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数学课件 2.4 对数函数及其性质 课件(人教A版必修1)


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2016/4/18

学点一

? ? ? ? ? ? ? ? ?

学点二

学点三
学点四

学点五
学点六

学点七
学点八
2016/4/18

1.对数函数的概念 y=lo

g x(a>0, 且 a≠1) a 函数

叫做对数函数.

2.对数函数的图象和性质. 图在下一页 3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1) y=x . 反函数 互为 .它们的图象关于 对称

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函数 a的取值

y=logax (a>0,a ? 0<a<1

1)
a>1

定义域
值域
(0,??)

R

图象

图象 特征

在y轴的右侧,过定点(1,0) 当x>0且x→0时,图象趋 当x>0且x→0时,图象趋 近于 y轴正半轴. 近于 y轴负半轴.

单调性

在(0,+∞)上是减函数.


在(0,+∞)上是增函数.
0<x<1 时,y<0;

当0<x<1时,y∈(0,+∞) 函数值的 当 x=1 时,y=0; 变化规律 当 x>1 时, y<0. 2016/4/18

当x=1时, y=0 ; 当x>1时, y>0 .

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学点一 比较大小 比较大小: 4 6 log 1 , log 1 ; ( 1) 2 5 2 7

log1 3, log1 5; ( 2)
2

5

( 3)

log1 0.3 log2 0.8
3

,

.

【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.

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log1 x

log1
2

4 6? ? log1 5 7 5 2 7
2

4

6

2

log1 x log1 x
5

log1 3 ? log1 3
2 5

log1 0.3
log1 0.3
3

log2 0.8

3

log2 0.8

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【 解 析 】 ( 1 ) ∵

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【评析】比较两个对数值的大小,常用方法: (1)当底数相同,真数不同时,用函数的单调性来比较; (2)当底数不同而真数相同时,常借助图象比较,也可 用换底公式转化为同底数的对数后比较;

(3)当底数与真数都不同时,需寻求中间值比较.

2016/4/18

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比较下列各组数中两个值的大小:

(1) log2 3.4,log2 8.5 ;
(2) log0.31.8,log0.3 2.7 ;

loga 5.1,loga 5.9 ( 3) (a>0,且a≠1).

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(1)考查对数函数y=log2x,因为它的底数2>1,所以它在 (0,+∞)上是增函数,于是log23.4<log28.5.

(2)考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数满足0<0.3<1,所 以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8>log0.32.7. (3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小 于1,而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大,因此, 要对底数a进行讨论: 当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是 loga5.1<loga5.9;
当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,于是 loga5.1>loga5.9.
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学点二

求定义域

l og0.8 xx -1 2 ?3 y ? l og3x -12x -1 x ?1

求 下 列 【分析】注意考虑问题要全面,切忌丢三落四 . 函 【解析】(1)要使函数有意义,必须且只需 数 x>0 x>0 的 定 log0.8x-1≥0 即 x≤0.8 义 1 2x-域: 1≠0, x≠ , 2 1 4 ∴0<x≤ ( 且x≠ .2 5 1 ? ? 1 4? ? 1) 0, ? , . 因此,函数的定义域是 ? 2 ? ? 2 5 ? ? ? ? ? y=

?

?

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?

?

?

( 2 ) 要 【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不 使 等式(组)并解之,对于含有对数式的函数定义域的求解, 函 必须同时考虑底数和真数的取值条件,在本例( 2)(4)中 数 还用到指数、对数的单调性. 有 意 2016/4/18 返回

y ? l og 0. 5 (4 x - 3 ); x y ? l og ). x ?1 (16- 4

求下列 函数的 定义域: (1)由log0.5(4x-3)≥0 ( 1) 4x-3>0得0<4x-3≤1, 3 ( 2) ∴ 4 <x≤1.

?3 ? ? ,1? ∴函数的定义域是 ? 4 ? .
2016/4/18

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??

(2) 由 164x>0 x<2 x+1 >0 得 x>-1
x+1 ≠1 x≠0.

2016/4/18

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学点三

求值域

求下列函数的值域: ( 1)

y ? log1 (-x - 4x ? 12);
2

( 2)

2 y ? log 2 (x - 2x - 3); 1 2

(3)y=loga(a-ax)(a>1). 【分析】复合函数的值域问题,要先求函数的定义域, 再由单调性求解.
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1 2

1 2

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【 解 析 】 ( 1 ) ∵ x
1 2

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(3)令u=a-ax, ∵u>0,a>1,∴ax<a,x<1,

∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x<1},
∵ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,

∴y=loga(a-ax)<logaa=1,
∴函数的值域为{y|y<1}. 【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响,然 后利用函数的单调性求之,当函数中含有参数时,有时需 要讨论参数的取值.

