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高中理科数学解题方法篇(三角函数)


论文题目: 浅析三角函数大题的解法 和易错点

小组成员:林伟婕、薛美华、谢林、 林静怡、冯思敏、卓园园

(2012 年 5 月)

目录
三角函数高考题特点 .................................................................. 3 高考三角函数大题题型及解题技巧 .......................................... 3 一、三角函数类 ..................................................................... 4 二、解三角形类 ..................................................................... 9 三、三角函数与向量的综合题........................................... 10 三角函数题易错点分析 ............................................................ 10 易错点一:忽视定义域导致出错....................................... 10 易错点二:忽视题干中的隐含条件................................... 11 易错点三:对函数的性质理解不透致错 .......................... 12 易错点四:忽视大角对大边,小角对小边而出错 .......... 13 高考备考建议 ............................................................................ 14 参考文献:................................................................................. 15

三角函数题的解法与易错点
【摘要】 三角函数是高考数学的必考内容, 在高中数学学习中占有举足轻重的地位。 纵观各地教 材以及各省市的高考题, 我们发现三角函数这部分的内容可以分为三大板块: 一类是求三角 函数的解析式,并研究它的性质,简称为三角函数类;一类是根据边角条件,解三角形,简 称为解三角形类; 还有一类是三角函数与其他知识的综合运用题。 本文将针对这三种类型的 题目的考点、难点和解法进行分析,并对解答三角函数题的易错点进行总结。 【关键词】三角函数 类型 解题技巧 易错点

三角函数高考题特点
三角函数是高中所学的几类基本函数之一, 它和向量、 函数、 不等式之间有着密切联系, 在现实生活中也有广泛的应用,所以一直是高考的热点问题。在高考中,三角函数经常与向 量、函数、不等式等知识联系起来命题,考试题型有选择题、填空题和解答题。 纵观近几年的全国高考卷以及各个省份的高考卷, 我们发现全国卷偏向于考察解三角形 的题型,而有些省份热衷于考察三角函数类的题型,如广东、重庆、天津、四川等。不过, 各地的三角函数解答题的总体难度不大,通常放在第一题,属于容易得分题。 三角函数这一部分高考题的特点主要有以下几个: 1、涉及公式多:诱导公式、同角三角函数关系式、两角的和差的三角函数公式、正弦 定理、余弦定理,这些公式都是考纲中要求学生掌握的。公式的数量多,运用灵活,公式间 联系紧密,这些都给学生的解题带来困难。所以,在教学过程中,要让学生看到公式的由来 和推导过程,让学生在理解的基础上记忆公式,靠机械地背诵来记忆公式是行不通的。 (举 例说明,那个特殊角的三角函数值) 2、涉及数学思想方法多:数型结合、分类讨论、化归与转化、整体思想,方程与函数 思想,这些数学思想都可以在三角函数题中体现出来。灵活地借助数学思想方法解题,往往 可以避免复杂的运算,优化解题过程,降低解题难度。 3、综合性强:三角函数跟向量、函数、不等式、立体几何、解析几何、数列这几大知 识板块都有密切联系。首先,作为一种基本初等函数,三角函数跟函数是不可分割的,所以 三角函数的高考题总会涉及对其函数性质、函数图像的考察。其次,三角函数涉及到角的问 题,所以高考的几何考题中也经常会见到三角函数的身影。另外,由于正弦值和余弦值都是 处在-1 到 1 之间的,所以经常利用三角函数的这个性质进行变量代换,证明不等式。所以 它跟不等式之间也有密切联系。不过,三角函数大题中,最常见的是三角函数与向量知识的 综合运用。 4、难度降低:近几年来,高考考纲对三角函数这一部分的要求有所降低。在高考考卷 中,三角函数多数以中低档题出现,是比较容易拿分的题。所以考生更应该熟练掌握三角函 数题的各种解法,确保得高分满分。

高考三角函数大题题型及解题技巧
纵观近几年高考试题,我们觉得可以将这个三角函数这一板块的题型分为以下三类: 1、 求三角函数的解析式,并研究它的图像和性质,简称为三角函数类;

