当前位置:首页 >> 数学 >>

5.3 等比数列及其前n项和(共28张PPT)


5.3

等比数列及其前n项和

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -2-

考纲要求 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式及其前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中,识别数列的等比关系,并能运用有关知识解决问 题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 3 -3-

1.等比数列:一般地,如果一个数列从 公比,等比数列的通项公式为 an=

第2项
.

起,每一项与它前一项

的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的

a1qn-1

想一想请问 G 的平方等于 ab 是 a,G,b 成等比数列的什么条 件? 答案:必要不充分条件.

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 4 -4-

2.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那 么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,并且 G= 才有等比中项. 3.对于等比数列{an},当公比 q≠1 时,若已知首项 a1 和项数 n,求其前 n 项和时,可用公式 Sn= 前 n 项和时,可用公式
1 (1- ) 进行求和;若已知首项 a1 和末项 an,求其 1- 1 - q Sn= 进行求和.当公比 q=1 时,该数列是各 1-

±

.显然,只有同号的两个数

项不为零的常数数列,此时 Sn=

na1

.

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 5 -5-

4.等比数列有以下常用性质 (1)通项公式的推广:an=

amqn-m(m,n∈N*,且 n>m) .

(2)对于等比数列{an},若 m,n,k,l∈N*,且 m+n=k+l,则 am· an=ak· al,特别地, 若 m+n=2p,则
2 am· an=

.在使用该性质时,不仅要注意等式两边下标

的和相等,还要注意等式两边作积的项的个数必须一样多. (3)若数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn(Sn≠0)为其前 n 项和,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为

qn . 递

5.当首项 a1>0,公比 q>1,或首项 a1<0,公比 0<q<1 时,数列{an}为

增数列 ; 当首项 a1>0,公比 0<q<1,或首项 a1<0,公比 q>1 时,数列{an}为 递减数列 ; 当公比 q=1 时,数列{an}为 常数列 ; 当 q<0 时,数列{an} 为 摆动数列 .

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 6 -6-

基础自测

1.等比数列{an}中,a4=4,则 a2· a6 等于( A.4 B.8

)

C.16 D.32

关闭
2 a2·a6=4 =16.

关闭

C

解析

答案

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 7 -7-

2.已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是( A.a1+a3≥2a2
2 2 2 B.1 + 3 ≥22

)

C.若 a1=a3,则 a1=a2 D.若 a3>a1,则 a4>a2

关闭

当 a1<0,q<0 时,可知 a1<0,a3<0,a2>0,所以 A 选项错误;当 q=-1 时,C 选 项错误;当 q<0 时,a3>a1? a3q<a1q? a4<a2,与 D 选项矛盾,根据基本不等式关闭 B 可知选项 B 正确,故选 B.
解析 答案

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -8-

3.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2· a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差
5 中项为 ,则 S5 等于( 设4 {an}的公比为
关闭

) q,则由等比数列的性质知 a2·a3=a1·a4=2a1,即 a4=2.
5 5 1 5 1

由 a4 与 2a7 的等差中项为 =2× ,即 a7= D.29 × 2 × -4 = × A.35 B.33 4知 a4+2a7C.31 4 2 4 2 2 × -2 = .
4 4 5 1

∴ q3=

7 4

= ,
8 1 2 1 8

1

即 q= .a4=a1q3=a1× =2, 即 a1=16. ∴ S5= C
16× 11 12 1 5 2

=31.
解析

关闭

答案

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -9-

4.设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

关闭

若已知 a1<a2,则设数列{an}的公比为 q,因为 a1<a2,所以有 a1<a1q,解得 q>1.又 a1>0,所以数列{an}是递增数列;反之,若数列{an}是递增数列,且 a1>0, 关闭 则公比 q>1,所以 a1<a1q,即 a1<a2,所以 a1<a2 是数列{an}是递增数列的充要 C 条件.
解析 答案

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -10-

考点一

等比数列的基本运算

【例 1】设等比数列{an}的公比 q<1,前 n 项和为 Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an} 的通项公式.
关闭

由题设知 a1≠0,Sn= 所以
1 (1- 4 ) 1-

1 (1- ) 1-

,S4=5S2,a3=2,

1 2 = 2,① = 5×
1 (1- 2 ) 1-

.②

由②式得 1-q4=5(1-q2), 即(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0. 因为 q<1,所以 q=-1 或 q=-2. 当 q=-1 时,代入①式得 a1=2,通项公式 an=2×(-1)n-1;当 q=-2 时,代入① 1 1 式得 a1= ,通项公式 an= ×(-2)n-1.
2 2

答案 考点一 考点二 考点三

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -11-

方法提炼 等比数列的基本量是首项 a1 和公比 q,建立含有它们的方程组可确定 给定的等比数列的表达式,这也是方程思想的具体体现.在利用等比数列的 前 n 项和公式时,如果其公比 q 不确定,要分 q=1 和 q≠1 两种情况进行讨论. 否则,会产生失根.

