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7.3.2组合与组合数公式


复习
一、组合的定义 二、组合数公式
P n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) C ? ? P m!
m n m n m m

n! C ? m !(n ? m) !
m n

abc

abd

acd

bcd

C ?4
3 4

d

c

b

a

C ?4
1 4

从4个不同元素中每次取出3个的一个组合, 和剩下的(4-3)个元素的组合是一一对应的。

C ?C
3 4

4 ?3 4

推广:
从 n个不同元素中取出 m个元素的每一个 组合,与剩下的n-m个元素的每一个组合一一 对应,所以从 n个不同元素中取出 m个元素 的组合数,等于从这n 个元素中取出n-m 个元 素的组合数,即

c

m n

? cn

n?m

组合数的两个性质

定理1 :

C ?C .
m n n?m n
m n

n! 证明: ? C ? , m( ! n ? m) ! n! n! n ?m ? Cn ? (n ? m) ![n ? (n ? m) ] ! m ! ( n ? m) !

? C ?C .
m n n?m n
m n

其逆命题为:如果C ? C , 则m ? k或m ? n ? k
k n

3、性质1的应用 的计算简化

n (1)当m> 2时,利用这个公式,可使

c

m n

c ?c
9
98

7

9?7 9
2

9? 8 ? c9 ? ? 36 1? 2
2

100 ? 99 c100 ? c100 ? 1 ? 2 ? 4950 n 0 (2)当m=n时, 有 c ? c ? 1 所以规定 n n

c

0 n

?1

性质2
1、一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑 球. ⑴ 从口袋内取出3个球,共有多少种取法? ⑵ 从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球, 有多少种取法? ⑶ 从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有 多少种取法?

解:(1) ⑶

C ? 56
C ? 35
3 7

3 8



C ? 21
2 7

我们发现:

C

3 8

?C ? C
2 7

3 为什么呢 7

我们可以这样解释:从口袋内的 8个球中所取出的3个球,可以分为 两类:一类含有1个黑球,一类不含 有黑球.因此根据分类计数原理, 上述等式成立.

从a1 , a2 , a3 ,?, an ?1这n ? 1个不同元素中, 每次取出m个元素。

( 1 )可以有多少个不同的组合?

(2)在这些组合里有多少个是含有a1的?

(3)在这些组合里有多少个是不含有a1的?

(4)从上面的结果可以得到一个怎样的公式?

推广:从

这n+1个不同的元素中, a1 , a2 ,?an?1 取出m个元素的组合数 c,这些组合可以分成两类: a 的组合是从 一类含 ,一类不含 。含 a a ?a a a 这n个不同元素中取出m-1个元素的组合数为 c ;不 ?
m n ?1

1

1

1

2,

3,

n ?1

m ?1 n

含 1的组合是从 a2, a3, an ?1 这n个不同的元素中取 m 出m个元素的组合数为 ,再由加法原理,得

a

c

n

性质2

? ? c n ?1 c n c n

m

m

m ?1

定理 2 :

C ? C ?C .
m n?1 m n m?1 n

证明:

C ?C
m n

m?1 n

n! n! ? ? m!(n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]! n!(n ? m ? 1) ? n!m (n ? m ? 1 ? m)n! ? ? m!(n ? m ? 1)! m!(n ? 1 ? m)! (n ? 1)! m ? ? C n?1 . m![( n ? 1) ? m]!

? ? c n ?1 c n c n

m

m

m ?1

注:1? 公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之 和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较 大的相同的一个组合数. 2? 此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学 习“二项式定理”时,我们会看到它的主要应用.

例1 计算:

(1) C ;
198 200

(C 200 ?
2

200? 199 2 ?1

? 19900 )

(2) C ?C ;
3 99 2 99

?C ?
3 100

100? 99 ? 98 3 ? 2 ?1
3 9 2 8

? 161700

( 3 ) 2C ? C ? C .
3 8

? 2 C ? (C ? C ) ? C ? C ? 56
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8

计算:
2 2 2 3 2 4 2 10

( 1 )C ? C ? C ? ? ?C (2)C
98 100

例2 求证:

? C ?C ?C ; m?1 m?1 m m?1 ( 2 ) Cn ? Cn ? 2Cn ? Cn?2 .
(1) C
m n?1 m?1 n m n?1 m?1 n?1

证明: (2) (1)

C C ? (C ?C ?C ?C ?C

m?1 n m?1 n m?1 n m?1 m n ?1 n?1 m m n ?1 n? 2

? C ? 2C ?C ?C m?1 ? C ) ? (C ? C n ) ?C ?C . .
m?1 n m m n? 1 n m m n n ?1 m n m?1 n?1m n

练习:
3 ⑴ 计算: C7 ? C74 ? C85 ? C96 n n n ?1 = + ⑵ 求证: C m ? 2 2C m m

C

+

C

n?2 m

⑶ 解方程: C x ?1
13

?C
2 5

⑷ 解方程: C x ? 2 ? C x ?3 ? 1 A 3 x?2 x?2 x ?3 ⑸ 计算:C 0
5
0 n

2 x ?3 13

?C ?C ?C ?C ?C
1 5 3 5 4 5
1 n 2 n n ?1 n

10

5 5

推广: C ? C ? C ? ? ? C

?C ? 2
n n

n

例3、12件产品中有3件次品,9件正品,从中抽取5 件, (1) 5件产品中没有次品的取法有多少种? (2) 5件产品中有2件次品的取法有多少种?

例4、从4台纯平彩电和5台超平彩电中选购3台,

要求至少有纯平彩电和超平彩电各1台,问有多少
种不同的选法?

例5、6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分 法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人2本; (2)分为三份,每份2本; (3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本:

(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2 本,一人 3本。

例6、某省的福利彩票中,不考虑次序的7个数码组 成一注,7个数码中没有重复,每一个数码都选自 数码1,2,…,36,如果电视直播公开摇奖时只有 一个大奖,计算:

(1)公开摇奖时最多可以摇出多少不同的注;
(2)购买一注时的中奖率。

作业

P26
3,4,5,8

例3 平面内有12个点,任何3点不在 同一直线上,以每3点为顶点画一个三 角形,一共可画多少个三角形?

C ?
3 12

12 ? 11? 10 3 ? 2 ?1

? 220

答:一共可画220个三角形.

思考交流
1. 从9名学生中选出3人做值日,有多 少种不同的选法?

(C9 ?
3

9?8? 7 3 ? 2 ?1

? 84)

2. 有5 本不同的书,某人要从中借2本, 有多少种不同的借法?

(C5 ?
2

5? 4 2 ?1

? 10)

例4 有13个队参加篮球赛,比赛时先 分成两组,第一组7个队,第二组6个队. 各组都进行单循环赛(即每队都要与 本组其它各队比赛一场),然后由各组 的前两名共4个队进行单循环赛决出 冠军、亚军,共需要比赛多少场?

(C7 ? C ? C
2 2 6

2 4

? 21 ? 15 ? 6 ? 42)

例5 在产品检验时,常从产品中抽出一 部分进行检查.现在从100件产品中任意 抽出3件: (1)一共有多少种不同的抽法?

(2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法有多少种?


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