2、 根据题目给出的边角条件,解三角形,简称为解三角形类。 3、 三角函数与向量的综合题。 下面,将结合各地高考真题对上述三类题型进行研究。

一、三角函数类
三角函数作为一种基本初等函数,当然少不了对它的解析式、图像和性质的研究。所以,我 将这部分的高考题分为两小类, 一是根据函数的解析式研究函数的图像和性质, 二是根据函 数的图像和性质确定解析式:

类型一:根据函数解析式研究函数图像和性质
【考点】 (1) 考查运用诱导公式和运用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式的能力,以及求 三角函数的值的基本方法。 (2) 考查运用诱导公式,倍角公式,两角和的正弦公式,以及利用三角函数的有界性来 求取值范围的问题。 (3) 考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法,考查三角恒等变形及 求角的基本知识。 【解题思路】 先把三角函数化为标准形式 y

? ? sin(?x ? ? ) ? ? ,也就是化简为只含一个角,只含

一种三角函数的形式。然后结合函数的图像研究函数的性质。 【难点】 解决此类题型的难点在于三角函数的化简与求最值。因为三角函数这部分的公式多,所以 记忆和应用起来有一定的难度。但是,只要能够准确地记忆公式,明确化简的目的,掌握 一定的化简技巧,此难点就不攻自破了。 1.公式记忆:理解记忆为本,变通记忆为辅[1] 在三角函数这一部分,主要要掌握三套公式:诱导公式、同角三角函数关系式、两角的和 差公式。记忆公式时,要以理解为基础的,只有理解了的东西才会经久不忘,要使学生牢 固的记住数学公式,就要使学生了解公式的来龙去脉,正确地理解公式,尽量将机械记忆 转化为理解记忆。当然,也可以通过公式的结构、公式间的联系、数形结合来寻找记忆的 窍门。 例:万能公式的记忆:

t an? ?

2 t an

?
2

1 ? t an2

?
2

sin? ? 2 sin

?
2

cos

?
2

?

2 t an 1

?
2 ?

2 t an sin
2 ?

?
2
2 ?

?

2 t an

?
2

2 cos2

?
2

2

? cos

cos2

?
2

2

1 ? t an2

?
2

1 ? tan 1 ? tan 2 2 2 利用万能公式,可以把 sin , cos 全转化为 tan,也就是说利用万能公式可以把一 个含 sin, cos, tan 的复杂代数式就可以化为只含 tan 的代数式,从而达到化简的 目的。要记住万能公式,除了要对公式的推导过程有所了解,还要从式子的结构 ? 出发加以记忆。无论是 sin 还是 cos,转化为 tan 后,分母都是 1+tan? ,但是 2 分子该如何记忆呢?根据半角公式和同角三角函数的商数关系:
sin ? tan ? = = cos ?

sin? cos? ? ? tan?

2 tan

?
2 ?

2

?

2 tan

?
2 ?

2

?

1 ? tan2

?
2

1 ? tan

2 ?

2 t an

?
2 ,

1 ? t an2

?

? ? ,而 cos ? 的分子应该为 1-tan? 。这样, 2 2 不仅记住了万能公式,tan 的半角公式,也记住了同角三角函数的商数关系。
可以得到 sin ? 的分子应该是 2tan
2、化简与求值: 三角函数式的化简: (1)解答策略:观察差异、寻找联系、分析综合、实现转化 (2)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角; ③ 三角公式的逆用等。 (3)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④ 尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数 三角函数的求值: (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三 角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键 在于“变角” ,如 ? ? ( ? ? ? ) ? ? , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 等,把所求角用含已知角的式 子表示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的 范围及函数的单调性求得角。 3、求最值的技巧 求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元,化归为基本类的三角函数 或代数函数, 利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理。 解题的过程中要特 别注意数形结合方法的运用。 基本类型 (1) y ? a sin x ? b (或 y ? a cos x ? b )型,利用 | sin x |? 1 (或 | cos x |? 1 ) ,即可 求解,此时必须注意字母 a 的符号对最值的影响. (2) y ? a sin x ? b cos x 型,引入辅助角 ? ,化为 y ? 数 | sin( x ? ? ) |? 1 即可求解.
2 2 (3) y ? a sin x ? b sin x ? c (或 y ? a cos x ? b cos x ? c )型,可令 t ? sin x (或

2

a2 ? b2 sin( x ? ? ) ,利用函

|1 ? ,化归为闭区间上二次函数的最值问题. ,| t t ? cos x )
(4) y ?

a sin x ? b a cos x ? b (或 y ? )型,解出 sin x (或 cos x )利用 | sin x |? 1 c sin x ? d c cos x ? d

(或 | cos x |? 1 )去解;或用分离常数的方法去解决. (5) y ?

或用万能公式换元后用判别式法去处理;当 a ? c 时,还可以利用数形结合的方法去处理.

a sin x ? b a cos x ? b (或 y ? )型,可化归为 sin( x ? ? ) ? g ( y) 去处理; c cos x ? d c sin x ? d

( 6 ) 对 于 含 有 sin x ? cos x,sin x cos x 的 函 数 的 最 值 问 题 , 常 用 的 方 法 是 令

sin x ? cos x ? t,| t |? 2, 将 sin x cos x 转化为 t 的关系式,从而化归为二次函数的最值问
题. (7) 在解含参数的三角函数最值问题中,需对参数进行讨论 【考题分析】[2] 例: (2011 天津理数)已知函数 f ( x) ? 2 3(sin x ? cos x) ? 2 cos2 x ? 1 ? x ? R ? (1) 求函数 f(x)的最小正周期,及在区间 ?0,

? ?? ? 上的最大最小值 ? 2?

(2) 若 f( x0 )=

6 ?? ? ? , x 0 ? ? , ? ,求 cos2 x0 的值 5 ?4 2?

分析:1、先利用辅助角公式和二倍角公式,把函数 f(x)化简为 y 式,然后再讨论其性质。

? ? sin(?x ? ? ) ? ? 的形
?
6

2、本小题属于给值求值问题,要观察所给角与已知角间的关系,已知 sin( 2 x0 ?

)的

值 , 要 求 c o s2 x0 的 值 。 由 于 函 数 名 不 同 , 所 以 我 们 利 用 诱 导 公 式 把 cos 2 x0 转 化 为

? ?? ? sin ? 2 x0 ? ? ,这样,要求的角与已知角之间就只相差 ,再利用两角和的正弦公式,就 3 2? ?
可求出结果。 解: f ( x) ? 2 3(sin x ? cos x) ? 2 cos2 x ? 1= 3 sin 2x ? cos2x = 2 sin( 2 x ? (1) f(x)的最小正周期为 T ?

?
6

)

2? ?? , 2

当 x∈ ?0,

? ? ? 7? ? ? ?? 时, 2 x ? ∈ ? , ? , ? 6 ?6 6 ? ? 2? ? ? ? = 时,f(x)取得最大值,为 2sin =2 6 2 2

所以当 2 x ?

当 2x ?

? 7? 7? ? 1? = 时,f(x)取得最小值,为 2sin = 2 ? ? ? ? =-1 6 6 6 ? 2?
?? ? ?

(2) 由于 x 0 ? ? , ? ,所以 2 x 0 ? ∈ ? , ,故 cos? 2 x0 ? ? <0 6 ? 3 6 ? 6? ? ?4 2? ? 由于 f ( x0 ) = 2 sin( 2 x0 ? 又由 sin ( 2 x 0 ?
2

?

? 2? 7? ?

?

??

?
6

)?

6 ? 3 ,故 sin( 2 x0 ? ) ? 5 6 5

?

?? ? ) ? cos2 ? 2 x0 ? ? =1,可以求得 6 6? ?
2

?? 4 ?? ? ?3? ? cos? 2 x0 ? ? = ? 1 ? sin 2 ? 2 x 0 ? ? = ? 1 ? ? ? = ? 6? 5 6? ? ?5? ?
所以, cos2 x0 ? sin? 2 x0 ?

? ?

??

?? ?? ?? ? ? sin ?? 2 x0 ? ? ? ? 2? 6 ? 3? ??

?? ? ?? ? ? ? ? sin? 2 x0 ? ? cos ? cos? 2 x0 ? ? sin 6? 3 6? 3 ? ?
3 1 ? 4? 3 3? 4 3 ? ? ? ?? ?? ? 5 2 ? 5? 2 10

类型二、根据函数性质确定函数解析式
【考点】 (1) 考查函数 y

? ? sin(?x ? ? ) ? ? 中各个字母的含义和求法:
, 其中

A :A =
B :B ?

y max ? y min 2

y max 代表函数的最大值, ymin 代表函数的最小值。

y max ? y min 2
?

,其中

y max 代表函数的最大值, ymin 代表函数的最小值。

? :由于T= 2?
?

,所以

? 可以通过周期来求

:带入已知点的坐标进行求解

(2)考查函数图像的平移变换和伸缩变换: 由y

? sin x 的图像变换到 y ? Asin(?x ? ? ) 有两种做法:先平移后伸缩

先伸缩后平移

【解题思路】 把三角函数化为标准形式,由已知条件确定参数,也就确定了函数的解析式

【难点】 如何区分“先平移后伸缩”和“先伸缩有平移”这两种图像变换的途径,是此类问题的 难点所在。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? ? 0 )平移| ? |个单位,再将图象上各点 的横坐标变为原来的

1

?

倍( ? >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的

1

?? ? 0? 右平移
【考题分析】

|? |

?

倍( ? >0), 再沿 x 轴向左( ? >0)或向

?

个单位,便得 y=sin( ? x + ? )的图象。

例: (2010 年山东文)已知函数 f ( x) ? sin(? ? ?x) cos?x ? cos2 ?x(? ? 0) 的最小正周期 为π , (1)求 ? 的值; (2)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在区间 ?0, 解:先对函数进行化简

1 ,纵坐 2

? ?? ? 上的最小值。 ? 16 ?

f ( x) ? sin(? ? ?x) cos?x ? cos2 ?x ? sin ?x cos?x ? cos2 ?x 1 1 1 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2 2 2

?

? 1 2? 2 2 2 ? 1 ? sin 2?x ? ?? ? cos 2 ? x sin(2?x ? ) ? ? ? 2 ? 2 2 4 2 ? 2 2
2? 可得 ? =1, 2? 2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2

(1)由于 f ( x) 的最小正周期是π ,由周期公式 T=

又由于 ? >0,所以 ? =1,函数的解析式为 f ( x) ? (2) 将 y= f ( x) 图像上各点的横坐标缩短到原来的 析式: y ? 故当 4 x ?

1 ,而纵坐标不变,可以得到新的解 2

? ? ? ? 2 ? 1 sin(4 x ? ) ? ,由于 0 ? x ? ,所以 ? 4 x ? ? , 16 4 4 2 2 4 2
?

?
4

?
4

时,y取得最小值,为y=1

二、解三角形类
解三角形,其实就是在已知三角形某些元素的情况下,求其他元素的过程。 【考点】
1.考查正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C . sin A sin B sin C

2.考查余弦定理:

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?



? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? ?cos B ? 2ac ? 2 ? b ? a2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?

3.考查三角形的面积公式: S

?

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

【难点】 此类型题目的难点在于灵活运用正弦定理、 余弦定理解决问题, 突破难点的关键在于注重数 形结合,函数与方程,分类讨论等数学思想的运用。 在解三角形的过程中,特别需要注意下面几个问题: 1、 运用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角,求另一边和另两角”这类问题时,要 注意对解的个数进行判断,防止漏解或增解。 2、 合理选择正余弦定理解决问题,尽量简化计算过程。 3、 要注意三角形中,各个角的取值范围为(0,π ) 【考题分析】 例: (2011 全国卷) △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 A-C=90°, a+c= 2b , 求角 C 分析:题目出现了边的条件,一开始觉得运用余弦定理来求解会比较简单,但是解到一半会 发现过程很复杂。所以,这里我们换一种思路,采用正弦定理进行边角互化,最后再根据三 角函数值来求角 C 解:由正弦定理

a b c ? ? 以及 a ? c ? 2b 得 sinA+sinC= 2 sin B sin A sin B sin C

而 A=C+90°,B=180°-A-C=90°-2C 故 sin(C+ 90 )+sinC= 2sin 90? ? 2C ,即 cosC+sinC= 2 cos2C
?

?

?

由于 cos2C= cos C ? sin C ? (cosC ? sin C)(cosC ? sin C) ,
2 2

故 cosC ? sin C ?

1 2

,又由于 sin C ? cos C ? 1 ,C∈ ? 0,
2 2

? ?? ?, ? 2?

所以解得: cos C ?

? 6? 2 ,于是 C ? 12 4

三、三角函数与向量的综合题
结合向量的平行、垂直、向量的数量积等来考察三角函数,综合性较强,不过只要掌握了平 面向量中的相关公式,解答起来还是不难的。 例: (2009 广东理数)已知向量 a = ?sin ? ,?2? 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中θ ∈ ? 0, ? ,
?

?

? ?? ? 2?

求: (1)sinθ 和 cosθ 的值; (2)若 sin (? ? ? ) ?
? ? ? ?

? 10 ,0< ? < ,求 cos ? 的值 2 10

解: (1)∵ a ⊥ b ,∴ a ? b =sinθ -2cosθ =0 ∴sinθ =2cosθ ,又由 sin?θ +cos?θ =1 求得 cosθ = ?

1 5 5 ? ?? ,又由于θ ∈ ? 0, ? ,所以 cosθ = , ?? 5 5 5 ? 2?

而 sinθ =

2 5 5

(2)因为θ ∈ ? 0, ? ,0< ? <

? ?? ? 2?

? ? ? ,所以 ? <? ? ?< 2 2 2
3 10 10

所以 cos?? ? ? ? ? 1 ? sin (? ? ? ) ?
2



cos? ? cos(? ? (? ? ? )) ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ? 5 3 10 2 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

三角函数题易错点分析
三角函数这部分出现的错误大多是由忽略题目中隐含条件或者对知识点理解不透彻造成的, 解题时若能其表层面纱,深入挖掘所隐含的信息,并予以充分利用,便可得出正确结果。下 面结合实例来谈谈三角函数题中的典型错误。

易错点一:忽视定义域导致出错
三角函数的定义域影响了三角恒等变形、周期、值域、奇偶性等等。如果优先考虑定义域, 可以有效地预防错误的判断。

例:判断函数 f ?x ? ? 【错解】

1 ? sin x ? cos2 x 的奇偶性[3] 1 ? sin x

f ?x ? ?

1 ? sin x ? cos2 x 1 ? sinx ? (1 ? sin 2 x) (1 ? sin x) ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? ? 1 ? sin x 1 ? sin x 1 ? sin x ? 1 ? (1 ? sin x) ? sin x

所以 f(x)是奇函数。 【正解】 因 为 1+sinx 作 为 分 母 , 所 以 1+sinx ≠ 0 , 故 sinx ≠ -1 , 所 以 函 数 的 定 义 域 是

? 3? ? , k ? Z ? ,不关于原点对称,所以该函数非奇非偶。 ?x | x ? 2k? ? 2 ? ?