考点一

考点二

考点三

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -12-

举一反三 1 在各项都是正数的等比数列{an}中,a2,2a3,a1 成等差数列,

4 +5 的值为( 3 +4

1

) B.
5+1 2

A.

5-1 2

C.

1- 5 2

D.

5-1 5+1 或 2 2
关闭

由题意可知 a3=a2+a1,将等式两边同除以 a1,整理得 q2-q-1=0.∵ q>0,∴ q=
B
解析 考点一 考点二 考点三 答案
5+1 2

.

关闭

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -13-

考点二

等比数列的判断与证明

【例 2】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

考点一

考点二

考点三

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -14-

(1)证明:由 a1=1,Sn+1=4an+2 得 a1+a2=4a1+2, ∴ a2=3a1+2=5,b1=a2-2a1=3. 由于 Sn+1=4an+2,① ∴ 当 n≥2 时,有 Sn=4an-1+2.② ①式-②式得 an+1=4an-4an-1, ∴ an+1-2an=2(an-2an-1). 又∵ bn=an+1-2an,∴ bn=2bn-1,∴ 数列{bn}是首项为 3,公比为 2 的等比数列.
+1 (2)解:由(1)可得 bn=an+1-2an=3·2n-1,∴ +1 ?



2

2

= ,
4

3

∴ 数列


2 1 2

是首项为 ,公差为 的等差数列.
2 4 3 4 3 4 1 4

1

3

∴ = +(n-1)× = n- ,∴ an=(3n-1)·2n-2.

2

答案 考点一 考点二 考点三

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -15-

方法提炼 判定数列为等比数列的常见方法 (1)定义法: 用
+1 =q(q

是不等于 0 的常数,n∈N*)?{an}是等比数列;也可

=q(q 是不等于 0 的常数,n∈N*,n≥2)?{an}是等比数列.二者的本质是 -1

相同的,其区别只是 n 的初始值不同.
* 2 (2)中项公式法: =a · a ( a · a · a ≠ 0, n ∈ N )?{an}是等比 n n+2 n n+1 n+2 +1

数列.

考点一

考点二

考点三

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -16-

举一反三 2 在数列{an}中,a1=0,且对任意 k∈N*,a2k-1,a2k,a2k+1 成等差数
列,其公差为 dk.若 dk=2k,证明 a2k,a2k+1,a2k+2 成等比数列(k∈N*).
由题设知 a2k+1-a2k-1=4k,k∈N*. 所以 a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1) =4k+4(k-1)+…+4×1=2k(k+1). 由 a1=0,得 a2k+1=2k(k+1),从而 a2k=a2k+1-2k=2k2,a2k+2=2(k+1)2. +1 2 +2 +1 于是, 2 +1 = , = , 所以
2 2 +2 2 +1

关闭

=

2 +1 2 +1 2



.

所以 dk=2k 时,对任意 k∈N*,a2k,a2k+1,a2k+2 成等比数列.
答案 考点一 考点二 考点三

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -17-

考点三

等比数列的性质
1 2

【例 3】 在等比数列{an}中,已知 a3+a6=36,a4+a7=18,an= ,求 n.

考点一

考点二

考点三

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -18-

解法一:设其公比为 q, ∵ a3+a6=36,a4+a7=18, ∴ a1q2+a1q5=36,① a1q3+a1q6=18,② 1 ②式除以①式得 q= .
2

于是 a1+ a1=36,∴ a1=128.
4 32

1

1

而 an=a1qn-1, ∴ =128×
2 1 1 -1 2

,∴ n=9.

答案 考点一 考点二 考点三

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -19-

解法二:设其公比为 q, ∵ a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q, ∴ q=
4 + 7 3 + 6

=

18 36

= .
2

1

而 a3+a6=a3(1+q3), ∴ a3=
3 + 6 1+ 3

=

36 1+
1 8

=32.

∵ an=a3qn-3, ∴ =32×
2 1 1 -3 2

,∴ n=9.

答案 考点一 考点二 考点三

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -20-

方法提炼 等比数列的两个基本量(首项 a1 和公比 q)具有“消元”之功效,利用它可 以表示出数列中的任意项.有时利用通项公式的变形式 an=amqn-m(m,n∈N*, 且 n>m),会更有利于题目的化简.

考点一

考点二

考点三

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -21-

举一反三 3 设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的
横坐标为 xn,则 xn=
∵ y=xn+1, ∴ y'=(n+1)xn,则在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),它与 x 轴交点的 横坐标为 xn=1 +1

+1

,令 an=lg xn,则 a1+a2+…+a99 的值为

.