2016/4/18

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求值域:

y ? log 2

1 - x 2 ? 2x ? 2

(1)y=log2(x24x+6); ( 2) .

1 - x 2 ? 2x ? 2
log 2

1 - x 2 ? 2x ? 2

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( 1 )
log 2
1 ? ? ?l o g2 3 ,?? ? ? ?

1 - x 2 ? 2x ? 2

1 3

1 3

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学点三 对数函数的图像 已知a>0且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是( )

【分析】应先由函数定义域判断图像的位置,再对底数 a进行讨论,最后选出正确选项.
【解析】解法一:首先,曲线y=ax只 可能在上半平面,y=loga(-x)只可能 在左半平面上,从而排除A,C. 其次,从单调性着眼,y=ax与 y=loga(-x)的增减性正好相反,又可 排除D. 故应选B.
2016/4/18

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解法二:若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线 y=loga(-x)上升且过(-1,0),以上图象均不符合这些条件.

若a>1,则曲线y=ax上升且过(0,1),而曲线y=loga(-x)下降 且过(-1,0),只有B满足条件.
解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图 象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线 y=x对称),则可直接选定B. 【评析】要正确识别函数的图像,一是要熟悉各种基本 初等函数的图像,如一次函数、二次函数、反比例函数、 指数函数、对数函数的图像等;二是把握函数图像的性 质,根据图像的性质去判断,如过定点、定义域、值域、 单调性、奇偶性等.
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函数y=ax与y=-logax(a>0,a≠1,x>0)在同一坐标系中的图 A 像形状只能是( ) (a>1时,y=ax是增函数,y=logax 也是增函数,∴y=-logax为减函数.

∴两函数的单调性相反,除C,D,
而B中,y=-logax中x<0不成立.

故应选A.)

2016/4/18

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学点五

求最值

已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值 及当y取最大值时x的值. 【分析】要求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,首先要求 函数的解析式,然后求出函数的定义域,最后用换元法 求出函数的值域. 【解析】∵f(x)=2+log3x, ∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)

=log32x+6log3x+6
=(log3x+3)2-3.

∵函数f(x)的定义域为[1,9],
2+f(x2)有定义,必须 ∴要使函数 y= [ f(x) ] 2016/4/18

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?

1≤x2 ≤9 1≤x≤ 9. ∴1≤ x≤3, ∴0≤l og3x ≤1. 【评析】求函数的值域和最值,必须考虑函数的定义域, 令 同时应注意求值域或最值的常用方法 . u=lo g3x, 2016/4/18 返回 则

2

1 ogxl ?1 1 222
1 4

1 4

2

1 4

∵ 3 ≤


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已 知 x 满 足 不 等 式3≤ ≤ , 求 函
2

log1x ?

1 2

x x (log2 )?(log2 ) 4 2

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学点六

求变量范围

已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. 【分析】若f(x)的定义域为R,则对一切x∈R,f(x)有意义;若 f(x)值域为R,则f(x)能取到一切实数值.

?
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【解 析】 ?a ?1. ( 1) 要使 f(x)

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?

? 0 ? a ? 1.

( 2 ) 若 【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位 . f ( (1)中函数的定义域为R,由判别式小于零确定; x (2)中函数的值域为R,由判别式不小于零确定 . ) 的 2016/4/18

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函数y=logax在x∈[2,+∞)上总有|y|>1,求a的取值范围.

1 2

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依 题 意 得 | l o g 返回
1 2
1 2

学点七

x ?1 log 对数的综合应用 x -1 已知函 数 f(x)= .
1 2

( 1) 判断f(x) 【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明 . x ?1 的奇偶 【解析】(1)由 x - 1>0解得f(x)的定义域是(-∞,性; 1)∪(1,+∞), x ?1 - x ?1 x ?1 log log1 (2) log1 1 ∵f(-x)= = = 2 x - 1 = -f(x), 2 - x -1 2 x ?1 证明: ∴f(x)是奇函数. f(x)在 x ?1 (2)证明:设x1,x ∈ (1,+∞) ,且 x <x ,u(x)= 2 1 2 (1,+∞) x -1 2 上是增 = 1 ? x - 1 ,则 函数. 2016/4/18 返回

u(x1)-u(x2)=
∵x2>x1>1,

2 2 1? ? (1 ? ) ? 2( 2 ? 2 ) ? 2(x2 ? x 1 ) x1 - 1 x2 - 1 x1 - 1 x 2 - 1 (x1 ? 1)(x2 ? 1)

∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0, ∴u(x1)-u(x2)>0,即u(x1)>u(x2)>0, ∵y=log u在(0,+∞)上是减函数, ∴log u(x1)<log u(xx 2), 即log
1 2
1 2

1 2

x1 ? 1 2 ? 1 1 x 1 ? 1<log 2 x 2 - 1 ,

1 2

∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(1,+∞)上是增函数. 【评析】无论什么函数,证明单调性、奇偶性,定义是最基 本、最常用的方法.
2016/4/18

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x ?1 设f(x)=log2 x - 1 +log2(x-1)+log2(p-x).

(1)求函数f(x)的定义域; (2)f(x)是否存在最大值或最小值?如果存在,请把它 求出来;如果不存在,请说明理由. (1)由

?

x ?1 x - 1 >0

x - 1>0 p - x>0?

? x ? (1, p)( p ? 1)

∴当p>1时,函数f(x)的定义域为(1,p)(p>1).

2016/4/18

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(2)因为f(x)=
p -1 2 p -1 2
(p ? 1)2 4

? p -1 ( p ? 1) 2 ? log2 ?- (x )? ? (1 ? x ? p), 2 4 ? ?
p -1 2

所以当 ≤1,即1<p≤3时,f(x) 无最大值和最小

值;当1< <p,即p>3,x= 时,f(x)取得最大
值,log2 最小值 =2log2(p+1)-2,但无

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学点八

反函数

已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是( B )

【分析】分a>1,0<a<1两种情况,分别作出两函数的图象, 根据图象判定关系.

2016/4/18

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【解析】解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只 可能在左半平面,从而排除A,C. 其次,从单调性着手,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排 除D,故只能选B. 解法二:若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线y=loga(-x) 上升且过(-1,0),而选项均不符合这些条件.若a>1,则曲线y=ax上升 且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0),只有B满足条件. 解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax 的图象,因为y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称), 则可直接选B. 【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利 用函数的性质识别图象,特别注意底数a对图象的影响.要养成 从多角度分析问题、解决问题的习惯,培养思维的灵活性.原 函数y=f(x)与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性质.
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1 若函数f(x)=ax(a>0 ,且a≠1)的反函数的图象过点

(2,-1),则a=

2

.

反函数的图象过点(2,-1),则f(x)=ax的图象过 (-1,2),得a-1=2,a=
1 2.

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1.如何确定对数函数的单调区间?
(1)图象法:此类方法的关键是图象变换. (2)形如y=logaf(x)的函数的单调区间的确定方法:

首先求满足f(x)>0的x的范围,即求函数的定义域.假设 f(x)在定义域的子区间I1上单调递增,在子区间I2上单调 递减,则 ①当a>1时,原函数与内层函数f(x)的单调区间相同, 即在I1上单调递增,在I2上单调递减.
②当0<a<1时,原函数与内层函数f(x)的单调区间不同, 原函数在I1上单调递减,在I2上单调递增.
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2.如何学好对数函数?

对数函数与指数函数的学习要对比着进行,如它们的 定义域和值域互换,它们的单调性与底数a的关系完 全一致,指数函数和对数函数的图象分别过点(0,1)和 点(1,0)等,这样有助于理解和把握这两个函数.
3.如何理解反函数? 学习过程中要注意指数函数与对数函数的关系和它们间 的相互转化,掌握反函数的图象关于直线y=x对称,在 解决有关指数函数和对数函数的问题时,要注意数形结 合,注意运用复合函数“同增异减”的单调性原则,注 意分类讨论.

2016/4/18

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1.在指数函数与对数函数中,对底数的要求是一致的,均 是a>0,且a≠1.但指数函数的定义域是R,对数函数的定 义域是(0,+∞).对数函数的图象在y轴的右侧,真数大于 零,这一切必须熟记. 2.反函数 (1)在写指数函数或对数函数的反函数时,注意函数的 定义域且底数必须相同;

(2)互为反函数的两个函数在各自的定义域内单调性相 同;
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(3)对数函数与指数函数互为反函数,因此,对 数函数图象画法有两种:一是描点法,二是利用指 数函数与对数函数互为函数的关系作图; (4)互为反函数的两个函数的定义域与值域发生 互换,即原函数的定义域是反函数的值域,原函数 的值域是反函数的定义域; (5)互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称.

2016/4/18

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