易错点二:忽视题干中的隐含条件
(1) 忽略三角形本身的隐含条件,如三个角均为正角、内角和为 180°等造成 的错误。 (2) 忽略题干中同角三角函数的关系而导致出错。
c

例:在△ABC 中,若∠C=3∠B,求 b 的取值范围。 【错解】 由正弦定理得

c sin C sin 3B sin( B ? 2 B ) b = sin B = sin B = sin B sin B cos 2 B ? cos B sin 2 B sin B =
=cos2B+2 cos B =4 cos B -1 由于 0≤ cos B ≤1,那么-1≤4 cos B ≤3,
2 2 2 2

c 所以-1≤ b ≤3
【分析】 (1)在上述解题过程中,得到 b =4 cos B -1 后,忽略了三角形的内角和定理及隐 含条件:三个角均为正角。此题要注意∠B 的取值范围。
c
c
2

(2)注意三角形三边均为正数,故比值 b 也为正数

【正解】

c sin C sin 3B sin( B ? 2 B ) b = sin B = sin B = sin B sin B cos 2 B ? cos B sin 2 B sin B =
=cos2B+2 cos B =4 cos B -1 因为∠A+∠B+∠C=180°,∠C=3∠B, 所以 0°< ∠B < 45°, 即 1<4 cos B -1<3,
c
2 2 2

2 2

<cosB<1

故得 1< b <3 例:若 sin? ?

m?3 4 ? 2m , cos ? ? ,其中 ? 是第二象限角,求实数 m 的取值范围。[3] m?5 m?5
0< sin? ?

【错解】因为θ 是第二象限角,所以 0<sinθ <1,且-1<cosθ <0,即

m?3 <1 m?5

-1< cos ? ?

4 ? 2m <0 m?5
2 2

解得 3<m<9 【分析】因为已知条件是同角之间三角函数的关系,所以还有 sin ? ? cos ? ? 1,这个条 件的限制。 【正解】由 0< sin? ? 求得 m=8

m?3 4 ? 2m 2 2 <1,-1< cos ? ? <0 和 sin ? ? cos ? ? 1, m?5 m?5

易错点三:对函数的性质理解不透致错
在求三角函数的周期、对称轴、对称中心、最值和单调性等问题时,需要把所给的函数迁移 到三角函数模型上来,迁移错了则全盘皆输,因此甄别三角函数模型是预防错误的根源。 例:求函数 y ? cos(

?
6

? 2 x) 的单调递增区间。

【 错 解 】 由 不 等 式 ? ? ? 2 k? ?

?
6

? 2 x ? 2k? 解 得 原 函 数 的 递 增 区 间 为

? 7? [ ? k? , ? k? ] (k∈Z) 12 12
【分析】错解是把

? ? 2x 看 作整 体 ,借 助余 弦函 数的单 调 性来 求解 。但 事实上 , 6

y ? cos(

?
6

? 2 x) 是个复合函数,它的单调性恰好跟 y ? cos x 相反。

【正解】因为 y ? cos(

?
6

? 2 x) = cos( 2 x ?

?
6

),

所以由不等式 ? ? ? 2k? ? 2 x ? 求得单调递增区间为 [?

?
6

? 2k? ,

5? ? ? k? , ? k? ]( k ? Z ) 12 12

易错点四:忽视大角对大边,小角对小边而出错
在用正弦定理求解三角型时,一般能求出两个解。这两个解是否都可取,这需要根据“大角 对大边,小角对小边” ,对解的情况进行讨论。 例:在△ABC 中,a=2,b= 2 2 ,∠C=15°,求∠A 【错解】由余弦定理得

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcosC ? 8 ? 4 3
故c ?

6? 2
a sin C 1 ? c 2

又由正弦定理得,

sin A ?

又 0°<∠A<180° 所以∠A=30°或 150° 【分析】 注意到已知条件中 b=2 2 > a=2 这一隐含条件,则 B>A,显然∠A= 150°是不可能的。 【正解】 由余弦定理得