关闭

1

a1+a2+…+a99=lg 1-lg 2+lg 2-lg 3+…+lg 99-lg 100=lg 1-lg 100=0-2=-2.
-2
解析 考点一 考点二 考点三

+1

=

+1

.由 an=lg xn,得 an=lg n-lg(n+1),于是
关闭

答案

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -221 2 3 4 5

1.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n+1,n∈N*,若数列{an+pn+q}是等比数 列,则实数 p,q 的值分别等于( )
+pB.2,1 (n+1)+q A.1,2 依题意有 +1 =m 对任意 n∈N*都成立,得 +pn +q C.2,2 D.1,3 an+1+p(n+1)+q=man+mpn+mq, 又 an+1=2an+n+1, 则 2an+n+1+pn+p+q=man+mpn+mq,即 (2-m)an+(p+1-mp)n+p+1+q-mq=0. 由已知可得 an>0, 2- = 0, = 2, 所以 + 1- = 0, 解得 = 1, = 2. + 1 + - = 0, D 故选 A.

关闭

关闭

解析

答案

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -231 2 3 4 5

2.首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4=

.

关闭

由等比数列前 n 项和公式 Sn=
15

1 (1- ) 1-

得,S4=

1-24 1 -2

=15.

关闭

解析

答案

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -241 2 3 4 5

3.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的等比数列,则
=

1 2

.

关闭

设 a,b,c,d 是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根,不妨设 a<c<d<b,则 a·b =c·d=2,a= ,故 b=4,根据等比数列的性质,得到:c=1,d=2,则 m=a+b= ,n=c+d=3,或 m=c+d=3,n=a+b= ,
或= 或 则 2 3
2 2 3 2 3 9 2 9 2 1

= .
3

2

关闭

解析

答案

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 25 -251 2 3 4 5

4.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=

++1 ,n∈N*. 2

(1)令 bn=an+1-an,证明{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -261 2 3 4 5

(1)证明:b1=a2-a1=1, 当 n≥2 时, bn=an+1-an=
1 2 -1 + 1 2 2

-an
1 2

=- (an-an-1)=- bn-1, ∴ {bn}是首项为 1,公比为- 的等比数列.

答案

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -271 2 3 4 5

(2)解:由(1)知 bn=an+1-an= 当 n≥2 时,

1 -1 2

,
1 2 1 -2 2 1- 1 -1 2 1 1- 2

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1+ =1+ 1- 3 2 1 -1 2 5 3

+…+ -

=1+

= ?
3 2 3

5

2 3

-

1 -1 2

,

当 n=1 时, ? an= ?
3 5 2 3

-

1 1 -1 2

=1=a1,

∴ {an}的通项公式为 1 -1 2

(n∈N*).
答案

第五章

5.3

等比数列及其前n项和 -281 2 3 4 5
关闭

1 an+1-2= {? 2 = , 5.∵ 已知数列 a } 中 , a = 1, a =c.设 12 n+1 2 n

5

1

-2

5 1 c= ,bn= ,求数列{bn}的通项公式. 2 -2



1

+1 -2

=

2 -2

=

4 -2

+2,

即 bn+1=4bn+2, ∴ bn+1+ =4 +
3 2 2 3 1

. =-1,
1 3 2 3 1 3

又 a1=1,b1= ∴ + bn=4 -1 3 2 3

1 -2

是首项为- ,公比为 4 的等比数列,则有 bn+ =- ×4n-1,即
2 3

? .
答案


相关文章:
5-3 等比数列及其前n项和
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...5-3 等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区...蜂巢中一共有蜜蜂( A.420 只 520-5 C. 只 4...
...第05章数列5.3等比数列及其前n项和Word版含解析]
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...(理)总复习 第05章数列5.3等比数列及其前n项和...(1)等比数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及...
2013版高三(理)一轮复习 5.3 等比数列及其前n项和
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...(理)一轮复习 5.3 等比数列及其前n项和_高三...一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) S4 1.设...
【高三一轮】5.3等比数列及其前n项和
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...【高三一轮】5.3等比数列及其前n项和_数学_高中...等比数列{ an }共 2n 项, 其和为-240, 且奇数...
§5.3 等比数列及其前n项和
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...§5.3 等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区...(每小题 5 分,共 25 分) 1.在等比数列{an}...
第5章 第3节 等比数列及其前n项和 Word版含答案
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...第5章 第3节 等比数列及其前n项和 Word版含答案...红灯向下成倍增.百八十一, 请问塔顶几盏灯?...
2015级高考数学一轮复习讲义5-3 等比数列及其前n项和
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...2015级高考数学一轮复习讲义5-3 等比数列及其前n项和_高三数学_数学_高中教育...
第五章第3讲等比数列及其前n项和
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...第章第3等比数列及其前n项和_高三数学_数学_...2.(2015· 广东珠海质量监测)等比数列{an}共有...
5等比数列及前N项和
搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...5-3等比数列及其前n项和 22页 5财富值 3.5等比数列...的一半再落下,当它第 10 次着地时,共经过的路 ...
第五章第3讲等比数列及其前n项和
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 高中...第章第3等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲 等比...
更多相关标签: