p

α<0

0<α<1

α>1

p 为偶
数,q 为 奇数

3.性质: (1)当α>0 时,幂函数图象都过 是 点和 点;且在第一象限都

函数;当 0<α<1 时曲线上凸;当α>1 时,曲线下凸;α=1

时,为过(0,0)点和(1,1)点的 (2)当α<0 时, 幂函数图象总经过 点, 且在第一象限为 函数.

(3)α=0 时 y=x0, 表示过(1,1)点平行于 x 轴的直线(除去(0,1)点).

二、函数的图象与图象变换 1.画图 描点法 ①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶 性、单调性、周期性、对称性、值域);④列对应值表(尤其注意特殊 点,如最大值、最小值、与坐标轴的交点);⑤描点,连线. 2.识图 绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功.识图要首 先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、 周期性、与坐标轴的交点,另外有无渐近线,正、负值区间等都是识 图的重要方面 ,要注意函数解析式中含参数时.怎样由图象提供信 息来确定这些参数. 3.用图 函数图象形象地显示了函数的性质, 为研究数量关系提供了 “形” 的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数 形结合解题的思想方法. 4.有关结论 若 f(a+x)=f(a-x),x∈R 恒成立,则 y=f(x)的图象关于直 线 x=a 成轴对称图形.

误区警示
1.对于函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)一定要区分开来,前者将 y =f(x)位于 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方, 后者将 y=f(x)图象在

y 轴左侧图象去掉作右侧关于 y 轴的对称图,后者是偶函数而前者 y
≥0.比如 y=|sinx|与 y=sin|x|. 2. 由函数 y=f(x)的图象变换成 y=g(x)的图象, 变换顺序为①→②

时,由 y=g(x)的图象变换成 y=f(x)的图象则是相反的变换且顺序 也相反,即②→①. 3. 在研究幂函数 y=xα的图象、 性质时, 应考虑α的三种情况: α>0,

α=0 和α<0.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现
在第四象限内,与坐标轴相交时,交点一定是原点.

一、数形结合的思想 函数的图象可以形象地反映函数的性质. 通过观察图形可以确定 图象的变化趋势、对称性、分布情况等.数形结合借助于图象与函数 的对应关系研究函数的性质,应用函数的性质.其本质是:函数图象 的性质反映了函数关系;函数关系决定了函数图象的性质. 二、解题技巧 1.图形变换方法 作图是学习和研究函数的基本功之一. 变换法作图是应用基本函 数的图象,通过平移、伸缩、对称等变换,作出相关函数的图象.应 用变换法作图, 要求我们熟记基本函数的图象及其性质, 准确把握基 本函数的图象特征,熟练地进行平移、伸缩、对称变换. (1)平移变换 ①左右平移:y=f(x-a)的图象,可由 y=f(x)的图象向左(a<0)或 向右(a>0)平移|a|个单位而得到. ②上下平移:y=f(x)+b 的图象,可由 y=f(x)的图象向上(b>0)或 向下(b<0)平移|b|个单位而得到.

(2)对称变换

①y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. ②y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称. ③y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点对称. ④y=f-1(x)与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称. ⑤y=|f(x)|的图象可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为 对称轴翻折到 x 轴上方,其余部分不变. ⑥y=f(|x|)的图象可将 y=f(x),x≥0 的部分作出,再利用偶函数 的图象关于 y 轴的对称性,作出 x<0 的图象. (3)伸缩变换 ①y=Af(x)(A>0)的图象, 可将 y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为 原来的 A 倍,横坐标不变而得到. ②y=f(ax)(a>0)的图象, 可将 y=f(x)图象上所有点的横坐标变为 1 原来的 倍,纵坐标不变而得到.

a

2.图象对称性的证明 (1)证明函数图象的对称性,即证明其图象上的任意一点关于对称中 心(或对称轴)的对称点仍在图象上. (2)证明曲线 C1 与 C2 的对称性, 即要证明 C1 上任一点关于对称中心(对 称轴)的对称点在 C2 上,反之亦然. 3.由于幂函数 y=xα当α<0 时,图象不过坐标原点,故有关幂函数

y=xα(α<0)的单调性问题,一定要重视分区间讨论.

幂函数的定义 1 [例 1]幂函数的图象过点(2, ),则它的单调增区间是( 4 A.(0,+∞) C.(-∞,+∞) B.[0,+∞) D.(-∞,0) )

? 1? 幂函数 y=f(x)的图象过点?4, ?,那么 f(8)的值为________. 2? ?