6? 2 c ? a ? b -2ab cosC=4+8-2×2×2 2 × 4 =8-4 3
2 2 2

故 c= 6 ? 2 又由正弦定理得,

a sin C 1 ? c 2 sin A=
因为∠B>∠A,又 0°<∠A<180° 所以∠A=30°

高考备考建议
三角函数的定义及性质有许多独特的表现, 是高考中对基础知识和基本技能 进行考查的重要内容。 纵观各地近年来的高考三角函数题,一般以容易题或中等 题为主,但在平和的主流下,也有一些富有思考性的问题。考查重点一是三角函 数的图像和性质,尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图像、对称性等;二 是三角函数的恒等变换, 如利用有关公式求值和简单的综合问题等;三是三角形 中的三角函数问题。 一、落实“三基”要坚持课本化 “三基” 的考查一直是高考命题的重点, 反映在试题上, 许多考题源于课本, 因此要把复习的重心放在对“三基”的落实上,而落实“三基”课本是重点,处 理课本问题要坚持变式化。目前,从理念层面看,大家更习惯于茫茫题海,其实 做题的目的在于通过问题把知识与方法串在一起、揉在一起,使其系列化、网络 化,在这方面,许多课本问题更具基础性、示范性和典型性。 波利亚强调: “解题不仅是为了找到答案” 。如果我们能够通过一个有意义 但不太复杂的问题,去发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就像通过一道门 户,把我们领入一个完整的知识领域,那么我们的学校将变得更高效。 二、防止失误要实现自觉化 问题是学生解题失误的重灾区,这些失误有的是因为概念不清,有的是因为 公式不牢, 但更多是由于符号判断失误或不能发现隐含范围所致。解决办法就是 要增强学生自我防错意识, 提高学生自我防错的能力,使关注范围与符号成为他 们做题时的自觉行为。 三、变换策略要立足结构化 三角变换也是复习的一个重点, 不过我们不能鼓励对各种变换技巧的片面追 求和反复演练, 而应该突出三角变换的结构本质。三角函数是以角为自变量的函 数,也是以实数为自变量的函数,它产生于生产实践,是客观实际的抽象,同时 又广泛地应用于客观实际,故应培养实践第一的观点.总之,三角部分的考查保 持了内容稳定, 难度稳定, 题量稳定, 题型稳定, 考查的重点是三角函数的概念、 性质和图象,三角函数的求值问题以及三角变换的方法。 四、三角综合要体现工具化 由于近年高考命题突出以能力立意,加强对知识综合性的考查,故常常在知 识的交汇点设计问题。 而三角函数是解决数学问题的一个有效手段和工具,在复 习中,要充分发挥三角函数的这种工具作用,提高分析问题、解决问题的能力。 解三角形则要灵活运用正弦定理、余弦定理、三角型面积公式等知识,并结合三 角变换的手段这类问题对考察学生分析问题解决问题的能力有较高价值。 五、重视数学思想方法的复习 要重视数学思想方法的复习,在高考中很大一部分试题都以选择、填空题形 式出现,因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊解题方法,如数形结合法、 代入检验法、特殊值法,待定系数法、排除法等。另外对有些具体问题还需要掌 握和运用一些基本结论。 如: 关于对称问题, 要利用 y=sinx 的对称轴为 x=kπ+π/2 (k∈Z) ,对称中心为(kπ,0) , (k∈Z)等基本结论解决问题,同时还要注意 对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征。在求三角函数值的问题中,要学会用勾

股数解题的方法,因为高考试题一般不能查表,给出的数都较特殊,因此主动发 现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果。 六、变为主线、抓好训练 变是三角函数的主题,在三角变换考查中,角的变换,三角函数名的变换, 三角函数次数的变换,三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化 “变”意识是关键,但题目不可太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课 本中常见问题的解法, 把课本中习题进行归类, 并进行分析比较, 寻找解题规律。 针对高考中的题目看, 还要强化变角训练,经常注意收集角间关系的观察分析方 法。 另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数 关系式的训练也要加强, 这也是高考的重点。同时应掌握三角函数与二次函数相 结合的题目。

参考文献:
[1]何小亚,数学学与教心理学,华南理工大学出版社,2004 年 7 月第一版 [2]李林,浅析三角解答题,名师专题讲座,2011 年第 2 期 [3]赵宏伟,如何预防三角函数中的隐蔽条件带来的错误, 《中学数学研究》2010 年第 5 期


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