幂函数的单调性 [例 2] (1)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求 m 的范围. (2)比较大小:0.80.7 与 0.70.8. 分析:(1)中两个数的指数相同,故可视作幂函数 y=xm 在 x 取

x1=0.71.3 与 x2=1.30.7 时的两个函数值用单调性讨论.
(2)中两个数底数不同,指数也不同,可借助中间量 0.80.8( 或 0.70.7),用指数函数 y=0.8x 与幂函数 y=x0.8 的单调性解决.

下列各式中正确的是(

)

幂函数图象的分布规律
2

[例 3]

幂函数 y=x

m +3m

(m∈Z)的图象如右 ) B.-1 D.-1 或-2

图所示,则 m 的值为( A.-3<m<0 C.-2

1 函数 y=x 3 的图象是(

)

函数 f(x)=

x+ 1 图象的对称中心为( x
B.(0,1) D.(1,1)

)

A.(0,0) C.(1,0)

幂函数图象与性质的综合应用

2

已知幂函数 f(x)=x

m -6m+5

(m∈Z)为奇函数,且在区间(0,+∞)上

是减函数,则 f(x)的解析式为________. 函数 f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3 是幂函数,且在(0,+∞)上是减函数, 则实数 m 的值为( )

A. 2

B.3

C.4

D.5

数形结合的思想 [例 5] 方程 2-x+x2=3 的实数解的个数是( A. 2 B.3 C.1 D.4 )

已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数.当 x∈[0,1]时,f(x)=x,那么在 区间[-1,3]内,关于 x 的方程 f(x)=kx+k+1(k∈R 且 k≠-1)有 四个根,则 k 的取值范围是( A.(-1,0) 1 B.(- ,0) 2 ) 1 C.(- ,0) 3 1 D.(- ,0) 4

已知函数 f(x)= 2 ? ? x, x≥2, ? ? ??x-1? , x<2.
3

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的

实数根,则实数 k 的取值范围是________.

据解析式作函数的图象 [例 6] 作出下列函数的图象

x3 (1)y= ; |x|
(3)y=|log2x-1|;

(2)y=

x+ 2 ; x- 1

(4)y=2|x-1|.

1 y=|x 3 |的图象为( -

)

设函数 f(x)=

ax+b 的图象如图,则 a,b,c 满足( x 2+ c

)

A.a>b>c C.b>a>c

B.a>c>b D.b>c>a

一、选择题 1 1.在下列四个函数①y=x 3 为偶函数的是( A.① C.③④ ) B.①③ D.①②③④ 1 ②y=x 2 ③y=x-2 ④y=x0 中,

1 2.已知函数①y=3 ;②y=lnx;③y=x ;④y=x 2 .则下列函数图
x
-1

象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是 ( )

A.②①③④ C.④①③②

B.②③①④ D.④③①②

1 2.要将函数 y=1+ x-1的图象变换成幂函数 y=x 2 的图象,需 要将 y=1+ x-1的图象( )

A.向左平移一个单位,再向上平移一个单位 B.向左平移一个单位,再向下平移一个单位 C.向右平移一个单位,再向上平移一个单位 D.向右平移一个单位,再向下平移一个单位 1 4.设 a∈{-1,1, ,3},则使函数 y=xa 的定义域为 R 且该函数为奇 2 函数的所有 a 值为( A.1,3 ) B.-1,1

C.-1,3

D.-1,1,3

? ? 1 1 1 5.设α∈?-2,-1,- , , ,1,2,3?,则使 y=xα为奇函数且 2 3 2 ? ?

在(0,+∞)上单调递减的α值的个数为( A. 1 二、填空题 B.2 C.3

) D.4

? 1? 6.幂函数 y=f(x)的图象经过点?-2,- ?,则满足 f(x)=27 的 x 8? ?

的值是______.

7.幂函数 则实数 p=________.

(p∈Z)为偶函数, 且 f(1)<f(4),

三、解答题
2

8.已知幂函数 f(x)的图象过点( 2, 2)且幂函数 g(x)=x 的图象与 x 轴、y 轴都无公共点,且关于 y 轴对称. (1)求 f(x),g(x)的解析式;

m -m-2

(m∈Z)

(2)当 x 为何值时①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x).


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